高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（選擇性必修二）：專題4.1 數(shù)列的概念（重難點題型精講）（教師版）

專題4.1數(shù)列的概念（重難點題型精講）1．?dāng)?shù)列的概念數(shù)列的定義一般地，把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項，數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，用表示第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項，用表示.其中第1項也叫做首項.2．?dāng)?shù)列的分類3．?dāng)?shù)列的通項公式如果數(shù)列{}的第n項與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式.4．?dāng)?shù)列的遞推公式(1)遞推公式的概念如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數(shù)列的遞推公式.(2)對數(shù)列遞推公式的理解①與“不一定所有數(shù)列都有通項公式”一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.

②遞推公式是給出數(shù)列的一種方法.事實上，遞推公式和通項公式一樣，都是關(guān)于項的序號n的恒等式.如果用符合要求的正整數(shù)依次去替換n，就可以求出數(shù)列的各項.

③用遞推公式求出一個數(shù)列，必須給出：基礎(chǔ)——數(shù)列{}的第1項(或前幾項)；

遞推關(guān)系——數(shù)列{}的任意一項與它的前一項()(或前幾項)間的關(guān)系，并且這個關(guān)系可以用等式來表示.5．?dāng)?shù)列表示方法及其比較6．?dāng)?shù)列的前n項和數(shù)列{}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{}的前n項和，記作，即=+++.

如果數(shù)列{}的前n項和與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的前n項和公式.

=.7．?dāng)?shù)列的性質(zhì)(1)單調(diào)性如果對所有的，都有>，那么稱數(shù)列{}為遞增數(shù)列；如果對所有的，都有<，那么稱數(shù)列{}為遞減數(shù)列.(2)周期性如果對所有的，都有=(k為正整數(shù))，那么稱{}是以k為周期的周期數(shù)列.

(3)有界性

如果對所有的，都有，那么稱{}為有界數(shù)列，否則稱{}為無界數(shù)列.【題型1根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式】【方法點撥】根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出其一個通項公式的方法：首先從下面4個角度觀察數(shù)列的前幾項：(1)各項的符號特征；(2)各項能否分拆；(3)分式的分子、分母的特征；(4)相鄰項的變化規(guī)律.其次尋找各項與對應(yīng)的項的序號之間的規(guī)律.【例1】（2022·甘肅·高二期中）數(shù)列32,?5A．2n?12n C．(?1)n+12n+12【解題思路】根據(jù)分子、分母和正負號的變化即可得出通項公式.【解答過程】解：由題意，在數(shù)列32分母是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列分子是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，∵數(shù)列的奇數(shù)項為正數(shù)，偶數(shù)項為負數(shù)，∴比例系數(shù)為(?1)∴數(shù)列的一個通項公式為：an故選：C.【變式1-1】（2022·重慶高二階段練習(xí)）數(shù)列?1,13,?A．a(chǎn)n=?1C．a(chǎn)n=?1【解題思路】令n=1，代入各選項直接得出答案.【解答過程】由題意得，令n=1，A選項：a1B選項：a1C選項：a1D選項：a1故選：D.【變式1-2】（2022·浙江·高二開學(xué)考試）已知數(shù)列an的前4項為：1，?12，14，?1A．a(chǎn)n=12n B．a(chǎn)n=【解題思路】分母與項數(shù)n關(guān)系是是2n?1【解答過程】正負相間用(?1)n?1表示，∴a故選：D.【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一個通項公式是an=（A．1910nC．131?1【解題思路】根據(jù)0.3，0.33，0.333，0.3333，…與9，99，999，9999，…的關(guān)系，結(jié)合9，99，999，9999，…的通項公式求解即可.【解答過程】數(shù)列9，99，999，9999，…的一個通項公式是bn=10n?1故選：C．【題型2判斷數(shù)列的項】【方法點撥】根據(jù)題目條件，結(jié)合數(shù)列的通項公式，判斷所給的數(shù)是否滿足數(shù)列的通項公式，求出該數(shù)所對應(yīng)的項數(shù)n，即可得解.【例2】（2022·福建·高二階段練習(xí)）若一數(shù)列為1，37，314，321，…，則3A．不在此數(shù)列中 B．第13項 C．第14項 D．第15項【解題思路】根據(jù)給定的4項，寫出數(shù)列的一個通項公式即可計算作答.【解答過程】因1=37×0,由37(n?1)=3所以398故選：D.【變式2-1】（2022·廣東佛山·高二期末）已知數(shù)列an的通項公式為an=A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】利用通項公式直接求解.【解答過程】令an=n2+n=12故選：B.【變式2-2】（2022·四川省高一階段練習(xí)（理））已知數(shù)列an的通項公式為an=3n?1A．第1項 B．第2項 C．第3項 D．第10項【解題思路】由已知條件，根據(jù)通項公式求出n即可得答案.【解答過程】因為數(shù)列{an}令3n?1=9，解得所以9是數(shù)列{a故選：C.【變式2-3】（2021·河北保定·高二期中）已知數(shù)列an的通項公式為an=2n+1A．2 B．4 C．8 D．16【解題思路】根據(jù)數(shù)列的通項公式，判斷是否存在n∈N?使得【解答過程】由于數(shù)列an的通項公式為a故令an=2n+1=2，則n=0令2n+1=4,n=1，令2n+1即4，8，16是數(shù)列an故選:A.【題型3根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項、通項公式】【方法點撥】結(jié)合所給數(shù)列的遞推公式，分析數(shù)列之間的規(guī)律關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解即可.【例3】（2022·陜西·高一期末（理））已知數(shù)列an滿足an+1an=n+1nA．a(chǎn)n=3n C．a(chǎn)n=2n+1 【解題思路】由題意可得數(shù)列an【解答過程】由題意得an+1n+1所以數(shù)列ann是以則ann=3故選：A.【變式3-1】（2022·甘肅·二模（文））數(shù)列an滿足nan+1=n+1anA．4043 B．4044 C．2021 D．2022【解題思路】由nan+1=n+1an+1【解答過程】解：因為nan+1=所以an+1n+1+1n+1所以an所以a20222022+故選：A.【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1+a2A．1?12n B．22n?3 【解題思路】利用an與S【解答過程】a1+當(dāng)n≥2時，a1+則①－②得，an故an當(dāng)n=1時，a1=1故選：D．【變式3-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a2=0,a2n+1A．20212022 B．20232022 C．10101011【解題思路】由題中條件可得到偶數(shù)項得關(guān)系a2n+2【解答過程】a2n+2所以a2022a2020?a4累加得a2022故選：C.【題型4數(shù)列的單調(diào)性的判斷】【方法點撥】判斷單調(diào)性的方法：①轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性，如基本初等函數(shù)的單調(diào)性等，研究數(shù)列的單調(diào)性.②利用定義判斷：作差比較法，即作差比較與的大?。蛔魃瘫容^法，即作商比較與的大小，從而判斷出數(shù)列{}的單調(diào)性.【例4】（2022·浙江·高二期中）在數(shù)列an中，a1=3，A．?dāng)?shù)列an單調(diào)遞減 B．?dāng)?shù)列aC．?dāng)?shù)列an先遞減后遞增 D．?dāng)?shù)列a【解題思路】由數(shù)列遞推式求出a2=5，可判斷an>0，將an=an?1+2兩邊平方得【解答過程】由a1=3，an=an?1+2再由an=an?1+2則an+12=②﹣①得：an+12?a∵an>0，∴an由a2?a1<0，可知，可知數(shù)列an故選：A．【變式4-1】（2022·遼寧葫蘆島·高二階段練習(xí)）下列數(shù)列中，為遞減數(shù)列的是（

）A．1+5n B．?n2+6n 【解題思路】利用第n+1項與第n項的差來確定數(shù)列的單調(diào)性即可得到結(jié)果.【解答過程】對于A，∵1+5n+1?1+對于B，∵?∴當(dāng)n≤2時，數(shù)列?n2+6n遞增；當(dāng)n≥3對于C，∵3n+1+6?3n+6=3，對于D，∵1?log2n+1?1?故選：D.【變式4-2】（2022·天津·高三期中）數(shù)列an的通項公式為an=n2+kn，則“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【解題思路】根據(jù)an+1【解答過程】由題意得數(shù)列an為遞增數(shù)列等價于對任意n∈即k>?2n?1對任意n∈N?恒成立，故所以“k≥?2”是“an故選：A.【變式4-3】（2022·浙江·高二期中）已知數(shù)列an滿足：an=(3?a)n?8,n≤6an?6,n>6A．(2,3) B．(1,107) C．(【解題思路】仿照分段函數(shù)的單調(diào)性求解，同時注意a6【解答過程】由題意3?a>0a>1解得107故選：C．【題型5數(shù)列的周期性】【方法點撥】結(jié)合具體條件，分析數(shù)列的前幾項，得出數(shù)列的周期，進行轉(zhuǎn)化求解即可.【例5】（2022·福建·高二期中）在數(shù)列an中，a1=?2，an+1=A．?2 B．?13 C．?【解題思路】根據(jù)數(shù)列的遞推式，計算數(shù)列的項，可推得數(shù)列為周期性數(shù)列，利用其周期即可求得答案.【解答過程】由題意可得a1=?2，an+1=1+aa4=1+∴該數(shù)列an是周期數(shù)列，周期T=4又2022=505×4+2，∴a2022故選：B．【變式5-1】（2022·江蘇·高二期中）若數(shù)列an滿足a1=2，a2=3，aA．-3 B．-2 C．-1 D．2【解題思路】由an+an+2=an+1【解答過程】由an+aa1=2，a3a4a5a6a7a8故數(shù)列an是以6為最小正周期的數(shù)列，由20226=337故選：C.【變式5-2】（2022·河南·高二階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=2，an+1A．2?1 B．2 C．2+1 【解題思路】根據(jù)遞推公式可驗證知數(shù)列an是周期為3的周期數(shù)列，則由a【解答過程】∵a1=2>1∴a4=以此類推，可知數(shù)列an是周期為3∴a故選：A.【變式5-3】（2022·貴州·高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列{an}滿足a1=?3，aA．14 B．43 C．?1 【解題思路】根據(jù)已知條件及遞推關(guān)系，結(jié)合數(shù)列的周期性即可求解.【解答過程】由anan+1=因為a1所以a2=1?1?3=43，a所以{aa故選：A.【題型6求數(shù)列的最大項、最小項】【方法點撥】利用數(shù)列的單調(diào)性或構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，進行轉(zhuǎn)化求解即可.【例6】（2022·山西·高三期中）已知數(shù)列an滿足a1a2a3?A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【解題思路】根據(jù)遞推公式求得an，再根據(jù){【解答過程】因為a1a2a3?a當(dāng)n≥2時，a1a2a3因為函數(shù)fx=1所以當(dāng)n≥2，n∈N*時，又a2=4，所以an≤4，且an≥1=a故選：A.【變式6-1】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列an的通項公式為an=5051A．第6項 B．第12項 C．第24項 D．第36項【解題思路】作商當(dāng)an+1an>1時，an+1【解答過程】因為an>0令an+1an所以當(dāng)1≤n≤23時，an+1>a當(dāng)n≥24時，an+1>an，即a24故選：C.【變式6-2】（2022·福建省高二階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足an=2nn+110A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項【解題思路】用不等式法求