專升本高等數(shù)學(xué)講義

專升本高等數(shù)學(xué)講義根底部宋云超函數(shù)、極限與連續(xù)一1、函數(shù)函數(shù)的概念〔1〕定義：〔2〕三要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域〔3〕表示方法：圖像法、表格法、公式法函數(shù)的性質(zhì)〔1〕奇偶性：偶；奇〔2〕有界性：〔3〕周期性：〔4〕單調(diào)性：推斷的符號(hào)反函數(shù)：復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)：常數(shù)、冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角、反三角函數(shù)2、極限極限的概念〔1〕〔2〕極限的四則運(yùn)算兩個(gè)重要極限〔1〕〔2〕2、極限無(wú)窮小與無(wú)窮大〔1〕定義：倒數(shù)關(guān)系〔2〕無(wú)窮小的性質(zhì)：有限個(gè)無(wú)窮小的和、差、積是無(wú)窮小無(wú)窮小乘以有界函數(shù)是無(wú)窮小〔3〕無(wú)窮小的比較：同階、等價(jià)、高階〔4〕等價(jià)無(wú)窮小的替換：當(dāng)時(shí)3、連續(xù)性連續(xù)的定義：連續(xù)點(diǎn)及其分類〔1〕第一類連續(xù)點(diǎn)：左右極限都存在的連續(xù)點(diǎn)，包括可去連續(xù)點(diǎn)〔左右極限相等〕、跳動(dòng)連續(xù)點(diǎn)〔左右極限不相等〕〔2〕其次類連續(xù)點(diǎn)：左右極限至少有一個(gè)不存在，包括無(wú)窮連續(xù)點(diǎn)、振蕩連續(xù)點(diǎn)等。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)〔1〕最值定理〔2〕介值定理〔3〕零點(diǎn)定理〔方程根的存在性定理〕：假設(shè)在上連續(xù)，且則至少存在一個(gè)，使得?！彩欠匠痰囊粋€(gè)根〕4、典型例題例1：求的定義域。例2：設(shè)，求的定義域。例3：設(shè)，求。例4：設(shè)，求。

例5：求的奇偶性。例6：設(shè)是以3為周期的奇函數(shù)，且，求。例7：假設(shè)，求。4、典型例題例8：求以下極限〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕例9：假設(shè)，求。4、典型例題例10：設(shè)，求使在連續(xù)。例11：求以下函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)并推斷連續(xù)點(diǎn)的類型?！?〕〔2〕例12：證明方程在區(qū)間上有唯一實(shí)根。例13：設(shè)在上連續(xù)，，證明：至少存在一點(diǎn)，使得。一元函數(shù)的微分學(xué)二1、導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念〔1〕定義：〔對(duì)于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)要用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求解〕〔2〕左、右導(dǎo)數(shù)：〔3〕幾何意義：曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程：法線方程：1、導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算〔1〕根本求導(dǎo)公式〔熟記〕〔2〕四則運(yùn)算法則：〔3〕復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則〔4〕隱函數(shù)求導(dǎo)法〔5〕參數(shù)方程求導(dǎo)法：〔6〕對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：冪指函數(shù)，連乘、除……高階導(dǎo)數(shù)：2、微分微分的概念〔1〕定義：假設(shè)在點(diǎn)處的增量可表示成，則稱在點(diǎn)處可微，微分記作：〔2〕可微與可導(dǎo)的關(guān)系：可微可導(dǎo)連續(xù)有極限微分的計(jì)算〔1〕〔2〕

3、應(yīng)用中值定理〔1〕羅爾定理：假設(shè)滿足：在連續(xù)；可導(dǎo)；則至少存在一點(diǎn)，使得。〔2〕拉格朗日中值定理：洛必達(dá)法則〔1〕型〔2〕型〔3〕型，型，型，型，型〔化成型或型〕3、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用〔1〕單調(diào)性：依據(jù)符號(hào)〔2〕極值和最值〔3〕凹凸性：依據(jù)符號(hào)〔4〕拐點(diǎn)〔5〕漸近線：水平漸近線鉛直漸近線〔6〕經(jīng)濟(jì)應(yīng)用：邊際和彈性問(wèn)題微分的應(yīng)用〔1〕近似值公式：〔2〕泰勒公式：4、典型例題例1：設(shè)〔1〕求a,b,使在處連續(xù)〔2〕求a,b，使在處可導(dǎo)例2：求曲線在點(diǎn)處的切線和法線方程。例3：過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求切線方程。例4：假設(shè)是可導(dǎo)的偶函數(shù)，證明：是奇函數(shù)。例5：設(shè)，求。例6：設(shè)，求。4、典型例題例7：設(shè)，求。例8：求的微分。例9：求的導(dǎo)數(shù)。例10：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，且，證明至少存在一點(diǎn)，使得。例11：求以下極限〔1〕〔2〕4、典型例題〔3〕〔4〕〔5〕例12：求的單調(diào)性與極值。例13：證明：當(dāng)時(shí)，。例14：求的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)。例15：求的漸近線。例16：求的近似值。一元函數(shù)的積分學(xué)三1、不定積分原函數(shù)：假設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)。不定積分的概念：的全體原函數(shù)，不定積分記作：不定積分的性質(zhì)〔導(dǎo)數(shù)和積分互逆〕〔1〕〔2〕根本積分公式〔熟記〕不定積分的積分方法〔1〕直接積分法〔加項(xiàng)減項(xiàng)、拆項(xiàng)、三角恒等變形等〕如：1、不定積分〔2〕第一換元積分法〔湊微分法〕〔3〕其次換元積分法〔根式代換，三角換元〕如：令

令，其中是的最小公倍數(shù)令令令〔4〕分部積分法〔依據(jù)對(duì)、反、冪、三、指選擇u〕2、定積分定積分的概念〔1〕定義：，為常數(shù)。其中：〔2〕幾何意義：曲邊梯形的面積定積分的性質(zhì)〔1〕〔2〕假設(shè)，則2、定積分變限積分〔1〕變上限積分的概念：是關(guān)于上限的函數(shù)?！?〕變限積分求導(dǎo)定理：2、定積分牛頓-萊布尼茨定理設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，是它的任一個(gè)原函數(shù)，則定積分的積分方法〔1〕直接積分法〔2〕換元積分法〔換元必?fù)Q限〕〔3〕分部積分法：反常〔廣義〕積分定積分的應(yīng)用〔1〕求平面圖形的面積〔2〕求旋轉(zhuǎn)體的體積3、典型例題例題1：的一個(gè)原函數(shù)為，求。例題2：求以下不定積分〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕3、典型例題〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕〔13〕〔14〕〔15〕〔16〕〔17〕〔18〕3、典型例題〔19〕例3：求以下定積分〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕3、典型例題例4：設(shè)是連續(xù)的奇函數(shù)，且證明：是偶函數(shù)。例5：設(shè)連續(xù)，且，令，證明：〔1〕

〔2〕在內(nèi)有唯一的根。例6：設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，求。假設(shè)改成：呢？例7：求極限。3、典型例題例8：求的極值。例9：設(shè)，求。例10：求由拋物線與直線圍成的圖形面積。例11：求由拋物線、直線及軸圍成的平面圖形分別繞軸、軸旋轉(zhuǎn)所得立體的體積。常微分方程四1、微分方程的根本概念微分方程的定義含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)〔或微分〕的方程。形如：微分方程的分類〔依據(jù)階、線性性〕微分方程的解假設(shè)把函數(shù)代入微分方程后，能使方程成為恒等式，則稱該函數(shù)為該微分方程的解。解的分類〔1〕通解假設(shè)微分方程的解中含有任意常數(shù)，且獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)一樣，則稱這樣的解為微分方程的通解?！?〕特解與初始條件初始條件：用未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在某個(gè)特定點(diǎn)的值作為確定通解中任意常數(shù)的條件，稱為初始條件。如：等。特解：滿足初始條件的微分方程的解稱為該微分方程的特解。2、一階微分方程可分別變量的微分方程〔1〕定義：形如的微分方程?！?〕解法：分別變量，得，兩邊積分。一階線性微分方程〔1〕定義：形如的微分方程?！?〕解法：常數(shù)變易法公式法：3、二階常系數(shù)線性微分方程二階線性微分方程解的構(gòu)造〔1〕齊次線性微分方程解的疊加原理假設(shè)和是齊次方程的兩個(gè)解，則也是該方程的解；且當(dāng)和線性無(wú)關(guān)時(shí)，就是方程的通解。〔2〕非齊次線性微分方程解的疊加原理假設(shè)是非齊次方程的一個(gè)特解，是該方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，則就是該非齊次方程的通解。〔3〕非齊次線性微分方程解的分別定理假設(shè)是的解，是的解，則是非齊次方程的解。3、二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性齊次微分方程〔1〕定義：形如的微分方程?！?〕解法特征方程的根微分方程的通解二個(gè)不相等的實(shí)根二重根一對(duì)共軛復(fù)根3、二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性非齊次微分方程〔1〕定義：形如的方程。〔2〕解法：對(duì)應(yīng)齊次方程的通解加上非齊次方程的一個(gè)特解，就是非齊次方程的通解，即：〔3〕特解的形式自由項(xiàng)的形式特解的形式的設(shè)法多項(xiàng)式不是特征根是特征單根是特征重根

不是特征根是特征根4、高階微分方程

型降階法方程左右兩端連續(xù)積分n次，可得到一個(gè)含有n個(gè)任意常數(shù)的通解。型降階法〔方程中不顯含〕設(shè)化成，為一階微分方程，可解出；再積分一次，可得到原方程的通解。5、典型例題例1：求以下微分方程的通解〔1〕〔2〕〔3〕〔用常數(shù)變易法和公式法〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕

5、典型例題〔8〕〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕〔13〕例2：以下非齊次方程應(yīng)如何設(shè)特解〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕5、典型例題〔5〕〔6〕例3：求滿足的特解。例4：可導(dǎo)函數(shù)滿足，求。例5：求過(guò)點(diǎn)且切線斜率處處為的曲線方程。向量代數(shù)與空間解析幾何五1、空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸在空間，使三條數(shù)軸相互垂直相交于一點(diǎn)，這三條數(shù)軸分別稱為〔橫〕、〔縱〕軸、〔豎〕軸，三條坐標(biāo)軸成右手系。坐標(biāo)平面每?jī)奢S所確定的平面稱為坐標(biāo)平面，如面，面，面。坐標(biāo)空間中的一點(diǎn)與一組有序數(shù)一一對(duì)應(yīng)，有序數(shù)組稱為點(diǎn)的坐標(biāo)，分別為橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，豎坐標(biāo)。卦限坐標(biāo)面將空間分成八個(gè)局部，每一局部稱為一個(gè)卦限，其中第一卦限的坐標(biāo)全正?？臻g兩點(diǎn)的距離空間兩點(diǎn)之間的距離：2、向量向量的根本概念〔1〕向量：既有大小，又有方向的量稱為向量，用有向線段或表示?！?〕模：向量的大小或有向線段的長(zhǎng)度稱為向量的模，記作：或。〔3〕單位向量：模為1的向量，記作?！?〕零向量：模為0的向量，方向任意，記作：?！?〕自由向量：在空間任意地平行移動(dòng)后不變的向量，稱為自由向量。向量的坐標(biāo)表示〔1〕以原點(diǎn)為始點(diǎn)，為終點(diǎn)的向量：〔2〕模：〔3〕方向余弦：向量與軸，軸，軸的正向夾角分別為，則

且。2、向量向量的運(yùn)算設(shè)，則〔1〕加、減法：〔2〕數(shù)乘：〔3〕數(shù)量積：，是常數(shù)。其中：〔4〕向量積：，是向量。其中：①以為鄰邊的平行四邊形的面積；②方向：既垂直于，又垂直于，且依次成右手系。2、向量向量的關(guān)系〔1〕垂直：〔2〕平行：〔假設(shè)，則商定〕〔3〕兩向量的夾角：〔4〕向量在向量上的投影：〔5〕與同向的單位向量：〔6〕與平行的單位向量：3、平面和直線平面方程〔1〕點(diǎn)法式方程：過(guò)點(diǎn)，且垂直于向量的平面：，稱為法線向量?！?〕一般式方程：以為法向量的平面：。〔3〕截距式方程：，分別為平面在軸上的截距?！?〕點(diǎn)到平面的距離：3、平面和直線空間直線方程〔1〕點(diǎn)向式〔標(biāo)準(zhǔn)式〕方程：過(guò)點(diǎn)，且平行于向量的直線：，稱為方向向量。〔2〕一般式方程：兩張不平行平面的交線表示的直線：

，其中方向向量為?！?〕參數(shù)式方程：，其中為參數(shù)。3、平面和直線平面、直線的位置關(guān)系〔1〕平面和平面的夾角：其中：〔2〕直線和直線的夾角：其中：〔3〕平面和直線的夾角：其中：落在內(nèi)且既在上，又在內(nèi)。4、二次曲面柱面圓柱面橢圓柱面雙曲柱面拋物柱面球面，圓心：，半徑：橢球面

錐面橢圓拋物面，和同號(hào)5、典型例題例1：空間中的三點(diǎn)，求：〔1〕在軸上的投影以及在軸上的分向量；〔2〕的方向余弦；〔3〕與同向的單位向量；〔4〕；〔5〕；〔6〕在上的投影；5、典型例題〔7〕；〔8〕以為頂點(diǎn)的三角形的面積；〔9〕與和都垂直的單位向量；〔10〕通過(guò)三點(diǎn)的平面方程。例2：求以下平面方程〔1〕過(guò)點(diǎn)，且平行于平面；〔2〕平行于軸，且過(guò)點(diǎn)；5、典型例題〔3〕過(guò)點(diǎn)，且垂直于直線；〔4〕過(guò)點(diǎn)和直線。例3：求以下空間直線方程〔1〕過(guò)點(diǎn)和；〔2〕過(guò)點(diǎn)且與直線和都垂直；5、典型例題〔3〕過(guò)點(diǎn)，且與直線垂直相交。例4：設(shè)，求。例5：求兩平行平面和之間的距離。例6：推斷平面和直線的位置關(guān)系。多元函數(shù)的微積分六1、多元函數(shù)的根本概念多元函數(shù)的定義〔二元函數(shù)〕，其中：定義域是個(gè)平面點(diǎn)集，通常要寫(xiě)成集合的形式，如：滿足的條件二元函數(shù)的極限說(shuō)明點(diǎn)沿任何路徑〔方式〕趨向于點(diǎn)時(shí)，均無(wú)限接近于常數(shù)。二元函數(shù)的連續(xù)性，二元函數(shù)可能有連續(xù)線。2、多元函數(shù)的微分學(xué)偏導(dǎo)數(shù)〔1〕偏導(dǎo)數(shù)的定義：〔對(duì)于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用偏導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求解〕〔2〕多元復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則〔3〕多元隱函數(shù)的求導(dǎo)法則：設(shè)方程確定了隱函數(shù)，則隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：2、多元函數(shù)的微分學(xué)〔4〕二階偏導(dǎo)數(shù)全微分〔1〕全微分的定義：

偏導(dǎo)數(shù)存在〔2〕可微的條件：偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可微連續(xù)有極限〔3〕全微分的求法：2、多元函數(shù)的微分學(xué)多元函數(shù)的極值〔1〕極值存在的必要條件：設(shè)在點(diǎn)處取得極值，且該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則。稱使同時(shí)成立的點(diǎn)為的駐點(diǎn)?！?〕極值存在的充分條件：設(shè)的一、二階可導(dǎo)，且點(diǎn)是駐點(diǎn)。設(shè)，則：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是極值點(diǎn)。且當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是微小值點(diǎn)。②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不是極值點(diǎn)。③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)可能是極值點(diǎn)也可能不是極值點(diǎn)。2、多元函數(shù)的微分學(xué)條件極值〔1〕定義：求多元函數(shù)的極值問(wèn)題或最大值、最小值問(wèn)題時(shí)，對(duì)自變量的取值往往要附加肯定的約束條件，這類附有約束條件的極值問(wèn)題，稱為條件極值?！?〕拉格朗日乘數(shù)法：求函數(shù)在滿足約束條件下的條件極值，步驟如下：①構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，其中為拉格朗日乘數(shù)。②求的駐點(diǎn)，即方程組的解，則駐點(diǎn)有可能是極值點(diǎn)。③在實(shí)際問(wèn)題中，假設(shè)駐點(diǎn)唯一，則該點(diǎn)就是最值點(diǎn)。3、多元函數(shù)的積分學(xué)二重積分的定義其中：為積分區(qū)域，為面積元素。在直角坐標(biāo)系下計(jì)算時(shí)；在極坐標(biāo)系下計(jì)算時(shí)。二重積分的幾何意義：曲頂柱體的體積二重積分的性質(zhì)〔1〕〔2〕其中：。

3、多元函數(shù)的積分學(xué)二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算〔1〕X-型積分區(qū)域假設(shè)則〔2〕Y-型積分區(qū)域假設(shè)則3、多元函數(shù)的積分學(xué)二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算〔1〕極點(diǎn)在積分區(qū)域外假設(shè)則〔2〕極點(diǎn)在積分區(qū)域邊界上假設(shè)則3、多元函數(shù)的積分學(xué)〔3〕極點(diǎn)在積分區(qū)域內(nèi)假設(shè)則〔4〕適用范圍：積分區(qū)域D為圓、半圓、圓環(huán)、扇形域，或被積函數(shù)為、形式，利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分更簡(jiǎn)便。交換積分次序〔1〕畫(huà)出積分區(qū)域的外形，依據(jù)新的次序確定積分區(qū)域的積分限，寫(xiě)出結(jié)果；〔2〕交換二次積分次序有時(shí)需要合并積分區(qū)域，有時(shí)需要分割積分區(qū)域。4、典型例題例1：求以下函數(shù)的定義域并畫(huà)出定義域的圖形〔1〕〔2〕例2：，求。例3：求極限。例4：求以下函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)〔1〕在點(diǎn)處〔2〕例5：求的二階偏導(dǎo)數(shù)。4、典型例題例6：求以下函數(shù)的全微分〔1〕在點(diǎn)處〔2〕〔3〕確定的隱函數(shù)例7：設(shè)，其中有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，證明：。例8：求的極值。例9：要造一個(gè)體積為的有蓋長(zhǎng)方體水箱，水箱的長(zhǎng)、寬、高如何設(shè)計(jì)，才能使用料最?。?、典型例題例10：求以下二重積分〔1〕〔2〕〔3〕由圍成〔4〕由圍成〔5〕圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域〔6〕求半球體在圓柱內(nèi)那局部的體積4、典型例題〔7〕例11：交換積分次序〔1〕〔2〕無(wú)窮級(jí)數(shù)七1、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的根本概念〔1〕定義：稱為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，為通項(xiàng)。〔2〕局部和：前n項(xiàng)和稱為局部和。假設(shè)存在，稱收斂于；假設(shè)不存在，稱發(fā)散。數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)〔級(jí)數(shù)收斂的必要條件〕假設(shè)收斂，則；假設(shè)，則發(fā)散。1、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)〔1〕定義：假設(shè)〔不全為零〕，則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)?！?〕比較判別法設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，則①假設(shè)收斂，則收斂；②假設(shè)發(fā)散，則發(fā)散。〔3〕比較判別法的極限形式設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且〔的常數(shù)〕，則兩個(gè)級(jí)數(shù)具有一樣的斂散性。1、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)〔4〕比值判別法設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，則①假設(shè)，則級(jí)數(shù)收斂；②假設(shè)，則級(jí)數(shù)發(fā)散；③假設(shè)，則級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。任意項(xiàng)級(jí)數(shù)〔1〕定義：假設(shè)為任意實(shí)數(shù)，則稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)。假設(shè)，則稱為穿插級(jí)數(shù)。1、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)〔2〕萊布尼茨判別法假設(shè)穿插級(jí)數(shù)滿足條件：①；②，則該級(jí)數(shù)收斂?！?〕確定收斂和條件收斂設(shè)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，則①假設(shè)收斂，則確定收斂；②假設(shè)發(fā)散，而收斂，則條件收斂。1、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)幾個(gè)重要級(jí)數(shù)〔1〕等比〔幾何〕級(jí)數(shù)：當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。〔2〕P-級(jí)數(shù)：當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。特殊地，當(dāng)時(shí)，為調(diào)和級(jí)數(shù)，是發(fā)散的?！?〕萊布尼茨級(jí)數(shù)：