高中數(shù)學培優(yōu)講義練習（必修二）：專題7.1 復數(shù)的概念（重難點題型精講）（學生版）

專題7.1復數(shù)的概念（重難點題型精講）1．數(shù)系的擴充與復數(shù)的相關概念(1)復數(shù)的引入

為了解決+1=0這樣的方程在實數(shù)系中無解的問題，我們引入一個新數(shù)i，規(guī)定：

①=-1，即i是方程+1=0的根；

②實數(shù)可以和數(shù)i進行加法和乘法運算，且加法和乘法的運算律仍然成立.

在此規(guī)定下，實數(shù)a與i相加，結(jié)果記作a+i；實數(shù)b與i相乘，結(jié)果記作bi；實數(shù)a與bi相加，結(jié)果記作a+bi.注意到所有實數(shù)以及i都可以寫成a+bi(a,b∈R)的形式，從而這些數(shù)都在擴充后的新數(shù)集中.(2)復數(shù)的概念

我們把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復數(shù)構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復數(shù)集.這樣，方程+1=0在復數(shù)集C中就有解x=i了.(3)復數(shù)的表示復數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說明時，復數(shù)z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b分別叫做復數(shù)z的實部與虛部.(4)復數(shù)的分類對于復數(shù)a+bi，當且僅當b=0時，它是實數(shù)；當且僅當a=b=0時，它是實數(shù)0；當b≠0時，它叫做虛數(shù)；當a=0且b≠0時，它叫做純虛數(shù).顯然，實數(shù)集R是復數(shù)集C的真子集，即RC.

復數(shù)z=a+bi可以分類如下：

復數(shù)，

復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關系，可用圖表示.2．復數(shù)相等在復數(shù)集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數(shù)a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規(guī)定：a+bi與c+di相等當且僅當a=c且b=d，即當且僅當兩個復數(shù)的實部與實部相等、虛部與虛部相等時，兩個復數(shù)才相等.3．復數(shù)的幾何意義(1)復平面

根據(jù)復數(shù)相等的定義，可得復數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(a,b)，而有序?qū)崝?shù)對(a,b)平面直角坐標系中的點，所以復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應關系.

如圖所示，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數(shù)z=a+bi可用點Z(a,b)表示，這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.(2)復數(shù)的幾何意義——與點對應

由上可知，每一個復數(shù)，有復平面內(nèi)唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內(nèi)的每一個點，有唯一的一個復數(shù)和它對應.復數(shù)集C中的數(shù)和復平面內(nèi)的點是一一對應的，即復數(shù)z=a+bi復平面內(nèi)的點Z(a,b)，這是復數(shù)的一種幾何意義.(3)復數(shù)的幾何意義——與向量對應

在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復數(shù)是一一對應的.這樣就可以用平面向量來表示復數(shù).如圖所示，設復平面內(nèi)的點Z表示復數(shù)z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點Z唯一確定；反過來，點Z(相對于原點來說)也可以由向量唯一確定.

因此，復數(shù)集C中的數(shù)與復平面內(nèi)以原點為起點的向量是一一對應的(實數(shù)0與零向量對應)，即復數(shù)z=a+bi平面向量，這是復數(shù)的另一種幾何意義.4．復數(shù)的模向量的模r叫做復數(shù)z=a+bi的?；蚪^對值，記作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一個實數(shù)a，它的模等于|a|(就是a的絕對值).由模的定義可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).5．共軛復數(shù)(1)定義

一般地，當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù).虛部不等于0的兩個共軛復數(shù)也復數(shù)z的共軛復數(shù)用表示，即若z=a+bi，則=a-bi.特別地，實數(shù)a的共軛復數(shù)仍是a本身.(2)幾何意義互為共軛復數(shù)的兩個復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點關于實軸對稱(如圖).特別地，實數(shù)和它的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點重合，且在實軸上.(3)性質(zhì)①=z.

②實數(shù)的共軛復數(shù)是它本身，即z=z∈R，利用這個性質(zhì)可證明一個復數(shù)為實數(shù).6．復數(shù)的模的幾何意義(1)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復數(shù)z=a+bi在復平面內(nèi)對應的點Z(a,b)到坐標原點的距離，這是復數(shù)的模的幾何意義.(2)復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為Z，r表示一個大于0的常數(shù)，則滿足條件|z|=r的點Z組成的集合是以原點為圓心，r為半徑的圓，|z|<r表示圓的內(nèi)部，|z|>r表示圓的外部.【題型1復數(shù)的分類】【方法點撥】分清復數(shù)的分類，根據(jù)實部與虛部的取值情況進行判斷.【例1】（2022·高一課時練習）下列關于復數(shù)x+i的說法一定正確的是（

A．是虛數(shù) B．存在x使得x+iC．不是實數(shù) D．實部和虛部均為1【變式1-1】（2022·高二課時練習）復數(shù)1?i，2，－1，i2，0，3iA．1 B．2 C．3 D．4【變式1-2】（2023·高一課時練習）下列說法正確的是（

）A．i表示虛數(shù)單位，所以它不是一個虛數(shù)B．?1的平方根是±C．biD．若z=aa∈R，則復數(shù)z【變式1-3】（2022春·高一課時練習）下列命題中，正確命題的序號是（

）①若a∈R，則(a+1)i是純虛數(shù)；②若a,b∈R且a>b，則a+i③若x2?1+④兩個虛數(shù)不能比較大小.A．①③ B．② C．③④ D．④【題型2復數(shù)相等的充要條件】【方法點撥】復數(shù)相等的充要條件是“化虛為實”的主要依據(jù)，多用來求解參數(shù).解決復數(shù)相等問題的步驟：分別分離出兩個復數(shù)的實部和虛部，利用實部與實部相等、虛部與虛部相等列方程組求解.【例2】（2022秋·河南·高三階段練習）設1+2ia+b=?2i，其中a,bA．a(chǎn)=1,b=?1 B．a(chǎn)=1,b=1C．a(chǎn)=?1,b=?1 D．a(chǎn)=?1,b=1【變式2-1】（2022春·廣西·高二學業(yè)考試）若復數(shù)3+4i=3+bi，i為虛數(shù)單位，則b=A．1 B．2 C．4 D．5【變式2-2】（2022·高一課時練習）已知x，y∈R，i為虛數(shù)單位，若（x-1）+（y+1）i=2+i，則x，y的值為（

）A．3，0 B．2，1 C．1，2 D．1，-1【變式2-3】（2022·全國·高一專題練習）復數(shù)4?3a?a2i與復數(shù)a2+4aA．1 B．1或?4 C．?4 D．4【題型3復數(shù)的幾何意義】【方法點撥】復數(shù)集與復平面內(nèi)所有的點所組成的集合之間存在著一一對應的關系.每一個復數(shù)都對應唯一的一個有序?qū)崝?shù)對，只要在復平面內(nèi)找到這個有序?qū)崝?shù)對所表示的點，就可根據(jù)點的位置判斷復數(shù)實部、虛部的取值.【例3】（2022春·湖南株洲·高一期中）在復平面內(nèi)，復數(shù)z=?2i+2iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式3-1】在復平面內(nèi)，與復數(shù)z=?1?i的共軛復數(shù)對應的點位于（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式3-2】（2022·高一課時練習）當1<m<2時，復數(shù)m2+i?A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式3-3】（2022秋·貴州貴陽·高三階段練習）如果一個復數(shù)的實部和虛部相等，則稱這個復數(shù)為“等部”復數(shù)，若復數(shù)z=2+ai（其中a∈R）為“等部復數(shù)”，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【題型4共軛復數(shù)】【方法點撥】根據(jù)共軛復數(shù)的概念，進行求解即可.【例4】（2022秋·浙江金華·高二階段練習）已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z=i+i2，則A．?1+i B．?1?i C．1+i【變式4-1】（2022春·浙江寧波·高二學業(yè)考試）已知z=2?3i（i虛數(shù)單位），則z的共軛復數(shù)z的虛部為（

A．2 B．i C．3 D．3【變式4-2】（2022·高一單元測試）若復數(shù)z=(m+1)?2mi(m∈R)為純虛數(shù)，則z的共軛復數(shù)是（A．?2i B．?i C．i 【變式4-3】（2022秋·北京·高三期中）下列命題中，正確的是（

）A．1?2i的虛部是2 B．C．1?2i的共軛復數(shù)是?1?2i D．【題型5復數(shù)的模的計算】【方法點撥】根據(jù)復數(shù)的模的計算公式，進行計算即可.【例5】（2023秋·吉林松原·高三期末）已知a，b∈R，若a+4i與3?bi互為共軛復數(shù)，則a+biA．8 B．7 C．6 D．5【變式5-1】（2022秋·北京·高三階段練習）已知復數(shù)z滿足z=1?i，則z=（A．?1 B．1 C．2 D．2【變式5-2】（2022秋·安徽宿州·高二期末）設z=2i1?i，則A．2 B．2 C．4 D．5【變式5-3】（2022秋·廣東·高三學業(yè)考試）若復數(shù)z滿足z=?3+4i，則z=（A．1 B．5 C．7 D．25【題型6復數(shù)的模的幾何意義】【方法點撥】復數(shù)的模的幾何意義是實數(shù)的絕對值概念的擴充，因此有|z|0，并且絕對值具有的某些性質(zhì)可以推廣到復數(shù)的模.根據(jù)復數(shù)的模的幾何意義，進行轉(zhuǎn)化求解即可.【例6】（2022秋·廣西·高二階段練習）設z∈C，滿足2≤z+i≤3，其在復平面對應的點為Z，求點A．1 B．5 C．π D．5【變式6-1】（2022·高一單元測試）滿足1≤z≤3的復數(shù)z在復平面上對應的點構(gòu)成的圖形的面積為（A．π B．2π C．8π