福州2011年中考數(shù)學(xué)試題及答案

一階方程的一般形式為本節(jié)主要研究能把導(dǎo)數(shù)解出來(lái)的一階方程的解法這個(gè)方程雖然簡(jiǎn)單，也常常很難求出解的有限表達(dá)式幾種特殊類型的一階微分方程的解法。所以本節(jié)只討論特殊類型的一階方程的求解一階方程有時(shí)也可以寫(xiě)成如下的對(duì)稱形式它既可視為以

x

為自變量以

y

為未知函數(shù)的方程也可以視為以

y

為自變量

以

x

為未知函數(shù)的方程考慮方程很重要的觀點(diǎn)或?qū)懗蓛蛇叿e分得但并不是所有的一階方程都能象上面那樣采取兩邊積分的方法來(lái)求它的通解如

困難就在于方程的右端含有未知函數(shù)積分求不出來(lái)為了解決這個(gè)問(wèn)題

方程的兩邊同乘以使方程變?yōu)檫@樣變量

x

,

y

已經(jīng)分離在等式的兩端兩邊積分得或可以驗(yàn)證是方程的通解注

y

=

0

也是方程的解，但不包含在通解中稱為奇解一、可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程.這類方程的特點(diǎn)是經(jīng)過(guò)適當(dāng)整理，可使方程的只含有一個(gè)變量和其微分解法分離變量法為微分方程的解.求解步驟分離變量?jī)蛇叿e分得到隱式通解或通積分二、典型例題例1

求解微分方程解分離變量?jī)啥朔e分解通解為解由題設(shè)條件衰變規(guī)律例5

某車間體積為12000立方米,

開(kāi)始時(shí)空氣中含有

的

,

為了降低車間內(nèi)空氣中的含量,

用一臺(tái)風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含

的

的新鮮空氣,

同時(shí)以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出,

問(wèn)鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)6分鐘后,

車間內(nèi)

的百分比降低到多少?解設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)后

時(shí)刻

的含量為在內(nèi),的通入量的排出量的通入量的排出量的改變量6分鐘后,車間內(nèi)的百分比降低到三、小結(jié)分離變量法步驟:分離變量;兩端積分-------隱式通解.注分離變量時(shí)，注意檢查是否有漏解，特別是寫(xiě)成對(duì)稱形式的方程（因?yàn)橐毐ＷC分母不等于0）思考題求解微分方程思考題解答為所求解.練

習(xí)

題練習(xí)題答案例如線性的;非線性的.一階線性微分方程一、線性方程一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:上方程稱為齊次的.上方程稱為非齊次的.一階線性微分方程的解法1.線性齊次方程(使用分離變量法)齊次方程的通解為2.線性非齊次方程討論兩邊積分非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.實(shí)質(zhì):未知函數(shù)的變量代換.作變換積分得一階線性非齊次微分方程的通解為:對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解非齊次線性方程的通解等于

相應(yīng)齊方程的通解與非齊次方程的一個(gè)特解之和即

非齊通解

=

齊通解

+

非齊特解——線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，是很優(yōu)良的性質(zhì)。例1解解相應(yīng)齊方程解得令例2

解方程代入非齊方程解得故非齊次方程的通解為例3

解方程解

這是一個(gè)二階線性方程

由于其中不含變量

y若令化成一階線性方程其通解為即再積分即為原二階方程的通解例4

如圖所示，平行與線

與軸的動(dòng)直線被曲截下的線段PQ之長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積,

求曲線.解兩邊求導(dǎo)得解此微分方程所求曲線為方程令即化為一階線性微分方程注

一階線性微分方程的通解也可寫(xiě)成二、伯努利方程伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程為線性微分方程.方程為非線性微分方程.解法:

需經(jīng)過(guò)變量代換化為線性微分方程.代入上式求出通解后，將代入即得例5解例6

用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為解分離變量法得所求通解為解代入原式分離變量法得所求通解為另解注利用變量代換將一個(gè)微分方程化為變量可分離的方程或化為已知其求解步驟的方程是求解微分方程的一種最常用的思想方法如：齊次型、可化為齊次型、一階線性方程、Bernoulli

方程等都是通過(guò)變量代換來(lái)求解方程的。將

變換為也是經(jīng)?？梢钥紤]的三、小結(jié)齊次方程線性非齊次方程伯努利方程思考題求微分方程的通解.思考題解答練

習(xí)

題練習(xí)題答案1.定義的微分方程稱為齊次方程.2.解法作變量代換代入原式可分離變量的方程齊次型方程一、齊次型方程例

2

求解微分方程解例

1

求解微分方程解微分方程的解為微分方程的解為例

3

拋物線的光學(xué)性質(zhì)實(shí)例:

車燈的反射鏡面------旋轉(zhuǎn)拋物面解

如圖由夾角正切公式得得微分方程分離變量積分得平方化簡(jiǎn)得拋物線解令則代入化簡(jiǎn)

并分離變量?jī)蛇叿e分換回原變量或例4二、可化為齊次型的方程1.定義為齊次型方程否.否.則為非齊次型方程2.解法（其中h和k是待定的常數(shù)）有唯一一組解.得通解代回未必有解,上述方法不能用.可分離變量的微分方程.可分離變量的微分方程.可分離變量.解代入原方程得方程變?yōu)榉蛛x變量法得得原方程的通解利用變量代換求微分方程的解解代入原方程原方程的通解為三、小結(jié)齊次方程齊次方程的解法可化為齊次方程的方程思考題方程是否為齊次方程?思考題解答方程兩邊同時(shí)對(duì)

求導(dǎo):原方程是齊次方程.練

習(xí)

題練習(xí)題答案則全微分方程或恰當(dāng)方程例如所以是全微分方程.全微分方程一、全微分方程及其解法1.定義:若有全微分形式2.解法:全微分方程應(yīng)用曲線積分與路徑無(wú)關(guān).通解為其中x0,y0是在G中適當(dāng)選定的點(diǎn)M0

(x0

,y0)的坐標(biāo)，起點(diǎn)坐標(biāo)選擇的不同，至多使u(x,y)相差一個(gè)常數(shù)用直接湊全微分的方法.例1解是全微分方程,原方程的通解為例2解是全微分方程,將左端重新組合原方程的通解為二、積分因子法問(wèn)題:如何求方程的積分因子?定義:1.公式法:求解不容易特殊地:2.觀察法:

憑觀察湊微分得到常見(jiàn)的全微分表達(dá)式可選用的積分因子有例3解則原方程成為可積組合法原方程的通解為(公式法)例4

求微分方程解將方程左端重新組合,有原方程的通解為例5

求微分方程解將方程左端重新組合,有可積組合法原方程的通解為例6解1

整理得A

常數(shù)變易法:B

公式法:解2

整理得A

用曲線積分法:B

湊微分法:C

不定積分法:原方程的通解為三、一階微分方程小結(jié)思考題方程是否為全微分方程？思考題解答原方程是全微分方程.練

習(xí)

題練習(xí)題答案一階微分方程

習(xí)題課1、五種標(biāo)準(zhǔn)類型的一階微分方程的解法可分離變量的微分方程分離變量法解法齊次型方程解法

作變量代換一、主要內(nèi)容可化為齊次的方程解法化為齊次方程．（其中h和k是待定的常數(shù)）(3)

一階線性微分方程齊次．非齊次.解法

齊次方程的通解為（使用分離變量法）非齊次微分方程的通解為(4)

伯努利(Bernoulli)方程

（常數(shù)變易法）方程為線性微分方程.方程為非線性微分方程.解法

需經(jīng)過(guò)變量代換化為線性微分方程．(5)

全微分方程形如其中注意：解法應(yīng)用曲線積分與路徑無(wú)關(guān).通解為用直接湊全微分的方法.可化為全微分方程形如公式法:觀察法:熟記常見(jiàn)函數(shù)的全微分表達(dá)式，通過(guò)觀察直接找出積分因子．2。

各類方程的內(nèi)在聯(lián)系三種基本類型變量可分離

一階線性

全微分方程其余類型的方程可借助于變量代換或積分因子化成基本類型三種基本類型代表三種典型解法分離變量法

常數(shù)變易法

全微分法變量代換是解微分方程的重要思想和重要方法二、典型例題例1

求一微分方程使其通解為解

由求導(dǎo)得再求導(dǎo)再求導(dǎo)例2解

原方程可化為代入原方程得分離變量?jī)蛇叿e分所求通解為例3解

原式可化為伯努利方程原式變?yōu)橐浑A線性非齊方程對(duì)應(yīng)齊方通解為利用常數(shù)變易法代入非齊方程得原方程的通解為例4解方程為全微分方程.(1)

利用原函數(shù)法求解:故方程的通解為(2)

利用分項(xiàng)組合法求解:原方程重新組合為故方程的通解為(3)

利用曲線積分求解:故方程的通解為例5解非全微分方程.利用積分因子法:原方程重新組合為故方程的通解為例6

解方程[分析]本題看起來(lái)簡(jiǎn)單但具體求解時(shí)發(fā)現(xiàn)不是變量可分離不是一階線性也不是齊次型也不是全微分方程必須對(duì)方程進(jìn)行變形怎么辦？解一

分項(xiàng)組合通解為解二

變量代換令一階非齊次線性微分方程相應(yīng)齊方程令解三存在關(guān)于

x的積分因子為全微分方程通解為積分因子法

由例7設(shè)曲線積