汽車振動學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用課件：二自由度振動系統(tǒng) -

汽車振動學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用二自由度振動系統(tǒng)3.1二自由度系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程3.2無阻尼二自由度系統(tǒng)的振動3.3有阻尼二自由度振動系統(tǒng)3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)3.1二自由度系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程圖3-1二自由度振動系統(tǒng)系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程可根據(jù)動力學(xué)原理或運(yùn)用拉格朗日第二類方程建立如下：

將上式縮寫成矩陣形式可得：

或（3-3）3.2無阻尼二自由度系統(tǒng)的振動無阻尼的二自由度振動系統(tǒng)的微分方程式為：

或（3-4）（3-5）3.2無阻尼二自由度系統(tǒng)的振動3.2.1固有頻率和固有振型為討論系統(tǒng)的固有特性，令激勵，則式(3-5)變?yōu)椋?/p>

其解的形式為：其中位移坐標(biāo)幅值向量為：

（3-6）代入式(3-6)得：這是廣義的特征值問題。

3.2無阻尼二自由度系統(tǒng)的振動適當(dāng)選取坐標(biāo)系可使慣性矩陣對角，而剛度矩陣是對稱的，因此上式可寫成：

有非零解的條件是特征矩陣的值為零。即：展開得：此為系統(tǒng)的頻率方程，亦稱特征方程。

（3-9）3.2無阻尼二自由度系統(tǒng)的振動特征方程的特征根為：

其中：分別將代入式(3-9)即可得相應(yīng)的振幅比。

由上可知：及只決定于系統(tǒng)本身的物理特性，而與外部激勵及初始條件無關(guān)。

3.2無阻尼二自由度系統(tǒng)的振動3.2.2對初始激勵的響應(yīng)二自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動微分方程式(3-4)是由二個二階微分方程組成的齊次方程組。根據(jù)系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，二自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動的解是兩種不同頻率的主振動的疊加，有如下形式：

3.2無阻尼二自由度系統(tǒng)的振動式中：是任意常數(shù)，由初始條件決定。當(dāng)t=0,時，任意常數(shù)為：3.2無阻尼二自由度系統(tǒng)的振動3.2.3對簡諧激勵的響應(yīng)當(dāng)二自由度系統(tǒng)的各質(zhì)量上受有頻率相同的諧波激勵時，運(yùn)動微分方程為：

式中：

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可表示為：

（3-16）代入式(3-16)可得：上述系數(shù)矩陣記作；3.2無阻尼二自由度系統(tǒng)的振動令，于是得，則穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：式中：則：3.3有阻尼二自由度振動系統(tǒng)3.3.1對初始激勵的響應(yīng)

當(dāng)沒有激勵作用于二自由度阻尼系統(tǒng)時，式(3-3)變?yōu)橐韵滦问剑?/p>

方程的通解為：代入上式得：

有非零解的條件是：展開得：對于圖3-1所示系統(tǒng)，上式為：3.3有阻尼二自由度振動系統(tǒng)1.小阻尼情形

上式的系數(shù)全為正數(shù)，故解只能是負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的復(fù)數(shù)。即存在三種可能：(1)全是負(fù)實(shí)數(shù)；(2)兩對具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)；(3)兩個負(fù)實(shí)數(shù)和一對具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)。方程的通解為：

3.3有阻尼二自由度振動系統(tǒng)2.大阻尼情形

如果系統(tǒng)阻尼非常大，特征方程的根全是負(fù)實(shí)根，響應(yīng)將不具有振動形式。此時解為：3.臨界阻尼情形臨界阻尼時，特征方程的根是兩個負(fù)實(shí)根和一對具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)，此時的響應(yīng)也不具有振動形式。3.3有阻尼二自由度振動系統(tǒng)3.3.2對外激勵的響應(yīng)當(dāng)有外激勵作用于二自由度阻尼系統(tǒng)時，式(3-3)變?yōu)橐韵滦问剑浩浞€(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)數(shù)形式為：

代入上式得：式中系數(shù)矩陣記作，且設(shè)為對角型，則：（3-33）令并代入式(3-33)得：

3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)3.4.1汽車車身車輪振動系統(tǒng)的運(yùn)動方程與振型分析圖3-2汽車車身車輪二自由度振動系統(tǒng)的模型圖3-2為汽車車身車輪二自由度振動系統(tǒng)的模型，其運(yùn)動方程為：無阻尼自由振動時，運(yùn)動方程變成：

3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)由運(yùn)動方程可知，和的振動是相互耦合的。若車輪不動（）則得：

這相當(dāng)于只有車身的單自由度無阻尼自由振動，其車身部分的固有圓頻率（偏頻）為

即：同樣，若車身不動（），則相當(dāng)于只有車輪的單自由度無阻尼自由振動。

其車輪部分的固有圓頻率即：

3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)無阻尼自由振動時，設(shè)兩個質(zhì)量以相同的圓頻率和相位角作簡諧振動，振幅為和，則解為；；代入微分方程組，并將；代入上式，可得此方程有非零解的條件是和的系數(shù)行列式為零。整理得

上式稱為系統(tǒng)的頻率方程或特征方程，它的兩個根為雙質(zhì)量系統(tǒng)的主頻率（3-42）3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)設(shè)某一汽車rad/s；車身與車輪的質(zhì)量比；輪胎與懸架的剛度比，則將上述關(guān)系代入式（3-42）可得：

代入確定兩個主振型的中和的振幅比

一階主振型

二階主振型

3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)車身和車輪兩自由度系統(tǒng)的主振型如圖3-3所示。

圖3-4車身和車輪兩自由度系統(tǒng)的主振型3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)3.4.2車身車輪振動系統(tǒng)的傳遞特性對于車身車輪的二自由度振動系統(tǒng)設(shè)輸入為：則輸出有：；代入可得：3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)由上式，可得，及的頻率響應(yīng)函數(shù)。其中3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)由此可得車身車輪兩個輸出相對于路面輸入的幅頻特性如下。

式中：

---------為頻率比，

---------為懸架阻尼比。

3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)圖3-4，圖3-5分別示出了車身車輪的幅頻特性，。

圖3-4車輪的幅頻特性圖3-5車身的幅頻特性從曲線上可看出，對于這個車身車輪二自由度的振系，當(dāng)激振頻率接近系統(tǒng)的兩階固有頻率和時，都會發(fā)生共振，車身位移的幅頻特性和車輪位移的幅頻特性，有低頻、高頻兩個共振峰。3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)得到頻率響應(yīng)函數(shù)后，根據(jù)式（2-38）求響應(yīng)的傅氏變換，即其中，路面不平激勵的傅氏變換。對上式進(jìn)行傅氏反變換：這樣，就可以最終得到車身與車輪響應(yīng)的時域解為3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)3.4.3雙軸汽車振動模型圖3-14雙軸汽車的振動模型3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)根據(jù)圖3-14可寫出車身的平面運(yùn)動微分方程：

即：（3-51）3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)設(shè)，代入上式，并引入下列參數(shù)：3.4汽車的二自由度振動系統(tǒng)于是