2023年吉林省長春市高考數(shù)學質(zhì)檢試卷（三）及答案解析

2023年吉林省長春市高考數(shù)學質(zhì)檢試卷(三)

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知aeR,i為虛數(shù)單位，若最為實數(shù)，則a=()

A.-3B.gC.3D.-4

2.如圖所示的Henn圖中，4、B是非空集合，定義集合為陰

影部分表示的集合.若A=(x\x=2n+l,nG,N,n<4],B=

{2,3,456,7},則4(8)B=()

A.[2,4,6,1}B.{2,4,6,9}C.{2,3,4,5,6,7}D.{1,2,4,6,9}

3.已知隨機變量X?N(282),且P(XW4)=0.84,則P(0<XW4)=()

A.0.84B,0.68C.0.34D,0.16

5.已知等比數(shù)列{斯}的公比為q(q>0且q#1),若a6+8%=(14+8。3，則q的值為()

A.。B.4C.2D.4

42

6.已知函數(shù)/(x)=2的(3%-學+1,(3>0)的圖象在區(qū)間(0,2兀)內(nèi)至多存在3條對稱軸，

則3的取值范圍是()

A.(0,|]B,(|)|]C,[1)|)D.[|,+8)

7.已知對于每一對正實數(shù)x,y,函數(shù)/(%)滿足"(%)+f(y)=f(x+y)-xy-1,若f(l)=1,

則滿足/(ri)=n(n6N*)的"的個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.己知點P為平面直角坐標系xOy內(nèi)的圓/+y2=16上的動點，定點4（—3,2）,現(xiàn)將坐標平

面沿y軸折成莖的二面角，使點4翻折至4,則4,P兩點間距離的取值范圍是（）

A.[<13,3>^5]B.[4-5^13,7]C.[4-37~5]D.[<13,7]

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.在AaBC中，若tan^=sinC,則下列論斷正確的是（）

A.=1B.sinA+sinB<V-2

C.sin2yl+cos2B=1D.cos2/4+cos2B=sin2c

10.閱讀數(shù)學材料：“設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為1-

京乙QJQ2+NQ2PQ3+…+乙Qk-PQk+NQ/Qi），其中=1,2,k>3）為多面體M

的所有與點P相鄰的頂點，且平面Q1PQ2,平面Q2PQ3，…，平面Qk-iPQk和平面QJQi為多

面體M的所有以P為公共點的面

解答問題：已知在直四棱柱ABCD-AiBiCiA中，底面48C。為菱形，AA1=AB,則下列結(jié)

論正確的是（）

A.直四棱柱4BC。-&當6。1在其各頂點處的離散曲率都相等

B.若AC=B。，則直四棱柱4BCD-aB1C也在頂點4處的離散曲率為:

C.若四面體力MB。在點&處的離散曲率為卷，則ACil平面&BD

D.若直四棱柱4BCD-4/165在頂點4處的離散曲率為5則BG與平面4CG的夾角為今

11.定義在R上函數(shù)f（x）=P+2%3+4/+a%+1,則（）

A.存在唯一實數(shù)a,使函數(shù)f（x）圖像關(guān)于直線x=對稱

B.存在實數(shù)a,使函數(shù)/'（X）為單調(diào)函數(shù)

C.任意實數(shù)a,函數(shù)f（x）都存在最小值

D.任意實數(shù)a,函數(shù)/（%）都存兩條過原點的切線

12.已知直線Z：y=kx+zn與橢圓C；（+4=1交于4、B兩點，點尸為橢圓C的下焦點，

34

則下列結(jié)論正確的是（）

A.當m=l時，皿6R,使得|西|+|短|=3

B.當m=l時，VfcGR,使|同+而|>2

C.當k=l時，BmGR,使得|西|+|而|=?

D.當k=l時，VmG/?,\FA+FB\>^

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.若cosg-0)=則sin28=.

14.已知單位向量否，備的夾角為60。，若五=工否+丫杳，則記作為=(x,y).已知向量沆=

(1,2),n=(1,-1),則|沅+元|=.

15.早在一千多年之前，我國已經(jīng)把溢流孔技術(shù)用于造橋，以減輕橋身重量和水流對橋身的

沖擊，現(xiàn)設橋拱上有如圖所示的4個溢流孔，橋拱和溢流孔輪廓線均為拋物線的一部分，且四

個溢流孔輪廓線相同，建立如圖所示的平面直角坐標系％Oy,根據(jù)圖上尺寸，溢流孔ABC所

在拋物線的方程為,溢流孔與橋拱交點4的橫坐標為.

16.將圓分成n(n22,neN*)個扇形，每個扇形用紅、黃、藍、橙四色之一涂色，要求相鄰

扇形不同色，設這n個扇形的涂色方法為冊種，則a”與a“_i的遞推關(guān)系是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

從下列條件中選擇一個條件補充到題目中：

①S=1(爐+°2一。2),其中S為A4BC的面積，②寢=@^sinC+cosC=

c+b

a-

在△力BC中，角A,B,C對應邊分別為a,b,c,.

(1)求角A；

(2)若。為邊AB的中點，CD=求b+c的最大值.

18.(本小題12.0分)

如圖，平面五邊形ABCDE中，△/!￡>￡1是邊長為2的等邊三角形，CD//AE,CD=AE,乙BAD=

/-ABC=p將△力DE沿4。翻折，使點E翻折到點P.

(I)證明：PCA.BC；

(11)若「(；=3,求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.

在正項數(shù)列中，2n2n2

｛an｝a1=2-=1+2~'>2).

(I)求5｝；

(口)證明：(%(見一霽)

20.(本小題12.0分)

國學小組有編號為1,2,3,…，n的n位同學，現(xiàn)在有兩個選擇題，每人答對第一題的概率為

|、答對第二題的概率為：，每個同學的答題過程都是相互獨立的，比賽規(guī)則如下：①按編號

由小到大的順序依次進行，第1號同學開始第1輪出賽，先答第一題；②若第i(i=1,2,3，…,n-

1)號同學未答對第一題，則第i輪比賽失敗，由第i+1號同學繼繼續(xù)比賽；③若第i(i=

l,2,3,...,n—1)號同學答對第一題，則再答第二題，若該生答對第二題，則比賽在第i輪結(jié)棗；

若該生未答對第二題，則第i輪比賽失敗，由第i+1號同學繼續(xù)答第二題，且以后比賽的同學

不答第一題；④若比賽進行到了第n輪，則不管第兀號同學答題情況，比賽結(jié)束.

令隨機變量表示名同學在第輪比賽結(jié)束，當時，求隨機變量的分布列；

(1)X”nXnn=3X3

(2)若把比賽規(guī)則③改為：若第i(i=1,2,3，…,n-1)號同學未答對第二題，則第i輪比賽失敗，

第i+1號同學重新從第一題開始作答.令隨機變量匕表示n名挑戰(zhàn)者在第心輪比賽結(jié)束.

①求隨機變量Vn(neN*,n>2)的分布列；

②證明：E(匕)單調(diào)遞增，且小于3.

21.(本小題12.0分)

已知雙曲線C上的所有點構(gòu)成集合P=｛(x,y)|ax2-by2=l(a>0,b>0)｝和集合Q=

22坐標平面內(nèi)任意點直線

((%,y)|0<ax-by<l(a>0,b>0)｝,N(x(),yo),1：axox-byoy=

1稱為點N關(guān)于雙曲線C的“相關(guān)直線”.

(1)若N6P,判斷直線，與雙曲線C的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若直線1與雙曲線C的一支有2個交點，求證：NCQ；

(3)若點NeQ,點M在直線Lt,直線MN交雙曲線C于4B,求證：需=需.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/1(x)=2ae-x-sinx+1,f'(x)是f(x)的導函數(shù),且/''(0)=0.

(I)求實數(shù)a的值，并證明函數(shù)f(x)在x=0處取得極值；

(11)證明“乃在每一個區(qū)間［2時,2面+名(卜eN)都有唯一零點.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：第=然黜=3aT；f+3)i,

3十I十1)(3—I)1U

由于黑為實數(shù)，則a+3=0,所以a=—3,

故選:A.

求出第=磊貂=生鏟紇再由最為實數(shù)，能求出心

本題考查實數(shù)值的求法，考查復數(shù)的運算法則、實數(shù)的定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是

基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：由Uenn圖可知，A?B={x\xE(AUB),x(AdB)),

因為A={x\x=2n+l,nGJV,n<4}={1,3,5,7,9},B={2,3,4,5,6,7},

則AUB={1,234,5,6,7,9},4nB={3,5,7},

因此，4gB={1,2,4,6,9}.

故選：D.

分析可知4OB={x|xe(4uB),xC(anB)},求出集合4、AUB、A^B,即可得集合4(8)B.

本題考查集合的應用，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：由P(X<4)=0.84,知P(X>4)=P(X<0)=0.16,

故P(0<X<4)=1-P(X>4)-P(X<0)=1-0.32=0.68.

故選：B.

根據(jù)正態(tài)分布的定義，先求出尸(X24),再結(jié)合「(0<丫式4)=1一2324)-/3(X式0)即可得

到答案.

本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個量〃和。的應用，考查曲

線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：如圖，連接48，BD,

由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，A\B“DiC,

???異面直線直線與BiC所成的角為4B4D,

為等邊三角形，

???4BaD=宗

故選：C.

由&B〃D】C,得異面直線4D與AC所成的角為由△B4D為等邊三角形，即可求出異面

直線40與DiC所成的角.

本題考查兩異面直線所成角的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：「。6+8的=。4+8。3,

532

:.a^+8al=axQ+8CZ1Q>

v的H0,二q5+8=q3+8Q2（

即（q3_8）（q2-1）=0,

1??q>0且q41,二q3-8=0,

:?q=2.

故選：C.

利用等比數(shù)列的通項公式求解即可.

本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：?函數(shù)”乃=2皿（3：-金+1（3>0）的圖象在區(qū)間（0,2兀）內(nèi)至多存在3條對稱軸,

MX-S2O）TT—,???2（i）7t—a><1.

故選：A.

由題意，根據(jù)余弦函數(shù)圖象的對稱軸，求得3的取值范圍.

本題主要考余弦函數(shù)圖象的對稱軸，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解:函數(shù)/'(x)滿足：f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1,

令y=1得，f(x)+/(l)=f(x+1)—x—1,即f(x+1)-f(x)=x+2,

令x=0得，f(l)-/(O)=2,-1,

???/■(l)-/(0)=0+2=2,

/'(2)-/⑴=1+2=3,

/(3)-/(2)=2+2=4,

f(jl)—f(Tl—1)—(71—1)+2=71+1,

累加得，f(ri)—f(0)=2+3+……+(?i+1),

???/(n)=2+3+…...+(n+1)-1=n(24^+1)-1=^^2_i,

即當neN*時，f(n)=巴羅一1,

令/'(n)=n得，_i=n,

解得n=-2或1,

又neN*,：.n=l,

即滿足f(n)=n(neN*)的兀的個數(shù)是1個.

故選：A.

令y=I得,f(x)+/(l)=f(x+l)-x-l,所以f(x+1)-/(x)=x+2,先令X=0求出f(0)的

值，再利用累加法可求出f(n)的解析式，從而求出滿足/5)=?(71€7*)的71的個數(shù).

本題主要考查了抽象函數(shù)的應用，考查了累加法求和，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：由圓的方程得圓的半徑r=4,

當P與4位于同一半圓時，作出該半圓所在的平面圖如下圖所示，

V\PA'\>\0P\-\0A'\=4-V(-3)2+22=4-y/~13,(當且僅當。，A,P三點共線時取等號),

.?,當P位于圓中P'處時，|PA'|取得最小值4-

又當P位于圖中M(0,-4)處時，|PA|=J(-3)2+(2+4尸=3/虧，

當P與4分別在兩個半平面中時，

作4'C_L平面xOy,垂足為C,作4'EJ.y軸，垂足為E,連接CE,則4C,E三點共線，

設F為延長線上的點，則NAEF即為翻折后的二面角的平面角，

???Z.AEF-Z-A'EA=

???\A'E\=3,:.\A'C\=\A'E\sm/.A'EA=空\CE\=\A'E\cos^A'EA=

L/

3

??.C(-f,2),

P為圓X?+y2=16右半圓上的點，二可設尸(4cos0,4sin8),。6為，

|PC|2=(4cos0+1)2+(4sin0—2)2=竽-16sin6+12cos0,

\PA'\2=\PC\2+\A'C\2=29-4(4sin0-3cos0)=29—20s譏(6+■),其中ta叩=-也￡e

(冶，0)，

.?.0+夕6(一嗎),

二當。+6=一看即sin(0+0)=-1時，|PA|*ax=49,

，|P^'\max~7，

sin(6>+0)<1,|PA'|2>29-20=9,\PA'\>3,

綜上，A',P兩點間距離的取值范圍是[4—E,7].

故選：B.

由圓的方程得圓的半徑r=4,\PA'\>\OP\-\OA'\=4-V(-3)2+22=4-V-13,當且僅當0,

A,P三點共線時取等號，當P位于圓中P'處時，|PA'|取得最小值4-E，當P與4分別在兩個

半平面中時，作4cl平面xOy,垂足為C,作AE_Ly軸，垂足為E,連接CE,則4C,E三點共

線，設F為延長線上的點，貝吐4EF即為翻折后的二面角的平面角，由此能求出A,尸兩點間距離

的取值范圍.

本題考查圓、二面角和線面角的定義及求法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解：丫tan=sinC,

.A+B

sin—2—cA+BA+8

A+B=2,SLTI---COS---,

COS-^—

-F7.A+B

乂sin---0n0,

???2COS2^Y~—1=0,即cos。+8)=0,

7T

???A+8=/,

對于4^=tan27l,不一定等于1,選項A錯誤；

tanB

對于8,+sinB=sinA+cosA=V_2sin(i4+^)<y/~2,當4=B=即寸等號成立，故B正確;

對于C,sin2/l+COS2B=sin2/l+sin?/=2sin2A,不一定等于1,選項C錯誤；

對于0,cos2/l+cos2^=cos2A+sin2i4=1=sin2^=sin2C,選項。正確.

故選：BD.

根據(jù)tan"^=sinC,化簡可得4+B=今再逐項分析即可得到答案.

本題主要考查三角恒等變換，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：對于4當直四棱柱力BCD-aB1G01的底面不為正方形時,

其在同一底面且相鄰的兩個頂點處的離散曲率不相等，故4錯誤；

對于8,右=則菱形4BCD為正方形，

???441J■平面48mAB,A。u平面A8C0,

???AAr1AB,AAr1AD,

1

+7T-+=-

???直四棱柱48。。-4/。1。1在頂點處的離散曲率為124

對于C,在四面體Zi/BD中，AAt1AD,AAt=AB=ADf

??Z-AA1B=Z.AAAD=p

???四面體7114BD在點4上的離散曲率為1—/@3+乙BA]D)=，，

解得NB4iD=梟由題意知&B=AiO=/"Z4B,.??8。=。48,,??力8_14。，

???直四棱柱4BCD-&8傳1。1為正方體，

???的。11?平面AD1u平面ADDiAi，

???。也14D,

vAD11也門。也=。1，???&。?L平面4。也，

??,4clu平面4。也，???AC11A1D,

同理，BDLAClf

vA1DC\BD=D,A1D1BDu平面4$。，

???4Ci_L平面418。，故C正確；

對于D,直四棱柱/BCD—4181。1。1在頂點/處的離散曲率為1—g+々￡MB)=

4〃414*O

則4ZMB=pZMB是等邊三角形,

設ACCBO=。，則NBC]。是BCi與平面ACC1的所成角,

sin乙BCi0=〃=W，故0錯誤?

1y/2AB4

故選：BC.

根據(jù)題意求出線線夾角，再代入離散曲率公式，對四個選項逐一分析判斷，結(jié)合線面垂直的判定

定理和性質(zhì)能求出結(jié)果.

本題考查直四棱柱、四面體的結(jié)構(gòu)特征、離散曲率、立體幾何等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，

是中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解：對于4,若函數(shù)/'(X)圖象關(guān)于直線工=-；對稱，則人乃=/(-1-x)恒成立，

所以f(0)=/(—1)且"1)=/(一2),所以Q；：[；7_2a'解得a=3，

且當a=3時，/(%)=x4+2x3+4%2+3x+1=x2(x+I)2+3x(x+1)+1,

則/(一1-x)=(-1-x)2(-l-x++3(-1-x)(-l-x+l)+l=x2(x+l)2+3x(x+

1)+1=/(x),

所以存在唯一實數(shù)a,使函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線％=對稱，故A正確；

對于氏=4/+6/+8%+a,xRR,則/(%)￡/?,所以函數(shù)/(%)不是單調(diào)函數(shù)，故8不

正確；

對于C,由于/(%)=4%3+6/+8%+Q,又令九(工)=/'(%)=4%3+6%2+8%+Q,則"(X)=

12x2+12X+8=12(%+32+5>0恒成立，

所以/'(%)在％WR上單調(diào)遞增，且％r-8,f'[x)<0；x->+oo,f\x)>0,故/(%)存在唯一的

零點

使得f(&)=0,所以當％e(一8,無0)時,尸(不)<0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞減，當x6Qo，+8)時,f'(x)>0,

函數(shù)/(%)單調(diào)遞增，

故對任意實數(shù)如函數(shù)/(%)都存在最小值，故C正確；

對于D,由于/(%)=4%3+6%2+8%+。，設曲線y=/(%)上的切點坐標為(%1，/(%1)),

則k==4xf+6*+8x1+Q,/(%!)=4-2xf+4xf+axx+1

所以切線方程為y—(%i+2xf+4x1+axr+1)=(4xf+6xf+8x1+a)(%-%力，當切線過原點

時，

有一+2%i+4x1+ax14-1)=(4xf+6xf+8xx+Q)(一/),

整理得3注+4巖+4x2-1=0,方程在實數(shù)范圍內(nèi)有兩個根，故。正確.

故選：ACD.

根據(jù)對稱性先用特殊值求得a的值，即可判斷4根據(jù)導函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B,C；根據(jù)導數(shù)的兒

何意義求解切線方程，代入原點判斷方程的實根個數(shù)即可判斷以

本題考查導數(shù)的綜合應用，屬于中檔題.

12.【答案】BC

【解析】解：在橢圓C中，a=2,b=c=Va2—b2-1，

由題意可得F(0,—l),上焦點記為F'(0,l),

對于4選項，設點4(%i，yi)、8(%2，丫2)，

聯(lián)立23可得(31+4)%2+6--9=0,

(4%，+3yz=12

A=36k2+36(3k2+4)=144(k24-1)>0,

由韋達定理可得/+%2=一送工*62=一/工，

|畫"1+W(打+犯)-4"2=41+*，^)2+言=岑答

所以，|而|+|而|=4a-|同|=8-|而|€(4,5],4錯;

對于B選項，設線段AB的中點為M(x,y),

停+

由題意可得1

修+

因為直線A8的斜率存在，則與。右，所以，葉?冷=卜?名="，

XI-X?Xj+%2乙X3

整理可得的=—又因為y=k%+1,消去k可得4/+3y2—3y=0,其中y>0,

xx

所以'FX+FF=(xx,乃+1)+(x2,丫2+1)=(i+21%+力+2)=(2x,2y+2)，

所以，|包+FF|=74x2+4(y+I)2=74x2+4y2+8y+4=yj3y—3y2+4y2+8y+4

Jy2+uy+4>2,B對；

對于C選項，當k=l時，直線，的方程為曠=x+m,即％=丫-小，

(X=y—m~?

聯(lián)立［鈕2+3y2=12,可得7y2-8my+4m2-12=0,

4=64m2-28(4m2-12)=16(21-3m2)>0,解得—<7<m<C，

m

由韋達定理可得yi+y2=早,y，2=4/I?,

|同|=J*+5+1)2=J3-學+*+2%+1=Ja+2y】+4=|2+知=2+冷,

同理|而|=2+孕，所以，|西|+|而|=4+中=4+竽6(4—噂,4+殍)，

因為染(4一噂,4+浮)，所以，當k=l時，3m6/?,使得|而|+|而|=',C對；

對于。選項，設線段4B的中點為M(x,y),

由8選項可知，".空=祟=—￡即y=_統(tǒng)即4x+3y=0,由卜=一/可得萬=

%1-％22%3/3/(4%2_|_3y2_I2

工3c

一十~二7-?

33

故點M的橫坐標的取值范圍是(-亨，誓)，而點尸到直線4x+3y=0的距離為&==5,

由［：笠:：：可得久=§e(-當澤當且僅當點“點,一5時，

I，—4人■人乙。//乙」乙」

國+而|取最小值也D錯.

故選：BC.

對于4將直線［的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出|四|的取值范圍，可求得|同|+|而|的取值范圍，

可判斷力選項；求出線段4B中點的軌跡方程，可求得|諄+而|的取值范圍，可判斷B選項；將直

線I的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式結(jié)合4>0可求得|明|+|而|的取值范圍，可判斷C選

項；求出線段4B中點的軌跡方程，可求得|西+而|的最小值，可判斷。選項.

本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題.

13.【答案】—；

【解析】解：若cosg-6)=g=?(cos。+sin。)，

所以cos。+sinO=

兩邊同時平方得1+2sindcos9=

則s出20=-i

故答案為：—

由已知結(jié)合和差距公式，二倍角公式及同角平方關(guān)系可求.

本題主要考查了和差距公式，二倍角公式及同角平方關(guān)系的應用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】「

【解析】解：因為|引=，(X可+y荀2=J/同『+y2層『+2孫派五=7x2+y2+xy,

所以|記|=71+4+2=y[~7,|n|=V14-1—1=1，

沆.元=回+2硝?區(qū)-與)=1瓦|2+江運-2|ej|2=1+1-2=-1,|m+n|=

7(m+n)2=V\m\2+\n\2+2m-n=V7+1-1=

故答案為：V-7-

由數(shù)量積公式計算|m\,\n\,m-n,再由模長公式計算|沅+五|.

本題考查了平面向量數(shù)量積和模長公式，屬于中檔題.

15.【答案】(x—14尸=一列，罟

【解析】解：根據(jù)題意，設橋拱所在拋物線的方程為/=-2py,(p>0),溢流孔4BC所在方程

為Q-14產(chǎn)=-2p'y(p'>0),

由它們均過(20,-5),代入可得400=10p,36=10p',

解可得：P=40,p"=y,

可得橋拱所在拋物線的方程為=-80y,溢流孔ABC所在方程為(X-14)2=-卜，

則右邊第二個溢流孔所在方程為(x-7)2=-yy,

則有匕等/解可得「=*或>2。即溢流孔與橋拱交點溯橫坐標為答,

故答案為：(X-14)2=-引，詈.

根據(jù)題意，設橋拱所在拋物線的方程為/=-2py,(p>0),溢流孔4BC所在方程為(x-14)2=

-2p'y(p'>0),運用待定系數(shù)法，求得p,p',可得右邊第二個溢流孔所在方程，聯(lián)立拋物線方程，

可得所求.

本題考查拋物線標準方程的綜合應用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

n_1

16.【答案】cin=4x3-an_!

【解析】解：將圓分成n個扇形時，將n個扇形一次設為7】，T2，…，Tn,

設這幾個扇形的涂色方法為每種，

當n—2時，a2=4x3=12；

711

當n>2時，A有4種涂法，5有3種涂法，接著73,T4,丁…〃，依次有3種涂法，故共有4x3-

種，

但其中7；與A的顏色相同時有由1T種涂法，

n_1

故斯=4x3—an_i.

71_1

故答案為：an=4x3—an_j.

由分步計數(shù)原理和即與即-i之間的關(guān)系，可得結(jié)論.

本題考查計數(shù)原理和數(shù)列的遞推式，考查轉(zhuǎn)化思想和推理能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)選①，由余弦定理得：b2+c2—a2-2bccosA,

又S=gbcsinA,

所以gbcsinA=1x2bccosA，

得tan4=V_3>

因為。<4<5,

所以4=g,

選②，因為岑=.:f0,由正弦定理得：—=^4，

JsinCsinA—stnBca—b

整理得：b2+c2-a2^bc,

由余弦定理得：cos4=4+c2-a2=j

因為0<4<會

所以4=最

選③，因為譏C+cosC=上把，由正弦定理得：V-3sinC+cosC=sinC+s^nB,

即，3si九CsinA4-cosCsinA=sinC+sinB，

又因為4+C=兀-8,

所以sinB=sin(?l+C)=sinAcosC+sinCcosA,

所以—sinCcosA=sinC?

因為0<C<7T,

所以sinC豐0,

所以-cosA=2sin(i4-^)=1,

V

72-r>

5

7r

6--76-r6-7r

所以AY建,即a=祭

(2)在△ACD中，設=

由正弦定理得薪=SE(冬Y)=亨=牝

2

所以AC=4sin6,AD=4sin(y7r-0),

■-b+c=4sin。+8stn(y-0)=8sin0+4y/~3cos0=4V_7sin(。+<p)<4V-7，其中ta”=三,

當e+w=I時取等號，

所以b+c的最大值是4，萬.

【解析】(1)選①，利用余弦定理可得〃+c2-a2=2bccos4,再結(jié)合面積公式S=gbcs譏4,可

得tcmA=/可，進而求解；

選②，由當=結(jié)合正弦定理可得史+c2-a?=be,再結(jié)合余弦定理可得C0S4=：,進

smcsi.n:Af-st.n0B2

而求解；

選③，由V~3sinC+cosC=結(jié)合正弦定理可得V_3sinCsinA+cosCsinA=sinC+sinB>進而

得到2sin(4-9=l,進而求解.

（2）在△AC。中，設乙40C=。，由正弦定理可得4c=4sin8,4D=4sin（竽-。），進而得到b+c=

8sin9+4\「5COS。=4\P7sin（0+<p），進而求解.

本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：（I）證明：在平面圖形中取4D中點。，連接OC,0E,

???△4DE是邊長為2的等邊三角形，

OEVAD,0D=1,故翻折后有,OP_LAD,

又：CD//AE,乙CDO=4DAE=

CD=AE=2,：.0C1AD,且P。nOC=0,

.-.AD1平面POC,

"/.BAD=Z.ABC=^,.-.AD//BC,：.BCLnPOC,

vPCu平面POC,APC1FC；

（口）由（I）得。P140,0clAO,.??二面角的平面角為NPOC,

在△POC中，OC=OP=C，PC=3,

由余弦定理得COSNPOC=-1,ZPOC=y,

二面角P-AD-B的大小是家

在平面POC內(nèi)作。M_LOC,交PC于M,

vADJ■平面POC,

.??以。為坐標原點，。4所在直線為%軸，0C所在直線為y軸，0M所在直線為z軸，建立空間直角坐

標系，

???乙POC=—,OP=

.??4(1,0,0),。(—1,0,0),C(0,<3,0)，P(0,-?,|)，

.??麗=(1,胃,一|)，PC=DC=(l,<3,0).

設平面PC。的法向量元=(%,y,z),

則n.生="^-y_2Z=°,取y=l,得元=(_q,i，O，

n-DC=x+y/~3y=0

設直線PB與平面PCD所成角為。，

則直線PB與平面PCD所成角的正弦值為：

.c|PBn|V-3yT210

【解析】(I)在平面圖形中取4。中點0,則有OP_LAD,0C14D,再應用線面垂直的判定、性

質(zhì)能證明PC1BC；

(11)由(1)得?！?4。，OCLAD,則二面角P-AD—B的平面角為NPOC,在APOC中利用余弦

定理即可；在平面POC內(nèi)作。MJ.OC,以。為坐標原點，。4所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，

?！八谥本€為z軸，建立空間直角坐標系，確定相關(guān)點的坐標，利用向量法能求出直線P8與平面

PCD所成角的正弦值.

本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、線面角的定義及正弦值的求法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，

是中檔題.

19.【答案】(I)解:依題意,當nL2時,由22”?忌=1+22"2.碎

可得(2"0n)2=1+(2"T0n_力2,

即(2%)2_(2底%…)2=1,

1

v21al=2x-=1,

???數(shù)列｛(2九QQ2｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)歹U，

n2

A(2an)=1+1?(n-1)=n,nEN*,

van>0,nEN*,

?1?an=票€N*.

（n）證明：由題意及（i）,

可得ENK%-^r）=27=i（牛一卷害）

故不等式￡F=i（法）<；對任意neN*恒成立.

2乙

【解析】（I）由題意當n>2時，由22n?夠=1+22n-2?W_i，可得已為.產(chǎn)=1+a^2,

進一步推導即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列｛（2%n）2｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，通過計算數(shù)列｛（2"%）2｝的

通項公式即可計算出數(shù)列m九｝的通項公式；

（H）先將第（I）題數(shù)列｛即｝的通項公式代入題干表達式，再運用裂項相消法進行運算，最后根據(jù)不

等式的性質(zhì)即可證明不等式成立.

本題主要考查數(shù)列由遞推公式推導出通項公式，以及數(shù)列求和與不等式的綜合問題.考查了整體

思想，分類討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，裂項相消法，不等式的運算，以及邏輯推理能力和數(shù)學

運算能力，屬中檔題.

20.【答案】解：（1）根據(jù)題意可知X3=1,2,3,

XP(X3=l)=|x|=|,

111215

2X+XX=

P(X=2)=|X2-2-3-

318

1573-2-

P(X3=3)=l-1-^=^

??.X3的分布列為:

3

(2)①根據(jù)題意知4=1,2...n,

每位同學兩題都答對的概率為p=|x|=|,

??.答題失敗的概率均為：1—|x；=|,

2fcx1

Y"=k(l￡k￡n-l,keN*)時，P(Yn=k)=(1)-x|；

當/=?時2(匕=n)=(|)nT,

%的分布列為：

Yn123n—1n

121Ax121

P—X—(3)n-2x3(如

333卬X3

②證明：由①知：E(匕)=￡仁"(|)kTx：+n($nT(n6N*,n22),

n1

E(Yn+1)-E(.Yn)=n(|)"Tx1+(n+l)(|)-ncj)^=(|尸>0,

故E(匕)單調(diào)遞增；

由上得E(七)=|,

故E(Yn)=E(Y2)+[E(匕)-E(Y2)]4-[F(n)-E(Y3)]+…+倒匕)—E(k)],

???E(匕)=|+(|)2+(|)3+?--+(|)*1=|+(護]?”勺=3-2x(|)n-l<3,

故E(匕)<E(Y3)<E(匕)<E(匕)<<E(4)<3.

【解析】(1)由題設有，X3可取值為1,2,3,應用獨立事件乘法公式、互斥事件概率求法求各值

對應的概率，即可得分布列；

(2)①應用二項分布概率公式求匕取值1,2，…，n對應概率，即可得分布列；

②由①分布列得E(%)=2￡=k(|)kTxg+n6)nT5eN",n>2),定義法判斷E(%)單調(diào)性，

累加法、等比數(shù)列前n項和公式求E(匕)通項公式，即可證結(jié)論.

本題考查離散型隨機變量的分布列，期望的范圍的求解，數(shù)列的單調(diào)性，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔

題.

21.【答案】解：(1)直線I與雙曲線C相切，理由如下：

聯(lián)立方程組一空2=1

(axox—byQy=1

22

A(abyQ—ax§)x+2axQx—1—by,=0①,

,:NEC,axg-byl=1,即Q詔—1=by^代入①得，

2

—ax+2axox—ax^=0,

???4=4U2XQ-4a2%Q=0,

??.直線1與雙曲線C相切；

22

(2)證明:由(1)知(aby衣—aXg)x+2axox—1—by,=0,

abyl-a2XgH0

竺力，

aby§-22>°

{ax

???A=4a2Xg—4a(by，—a2%o)(—1—by?=4ab(l+by1—a詔)，

axl-byl<1,

..Ti%=1+b羽0

.Qb%_Q2用a(axg-byg)，

???0<a%o—byl<1,

???NEQ；

(DI)證明：設4(居y),設羽彳=4麗，麗=〃麗，

???N(x0,y0)C/,

x=巧+.0

一，代入雙曲線c：ax2-by2=l,利用M在，上，

{y-~i+r

2

即a&Xi-byoy1=1,整理得，(a%o-by,-1)A+axf-byl-1=0,

同理得關(guān)于〃的方程，(端-byl-1)〃2+axl-hyf-1=0,

即入、〃是(a詔-byl-l)t2+axl-byl-1=0的兩根,

???2+4=0,X=一〃，

.|MA|_|MB|

??\AN\一

【解析】(1)直線2與雙曲線C相切，理由：聯(lián)立直線方程和曲線C的方程消去y可得出九-

22

a%g)x+2axox—1—by,=。①，然后根據(jù)N6C得出a詔—1=byl，然后代入①，得出方程

①有二重根即可；

2