基于模糊權馬爾可夫鏈的中國未來人口發(fā)展趨勢預測

基于模糊權馬爾可夫鏈的中國未來人口發(fā)展趨勢預測

0馬爾可夫鏈預測分析馬爾可夫鏈模型是一種隨機預測模型。與其他統(tǒng)計方法不同，它不需要從復雜預測因素中尋求不同因素之間的對應規(guī)律。只考慮事件本身的歷史發(fā)展特征，通過計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移率預測未來狀態(tài)的發(fā)展趨勢。國內(nèi)學者運用馬爾可夫鏈模型對我國各地區(qū)的人均GDP的變化趨勢及房價指數(shù)、人均旅游消費進行了預測分析。2011年,郭嗣琮等進一步對模糊馬爾可夫鏈預測模型作了探討。通過分析人口數(shù)據(jù)及歷史狀況的演變特點,馬爾可夫鏈模型可以應用于建立離散人口預測模型。筆者利用我國近10年來人口數(shù)據(jù),通過選取適當?shù)臓顟B(tài)變量,建立相應的離散人口模型,并用Matlab軟件計算分析,修正模型,較準確預測了我國未來人口問題的發(fā)展趨勢,分析了人口老齡化發(fā)展進程及控制問題。1基于馬爾科夫鏈的人口預測模型1.1簡單近自然條件的馬爾可夫鏈定義1設{Xn}是隨機序列,狀態(tài)空間E={1,2,…,N},若與m無關,稱{Xn}為時齊的Markov鏈。其中叫由狀態(tài)i出發(fā)經(jīng)k步到達狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率。叫k步轉(zhuǎn)移概率矩陣;當k=1時,P(1)簡記為P,P為一步轉(zhuǎn)移概率pij所組成的矩陣,稱為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。k步轉(zhuǎn)移概率矩陣由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣得到,即P(k)=Pk。定義2Markov鏈{Xn}初始時刻各狀態(tài)的概率P{X0=i}=pi(i∈E),稱為初始分布;在時刻n(n≥0)取各狀態(tài)的概率,稱為絕對分布,且其中定義3對于一切i、j∈E,若與i無關,則稱該Markov鏈具有遍歷性,此鏈又稱為遍歷鏈。對有限遍歷鏈,有稱π=(π1,π2,…,πN)為平穩(wěn)分布,式(2)也可寫成矩陣形式:π=πP。定理1對狀態(tài)有限的馬爾可夫鏈,如果存在k>0,使pij(k)>0,i,j=1,2,…,N,則此馬爾可夫鏈是遍歷性的。通過構(gòu)造馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣及初值分布,計算絕對分布及平穩(wěn)分布,對未來各狀態(tài)的結(jié)構(gòu)進行預測的模型稱為絕對分布馬爾科夫鏈預測模型。1.2生滅過程計算定義4設齊次馬爾可夫過程{X(t),t≥0}的狀態(tài)空間為E={0,1,2,…},轉(zhuǎn)移概率為pij(t),如果則稱{X(t),t≥0}為生滅過程,λi為出生率,μi為死亡率。運用生滅過程建立的人口生滅模型可以簡單地描述:設λi為第i年的人口出生率,μi為第i年的人口死亡率,Si為第i年的人口數(shù),為第i年的預測人口數(shù),用生滅鏈推導的人口數(shù),有如下關系成立:其中,λi和ui都不為0,式(3)可用于中國人口總量的中長期預測。1.3模糊資源馬爾可夫鏈預測模型模糊權馬爾可夫鏈是改進的馬爾可夫鏈模型,其基本求解步驟:(1)馬爾可夫鏈的權重首先計算指標樣本序列的各階自相關系數(shù)再將自相關系數(shù)規(guī)范化并將其作為各階馬爾可夫鏈的權重(m為需要計算的時滯數(shù))。(2)模糊矩陣的計算和預測分五個步驟進行:①選擇統(tǒng)計指標和標定方法設U={u1,u2,…,un}為待分類的全體,ui表示第i個指標,用rij表示指標ui和uj的相似系數(shù),0≤rij≤1(i,j=1,2,…,n)。rij計算常用絕對值減數(shù)法:其中c適當選取,使rij在中且盡量分散,記模糊矩陣R=(rij)。②模糊聚類對模糊矩陣R,用逐次平方法求出其傳遞閉包為模糊等價矩陣,再選擇閥值λ,對U進行分類。在選擇一個閥值λ后,對傳遞閉包做如下處理:由此,得到一個只包含元素0和1的模糊矩陣。選擇不同的閥值λ時,就會得到不同的分類結(jié)果,比較這些分類結(jié)果后選擇合適的閥值λ及分類。③狀態(tài)劃分U的分類數(shù)就是馬氏鏈的狀態(tài)數(shù),同時還得到各指標所對應的狀態(tài)及具體劃分范圍。④計算轉(zhuǎn)移概率矩陣根據(jù)各指標所對應狀態(tài)進行統(tǒng)計,計算出一步以及多步轉(zhuǎn)移概率矩陣。⑤預測和檢驗利用馬爾可夫鏈權重ωk,結(jié)合k轉(zhuǎn)移概率矩陣,預測某年處于狀態(tài)i的概率值pi,取max{pi}的狀態(tài)i作為某年預測狀態(tài)。通過對已知樣本進行預測,檢驗預測的效果。2人口結(jié)構(gòu)指標的預測將馬爾可夫鏈的預測模型應用于中國人口指標的預測,包括人口結(jié)構(gòu)、死亡率與出生率、人口總數(shù)預測及人口的控制。文中數(shù)據(jù)均來源于中國統(tǒng)計年鑒人口各項指標數(shù)據(jù)。2.1各年齡人口所占比例將人口按照0～14、15～34、35～49、50～64、65歲以上(對應于1～5狀態(tài))來劃分,由2004～2009年各年齡段人口數(shù)據(jù)計算出各年齡段的人口所占比例,如表1所示。65歲及以上人口比例走勢圖如圖1所示。2.1.1狀態(tài)i下,pi每相鄰兩年為一步,狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的計算方法如下:(1)一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移只會發(fā)生于其本身和相鄰狀態(tài)之間,且是狀態(tài)i向狀態(tài)j(j≥j)轉(zhuǎn)移;(2)在相同狀態(tài)i下,若n+1年比n年的數(shù)據(jù)比例升高了,則記為pii=1,而pij=0,j=1,2,…,5(j≠i);(3)在相同狀態(tài)i下,若n+1年比n年的數(shù)據(jù)比例下降了,則pi,應該為n+1年的比例與n年的比例的商值,而pi,i+1的值恰等于1-pii,pij=0,j=1,2,…,5(j≠i,i+1);(4)在n年到n+1年的過程中,若有狀態(tài)i-1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)i的數(shù)據(jù)發(fā)生,則計算狀態(tài)i的轉(zhuǎn)移概率時,應考慮加進狀態(tài)i-1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)i的數(shù)據(jù)部分,并加到計算比值的分母部分;(5)若狀態(tài)5轉(zhuǎn)移的部分不是全發(fā)生在本狀態(tài),且同年狀態(tài)1的比例比前一年增加了,則記狀態(tài)1增加的比例為狀態(tài)5轉(zhuǎn)移出的數(shù)據(jù)部分,依此類推。按此轉(zhuǎn)移概率計算方法,則2004～2005年的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為同樣,計算2005～2006、2006～2007、2007～2008、2008～2009年的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣分別記為P2、P3、P4、P5。為了消除樣本隨機性影響,更好地描述狀態(tài)規(guī)律,在此取P1、P2、P3、P4、P5的平均值作為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P:2.1.2中國馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布利用Matlab軟件計算P14,其所有元素都大于0,該過程具有遍歷性。設{πj,j∈I}是該馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布,則由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣式(8),可建立如下方程組,解上述方程組,得平穩(wěn)分布:說明按照現(xiàn)行人口政策長此以往,中國人口的年齡結(jié)構(gòu)比例中老年人口將達到54.82%。2.1.3不同年齡年齡的人口比例采用2007～2009年這三年各年齡段所占比例的均值作為初始概率分布:利用式(1)求絕對分布律,即把2009年作為初始年份,經(jīng)過n年的人口結(jié)構(gòu)分布記為2010～2012年的人年齡構(gòu)成進行預測:這個計算結(jié)果與2010、2011、2012年人口年齡構(gòu)成實際值基本吻合。同理,經(jīng)過20年、30年、50年、100年的人口年齡構(gòu)成如下:圖2可以直觀地看出各年齡段人口比例變化趨勢。從預測值分析得到,按照現(xiàn)行的人口政策,20、30年后,我國老年人口比例分別接近15%、20%;50年后,老年人口比例占到近30%。我國人口老齡化進程在不斷加快,這樣必然造成社會撫養(yǎng)系數(shù)過大,不利于社會經(jīng)濟的持續(xù)發(fā)展。政府應適當調(diào)整人口政策,使人口結(jié)構(gòu)趨向合理。2.2模糊物種馬爾可夫鏈的人口死亡率和死亡率預測利用表2數(shù)據(jù)對人口死亡率作模糊權馬爾可夫鏈的相關分析。出生率預測方法類似得到。2.2.1人口死亡率預測人口死亡率的基本求解步驟為:(1)馬爾可夫鏈的權重由表2和式(4)求得人口死亡率序列的1～4階自相關系數(shù):(2)計算表15.設U={u1,u2,u3,…,u28,u29,u30}表示1981～2010年死亡率。由絕對值減數(shù)法(6),取l=1,c=1.3,有rij=1-1.3×|xi-xj|,得到30階模糊相似矩陣R=(rij)30×30,再計算R的傳遞閉包,得選擇閥值λ,求矩陣,并按將U分成若干個等價類。當λ=0.80,將U分為一類;當λ=0.92,將U分為兩類,即{u1,u2,u3,…,u25,u26,u27}和{u28,u29,u30};當λ=0.94,U分為三類,即{u1,u2,u7,u8,u9,u10,u11,u12,u13,u14,u15,u16,u17,u18,u19,u20,u21,u22,u23,u24,u25}、{u3,u4,u5,u6,u26,u27}、{u28,u29,u30};當λ=0.96時,可將U分為七類。經(jīng)計算分析后可以得到,當λ=0.94,將U分為三類時比較合理。(3)死亡率區(qū)間劃分U分為三類時對應的馬爾可夫鏈取1、2、3三個狀態(tài),由表2的數(shù)據(jù),可以劃分各狀態(tài)對應的死亡率區(qū)間分別為ui<0.675%、0.675%≤ui≤0.700%和ui>0.700%。(4)計算轉(zhuǎn)移概率矩陣的成本根據(jù)各年份對應狀態(tài),求得死亡率的1步到4步轉(zhuǎn)移概率矩陣(5)32013年,2.3.3.3.3.3.3.3.3%是加權復合膜下的死亡率首先預測2011年的人口死亡率。由以上各步轉(zhuǎn)移概率及式(7),預測情況如表3。表3的最后一行是加權求和的結(jié)果,其中狀態(tài)3的概率最大為0.9913,說明2011年人口死亡率狀態(tài)等級為3,死亡率≥0.700%與2011年實際人口死亡率0.714%相符合。由這個預測值進一步預測2011年之后的死亡率情況表4,可以得到未來三年死亡率都在0.700%以上。2.2.2人口統(tǒng)計表類似死亡率預測方法,計算得到:(1)各階馬爾可夫鏈的權重(2)利用rij計算記V={v1,v2,v3,…,v28,v29,v30}表示1981～2010年人口出生率。利用rij=1-0.08×|xixj|,求得。經(jīng)計算,當λ=0.94時,V分為五類,即{v7}、{v1,v2,v3,v4,v5,v6,v8,v9,v10,v11}、{v12,v13,v14,v15,v16,v17}、{v18}和{v19,v20,…,v29,v30}。(3)狀態(tài)死亡率對應區(qū)間的分析對應的馬爾可夫鏈的五個狀態(tài)記為1、2、3、4、5,根據(jù)表2得到各狀態(tài)出生率對應區(qū)間分別為vi>2.250%、1.950%<vi≤2.250%、1.600%<vi≤1.950%、1.500%<vi≤1.600%和vi≤1.500%,進而求得一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。(4)預測不同年份、不同性別人口啟示利用出生率的各步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣及式(7),預測2011、2012、2013、2014年的人口出生率均為≤1.500%,處于狀態(tài)5,與2011、2012年人口出生率實際值相符。2.3預測的生態(tài)鏈計數(shù)按照此方法,可以繼續(xù)預測2014年之后的人口數(shù)范圍。利用預測的人口總數(shù)及結(jié)合2.1中預測的人口結(jié)構(gòu)比例,可得到相應各年齡段的人口數(shù)。3b人口結(jié)構(gòu)正常穩(wěn)定分布人口結(jié)構(gòu)的自我控制是指既要抑制人口增長過快的趨勢,又要使人口的年齡結(jié)構(gòu)有一個合理的分布,使未來人口年齡結(jié)構(gòu)更合理且穩(wěn)定的增長趨勢。從現(xiàn)在的人口結(jié)構(gòu)出發(fā),讓各狀態(tài)每年進入下一狀態(tài)的人數(shù)在總進入人數(shù)中的比例依賴于時間t年,希望從現(xiàn)在的人口結(jié)構(gòu)出發(fā),逐步調(diào)控盡快達到合理的人口結(jié)構(gòu)。人口年齡結(jié)構(gòu)的合理控制分析(不妨設人口狀態(tài)為五個),得到控制方程其中為每年進入第i狀態(tài)的人數(shù)在總進入人數(shù)中的比例,ri≥0且為合理的年齡結(jié)構(gòu);E為單位矩陣;Q=(qij)為準轉(zhuǎn)移陣(qij表示每年從i級轉(zhuǎn)到j級人數(shù)在i級總?cè)藬?shù)中的百分比);,wi為每年從第i級退出的比例,于是。由于要求ri=0,所以中的每一項即,因此對于,由式(9)找到,可見合理的穩(wěn)定分布必須在集合A中。取理想的人口結(jié)構(gòu)=(0.18,0.24,0.26,0.24,0.08),由表1和表2數(shù)據(jù)及式(9)計算得到:=(0.2368,0.2363,0.2282,0.1968,0.0833)。這表明目前我國應適當加大生育比例,使0～14歲的人口比例要逐步增加到23.6%。為使人口結(jié)構(gòu)能夠維持一個合理的穩(wěn)定