四川省宜賓市興文縣興文第二中學(xué)校高三一模數(shù)學(xué)（理）試題

興文二中高2021級(jí)高三一診模擬考試數(shù)學(xué)（理工類）本試卷共4頁(yè)，23小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，用補(bǔ)集和交集的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榧?，所以．又，所以．故選：A．2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】進(jìn)行分母有理化，利用共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由題知，.所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為：.故選：A.3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是周期函數(shù)的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的周期與奇偶性，綜合即可得答案【詳解】對(duì)于A，是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)，則A錯(cuò)誤；對(duì)于B，為周期為的函數(shù)，但不是偶函數(shù)，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，既不是偶函數(shù)也不是周期函數(shù)，則C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，即為周期為的周期函數(shù)，且為偶函數(shù)，則D滿足.故選：D.4.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B.8 C.32 D.【答案】C【解析】【分析】由三視圖可知，幾何體為斜棱柱，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)利用棱柱體積公式計(jì)算體積.【詳解】由幾何體的三視圖可知幾何體的直觀圖如下：圖形為底面是矩形的斜棱柱，底面矩形長(zhǎng)為4寬為2，棱柱的高為4，所以幾何體的體積為．故選：C5.若，則（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換分析運(yùn)算.【詳解】因?yàn)?，可得，整理得，所?故選：C.6.設(shè)函數(shù)．若為偶函數(shù)，則在處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由奇偶性求得，可得函數(shù)的解析式，求出的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，可得，可得，所以函數(shù)，可得，；曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為：．即．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程，屬于中檔題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn)出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.7.降低室內(nèi)微生物密度的有效方法是定時(shí)給室內(nèi)注入新鮮空氣，即開窗通風(fēng)換氣.在某室內(nèi)，空氣中微生物密度（c）隨開窗通風(fēng)換氣時(shí)間（t）的關(guān)系如下圖所示.則下列時(shí)間段內(nèi)，空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接圖上的點(diǎn)，利用直線的斜率與平均變化率的定義判斷即可；【詳解】解：如圖分別令、、、、所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為、、、、，由圖可知，所以內(nèi)空氣中微生物密度變化的平均速度最快；故選：C8.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，O是底面的中心，則點(diǎn)O到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，分析可得，要求的到平面的距離，就是到平面的距離的一半，就是到的距離的一半，計(jì)算可得答案．【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，求到平面的距離，就是到平面的距離的一半，就是到的距離的一半．所以，連接與的交點(diǎn)為，則的距離是到平面的距離的2倍，到平面的距離：.故選：B.9.濟(jì)南市洪家樓天主教堂于2006年5月被國(guó)務(wù)院列為全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特點(diǎn)之一就是窗門處使用尖拱造型，其結(jié)構(gòu)是由兩段不同圓心的圓弧組成的對(duì)稱圖形.如圖2，和所在圓的圓心都在線段AB上，若，，則的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過(guò)作，設(shè)圓弧AC的圓心為O，半徑為，則，表示出，由求出，再進(jìn)一步求出，即可求出答案.【詳解】過(guò)作，設(shè)圓弧AC的圓心為O，半徑為，則，在中，，所以，，所以在直角三角形中，，所以，所以，而，所以，所以.故選：A.10.已知三棱錐底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，頂點(diǎn)S與AB邊中點(diǎn)D的連線SD垂直于底面ABC，且，則三棱錐S－ABC外接球的表面積為（）A. B. C.12π D.60π【答案】B【解析】【分析】由題意畫出圖形，找出四面體外接球的球心，求解三角形可得外接球的半徑，代入球的表面積公式求解即可.【詳解】如圖：設(shè)底面正三角形的外心為，三角形的外心為，分別過(guò)、作所在面的垂線相交于，則為三棱錐外接球的球心，再設(shè)底面正三角形外接圓的半徑為，則.由已知求得，可得也為邊長(zhǎng)是的正三角形，所以外接圓的半徑為，則.所以三棱錐外接球的半徑滿足：.則三棱錐外接球的表面積為.故選：B.11.已知在銳角三角形中，角所對(duì)的邊分別為，若，則角的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，并結(jié)合余弦定理，可求得，進(jìn)而結(jié)合正弦定理可得，由，代入并整理得，結(jié)合△為銳角三角形，可得出，從而可得，即可求出答案.【詳解】由余弦定理可得，，所以，即，由正弦定理可得，，又，所以，因?yàn)椋?，所以，?在銳角△中，，即，解得.故選：C.12.已知函數(shù)（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在定義域R上有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令可得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性和最值，結(jié)合的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，解得；當(dāng)時(shí)，令，即，令，則，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，因?yàn)楹瘮?shù)在R上有三個(gè)零點(diǎn)，所以為的一個(gè)零點(diǎn)，且有兩個(gè)不同的解，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則的表達(dá)式是__．【答案】【解析】【分析】本題首先可根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)設(shè)為，然后帶入點(diǎn)，通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)冪函數(shù)，所以設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上，所以，，即故答案為：．14.寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③，且定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集的函數(shù)__________.①最小正周期為2；②；③無(wú)零點(diǎn).【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)周期,對(duì)稱性,零點(diǎn)等性質(zhì)判斷寫出符合條件的一個(gè)函數(shù)即可.【詳解】的定義域?yàn)?，最小正周期為，因?yàn)椋?，所以無(wú)零點(diǎn)，綜上，符合題意故答案為：.15.若，則的值為________【答案】【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式以及誘導(dǎo)公式得出結(jié)果.【詳解】由，得，所以.故答案為：.16.已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】.【解析】【分析】利用奇偶性及單調(diào)性去函數(shù)符號(hào)解一元二次不等式即可.【詳解】易知，且，即為奇函數(shù)，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故為增函數(shù)，對(duì)于，所以，故答案為：.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知是第二象限內(nèi)的角，（1）求的值；（2）已知函數(shù)，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系以及平方和關(guān)系即可求得，再利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式可計(jì)算出結(jié)果.（2）根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)可得，代入計(jì)算可求出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)棣潦堑诙笙迌?nèi)的角，即又，所以可得所以；即.【小問(wèn)2詳解】易知，所以；即.18.已知函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則t的取值范圍．【答案】（1）在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間，進(jìn)而確定的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求導(dǎo)得到函數(shù)的極值點(diǎn)，利用極值點(diǎn)在區(qū)間（t，t＋1）內(nèi)可滿足條件，再建立不等式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意知，由得x＝1或x＝3，時(shí)，；時(shí)，或，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，【小問(wèn)2詳解】由（1）函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為x＝1,3.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上不單調(diào)，所以或解得或，即t的取值范圍為19.從①；②條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面橫線處，并解答在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，.（1）求角A；（2）若外接圓的圓心為O，，求BC的長(zhǎng).注：如果選擇多個(gè)條件分別解答；按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選擇條件①可以用正弦定理進(jìn)行角化邊即可求解，選擇條件②利用輔助角公式進(jìn)行三角恒等變換即可.（2）利用圓的角度關(guān)系和正弦定理即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：選擇條件①：因?yàn)?，由正弦定理，可得，即，所?因?yàn)?，所?選擇條件②：因?yàn)樗?，?因?yàn)樗运裕?【小問(wèn)2詳解】由題意，O是外接圓的圓心，所以，所以故此.中，由正弦定理，，即，解得.20.如圖，四棱錐P﹣ABCD底面是等腰梯形，AD∥BC，BC=2AD，，E是棱PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱PC上的點(diǎn)，且A、D、E、F四點(diǎn)共面．（1）求證：F為PC的中點(diǎn)；（2）若△PAD為等邊三角形，二面角的大小為，求直線BD與平面ADFE所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先由線面平行的判定定理證明AD∥平面PBC，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明EF∥AD,即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo)，求得平面ADFE的法向量，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，BC?平面PBC，∴AD∥平面PBC．由題意A、D、E、F四點(diǎn)共面，平面ADFE平面PBC=EF，∴AD∥EF，而AD∥BC，∴EF∥BC，∵E是棱PB的中點(diǎn)，∴F為PC中點(diǎn)．【小問(wèn)2詳解】如圖，以BC為x軸，連接BC中點(diǎn)O和AD中點(diǎn)G,以O(shè)G為y軸，過(guò)點(diǎn)O作垂直于平面ABCD的直線作為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳B=CD，BC=2AD，設(shè)AD=a，則BC=2a，，所以，，因?yàn)椤鱌AD為等邊三角形，所以PG⊥AD，由題意知,所以∠PGO為二面角的平面角，又二面角的大小為，所以，因?yàn)镻G⊥AD，GO⊥AD，平面PGO，所以AD⊥平面PGO，過(guò)P作PH垂直于y軸于點(diǎn)H，因PH?平面PGO，所以AD⊥PH，又PH⊥GH，平面ABCD，，所以PH垂直于平面ABCD，且,，，∴，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，PC中點(diǎn)，所以，設(shè)平面ADFE的法向量為，則，所以，取z=1，，設(shè)BD與平面ADFE所成角為θ，則，即直線BD與平面ADFE所成角的正弦值為．21.已知函數(shù)，．（1）若，求的最小值；（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最小值，（2）設(shè)，由題意對(duì)任意恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值大于零即可【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，易知單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由題意對(duì)任意恒成立．，若，則，則存在，使得當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，不符合題意．若，由知當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增．又，所以當(dāng)時(shí)，．綜上，的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題，第（2）問(wèn)解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，然后分和兩種情況利用導(dǎo)數(shù)求的最小值，使其大于零即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思，屬于較難題（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中,曲線（t為參數(shù),且）,其中,在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線（Ⅰ）求與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（Ⅱ）若與相交于點(diǎn)A,與相交于點(diǎn)B,求最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】【詳解】（Ⅰ）曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為．聯(lián)立解得或所以與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為和．（Ⅱ）