第07講-圓周運(yùn)動(dòng)課件

如圖，l，h，m已知，球原先靜止，在下落過(guò)程中的某處繩斷裂，球恰好落到懸點(diǎn)的正下方。求繩能承受的最大張力解：均勻半圓形金屬拱架ACB，圓心在O點(diǎn)，質(zhì)量M=1000kg，A端鉸接，B端放在滾珠上，有一質(zhì)量為m=500kg的物體從頂點(diǎn)C無(wú)摩擦滑下，求當(dāng)物體滑到D點(diǎn)時(shí)(∠COD=30°)，A、B兩支點(diǎn)對(duì)拱架的作用力．解:

如圖，用細(xì)桿把質(zhì)量為M的圓環(huán)固定起來(lái)，圓環(huán)頂部套有兩個(gè)質(zhì)量均為m的小環(huán)，大小環(huán)之間無(wú)摩擦．若兩個(gè)小環(huán)同時(shí)由靜止開(kāi)始下滑，那么(1)試證明當(dāng)m大于某一值時(shí)，大環(huán)會(huì)有上升的趨勢(shì)；(2)說(shuō)明m的值不同時(shí)，大圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)情況．解：當(dāng)小環(huán)與大環(huán)圓心的連線與豎直線的夾角為θ時(shí)，設(shè)它與大環(huán)之間的彈力是N，那么分析小環(huán)： ①②分析圓環(huán)①、②式可解得③N=mg(3cosθ-2)當(dāng),即時(shí)N<0,說(shuō)明小環(huán)開(kāi)始對(duì)圓環(huán)有向上的作用力，要圓環(huán)開(kāi)始有上升的趨勢(shì)，必須有T=O，即只有當(dāng)時(shí)，θ才有解，即圓環(huán)才可能有上升趨勢(shì)，有上升趨勢(shì)的位置為如果m恰好為3M/2，則小環(huán)只在一個(gè)位置，即當(dāng)時(shí)，圓環(huán)才有上升的趨勢(shì)．

如果m>3M/2則小環(huán)位置在一個(gè)范圍內(nèi)大環(huán)都有上升的趨勢(shì)．例如當(dāng)=60°，θ2=，即θ在-的范圍內(nèi)，圓環(huán)都有上升的趨勢(shì)．m=2M時(shí)，θ1=長(zhǎng)為2b的輕繩，兩端各系一個(gè)質(zhì)量為m的小球，中央系一個(gè)質(zhì)量為M的小球，三球均靜止于光滑的水平桌面上，繩處于拉直狀態(tài)，三球在一直線上．今給小球M以一個(gè)沖擊，使它獲得水平速度v，v的方向與繩垂直．求(1)M剛受沖擊時(shí)繩上的張力；(2)在兩端的小球發(fā)生碰撞前的瞬間繩中的張力．(1)M剛受沖擊時(shí)，m在M參照系中做圓周運(yùn)動(dòng)，而M此瞬間的加速度為零，所以對(duì)m不需加慣性力，因此此時(shí)繩上的張力(2)由于桌面是水平光滑的，所以由三個(gè)球組成的系統(tǒng)動(dòng)量和能量都守恒．設(shè)兩個(gè)m球在碰前的瞬間M和m相對(duì)桌面的加速度分別為aM和am，其中aM與原來(lái)的v反向；am與原來(lái)的v同向，繩的張力為T2，那么相對(duì)于M，m做圓周運(yùn)動(dòng)，在碰撞前的瞬間，m相對(duì)M的向心加速度為v2x／b，其中vx為m在垂直于繩方向上的速度(圖)．因?yàn)镸是一個(gè)非慣性系，所以在分析m時(shí)要加慣性力maM，方向與aM相反，將代入：

可解得因?yàn)槔K子不可伸長(zhǎng)，所以可以設(shè)M和m在沿繩子方向上的速度都是vy，由機(jī)械能守恒定律和動(dòng)量守恒定律可有由以上二式可解得 v2x=Mv2／(M+2m)將v2x代入T2的表達(dá)式，即得

一個(gè)質(zhì)量為m的小球C固定在一根長(zhǎng)2l的輕桿的中點(diǎn)，輕桿由豎直位置開(kāi)始沿墻滑下，桿下端的速度恒為v，求當(dāng)桿和墻成α角時(shí)，桿對(duì)C的作用力。（1）①②兩式平方和相加得（2） ∴與桿夾（90°-2α）角不變， 也不變， ∴C受的作用力F應(yīng)豎直向上③

由③，④可以得到④

一根繩的一端連接于A點(diǎn)，繩上距A端為a處系有一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)B，繩的另一端通過(guò)固定在C點(diǎn)的滑輪，A、C位于同一水平線上．某人握住繩的自由端，以恒定的速率v收繩，當(dāng)繩收至圖所示的位置時(shí)，質(zhì)點(diǎn)B兩邊的繩與水平線的夾角分別為a和β，求這時(shí)人收繩的力．忽略繩與滑輪的質(zhì)量以及滑輪的摩擦．設(shè)此時(shí)質(zhì)點(diǎn)B兩邊繩上的張力分別為TA和TC，TC就是人收繩的力的大?。|(zhì)點(diǎn)受力情況如圖所示．在人收繩的過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)B始終在做以A點(diǎn)為圓心、a為半徑的圓周運(yùn)動(dòng)，故其運(yùn)動(dòng)速度vB始終垂直于繩AB．到圖示位置時(shí)，vB的方向與繩BC之間的夾角為π/2-(α十β)．因此，質(zhì)點(diǎn)B繞A點(diǎn)的徑向運(yùn)動(dòng)方程為為了求vB，可將其分解為沿BC方向和垂直于BC方向兩個(gè)分量．其中平行于BC方向的分量 ①②vB另一個(gè)垂直于BC的分量由圖中的幾何關(guān)系，用正弦定理可得 ⑤這個(gè)分量的大小等于人拉繩端的速度v．因此這就是此瞬間B質(zhì)點(diǎn)繞C點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的速度．所以，質(zhì)點(diǎn)B繞C點(diǎn)的徑向運(yùn)動(dòng)方程為④由式①、②、③、④、⑤可解得⑤③

長(zhǎng)度分別為l1和l2的不可伸長(zhǎng)的輕繩懸掛著質(zhì)量都是m的兩個(gè)小球，它們處于靜止?fàn)顟B(tài)．中間的小球m1突然受到水平方向的沖擊，瞬間獲得水平向右的速度v0．求此時(shí)連接m2的繩上的拉力T為多少?如圖為一車的后視圖，d、h、μ已知。問(wèn)：汽車在半徑為R的水平弧形道路上行駛的安全速度為多少？解：不滑： 不翻：同時(shí)滿足兩個(gè)v，即安全。有一只狐貍以不變速率v1沿著直線AB逃跑，一只獵犬以不變的速率v2追擊，其運(yùn)動(dòng)方向始終對(duì)準(zhǔn)狐貍．某時(shí)刻狐貍在F處，獵犬在D處，F(xiàn)D⊥AB,且FD=L，試求此時(shí)刻獵犬加速度的大?。C犬做勻速率曲線運(yùn)動(dòng)，其加速度的大小和方向都在不斷變化．在所求時(shí)刻之后的一段很短的時(shí)問(wèn)△t內(nèi)，獵犬運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率半徑為ρ，則其向心加速度如圖所示，在△t時(shí)間內(nèi)，狐貍和獵犬分別到達(dá)了F’和D’處，獵犬的運(yùn)動(dòng)方向轉(zhuǎn)過(guò)的