專題05數(shù)列求和（原卷版）

專題05數(shù)列求和目錄TOC\o"13"\h\z\u題型一：等差、等比數(shù)列性質(zhì)求和 3題型二：倒序相加求和 6題型三：錯(cuò)位相減法求和 7題型四：裂項(xiàng)相消法求和 9題型五：“奇偶項(xiàng)”求和 11題型六：與兩數(shù)列“相同項(xiàng)”有關(guān)的求和 13知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1．特殊數(shù)列的求和公式(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：(2)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)q≠1.))2．?dāng)?shù)列求和的幾種常用方法(1)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解．(2)裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．(3)錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求解．(4)倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．常用結(jié)論與知識(shí)拓展常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式(1)eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).(2)eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).(3)eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).(4)eq\f(1,\r(a)＋\r(b))＝eq\f(1,a－b)(eq\r(a)－eq\r(b)).(5)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).(6)eq\f(2n,2n－12n＋1－1)＝eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1－1).例題精講例題精講等差、等比數(shù)列性質(zhì)求和已知等差數(shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，．（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前項(xiàng)和．設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，．若，，成等比數(shù)列．（1）求及；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．記遞增的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且．（Ⅰ）求和；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求其前項(xiàng)和．已知數(shù)列為等比數(shù)列，在數(shù)列中，，，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．已知等差數(shù)列的公差不為零，其前項(xiàng)和為，且是和的等比中項(xiàng)，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．倒序相加求和【要點(diǎn)講解】如果一個(gè)數(shù)列{an}，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫(xiě)與倒著寫(xiě)的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)便使用了此法.用倒序相加法解題的關(guān)鍵，就是要能夠找出首項(xiàng)和末項(xiàng)之間的關(guān)系，因?yàn)橛袝r(shí)這種關(guān)系比較隱蔽.德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，則．德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)王子．19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》，在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也被稱為高斯算法．現(xiàn)有函數(shù)，則（1）（2）等于A． B． C． D．設(shè)函數(shù)，，．則數(shù)列的前項(xiàng)和．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則數(shù)列的前2022項(xiàng)和為．錯(cuò)位相減法求和【要點(diǎn)講解】(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，常采用錯(cuò)位相減法．(2)錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：①在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式．②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應(yīng)用公式Sn＝na1.已知數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且滿足，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求的取值范圍．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意，，求的最小整數(shù)值．已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．已知數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，，，．（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，求非零常數(shù)的值；（2）在（1）的條件下，，求的前項(xiàng)和．裂項(xiàng)相消法求和【要點(diǎn)講解】利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng)(1)抵消后不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)．(2)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，一定要注意調(diào)整前面的系數(shù)，避免失誤．(3)掌握常見(jiàn)的裂項(xiàng)相消的公式．已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．（Ⅰ）證明：數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，若．證明．在等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求不等式的解集．在公差不為0的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和公式．?dāng)?shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明．“奇偶項(xiàng)”求和【要點(diǎn)講解】數(shù)列“奇偶項(xiàng)”的求和常常采用的策略：“奇偶分組”分別求和、“奇偶并項(xiàng)”求和．已知等差數(shù)列滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前項(xiàng)和，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．（1）證明：為等比數(shù)列；（2）已知為的前項(xiàng)和，求．已知為等差數(shù)列，，記，為，的前項(xiàng)和，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．與兩數(shù)列“相同項(xiàng)”有關(guān)的求和【要點(diǎn)講解】與兩個(gè)數(shù)列“相同項(xiàng)”有關(guān)的問(wèn)題的解題關(guān)鍵：確定好兩個(gè)數(shù)列的“相同項(xiàng)”，再進(jìn)行下一步研究，一類是去掉“相同項(xiàng)”后，構(gòu)成新數(shù)列；一類是由“相同項(xiàng)”構(gòu)成的新數(shù)列．已知正項(xiàng)數(shù)列和，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，．（1）分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）將數(shù)列中與數(shù)列相同的項(xiàng)剔除后，按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．已知正項(xiàng)等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，，，．（1）分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）將數(shù)列中與數(shù)列相同的項(xiàng)剔除后，按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，等比數(shù)列的公比為，已知，，．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）將，中相同的項(xiàng)剔除后，兩個(gè)數(shù)列中余下的項(xiàng)按從小到大的順序排列，構(gòu)成數(shù)列，求的前100項(xiàng)和．課后課后練習(xí)一．選擇題（共6小題）1．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，設(shè)，將數(shù)列中的整數(shù)項(xiàng)組成新的數(shù)列，則A．2022 B．2023 C．4046 D．40482．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則A．130 B．169 C．200 D．2303．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)．用他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，令，則A．7 B．8 C．17 D．184．已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若的最大值僅為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．5．如圖所示的數(shù)陣稱為楊輝三角．斜線上方箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形的數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，，記這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則等于A．128 B．144 C．155 D．1646．已知數(shù)列的每一項(xiàng)均為0或1，其前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論中正確的是A．?dāng)?shù)列，，，，的所有可能情況共有種 B．若為定值，則恒為0 C．若為定值，則為常數(shù)列 D．?dāng)?shù)列可能為等比數(shù)列二．多選題（共2小題）7．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若恒成立，則的值可以是A．1 B．2 C．3 D．48．已知集合，，，，集合，將集合中所有元素從小到大依次排列為一個(gè)數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則A． B．或2 C． D．若存在使，則的最小值為26三．填空題（共4小題）9．已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和．10．對(duì)于數(shù)列，令，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則；②若，則；③存在各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列，使得對(duì)任意的都成立；④若對(duì)任意的，都有，則有．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．11．已知，，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則．12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且，，成等差數(shù)列，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿足的最小正整數(shù)的值為．四．解答題（共4小題）13．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．（1）求