中考數(shù)學重要考點題型精講精練人教版：專題04 反比例函數(shù)模型（專項突破）-解析版

專項突破04反比例函數(shù)模型【思維導圖】◎突破一一點一垂線例．（2020·河北·石家莊外國語學校九年級期中）反比例函數(shù)y＝圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A．k＞0B．y隨x的增大而減小C．若矩形OABC面積為2，則k＝﹣2D．若圖象上點B的坐標是（﹣2，1），則當x＜﹣2時，y的取值范圍是y＜1【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)對A、B、D進行判斷；根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義對C進行判斷．【詳解】解：A、反比例函數(shù)圖象分布在第二、四象限，則k＜0，所以A選項錯誤；B、在每一象限，y隨x的增大而增大，所以B選項錯誤；C、矩形OABC面積為2，則|k|＝2，而k＜0，所以k＝﹣2，所以C選項正確；D、若圖象上點B的坐標是（﹣2，1），則當x＜﹣2時，y的取值范圍是0＜y＜1，所以D選項錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．也考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)．專訓1．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，函數(shù)（x＞0）和（x＞0）的圖象將第一象限分成三個區(qū)域，點M是②區(qū)域內(nèi)一點，MN⊥x軸于點N，則△MON的面積可能是（

）A．0.5． B．1． C．2． D．3.5．【答案】C【分析】分別假設(shè)點M在和上，即可得出△MON面積可能的值．【詳解】解：∵點M是②區(qū)域內(nèi)一點，且MN⊥x軸于點N，假設(shè)點M落在上，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得：△MON的面積為1，假設(shè)點M落在上，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得：△MON的面積為3，∴△MON的面積可能是2，故選C．【點睛】考查了反比例函數(shù)的圖象的知識，解題的關(guān)鍵是了解系數(shù)k的幾何意義．專訓2．（2022·湖南婁底·九年級期末）如圖，點A是反比例函數(shù)y＝的圖象上的一點，過點A作AB⊥x軸，垂足為B．點C為y軸上的一點，連接AC，BC．若△ABC的面積為4，則k的值是()A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的幾何意義求解即可．【詳解】解：連接OA，如圖，∵軸，∴OC∥AB，∴而∴∵∴故選D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)解析式，解決此題的關(guān)鍵是能正確利用反比例函數(shù)圖像上點的意義．專訓3．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，面積為2的Rt△OAB的斜邊OB在x軸上，∠ABO＝30°，反比例函數(shù)圖象恰好經(jīng)過點A，則k的值為（）A．﹣2 B．2 C． D．﹣【答案】D【分析】作AD⊥OB于D，根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)得出OA＝OB，然后通過證得△AOD∽△BOA，求得△AOD的面積，然后根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義即可求得k的值．【詳解】解：作AD⊥OB于D，∵Rt△OAB中，∠ABO＝30°，∴OA＝OB，∵∠ADO＝∠OAB＝90°，∠AOD＝∠BOA，∴△AOD∽△BOA，∴，∴S△AOD＝S△BOA＝×2＝，∵S△AOD＝|k|，∴|k|＝，∵反比例函數(shù)y＝圖象在二、四象限，∴k＝﹣，故選D．【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形相似的判定和性質(zhì)，求得△AOD的面積是是解答此題的關(guān)鍵．◎突破二一點兩垂線例．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，點A是反比例函數(shù)y=的圖象上的一點，過點A作□ABCD，使點C在x軸上，點D在y軸上，若□ABCD面積為6，則k的值是（

）A．1 B．3 C．6 D．-6【答案】C【分析】作AE⊥BC于E，由四邊形ABCD為平行四邊形得AD//x軸，則可判斷四邊形ADOE為矩形，所以平行四邊形ABCD的面積=矩形ADOE的面積，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義得到矩形ADOE的面積=|?k|，則|?k|=6，利用反比例函數(shù)圖象得到?k<0，即k>0，于是有k=6．【詳解】解：作AE⊥BC于E，如圖，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD//x軸，∴四邊形ADOE為矩形，∴，而=|?k|，∴|?k|=6，而?k<0，即k>0，∴k=6．故選C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)(k≠0)系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)(k≠0)圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為|k|．專訓1．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，點A是反比例函數(shù)圖象上的一個動點，過點A作AB⊥x軸，AC⊥y軸，垂足分別為B，C，則矩形ABOC的面積為（

）A．-4 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】根據(jù)反比函數(shù)的幾何意義，可得矩形ABOC的面積等于比例系數(shù)的絕對值，即可求解．【詳解】解：∵點A是反比例函數(shù)圖象上的一個動點，過點A作AB⊥x軸，AC⊥y軸，∴矩形ABOC的面積．故選：C．【點睛】本題主要考查了反比函數(shù)的幾何意義，熟練掌握本題主要考查了反比例函數(shù)中的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引軸、軸垂線，所得矩形面積等于是解題的關(guān)鍵．專訓2．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，A，B兩點在雙曲線y＝上，分別經(jīng)過A，B兩點向軸作垂線段，已知陰影小矩形的面積為1，則空白兩小矩形面積的和S1+S2＝______．【答案】4【分析】欲求S1+S2，只要求出過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段求出與坐標軸所形成的矩形的面積即可，而矩形面積為雙曲線y=的系數(shù)k，由此即可求出S1+S2．【詳解】解：∵點A、B是雙曲線y=上的點，分別經(jīng)過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段，則根據(jù)反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)得兩個矩形的面積都等于|k|=3，∴S1+S2=3+3-1×2=4．故答案為4．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)及任一點坐標的意義，有一定的難度．專訓3．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，點A是反比例函數(shù)圖象上一點，過點A作AB⊥y軸于點B，點C、D在x軸上，且BC∥AD，四邊形ABCD的面積為4，則這個反比例函數(shù)的解析式為___________．【答案】y=﹣．【詳解】試題分析：過A點向x軸作垂線，與坐標軸圍成的四邊形的面積是定值|k|，由此可得出答案．解：過A點向x軸作垂線，如圖：根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義可得：四邊形ABCD的面積為4，即|k|=4，又∵函數(shù)圖象在二、四象限，∴k=﹣4，即函數(shù)解析式為：y=﹣．故答案為y=﹣．考點：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．◎突破三兩點一垂線例．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，A、B是反比例函數(shù)y＝的圖象上關(guān)于原點O對稱的任意兩點，過點A作AC⊥x軸于點C，連接BC，則△ABC的面積為(

)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)點A坐標為：，再根據(jù)坐標系中兩點關(guān)于原點對稱的性質(zhì)，得點B坐標；過點做交延長線于點，根據(jù)直角坐標系的性質(zhì)，得的值，通過計算即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)點A坐標為：，且∵A、B是反比例函數(shù)y＝的圖象上關(guān)于原點O對稱的任意兩點∴點B坐標為：∵過點A作AC⊥x軸于點C∴點C坐標為：∴如圖，過點做交延長線于點根據(jù)題意得：∴故選：B．【點睛】本題考查了直角坐標系、反比例函數(shù)的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角坐標系、坐標系中兩點關(guān)于原點對稱、反比例函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．專訓1．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，直y=mx與雙曲線交于點A，B．過點A作AM⊥x軸，垂足為點M，連接BM．若S△ABM=1，則k的值是（）A．1 B．m﹣1 C．2 D．m【答案】A【分析】利用三角形的面積公式和反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)可知．【詳解】解：由圖象上的點A、B、M構(gòu)成的三角形由△AMO和△BMO的組成，點A與點B關(guān)于原點中心對稱，∴點A，B的縱橫坐標的絕對值相等，∴△AMO和△BMO的面積相等，且為，∴點A的橫縱坐標的乘積絕對值為1，又因為點A在第一象限內(nèi)，所以可知反比例函數(shù)的系數(shù)k為1．故選A．【點睛】本題利用了反比例函數(shù)的圖象在一、三象限和而確定出k的值．專訓2．（2022·遼寧沈陽·九年級期末）如圖，直線與雙曲線交于點A,B．過點A作軸，垂足為點P，連接．若B的坐標為，則_______．【答案】3【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的性質(zhì)求出點的坐標，從而可得的長，再根據(jù)三角形的面積公式即可得．【詳解】解：由題意得：點與點關(guān)于原點對稱，，，邊上的高為2，軸，，則，故答案為：3．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與正比例函數(shù)，熟練掌握反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的性質(zhì)（對稱性）是解題關(guān)鍵．專訓3．（2022·四川遂寧·中考真題）已知一次函數(shù)（a為常數(shù)）與x軸交于點A，與反比例函數(shù)交于B、C兩點，B點的橫坐標為．(1)求出一次函數(shù)的解析式并在圖中畫出它的圖象；(2)求出點C的坐標，并根據(jù)圖象寫出當時對應(yīng)自變量x的取值范圍；(3)若點B與點D關(guān)于原點成中心對稱，求出△ACD的面積．【答案】(1)，畫圖象見解析(2)點C的坐標為（3，2）；當時，或(3)【分析】（1）根據(jù)B點的橫坐標為-2且在反比例函數(shù)y2=的圖象上，可以求得點B的坐標，然后代入一次函數(shù)解析式，即可得到一次函數(shù)的解析式，再畫出相應(yīng)的圖象即可；（2）將兩個函數(shù)解析式聯(lián)立方程組，即可求得點C的坐標，然后再觀察圖象，即可寫出當y1＜y2時對應(yīng)自變量x的取值范圍；（3）根據(jù)點B與點D關(guān)于原點成中心對稱，可以寫出點D的坐標，然后點A、D、C的坐標，即可計算出△ACD的面積．（1）解：∵B點的橫坐標為-2且在反比例函數(shù)y2=的圖象上，∴y2==-3，∴點B的坐標為（-2，-3），∵點B（-2，-3）在一次函數(shù)y1=ax-1的圖象上，∴-3=a×（-2）-1，解得a=1，∴一次函數(shù)的解析式為y=x-1，∵y=x-1，∴x=0時，y=-1；x=1時，y=0；∴圖象過點（0，-1），（1，0），函數(shù)圖象如圖所示；；（2）解：解方程組，解得或，∵一次函數(shù)y1=ax-1（a為常數(shù)）與反比例函數(shù)y2=交于B、C兩點，B點的橫坐標為-2，∴點C的坐標為（3，2），由圖象可得，當y1＜y2時對應(yīng)自變量x的取值范圍是x＜-2或0＜x＜3；（3）解：∵點B（-2，-3）與點D關(guān)于原點成中心對稱，∴點D（2，3），作DE⊥x軸交AC于點E，將x=2代入y=x-1，得y=1，∴S△ACD=S△ADE+S△DEC==2，即△ACD的面積是2．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．◎突破四兩點兩垂線例．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，點A是第一象限內(nèi)雙曲線y＝?（m＞0）上一點，過點A作AB∥x軸，交雙曲線y＝?（n＜0）于點B，作AC∥y軸，交雙曲線y＝?（n＜0）于點C，連接BC．若△ABC的面積為?，則m，n的值不可能是（）A．m＝?，n＝﹣? B．m＝?，n＝﹣?C．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2【答案】A【分析】設(shè)A的坐標為（x，），分別表示出點B和點C的坐標，再根據(jù)三角形的面積公式得出，再將各個選項中的值代入比較，據(jù)此進行判斷即可．【詳解】解：∵點A是第一象限內(nèi)雙曲線y＝（m＞0）上一點，∴設(shè)A的坐標為（x，），∵AB∥x軸，AC∥y軸，且B、C兩點在y＝（n＜0）上，∴B的坐標為（，），C的坐標為（x，），∴AB=，AC=，∵△ABC的面積為，∴，∴=9，∴，∵將m和n的值代入，只有選項A中不符合．故選：A．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上點的特征，三角形形的面積等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力．專訓1．（2021·全國·九年級專題練習）點A，B分別是雙曲線上的點，軸正半軸于點C，軸于點D，聯(lián)結(jié)AD，BC，若四邊形ACBD是面積為12的平行四邊形，則________．【答案】6【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，從而有，然后根據(jù)k的幾何意義求解即可．【詳解】如圖，∵點A，B分別是雙曲線上的點，軸正半軸于點C，軸于點D，．∵四邊形ACBD是面積為12的平行四邊形，，∴A，B關(guān)于原點對稱，，，，，故答案為：6．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)以及k的幾何意義，掌握平行四邊形的性質(zhì)以及k的幾何意義是解題的關(guān)鍵．專訓2．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，直線y＝mx與雙曲線y＝交于點A，B，過點A，B分別作AM⊥x軸，BN⊥x軸，垂足分別為M，N，連接BM，AN．若S四邊形AMBN＝1，則k的值是_______．【答案】【分析】先證明四邊形AMBN是平行四邊形，的面積實際上就是面積的2倍，則S△ABM＝，結(jié)合圖象可知．【詳解】解：∵OA=OB，ON=OM，∴四邊形AMBN是平行四邊形，∵S四邊形AMBN＝1，∴S△ABM＝，設(shè)點A的坐標為（x，y），∴B的坐標為（?x，?y），∴×2x×y＝，∴xy＝，∴k＝xy＝．故答案是：．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的比例系數(shù)等于在它上面的點的橫縱坐標的積，是解題的關(guān)鍵．◎突破五兩點和原點例．（2021·全國·九年級專題練習）如圖所示，直線y＝－x與雙曲線y＝交于A，B兩點，點C在x軸上，連接AC，BC．當AC⊥BC，S△ABC＝15時，k的值為（

）A．－10 B．－9 C．－6 D．－4【答案】B【分析】先利用自正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)得到點A與點B關(guān)于原點對稱，OA＝OB，再根據(jù)斜邊上的中線性質(zhì)得到OA＝OB＝OC，設(shè)設(shè)B（t，?t），則A（?t，t），利用勾股定理表示出OA＝，OC＝，接著利用三角形面積公式得到××（t+t）＝15，解出t得到A（?，2），進而可求出k的值．【詳解】解：∵直線y＝－x與雙曲線y＝交于A，B兩點，∴點A與點B關(guān)于原點對稱，OA＝OB，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴OA＝OB＝OC，設(shè)B（t，?t），則A（?t，t），∴OA＝，∴OC＝，∵S△ABC＝15，∴××（t+t）＝15，解得t＝，∴A（?，2），把A（?，2）代入y＝，得k＝?×2＝?9．故選：B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，掌握正比例函數(shù)圖像和反比例函數(shù)圖像的中心對稱性，是解題的關(guān)鍵，也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和直角三角形的性質(zhì)．專訓1．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，點A（m，1），B（2，n）在雙曲線（k≠0），連接OA，OB．若S△ABO＝8，則k的值是（）A．﹣12 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4【答案】C【分析】過A作y軸的垂線，過B作x軸的垂線，交于點C，連接OC，設(shè)A（k，1），B（2，k），則AC＝2﹣k，BC＝1﹣k，利用，可計算出的值.【詳解】解：過A作y軸的垂線，過B作x軸的垂線，交于點C，連接OC，如下圖所示：設(shè)A（k，1），B（2，k），則AC＝2﹣k，BC＝1﹣k，∵，∴，即，解得，∵，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征，熟知反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)和坐標與線段之間轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.專訓2．（2022·福建三明·一模）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD的頂點在雙曲線y＝和y＝上，對角線AC，BD均過點O，AD∥y軸，若S四邊形ABCD＝12，則k＝_____．【答案】-4【分析】通過平行四邊形的性質(zhì)得到△AOD的面積為3，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到．【詳解】解：由雙曲線的對稱性得OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴，∵AD∥y軸，∴，∴，解得k＝-4或k＝4（舍），故答案為：-4．【點睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題關(guān)鍵是根據(jù)題干得到△AOD的面積．專訓3．（2021·浙江·溫州外國語學校二模）如圖，是反比例函數(shù)圖象上一點，過分別作軸、軸的垂線，垂足分別為點，點，且分別交反比例函數(shù)圖象于點，點，連結(jié)，，若圖中陰影部分的面積為4，則的值為________．【答案】7【分析】連接CD，作軸，垂足為E，設(shè)，得到D，C，E的坐標，分別表示出△OCD和△DPC的面積，根據(jù)，即可得到k值．【詳解】解：連接CD，作軸，垂足為E，設(shè)，則，，，∴，，，∴．．∴，∴，∴．故答案為：7．【點睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標軸作垂線，與坐標軸圍成的矩形面積就等于|k|．本知識點是中考的重要考點，同學們應(yīng)高度關(guān)注．◎突破六兩曲-平行例．（2022·湖南衡陽·八年級期中）如圖，過x軸正半軸上的任意一點P，作y軸的平行線，分別與反比例函數(shù)y（x＞0）和y（x＞0）的圖象交于B、A兩點．若點C是y軸上任意一點，則△ABC的面積為（

）A．3 B．6 C．9 D．【答案】D【分析】設(shè)P（a，0），由直線APB與y軸平行，得到A和B的橫坐標都為a，將x＝a代入反比例函數(shù)y和y中，分別表示出A和B的縱坐標，進而由AP＋BP表示出AB，三角形ABC的面積AB×P的橫坐標，求出即可．【詳解】解：設(shè)P（a，0），a＞0，則A和B的橫坐標都為a，將x＝a代入反比例函數(shù)y中得：y，故A（a，）；將x＝a代入反比例函數(shù)y中得：y，故B（a，），∴AB＝AP＋BP，則S△ABCAB?xP，故選D．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖象k的幾何意義，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握反比例函數(shù)k的幾何意義.專訓1．（2022·江西南昌·九年級期末）如圖，兩個反比例函數(shù)y和y