專升本高等數(shù)學(xué)講義

專升本高等數(shù)學(xué)講義根底部宋云超函數(shù)、極限與連續(xù)一1、函數(shù)函數(shù)的概念〔1〕定義：〔2〕三要素：定義域、對應(yīng)法則、值域〔3〕表示方法：圖像法、表格法、公式法函數(shù)的性質(zhì)〔1〕奇偶性：偶；奇〔2〕有界性：〔3〕周期性：〔4〕單調(diào)性：推斷的符號反函數(shù)：復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)：常數(shù)、冪、指數(shù)、對數(shù)、三角、反三角函數(shù)2、極限極限的概念〔1〕〔2〕極限的四則運算兩個重要極限〔1〕〔2〕2、極限無窮小與無窮大〔1〕定義：倒數(shù)關(guān)系〔2〕無窮小的性質(zhì)：有限個無窮小的和、差、積是無窮小無窮小乘以有界函數(shù)是無窮小〔3〕無窮小的比較：同階、等價、高階〔4〕等價無窮小的替換：當(dāng)時3、連續(xù)性連續(xù)的定義：連續(xù)點及其分類〔1〕第一類連續(xù)點：左右極限都存在的連續(xù)點，包括可去連續(xù)點〔左右極限相等〕、跳動連續(xù)點〔左右極限不相等〕〔2〕其次類連續(xù)點：左右極限至少有一個不存在，包括無窮連續(xù)點、振蕩連續(xù)點等。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)〔1〕最值定理〔2〕介值定理〔3〕零點定理〔方程根的存在性定理〕：假設(shè)在上連續(xù)，且則至少存在一個，使得?！彩欠匠痰囊粋€根〕4、典型例題例1：求的定義域。例2：設(shè)，求的定義域。例3：設(shè)，求。例4：設(shè)，求。

例5：求的奇偶性。例6：設(shè)是以3為周期的奇函數(shù)，且，求。例7：假設(shè)，求。4、典型例題例8：求以下極限〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕例9：假設(shè)，求。4、典型例題例10：設(shè)，求使在連續(xù)。例11：求以下函數(shù)的連續(xù)點并推斷連續(xù)點的類型?！?〕〔2〕例12：證明方程在區(qū)間上有唯一實根。例13：設(shè)在上連續(xù)，，證明：至少存在一點，使得。一元函數(shù)的微分學(xué)二1、導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念〔1〕定義：〔對于分段函數(shù)在分段點處的導(dǎo)數(shù)要用導(dǎo)數(shù)的定義來求解〕〔2〕左、右導(dǎo)數(shù)：〔3〕幾何意義：曲線過點的切線方程：法線方程：1、導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算〔1〕根本求導(dǎo)公式〔熟記〕〔2〕四則運算法則：〔3〕復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則〔4〕隱函數(shù)求導(dǎo)法〔5〕參數(shù)方程求導(dǎo)法：〔6〕對數(shù)求導(dǎo)法：冪指函數(shù)，連乘、除……高階導(dǎo)數(shù)：2、微分微分的概念〔1〕定義：假設(shè)在點處的增量可表示成，則稱在點處可微，微分記作：〔2〕可微與可導(dǎo)的關(guān)系：可微可導(dǎo)連續(xù)有極限微分的計算〔1〕〔2〕

3、應(yīng)用中值定理〔1〕羅爾定理：假設(shè)滿足：在連續(xù)；可導(dǎo)；則至少存在一點，使得?！?〕拉格朗日中值定理：洛必達(dá)法則〔1〕型〔2〕型〔3〕型，型，型，型，型〔化成型或型〕3、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用〔1〕單調(diào)性：依據(jù)符號〔2〕極值和最值〔3〕凹凸性：依據(jù)符號〔4〕拐點〔5〕漸近線：水平漸近線鉛直漸近線〔6〕經(jīng)濟應(yīng)用：邊際和彈性問題微分的應(yīng)用〔1〕近似值公式：〔2〕泰勒公式：4、典型例題例1：設(shè)〔1〕求a,b,使在處連續(xù)〔2〕求a,b，使在處可導(dǎo)例2：求曲線在點處的切線和法線方程。例3：過點作曲線的切線，求切線方程。例4：假設(shè)是可導(dǎo)的偶函數(shù)，證明：是奇函數(shù)。例5：設(shè)，求。例6：設(shè)，求。4、典型例題例7：設(shè)，求。例8：求的微分。例9：求的導(dǎo)數(shù)。例10：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，且，證明至少存在一點，使得。例11：求以下極限〔1〕〔2〕4、典型例題〔3〕〔4〕〔5〕例12：求的單調(diào)性與極值。例13：證明：當(dāng)時，。例14：求的凹凸區(qū)間與拐點。例15：求的漸近線。例16：求的近似值。一元函數(shù)的積分學(xué)三1、不定積分原函數(shù)：假設(shè)是的一個原函數(shù)。不定積分的概念：的全體原函數(shù)，不定積分記作：不定積分的性質(zhì)〔導(dǎo)數(shù)和積分互逆〕〔1〕〔2〕根本積分公式〔熟記〕不定積分的積分方法〔1〕直接積分法〔加項減項、拆項、三角恒等變形等〕如：1、不定積分〔2〕第一換元積分法〔湊微分法〕〔3〕其次換元積分法〔根式代換，三角換元〕如：令

令，其中是的最小公倍數(shù)令令令〔4〕分部積分法〔依據(jù)對、反、冪、三、指選擇u〕2、定積分定積分的概念〔1〕定義：，為常數(shù)。其中：〔2〕幾何意義：曲邊梯形的面積定積分的性質(zhì)〔1〕〔2〕假設(shè)，則2、定積分變限積分〔1〕變上限積分的概念：是關(guān)于上限的函數(shù)?！?〕變限積分求導(dǎo)定理：2、定積分牛頓-萊布尼茨定理設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，是它的任一個原函數(shù)，則定積分的積分方法〔1〕直接積分法〔2〕換元積分法〔換元必?fù)Q限〕〔3〕分部積分法：反?！矎V義〕積分定積分的應(yīng)用〔1〕求平面圖形的面積〔2〕求旋轉(zhuǎn)體的體積3、典型例題例題1：的一個原函數(shù)為，求。例題2：求以下不定積分〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕3、典型例題〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕〔13〕〔14〕〔15〕〔16〕〔17〕〔18〕3、典型例題〔19〕例3：求以下定積分〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕3、典型例題例4：設(shè)是連續(xù)的奇函數(shù)，且證明：是偶函數(shù)。例5：設(shè)連續(xù)，且，令，證明：〔1〕

〔2〕在內(nèi)有唯一的根。例6：設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，求。假設(shè)改成：呢？例7：求極限。3、典型例題例8：求的極值。例9：設(shè)，求。例10：求由拋物線與直線圍成的圖形面積。例11：求由拋物線、直線及軸圍成的平面圖形分別繞軸、軸旋轉(zhuǎn)所得立體的體積。常微分方程四1、微分方程的根本概念微分方程的定義含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)〔或微分〕的方程。形如：微分方程的分類〔依據(jù)階、線性性〕微分方程的解假設(shè)把函數(shù)代入微分方程后，能使方程成為恒等式，則稱該函數(shù)為該微分方程的解。解的分類〔1〕通解假設(shè)微分方程的解中含有任意常數(shù)，且獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)一樣，則稱這樣的解為微分方程的通解。〔2〕特解與初始條件初始條件：用未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在某個特定點的值作為確定通解中任意常數(shù)的條件，稱為初始條件。如：等。特解：滿足初始條件的微分方程的解稱為該微分方程的特解。2、一階微分方程可分別變量的微分方程〔1〕定義：形如的微分方程?！?〕解法：分別變量，得，兩邊積分。一階線性微分方程〔1〕定義：形如的微分方程?！?〕解法：常數(shù)變易法公式法：3、二階常系數(shù)線性微分方程二階線性微分方程解的構(gòu)造〔1〕齊次線性微分方程解的疊加原理假設(shè)和是齊次方程的兩個解，則也是該方程的解；且當(dāng)和線性無關(guān)時，就是方程的通解?！?〕非齊次線性微分方程解的疊加原理假設(shè)是非齊次方程的一個特解，是該方程所對應(yīng)的齊次方程的通解，則就是該非齊次方程的通解?！?〕非齊次線性微分方程解的分別定理假設(shè)是的解，是的解，則是非齊次方程的解。3、二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性齊次微分方程〔1〕定義：形如的微分方程。〔2〕解法特征方程的根微分方程的通解二個不相等的實根二重根一對共軛復(fù)根3、二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性非齊次微分方程〔1〕定義：形如的方程?！?〕解法：對應(yīng)齊次方程的通解加上非齊次方程的一個特解，就是非齊次方程的通解，即：〔3〕特解的形式自由項的形式特解的形式的設(shè)法多項式不是特征根是特征單根是特征重根

不是特征根是特征根4、高階微分方程

型降階法方程左右兩端連續(xù)積分n次，可得到一個含有n個任意常數(shù)的通解。型降階法〔方程中不顯含〕設(shè)化成，為一階微分方程，可解出；再積分一次，可得到原方程的通解。5、典型例題例1：求以下微分方程的通解〔1〕〔2〕〔3〕〔用常數(shù)變易法和公式法〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕

5、典型例題〔8〕〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕〔13〕例2：以下非齊次方程應(yīng)如何設(shè)特解〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕5、典型例題〔5〕〔6〕例3：求滿足的特解。例4：可導(dǎo)函數(shù)滿足，求。例5：求過點且切線斜率處處為的曲線方程。向量代數(shù)與空間解析幾何五1、空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸在空間，使三條數(shù)軸相互垂直相交于一點，這三條數(shù)軸分別稱為〔橫〕、〔縱〕軸、〔豎〕軸，三條坐標(biāo)軸成右手系。坐標(biāo)平面每兩軸所確定的平面稱為坐標(biāo)平面，如面，面，面。坐標(biāo)空間中的一點與一組有序數(shù)一一對應(yīng)，有序數(shù)組稱為點的坐標(biāo)，分別為橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，豎坐標(biāo)。卦限坐標(biāo)面將空間分成八個局部，每一局部稱為一個卦限，其中第一卦限的坐標(biāo)全正?？臻g兩點的距離空間兩點之間的距離：2、向量向量的根本概念〔1〕向量：既有大小，又有方向的量稱為向量，用有向線段或表示?！?〕模：向量的大小或有向線段的長度稱為向量的模，記作：或?！?〕單位向量：模為1的向量，記作?！?〕零向量：模為0的向量，方向任意，記作：?！?〕自由向量：在空間任意地平行移動后不變的向量，稱為自由向量。向量的坐標(biāo)表示〔1〕以原點為始點，為終點的向量：〔2〕模：〔3〕方向余弦：向量與軸，軸，軸的正向夾角分別為，則

且。2、向量向量的運算設(shè)，則〔1〕加、減法：〔2〕數(shù)乘：〔3〕數(shù)量積：，是常數(shù)。其中：〔4〕向量積：，是向量。其中：①以為鄰邊的平行四邊形的面積；②方向：既垂直于，又垂直于，且依次成右手系。2、向量向量的關(guān)系〔1〕垂直：〔2〕平行：〔假設(shè)，則商定〕〔3〕兩向量的夾角：〔4〕向量在向量上的投影：〔5〕與同向的單位向量：〔6〕與平行的單位向量：3、平面和直線平面方程〔1〕點法式方程：過點，且垂直于向量的平面：，稱為法線向量?！?〕一般式方程：以為法向量的平面：?！?〕截距式方程：，分別為平面在軸上的截距?！?〕點到平面的距離：3、平面和直線空間直線方程〔1〕點向式〔標(biāo)準(zhǔn)式〕方程：過點，且平行于向量的直線：，稱為方向向量?！?〕一般式方程：兩張不平行平面的交線表示的直線：

，其中方向向量為?！?〕參數(shù)式方程：，其中為參數(shù)。3、平面和直線平面、直線的位置關(guān)系〔1〕平面和平面的夾角：其中：〔2〕直線和直線的夾角：其中：〔3〕平面和直線的夾角：其中：落在內(nèi)且既在上，又在內(nèi)。4、二次曲面柱面圓柱面橢圓柱面雙曲柱面拋物柱面球面，圓心：，半徑：橢球面

錐面橢圓拋物面，和同號5、典型例題例1：空間中的三點，求：〔1〕在軸上的投影以及在軸上的分向量；〔2〕的方向余弦；〔3〕與同向的單位向量；〔4〕；〔5〕；〔6〕在上的投影；5、典型例題〔7〕；〔8〕以為頂點的三角形的面積；〔9〕與和都垂直的單位向量；〔10〕通過三點的平面方程。例2：求以下平面方程〔1〕過點，且平行于平面；〔2〕平行于軸，且過點；5、典型例題〔3〕過點，且垂直于直線；〔4〕過點和直線。例3：求以下空間直線方程〔1〕過點和；〔2〕過點且與直線和都垂直；5、典型例題〔3〕過點，且與直線垂直相交。例4：設(shè)，求。例5：求兩平行平面和之間的距離。例6：推斷平面和直線的位置關(guān)系。多元函數(shù)的微積分六1、多元函數(shù)的根本概念多元函數(shù)的定義〔二元函數(shù)〕，其中：定義域是個平面點集，通常要寫成集合的形式，如：滿足的條件二元函數(shù)的極限說明點沿任何路徑〔方式〕趨向于點時，均無限接近于常數(shù)。二元函數(shù)的連續(xù)性，二元函數(shù)可能有連續(xù)線。2、多元函數(shù)的微分學(xué)偏導(dǎo)數(shù)〔1〕偏導(dǎo)數(shù)的定義：〔對于分段函數(shù)在分段點處的偏導(dǎo)數(shù)要用偏導(dǎo)數(shù)的定義來求解〕〔2〕多元復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則〔3〕多元隱函數(shù)的求導(dǎo)法則：設(shè)方程確定了隱函數(shù)，則隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：2、多元函數(shù)的微分學(xué)〔4〕二階偏導(dǎo)數(shù)全微分〔1〕全微分的定義：

偏導(dǎo)數(shù)存在〔2〕可微的條件：偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可微連續(xù)有極限〔3〕全微分的求法：2、多元函數(shù)的微分學(xué)多元函數(shù)的極值〔1〕極值存在的必要條件：設(shè)在點處取得極值，且該點的偏導(dǎo)數(shù)存在，則。稱使同時成立的點為的駐點?！?〕極值存在的充分條件：設(shè)的一、二階可導(dǎo)，且點是駐點。設(shè)，則：①當(dāng)時，點是極值點。且當(dāng)時，點是極大值點；當(dāng)時，點是微小值點。②當(dāng)時，點不是極值點。③當(dāng)時，點可能是極值點也可能不是極值點。2、多元函數(shù)的微分學(xué)條件極值〔1〕定義：求多元函數(shù)的極值問題或最大值、最小值問題時，對自變量的取值往往要附加肯定的約束條件，這類附有約束條件的極值問題，稱為條件極值?！?〕拉格朗日乘數(shù)法：求函數(shù)在滿足約束條件下的條件極值，步驟如下：①構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，其中為拉格朗日乘數(shù)。②求的駐點，即方程組的解，則駐點有可能是極值點。③在實際問題中，假設(shè)駐點唯一，則該點就是最值點。3、多元函數(shù)的積分學(xué)二重積分的定義其中：為積分區(qū)域，為面積元素。在直角坐標(biāo)系下計算時；在極坐標(biāo)系下計算時。二重積分的幾何意義：曲頂柱體的體積二重積分的性質(zhì)〔1〕〔2〕其中：。

3、多元函數(shù)的積分學(xué)二重積分在直角坐標(biāo)下的計算〔1〕X-型積分區(qū)域假設(shè)則〔2〕Y-型積分區(qū)域假設(shè)則3、多元函數(shù)的積分學(xué)二重積分在極坐標(biāo)下的計算〔1〕極點在積分區(qū)域外假設(shè)則〔2〕極點在積分區(qū)域邊界上假設(shè)則3、多元函數(shù)的積分學(xué)〔3〕極點在積分區(qū)域內(nèi)假設(shè)則〔4〕適用范圍：積分區(qū)域D為圓、半圓、圓環(huán)、扇形域，或被積函數(shù)為、形式，利用極坐標(biāo)計算二重積分更簡便。交換積分次序〔1〕畫出積分區(qū)域的外形，依據(jù)新的次序確定積分區(qū)域的積分限，寫出結(jié)果；〔2〕交換二次積分次序有時需要合并積分區(qū)域，有時需要分割積分區(qū)域。4、典型例題例1：求以下函數(shù)的定義域并畫出定義域的圖形〔1〕〔2〕例2：，求。例3：求極限。例4：求以下函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)〔1〕在點處〔2〕例5：求的二階偏導(dǎo)數(shù)。4、典型例題例6：求以下函數(shù)的全微分〔1〕在點處〔2〕〔3〕確定的隱函數(shù)例7：設(shè)，其中有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，證明：。例8：求的極值。例9：要造一個體積為的有蓋長方體水箱，水箱的長、寬、高如何設(shè)計，才能使用料最??？4、典型例題例10：求以下二重積分〔1〕〔2〕〔3〕由圍成〔4〕由圍成〔5〕圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域〔6〕求半球體在圓柱內(nèi)那局部的體積4、典型例題〔7〕例11：交換積分次序〔1〕〔2〕無窮級數(shù)七1、數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)的根本概念〔1〕定義：稱為常數(shù)項級數(shù)，為通項。〔2〕局部和：前n項和稱為局部和。假設(shè)存在，稱收斂于；假設(shè)不存在，稱發(fā)散。數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)〔級數(shù)收斂的必要條件〕假設(shè)收斂，則；假設(shè)，則發(fā)散。1、數(shù)項級數(shù)正項級數(shù)〔1〕定義：假設(shè)〔不全為零〕，則稱為正項級數(shù)?！?〕比較判別法設(shè)和都是正項級數(shù)，且，則①假設(shè)收斂，則收斂；②假設(shè)發(fā)散，則發(fā)散?！?〕比較判別法的極限形式設(shè)和都是正項級數(shù)，且〔的常數(shù)〕，則兩個級數(shù)具有一樣的斂散性。1、數(shù)項級數(shù)〔4〕比值判別法設(shè)是正項級數(shù)，且，則①假設(shè)，則級數(shù)收斂；②假設(shè)，則級數(shù)發(fā)散；③假設(shè)，則級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。任意項級數(shù)〔1〕定義：假設(shè)為任意實數(shù)，則稱為任意項級數(shù)。假設(shè)，則稱為穿插級數(shù)。1、數(shù)項級數(shù)〔2〕萊布尼茨判別法假設(shè)穿插級數(shù)滿足條件：①；②，則該級數(shù)收斂?！?〕確定收斂和條件收斂設(shè)為任意項級數(shù)，則①假設(shè)收斂，則確定收斂；②假設(shè)發(fā)散，而收斂，則條件收斂。1、數(shù)項級數(shù)幾個重要級數(shù)〔1〕等比〔幾何〕級數(shù)：當(dāng)時，級數(shù)收斂于；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散?！?〕P-級數(shù)：當(dāng)時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散。特殊地，當(dāng)時，為調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散的。〔3〕萊布尼茨級數(shù)：