《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題及答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一部份習(xí)題第一章概率論基本概念填空題1、設(shè)A，B，C為3事件，則這3事件中恰有2個(gè)事件發(fā)生可表示為。2、設(shè)，且A與B互不相容，則。3、口袋中有4只白球，2只紅球，從中隨機(jī)抽取3只，則取得2只白球，1只紅球的概率為。4、某人射擊的命中率為0.7，現(xiàn)獨(dú)立地重復(fù)射擊5次，則恰有2次命中的概率為。5、某市有50%的住戶訂晚報(bào)，有60%的住戶訂日?qǐng)?bào)，有80%的住戶訂這兩種報(bào)紙中的一種，則同時(shí)訂這兩種報(bào)紙的百分比為。6、設(shè)A，B為兩事件，，則。7、同時(shí)拋擲3枚均勻硬幣，恰有1個(gè)正面的概率為。8、設(shè)A，B為兩事件，，則。9、10個(gè)球中只有1個(gè)為紅球，不放回地取球，每次1個(gè)，則第5次才取得紅球的概率為。10、將一骰子獨(dú)立地拋擲2次，以X和Y分別表示先后擲出的點(diǎn)數(shù)，，則。11、設(shè)是兩事件，則的差事件為。12、設(shè)構(gòu)成一完備事件組，且則，。13、設(shè)與為互不相容的兩事件，則。14、設(shè)與為相互獨(dú)立的兩事件，且，則。15、設(shè)是兩事件，則。16、設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的事件，則。17、設(shè)是兩事件，如果，且，則。18、設(shè)，則。19、假設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%，30%，10%。從中隨機(jī)取一件，結(jié)果不是三等品，則為一等品的概率為20、將個(gè)球隨機(jī)地放入個(gè)盒子中，則至少有一個(gè)盒子空的概率為。二、選擇題1、設(shè)，則下列成立的是()①A和B不相容②A和B獨(dú)立③④2、設(shè)是三個(gè)兩兩不相容的事件，且，則的最大值為()①1/2②1③1/3④1/43、設(shè)A和B為2個(gè)隨機(jī)事件，且有，則下列結(jié)論正確的是()①②③④4、下列命題不成立的是()①②③(④5、設(shè)為兩個(gè)相互獨(dú)立的事件，，則有（）①②0③④6、設(shè)為兩個(gè)對(duì)立的事件，，則不成立的是（）①②0③＝0④17、設(shè)為事件，，則有（）①A和B不相容②A和B獨(dú)立③A和B相互對(duì)立④8、設(shè)為兩個(gè)相互獨(dú)立的事件，，則為（）①②③④9、設(shè)為兩事件，且，則當(dāng)下面條件（）成立時(shí)，有①與獨(dú)立②與互不相容③與對(duì)立④不包含10、設(shè)為兩事件，則表示（）①必然事件②不可能事件③與恰有一個(gè)發(fā)生④與不同時(shí)發(fā)生11、每次試驗(yàn)失敗的概率為，則在3次重復(fù)試驗(yàn)中至少成功一次的概率為（）①②③④12、10個(gè)球中有3個(gè)紅球7個(gè)綠球，隨機(jī)地分給10個(gè)小朋友，每人一球，則最后三個(gè)分到球的小朋友中恰有一個(gè)得到紅球的概率為（）①②③④13、設(shè)，則下列結(jié)論成立的是（）①與獨(dú)立②與互不相容③④14、設(shè)為三事件，正確的是（）①②③④15、擲2顆骰子，記點(diǎn)數(shù)之和為3的概率為，則為（）①1/2②1/4③1/18④1/3616、已知兩事件的概率都是1/2,則下列結(jié)論成立的是（）①②③④17、為相互獨(dú)立事件，，則下列4對(duì)事件中不相互獨(dú)立的是（）①與②與③與④與18、對(duì)于兩事件，與不等價(jià)的是（）①②③④19、對(duì)于概率不為零且互不相容的兩事件，則下列結(jié)論正確的是（）①與互不相容②與相容③④三、計(jì)算題1、某工廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品共有100個(gè)，其中有5個(gè)次品。從中取30個(gè)進(jìn)行檢查，求次品數(shù)不多于1個(gè)的概率。2、某人有5把形狀近似的鑰匙，其中有2把可以打開房門，每次抽取1把試開房門，求第三次才打開房門的概率。3、某種燈泡使用1000小時(shí)以上的概率為0.2，求3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后至多有1個(gè)壞的概率。4、甲、乙、丙3臺(tái)機(jī)床加工同一種零件，零件由各機(jī)床加工的百分比分別為45%，35%，20%。各機(jī)床加工的優(yōu)質(zhì)品率依次為85%，90%，88%，將加工的零件混在一起，從中隨機(jī)抽取一件，求取得優(yōu)質(zhì)品的概率。若從中取1個(gè)進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)是優(yōu)質(zhì)品，問是由哪臺(tái)機(jī)床加工的可能性最大。6、某人買了三種不同的獎(jiǎng)券各一張，已知各種獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率分別為；并且各種獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的。如果只要有一種獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)則此人一定賺錢，求此人賺錢的概率。7、教師在出考題時(shí)，平時(shí)練習(xí)過的題目占60%，學(xué)生答卷時(shí)，平時(shí)練習(xí)過的題目在考試時(shí)答對(duì)的概率為95%，平時(shí)沒有練習(xí)過的題目在考試時(shí)答對(duì)的概率為30%。求答對(duì)而平時(shí)沒有練習(xí)過的概率8、有兩張電影票，3人依次抽簽得票。求每個(gè)人抽到電影票的概率。9、有兩張電影票，3人依次抽簽得票，如果第1個(gè)人抽的結(jié)果尚未公開，由第2個(gè)人抽的結(jié)果去猜測(cè)第1個(gè)人抽的結(jié)果。問：如果第2個(gè)人抽到電影票，問第1個(gè)人抽到電影票的概率。10、一批產(chǎn)品的次品率為0.1，現(xiàn)任取3個(gè)產(chǎn)品，問3個(gè)產(chǎn)品中有幾個(gè)次品的概率的可能性最大。11、有5個(gè)除顏色外完全相同的球，其中三個(gè)白色，兩個(gè)紅色。從中任取兩個(gè)，（1）求這兩個(gè)球顏色相同的概率；（2）兩球中至少有一紅球的概率。12、設(shè)是兩個(gè)事件，用文字表示下列事件：。13、從1~100這100個(gè)自然數(shù)中任取1個(gè)，求（1）取到奇數(shù)的概率；（2）取到的數(shù)能被3整除的概率；（3）取到的數(shù)能被6整除的偶數(shù)。14、對(duì)次品率為5%的某箱燈泡進(jìn)行檢查，檢查時(shí)，從中任取一個(gè)，如果是次品，就認(rèn)為這箱燈泡不合格而拒絕接受，如果是合格品就再取一個(gè)進(jìn)行檢查，檢查過的產(chǎn)品不放回，如此進(jìn)行五次。如果5個(gè)燈泡都是合格品，則認(rèn)為這箱燈泡合格而接受，已知每箱燈泡有100個(gè)，求這箱燈泡被接受的概率。15、某人有5把形狀近似的鑰匙，其中只有1把能打開他辦公室的門，如果他一把一把地用鑰匙試著開門，試過的鑰匙放在一邊，求（1）他試了3次才能打開他辦公室的門的概率；（2）他試了5次才能打開他辦公室的門的概率16、10個(gè)塑料球中有3個(gè)黑色，7個(gè)白色，今從中任取2個(gè)，求已知其中一個(gè)是黑色的條件下，另一個(gè)也是黑色的概率。17、裝有10個(gè)白球，5個(gè)黑球的罐中丟失一球，但不知是什么顏色。為了猜測(cè)丟失的球是什么顏色，隨機(jī)地從罐中摸出兩個(gè)球，結(jié)果都是白色球，問丟失的球是黑色球的概率。18、設(shè)有三只外形完全相同的盒子，Ⅰ號(hào)盒中裝有14個(gè)黑球，6個(gè)白球；Ⅱ號(hào)盒中裝有5個(gè)黑球,25個(gè)白球；Ⅲ號(hào)盒中裝有8個(gè)黑球，42個(gè)白球?，F(xiàn)從三個(gè)盒子中任取一盒，再?gòu)闹腥稳∫磺?，求?）取到的球?yàn)楹谏虻母怕剩唬?）如果取到的球?yàn)楹谏?，求它是取自Ⅰ?hào)盒的概率。19、三種型號(hào)的圓珠筆桿放在一起，其中Ⅰ型的有4支，Ⅱ型的有5支，Ⅲ型的有6支；這三種型號(hào)的圓珠筆帽也放在一起，其中Ⅰ型的有5個(gè)，Ⅱ型的有7個(gè)，Ⅲ型的有8個(gè)?，F(xiàn)在任意取一個(gè)筆桿和一個(gè)筆帽，求恰好能配套的概率。20、有兩張電影票，3人依次抽簽得票，如果第1個(gè)人抽的結(jié)果尚未公開，由第2個(gè)人抽的結(jié)果去猜測(cè)第1個(gè)人抽的結(jié)果。問：如果第2個(gè)人抽到電影票，問第1個(gè)人抽到電影票的概率。21、甲、乙、丙、丁4人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出的概率分別為0.2,0.3,0.4,0.7,求此密碼能譯出的概率是多少。22、袋中10個(gè)白球，5個(gè)黃球，10個(gè)紅球，從中取1個(gè)，已知不是白球，求是黃球的概率。23、設(shè)每次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率相同，已知3次試驗(yàn)中至少出現(xiàn)一次的概率為19/27，求事件在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率。24、甲、乙、丙3臺(tái)機(jī)床獨(dú)立工作，由1個(gè)人看管，某段時(shí)間甲、乙、丙3臺(tái)機(jī)床不需看管的概率分別為0.9，0.8，0.85，求在這段時(shí)間內(nèi)機(jī)床因無人看管而停工的概率。25、一批產(chǎn)品共有100件，對(duì)其進(jìn)行檢查，整批產(chǎn)品不合格的條件是：在被檢查的4件產(chǎn)品中至少有1件廢品。如果在該批產(chǎn)品中有5%是廢品，問該批產(chǎn)品被拒收的概率是多少。26、將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中，求杯子中球的個(gè)數(shù)的最大值為2的概率。27、甲、乙2班共有70名同學(xué)，其中女同學(xué)40名，設(shè)甲班有30名同學(xué)，而女同學(xué)15名，求碰到甲班同學(xué)時(shí)，正好碰到女同學(xué)的概率。28、一幢10層的樓房中的一架電梯，在底層登上7位乘客。電梯在每一層都停，乘客在第二層起離開電梯。假設(shè)每位乘客在哪一層離開是等可能的，求沒有2位及2位以上乘客在同一層離開的概率。29、某種動(dòng)物由出生到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，問現(xiàn)在20歲的動(dòng)物活到25歲的概率為多少？30、每門高射炮（每射一發(fā)）擊中目標(biāo)的概率為0.6，現(xiàn)有若干門高射炮同時(shí)發(fā)射（每炮射一發(fā)），欲以99%以上的概率擊中目標(biāo)，問至少需要配置幾門高射炮？31、電路由電池A與2個(gè)并聯(lián)的電池B和C串聯(lián)而成，設(shè)電池A，B，C損壞的概率分別為0.2，0.3，0.3，求電路發(fā)生間斷的概率。32、袋中10個(gè)白球，5個(gè)黃球，從中不放回地取3次，試求取出的球?yàn)橥伾那虻母怕省?3、假設(shè)目標(biāo)在射程之內(nèi)的概率為0.7，這時(shí)射擊的命中率為0.6，試求兩次獨(dú)立射擊至少有一次擊中的概率。34、假設(shè)某地區(qū)位于甲乙二河流的匯合處，當(dāng)任一河流泛濫時(shí)，該地區(qū)即遭受水災(zāi)。設(shè)某段時(shí)期內(nèi)甲河流泛濫的概率為0.1，乙河流泛濫的概率為0.2，當(dāng)甲河流泛濫時(shí)乙河流泛濫的概率為0.3，求（1）該時(shí)期內(nèi)這地區(qū)遭受水災(zāi)的概率；（2）當(dāng)乙河流泛濫時(shí)甲河流泛濫的概率。35、甲、乙、丙3人同向飛機(jī)射擊。擊中飛機(jī)的概率分別為0.4，0.5，0.7。如果有1人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.2，如果有2人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.6，如果有3人擊中，則飛機(jī)一定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。36、一射手命中10環(huán)的概率為0.7，命中9環(huán)的概率為0.3，求該射手3發(fā)子彈得到不小于29環(huán)的概率。38、甲、乙2名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行單打比賽，如果每賽局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率0.4，比賽既可采用三局兩勝制，也可采用五局三勝制，問采用哪種比賽制度對(duì)甲更有利。39、有2500人參加人壽保險(xiǎn)，每年初每人向保險(xiǎn)公司交付保險(xiǎn)費(fèi)12元。若在一年內(nèi)死亡，則其家屬可以從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元。假設(shè)每人在一年內(nèi)死亡的概率都是0.002，求保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率。40、在12名學(xué)生中有8名優(yōu)等生，從中任取9名，求有5名優(yōu)等生的概率。41、特色醫(yī)院接待患者的比例為K型50%，L型30%，M型20%，對(duì)應(yīng)治愈率為0.7，0.8，0.9，一患者已治愈，問他屬于L型的概率？42、某人從甲地到乙地，乘火車、輪船、飛機(jī)的概率分別為0.2，0.4，0.4，乘火車遲到的概率為0.5、乘輪船遲到的概率為0.2、乘飛機(jī)不會(huì)遲到。問這個(gè)人遲到的概率；又如果他遲到，問他乘輪船的概率是多少？43、一對(duì)骰子拋擲25次，問出現(xiàn)雙6和不出現(xiàn)雙6的概率哪個(gè)大？44、一副撲克（52張），從中任取13張，求至少有一張“A”的概率？45、據(jù)以往資料表明，某三口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律。孩子得病的概率為0.6，孩子得病下母親得病的概率為0.5，母親及孩子得病下父親得病的概率為0.4，求母親及孩子得病但父親未得病的概率。46、某人忘記了電話號(hào)碼的最后一位數(shù)字，因而他隨機(jī)地?fù)芴?hào)。求他撥號(hào)不超過3次的概率；若已知最后一位數(shù)字為奇數(shù)，此概率是多少？47、某場(chǎng)戰(zhàn)斗準(zhǔn)備調(diào)甲、乙兩部隊(duì)參加，每支部隊(duì)能按時(shí)趕到的概率為，若只有一支部隊(duì)參加戰(zhàn)斗，則取勝的概率為0.4；若兩部隊(duì)參加戰(zhàn)斗，則必勝；若兩部隊(duì)未能按時(shí)趕到則必?cái)　Ｓ_(dá)0.9以上的概率取勝，求的最低值。48、工人看管三臺(tái)設(shè)備，在1小時(shí)內(nèi)每臺(tái)設(shè)備不需要看管的概率均為0.8，求（1）三臺(tái)設(shè)備均不需要看管的概率；（2）至少有一臺(tái)設(shè)備需要看管的概率；（3）三臺(tái)設(shè)備均需要看管的概率。四、證明題假設(shè)我們擲兩次骰子，并定義事件“第一次擲得偶數(shù)點(diǎn)”，“第二次擲得奇數(shù)點(diǎn)”，“兩次都擲奇數(shù)點(diǎn)或偶數(shù)點(diǎn)”，證明A，B，C兩兩獨(dú)立，但A，B，C不相互獨(dú)立。設(shè)每次試驗(yàn)發(fā)生的概率，“次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中至少出現(xiàn)一次”證明3、設(shè)，證明4、證明，如果，則5、當(dāng)時(shí)，證明：6、證明：，則7、設(shè)三事件相互獨(dú)立，則與相互獨(dú)立。8、設(shè)，，則9、已知同時(shí)發(fā)生，則發(fā)生，證明10、10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽，3人依次抽簽參加考試，證明3人抽到難簽的概率相等。11、設(shè)A，B為兩事件，證明12、證明如果與獨(dú)立，則與獨(dú)立、與獨(dú)立、與獨(dú)立13、如果，證明與獨(dú)立的充分必要條件是第二章隨機(jī)變量及其分布一、填空題1、設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為，則。2、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1/3的0—1分布，則X的分布函數(shù)為=。3、設(shè)隨機(jī)變量，則。4、設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為，則。5、設(shè)隨機(jī)變量X服從(0,1)區(qū)間上的均勻分布，則隨機(jī)變量的密度函數(shù)為。6、隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為，則。7、隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為則。8、若，則。9、設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為且，則，。10、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為則，，。11、設(shè)5個(gè)晶體管中有2個(gè)次品，3個(gè)正品，如果每次從中任取1個(gè)進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試后的產(chǎn)品不放回，直到把2個(gè)次品都找到為止，設(shè)為需要進(jìn)行測(cè)試的次數(shù)，則。12、設(shè)為離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，若，則。13、一顆均勻骰子重復(fù)擲10次，設(shè)表示點(diǎn)3出現(xiàn)的次數(shù)，則的分布律。14、設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，且，，且，則。15、設(shè)隨機(jī)變量服從POISSON分布，且，則。16、連續(xù)型隨機(jī)變量為，，則。17、設(shè)為分布函數(shù)，，為分布函數(shù)，則。18、若連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則。19、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度，則的分布函數(shù)為。20、若隨機(jī)變量，則的密度函數(shù)。二、選擇題1、若函數(shù)是一隨機(jī)變量的密度函數(shù)，則（）①的定義域?yàn)閇0,1]②值域?yàn)閇0,1]③非負(fù)④在連續(xù)2、如果是（），則一定不可以為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)。①非負(fù)函數(shù)②連續(xù)函數(shù)③有界函數(shù)④單調(diào)減少函數(shù)3、下面的數(shù)列中，能成為一隨機(jī)變量的分布律的是（）①②③④4、下面的函數(shù)中，能成為一連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)的是（）①②③④5、設(shè)隨機(jī)變量，為其分布函數(shù)，，則（）。①②③④6、設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為，則＝（）。①的實(shí)數(shù)②③④7、設(shè)隨機(jī)變量，則增大時(shí)，是（）①單調(diào)增大②單調(diào)減少③保持不變④增減不定8、設(shè)隨機(jī)變量的分布密度，分布函數(shù)，為關(guān)于軸對(duì)稱，則有（）①②③④9、設(shè)為分布函數(shù)，為分布函數(shù)，則下列成立的是（）①②③④10、要使是密度函數(shù)，則為（）①②③④11、設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為則的密度函數(shù)為（）①②③④12、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，密度，則（）①②③④13、設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，則（）①0.75②0.875③④14、設(shè)隨機(jī)變量，分布函數(shù)為，密度，則有（）①②③④三、計(jì)算題1、10個(gè)燈泡中有2個(gè)是壞的，從中任取3個(gè)，用隨機(jī)變量描述這一試驗(yàn)結(jié)果，并寫出這個(gè)隨機(jī)變量的分布律和分布函數(shù)及所取的三個(gè)燈泡中至少有兩個(gè)好燈泡的概率。2、罐中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球，有放回地每次任取一球，直到取得紅球?yàn)橹?。用X表示抽取的次數(shù)，求X的分布律，并計(jì)算。3、設(shè)隨機(jī)變量的分布律為，試求的值。4、已知離散型隨機(jī)變量的分布律為(1)求；－2－10121/51/61/51/1511/30（2）求的分布律；（3）求的分布函數(shù)。5、已知離散型隨機(jī)變量的分布律為，且求。6、對(duì)某一目標(biāo)射擊，直到擊中時(shí)為止。如果每次射擊的命中率為，求射擊次數(shù)的分布律。7、已知離散型隨機(jī)變量的分布律為，其中，求的分布律。8、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為：求：(1)常數(shù)(2)的概率密度。9、已知隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求（1）系數(shù)；（2）落入的概率；（3）的分布函數(shù)。10、某車間有20部同型號(hào)機(jī)床，每部機(jī)床開動(dòng)的概率為0.8，若假定各機(jī)床是否開動(dòng)是獨(dú)立的，每部機(jī)床開動(dòng)時(shí)所消耗的電能為15個(gè)單位，求這個(gè)車間消耗的電能不少于270個(gè)單位的概率。11、設(shè)隨機(jī)變量，求的分布。12、設(shè)測(cè)量誤差的密度函數(shù)為，求測(cè)量誤差的絕對(duì)值不超過30的概率；測(cè)量3次，每次測(cè)量獨(dú)立，求至少有1次測(cè)量誤差的絕對(duì)值不超過30的概率。13、在下列兩種情形下，求方程有實(shí)根的概率。（1）等可能取｛1,2，3,4，5,6｝；（2）14、設(shè)球的直徑（單位：mm），求球的體積的概率密度。15、已知離散型隨機(jī)變量只取-1，0，1，，相應(yīng)的概率為，求的值并計(jì)算16、設(shè)某種電子管的壽命的密度函數(shù)若1個(gè)電子管在使用150小時(shí)后仍完好，那么該電子管使用時(shí)間少于200小時(shí)的概率是多少？若1個(gè)電子系統(tǒng)中裝有3個(gè)獨(dú)立工件的這種電子管，在使用150小時(shí)后恰有1個(gè)損壞的概率是多少。17、設(shè)鉆頭的壽命(即鉆頭直到磨損為止所鉆的地層厚度，以米為單位)服從指數(shù)分布，鉆頭平均壽命為1000米，現(xiàn)要打一口深度為2000米的井，求(1)只需一根鉆頭的概率；(2)恰好用兩根鉆頭的概率。18、某公共汽車站從上午7時(shí)起第15分鐘發(fā)一班車，如果乘客到達(dá)此汽車站的時(shí)間是7時(shí)至7時(shí)30分的均勻分布，試求乘客在車站等候（1）不超過15分鐘的概率；（2）超過10分鐘的概率。19、自動(dòng)生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為0.1，生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時(shí)重新進(jìn)行調(diào)整，問在兩次調(diào)整之間能以0.6的概率保證生產(chǎn)的合格品數(shù)不少于多少？20、設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)進(jìn)入某一商店的顧客人數(shù)服從POSSION分布，每個(gè)顧客購(gòu)買某種物品的概率為，并且各個(gè)顧客是否購(gòu)買該物品是相互獨(dú)立的，求進(jìn)入商店的顧客購(gòu)買該種物品人數(shù)的分布律。21、設(shè)每頁(yè)書上的印刷錯(cuò)誤個(gè)數(shù)服從泊松分布，現(xiàn)從一本有500個(gè)印刷錯(cuò)誤的500頁(yè)的書上隨機(jī)地取5頁(yè)，求這5頁(yè)各頁(yè)上的錯(cuò)誤都不超過2個(gè)的概率。22、已知每天到某煉油廠的油船數(shù)X服從參數(shù)為2的泊松分布，而港口的設(shè)備一天只能為三只油船服務(wù)，如果一天中到達(dá)的油船超過三只，超出的油船必須轉(zhuǎn)到另一港口。求：（1）這一天必須有油船轉(zhuǎn)走的概率；（2）設(shè)備增加到多少，才能使每天到達(dá)港口的油船有90%可以得到服務(wù)。（3）每天到達(dá)港口油船的最可能只數(shù)。23、某實(shí)驗(yàn)室有12臺(tái)電腦，各臺(tái)電腦開機(jī)與關(guān)機(jī)是相互獨(dú)立的，如果每臺(tái)電腦開機(jī)占總工作時(shí)間的3/4，試求在工作時(shí)間任一時(shí)刻關(guān)機(jī)的電腦臺(tái)數(shù)超過兩臺(tái)的概率以及最有可能有幾臺(tái)電腦同時(shí)開機(jī)。24、設(shè)有各耗電7.5KW的車床10臺(tái)，每臺(tái)車床使用情況是相互獨(dú)立的，且每臺(tái)車床每小時(shí)平均開車12分鐘，為這10臺(tái)車床配電設(shè)備的容量是55KW，試求該配電設(shè)備超載的概率。25、一臺(tái)電子設(shè)備內(nèi)裝有5個(gè)某種類型的電子管，已知這種電子管的壽命（單位：小時(shí)）服從指數(shù)分布，且平均壽命為1000小時(shí)。如果有一個(gè)電子管損壞，設(shè)備仍能正常工作的概率為95%，兩個(gè)電子管損壞，設(shè)備仍能正常工作的概率為70%，若兩個(gè)以上電子管損壞，則設(shè)備不能正常工作。求這臺(tái)電子設(shè)備在正常工作1000小時(shí)后仍能正常工作的概率(各電子管工作相互獨(dú)立)。26、某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮壓，以mm—Hg計(jì)）服從。在該地區(qū)任選一18歲的女青年，測(cè)量她的血壓X。（1）求，；（2）確定最小的x,使。27、將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)。調(diào)節(jié)器整定在d℃,液體的溫度X是一個(gè)隨機(jī)變量，且(1)若d=90,求X小于89的概率。（2）若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于0.99，問d至少為多少？28、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)（1）確定的值；（2）29、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求(1)常數(shù)A，B的值；(2)30、有一個(gè)半徑為2米的圓盤形靶子，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)均能中靶，如以表示擊中點(diǎn)與靶心的距離，求的分布函數(shù)和密度函數(shù)。31、設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)，求的密度函數(shù)。32、設(shè)隨機(jī)變量的分布律為0.20.10.7求隨機(jī)變量的分布函數(shù)。33、已知10個(gè)元件中有7個(gè)合格品和3個(gè)次品，每次隨機(jī)地抽取1個(gè)測(cè)試，測(cè)試后不放回，直至將3個(gè)次品找到為止，求需測(cè)試次數(shù)的分布律。34、已知的分布函數(shù)為，求的分布函數(shù)。35、設(shè)某產(chǎn)品的壽命服從的正態(tài)分布，若要求壽命低于120小時(shí)的概率不超過0.1，試問應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)，并問壽命超過210小時(shí)的概率在什么范圍內(nèi)？36、某廠決定在工人中增發(fā)高產(chǎn)獎(jiǎng)，并決定對(duì)每月生產(chǎn)額最高的5%的工人發(fā)放高產(chǎn)獎(jiǎng)，已知每人每月生產(chǎn)額，試問高產(chǎn)獎(jiǎng)發(fā)放標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)把月生產(chǎn)額定為多少？37、在長(zhǎng)為1的線段隨機(jī)地選取一點(diǎn)，短的一段與長(zhǎng)的一段之比小于1/4的概率是多少？38、設(shè)的分布密度為求的密度函數(shù)。39、設(shè)的分布密度為求（1）（3）的概率密度。四、證明題1、設(shè)為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，有2、證明：若服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則3、證明：服從上均勻分布，則也服從均勻分布。4、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則服從均勻分布。5、設(shè)隨機(jī)變量的分布密度，分布函數(shù)，為關(guān)于軸對(duì)稱，證明：對(duì)于任意正數(shù)有6、設(shè)隨機(jī)變量的分布密度，分布函數(shù)，為關(guān)于軸對(duì)稱，證明：對(duì)于任意正數(shù)有7、設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)，證明：對(duì)于任意正數(shù)，有是某一隨機(jī)變量的密度函數(shù)。第三章多維隨機(jī)變量及其分布一、填空題1、因?yàn)槎瘮?shù)不滿足，所以不是某一個(gè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)。2、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為XY123121/163/81/161/121/61/4則。3、設(shè)X和Y是獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布密度函數(shù)為，則的聯(lián)合分布密度函數(shù)為。4、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為XY123121/61/91/181/3ab若X和Y獨(dú)立，則a=,b=。5、設(shè)，且三個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，則。6、若隨機(jī)變量，且，則。7、設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為則。8、設(shè)區(qū)域D上服從均勻分布，其中D是由軸，軸及直線所圍成的區(qū)域，則。9、設(shè)和是兩個(gè)隨機(jī)變量，且，，則。10、設(shè)相互獨(dú)立的和具有同一分布律，且，則隨機(jī)變量的分布律為。11、設(shè)相互獨(dú)立的和具有同一分布律，且，則隨機(jī)變量的分布律為。12、設(shè)平面區(qū)域D由曲線及直線，區(qū)域D上服從均勻分布，則關(guān)于的邊緣密度在處的值為。13、設(shè)相互獨(dú)立的和具有同一分布，且，則。二、選擇題1、設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，分布函數(shù)為，則的分布函數(shù)為()①②③④2、設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且，則下列各式成立的是()①②③④3、設(shè)隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，，，則的密度函數(shù)為（）①②③④4、設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且同分布，，則下列結(jié)論正確的是()①②③④5、設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且，則為()①②③④6、設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為則與為（）①獨(dú)立同分布②獨(dú)立不同分布③不獨(dú)立同分布④不獨(dú)立也不同分布7、設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且均服從（0,1）均勻分布，則下列中服從均勻分布的是（）①②③④8、隨機(jī)變量相互獨(dú)立同分布，則和（）①不獨(dú)立②獨(dú)立③不相關(guān)④相關(guān)9、設(shè)的聯(lián)合分布律為Y01011/41/4已知事件與事件相互獨(dú)立，則值為（）①②③④三、計(jì)算題1、設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合概率密度為求：(1)系數(shù)A；(2)P{(X，Y)∈D}，其中D為由直線y=x,x=1，及x軸圍成的三角形區(qū)域。2、設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且X，Y的分布律如下表：X－3－2－1Y123P1/41/42/4P2/51/51/5求：(1)(X，Y)的聯(lián)合分布律；(2)Z＝2X＋Y的分布律；(3)U＝X－Y的分布律。3、甲、乙兩人約定晚上在某處見面，但沒有說好具體時(shí)間，已知甲、乙到達(dá)該處的時(shí)間分別為隨機(jī)變量X和Y，且甲到達(dá)的時(shí)間均勻分布在6時(shí)至8時(shí)之間；而乙到達(dá)的時(shí)間均勻分布在7時(shí)至10時(shí)之間。已知(X，Y)的聯(lián)合概率密度為：求先到一人等候?qū)Ψ讲怀^10分鐘的概率。4、設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且，求方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根的概率。方程：5、一口袋中有4個(gè)球，標(biāo)有1，2，3，4。從中任取1個(gè)，不放回，再?gòu)拇腥稳?個(gè)球，以和表示第一、二次取得的球的數(shù)字，求、的聯(lián)合分布。6、設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，，，求的分布。7、隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布函數(shù)為求邊緣分布函數(shù)和邊緣密度函數(shù)。8、設(shè)二維隨機(jī)變量和的聯(lián)合密度函數(shù)為求（1）聯(lián)合分布函數(shù)；（2）邊緣密度函數(shù)；（3）9、甲、乙兩人獨(dú)立地進(jìn)行兩次射擊，假設(shè)甲的命中率為0.2，乙的命中率為0.5，以和表示甲和乙的命中次數(shù)，求和的聯(lián)合分布。10、已知隨機(jī)變量和的分布律為且求（1）和的聯(lián)合分布；（2）和是否獨(dú)立。11、一電子儀器由兩部件構(gòu)成，以和表示兩部件的壽命，已知和的聯(lián)合分布函數(shù)為（1）和是否獨(dú)立；（2）求兩部件的壽命都超過100小時(shí)的概率。12、設(shè)隨機(jī)變量和獨(dú)立，其概率密度分別為求的分布密度。13、設(shè)隨機(jī)變量和獨(dú)立聯(lián)合密度為求14、設(shè)和獨(dú)立聯(lián)合密度為求邊緣密度。15、設(shè)和獨(dú)立聯(lián)合密度為求（1）（2）邊緣密度。（3）條件分布16、設(shè)和獨(dú)立，且服從，求的概率密度。17、設(shè)和獨(dú)立，求的概率密度18、設(shè)和獨(dú)立，求的概率密度。19、設(shè)和獨(dú)立，求的概率密度。20、設(shè)和獨(dú)立聯(lián)合密度為求聯(lián)合分布函數(shù)。四、證明題1、證明：若，且兩隨機(jī)變量獨(dú)立，則2、證明：若，且兩隨機(jī)變量獨(dú)立，則3、證明：若隨機(jī)變量以概率1取常數(shù)，則它與任何隨機(jī)變量相互獨(dú)立。第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第五章極限定理一、填空題1、設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為，均方差為，則當(dāng)，時(shí)，2、設(shè)與獨(dú)立，且，則。3、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為且，則，，。4、一顆均勻骰子重復(fù)擲10次，則10次中點(diǎn)數(shù)3平均出現(xiàn)的次數(shù)為，最可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)3的次數(shù)為。5、設(shè)隨機(jī)變量服從一區(qū)間上的均勻分布，且，則的密度函數(shù)為。。6、設(shè)隨機(jī)變量則，。7、設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，服從參數(shù)為4的指數(shù)分布，則。8、從廢品率為5%的一大批產(chǎn)品每次取一個(gè)產(chǎn)品，直到取到廢品為止，平均要取個(gè)產(chǎn)品。9、設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立，且，則。10、設(shè)相互獨(dú)立，且則。11、已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為，則。12、設(shè)，則。13、設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立，，則=14、設(shè)隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量，則。15、若隨機(jī)變量的分布律為，且，則，。16、設(shè)表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中次數(shù)，每次命中的概率為0.4，則。二、選擇題1、設(shè)，則為()①3/2②1③5/3④3/42、已知隨機(jī)變量，的方差存在，且，則下列一定成立的是（）①與一定獨(dú)立②與一定不相關(guān)③④3、設(shè)的分布律為，如果（），則不一定存在。①②收斂③收斂④收斂4、設(shè)隨機(jī)變量的方差存在，為常數(shù)，則（）①②③④5、設(shè)為隨機(jī)變量，，則＝（）①②1③10④1006、已知隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，且都服從POISSON分布，又知，則（）①51②10③25④307、設(shè)隨機(jī)變量，，則（）①②③④8、設(shè)隨機(jī)變量，則（）①1②2③④49、設(shè)隨機(jī)變量服從指數(shù)分布，且，則的密度函數(shù)為（）①②③④10、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為則錯(cuò)誤的是()①②③④分布函數(shù)11、設(shè)隨機(jī)變量滿足，則正面正確的是()①相互獨(dú)立②不相關(guān)③④12、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則()①②③④13、有一群人受某種疾病感染的占20%，現(xiàn)從他們中隨機(jī)抽取50人，則其中患病人數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差是()①25和8②10和2.8③25和64④10和814、設(shè)隨機(jī)變量均服從區(qū)間(0，2)上的均勻分布，則=①1②3③4④1215、設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，若（）時(shí)，則服從切貝曉夫大數(shù)定律。①的分布律的是②的分布律的是③的密度函數(shù)為④的密度函數(shù)為16、設(shè)獨(dú)立同分布，且服從參數(shù)為1/的指數(shù)分布，則下列結(jié)論正確的是()①②③④17、設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且，則下列中不正確的是（）①②③④三、計(jì)算題1、設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立且均服從，求的數(shù)學(xué)期望。2、設(shè)球的直徑（單位：mm），求球的體積的數(shù)學(xué)期望。3、已知，設(shè)，求的數(shù)學(xué)期望和方差及與的相關(guān)系數(shù)。4、某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明，在索賠戶中，被盜索賠戶占20%，今隨機(jī)抽查100個(gè)索賠戶，求其中被盜索賠戶不少于14戶但也不多于30戶的概率。5、甲乙兩隊(duì)比賽，若有一隊(duì)先勝四場(chǎng)，則比賽結(jié)束，假設(shè)每次比賽甲隊(duì)獲勝的概率為0.6，求比賽場(chǎng)數(shù)的數(shù)學(xué)期望。6、某城市的市民在一年內(nèi)遭受交通事故的概率為千分之一。為此，一家保險(xiǎn)公司決定在這個(gè)城市新開一種交通事故險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年交付保險(xiǎn)費(fèi)18元，一旦發(fā)生事故，將得到1萬元的賠償。經(jīng)調(diào)查，預(yù)計(jì)有10萬人購(gòu)買這種險(xiǎn)種。假設(shè)其他成本共40萬元求（1）保險(xiǎn)公司虧本的概率是多少？（2）平均利潤(rùn)為多少？7、設(shè)隨機(jī)變量X有有限期望EX及方差，試用切貝謝夫不等式估計(jì)的值。8、設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2.5，試用切貝謝夫不等式估計(jì)概率的值。9、某計(jì)算機(jī)系統(tǒng)有120個(gè)終端，各終端使用與否相互獨(dú)立，如果每個(gè)終端有20%的時(shí)間在使用，求使用終端個(gè)數(shù)在30個(gè)至50個(gè)之間的概率。10、一系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立的部件組成，在系統(tǒng)運(yùn)行期間部件損壞的概率為0.05，而系統(tǒng)只有在損壞的部件不多于10個(gè)時(shí)才能正常運(yùn)行，求系統(tǒng)的可靠度。11、某電站供應(yīng)一萬戶用電，假設(shè)用電高峰時(shí)，每戶用電的概率為0.9，利用中心極限定理計(jì)算：同時(shí)用電戶數(shù)在9030戶以上的概率；若每戶用電200瓦，問電站至少應(yīng)具有多大的發(fā)電量，才能以95%的概率保證供電12、對(duì)次品率為0.05的一批產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢查，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個(gè)，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格，那么應(yīng)檢查多少個(gè)產(chǎn)品，才能使這批產(chǎn)品被認(rèn)為是不合格的概率(可信度)達(dá)到90%。13、據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布?，F(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的，求這16只元件的壽命的和大于1920小時(shí)的概率。14、某廠產(chǎn)品的壽命服從指數(shù)分布，其概率密度為，工廠規(guī)定，售出的產(chǎn)品若在一年內(nèi)損壞可以調(diào)換。若工廠售出1個(gè)產(chǎn)品，能獲利120元；調(diào)換1個(gè)產(chǎn)品，工廠要花費(fèi)350元，試求工廠出售1個(gè)產(chǎn)品的平均獲利。15、一商店經(jīng)銷某種商品，每周進(jìn)貨的數(shù)量與商品的需求量相互獨(dú)立，且均服從均勻分布。商店每售出一單位商品可得利潤(rùn)1000元，若需求量超過進(jìn)貨量，商店可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，這時(shí)每單位商品可得利潤(rùn)500元，試計(jì)算此商店經(jīng)營(yíng)該各商品每周平均獲利。16、在一家保險(xiǎn)公司有10000人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)，一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006,其家屬可獲得1000元賠償費(fèi)，求（1）保險(xiǎn)公司沒有利潤(rùn)的概率；（2）保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于60000元的概率。三、證明題1、設(shè)在單位圓內(nèi)服從均勻分布，試證與Y不相關(guān)，但不相互獨(dú)立。2、設(shè)，則與不相關(guān)，但不相互獨(dú)立3、設(shè)與Y都是0－1分布，試證與Y不相關(guān)的充分必要條件是與Y獨(dú)立。4、證明：取值于區(qū)間上的隨機(jī)變量，必有5、設(shè)是兩事件，證明與Y獨(dú)立的充分必要條件是獨(dú)立。數(shù)理統(tǒng)計(jì)一、填空題1、設(shè)為總體X的一個(gè)樣本，如果，則稱為統(tǒng)計(jì)量。2、設(shè)總體已知，則在求均值的區(qū)間估計(jì)時(shí)，使用的隨機(jī)變量為3、設(shè)總體X服從方差為1的正態(tài)分布，根據(jù)來自總體的容量為100的樣本，測(cè)得樣本均值為5，則X的數(shù)學(xué)期望的置信水平為95%的置信區(qū)間為。4、假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)思想是。小概率事件在一次試驗(yàn)中不會(huì)發(fā)生5、某產(chǎn)品以往廢品率不高于5%，今抽取一個(gè)樣本檢驗(yàn)這批產(chǎn)品廢品率是否高于5%，此問題的原假設(shè)為。6、某地區(qū)的年降雨量，現(xiàn)對(duì)其年降雨量連續(xù)進(jìn)行5次觀察，得數(shù)據(jù)為：(單位：mm)587672701640650，則的矩估計(jì)值為。7、設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的樣本與分別取自正態(tài)總體與，分別是兩個(gè)樣本的方差，令，已知，則。8、假設(shè)隨機(jī)變量，則服從分布。9、假設(shè)隨機(jī)變量已知，則。10、設(shè)樣本來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布總體，為樣本均值，而，則11、假設(shè)樣本來自正態(tài)總體，令，則的分布12、設(shè)樣本來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布總體，與分別是樣本均值和樣本方差，令，若已知，則。13、如果都是總體未知參數(shù)的估計(jì)量，稱比有效，則滿足。14、假設(shè)樣本來自正態(tài)總體，是的一個(gè)無偏估計(jì)量，則。15、假設(shè)樣本來自正態(tài)總體，測(cè)得樣本均值，則的置信度是的置信區(qū)間為。16、假設(shè)樣本來自正態(tài)總體，與未知，測(cè)得樣本均值，樣本方差，則的置信度是的置信區(qū)間為。17、假設(shè)樣本來自正態(tài)總體，與未知，則原假設(shè)：的檢驗(yàn)選用的統(tǒng)計(jì)量為。二、選擇題1、下列結(jié)論不正確的是()①設(shè)隨機(jī)變量都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，且相互獨(dú)立，則②獨(dú)立，③來自總體的樣本，是樣本均值，則④與均來自總體的樣本，并且相互獨(dú)立，分別為樣本均值，則2、設(shè)是參數(shù)的兩個(gè)估計(jì)量，正面正確的是()①，則稱為比有效的估計(jì)量②，則稱為比有效的估計(jì)量③是參數(shù)的兩個(gè)無偏估計(jì)量，，則稱為比有效的估計(jì)量④是參數(shù)的兩個(gè)無偏估計(jì)量，，則稱為比有效的估計(jì)量3、設(shè)是參數(shù)的估計(jì)量，且，則有（）①不是的無偏估計(jì)②是的無偏估計(jì)③不一定是的無偏估計(jì)④不是的估計(jì)量4、下面不正確的是（）①②③④5、總體均值的區(qū)間估計(jì)中，正確的是（）置信度一定時(shí)，樣本容量增加，則置信區(qū)間長(zhǎng)度變長(zhǎng)；置信度一定時(shí)，樣本容量增加，則置信區(qū)間長(zhǎng)度變短；置信度增大，則置信區(qū)間長(zhǎng)度變短；置信度減少，則置信區(qū)間長(zhǎng)度變短。6、對(duì)于給定的正數(shù)，，設(shè)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)，則有（）①②③④7、某工廠所生產(chǎn)的某種細(xì)紗支數(shù)服從正態(tài)分布為已知，現(xiàn)從某日生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取16縷進(jìn)行支數(shù)測(cè)量，求得樣本均值和樣本方差，要檢驗(yàn)細(xì)紗支數(shù)的均勻度是否變劣，則應(yīng)提出假設(shè)（）①：：②：：③：：④：：8、設(shè)樣本抽自總體，來自總體，，則的分布為①②③④9、設(shè)為來自的樣本觀察值，未知，則的極大似然估計(jì)值為（）①②③④10、樣本來自總體，，則下列結(jié)論正確的是（）①②③④11、假設(shè)隨機(jī)變量是來自的樣本，為樣本均值。已知，則下列成立的是（）①②③④12、設(shè)樣本來自正態(tài)總體，與分別是樣本均值和樣本方差，則下面結(jié)論不成立的是（）①與相互獨(dú)立②與相互獨(dú)立③與相互獨(dú)立④與相互獨(dú)立13、樣本取自正態(tài)總體，已知，未知。則下列隨機(jī)變量中不能作為統(tǒng)計(jì)量的是（）①②③④14、設(shè)樣本來自正態(tài)總體，與分別是樣本均值和樣本方差，則下面結(jié)論成立的是（）①②③④15、設(shè)樣本來自總體，則下列估計(jì)量中不是總體均值的無偏估計(jì)量的是（）。①②③④16、假設(shè)樣本來自正態(tài)總體。總體數(shù)學(xué)期望已知，則下列估計(jì)量中是總體方差的無偏估計(jì)是（）①②③④17、假設(shè)總體的數(shù)學(xué)期望的置信度是，置信區(qū)間上下限分別為樣本函數(shù)與，則該區(qū)間的意義是（）①②③④18、假設(shè)總體服從區(qū)間上的均勻分布，樣本來自總體。則未知參數(shù)的極大似然估計(jì)量為（）②①②③④不存在19、在假設(shè)檢驗(yàn)中，記為原假設(shè)，則犯第一類錯(cuò)誤的概率是（）①成立而接受②成立而拒絕③不成立而接受④不成立而拒絕20、假設(shè)樣本來自正態(tài)總體，為樣本均值，記則服從自由度為的分布的隨機(jī)變量是（）①②③④三、計(jì)算題1、設(shè)總體，抽取容量為5的樣本，求樣本均值大于13的概率；樣本的最小值小于10的概率；樣本最大值大于15的概率。2、假設(shè)總體，是來自的一個(gè)樣本，是樣本均值，求。3、總體，是來自的樣本，是樣本均值，若，試確定的值。4、設(shè)來自正態(tài)總體，是樣本均值，滿足，試確定樣本容量的大小。5、假設(shè)總體服從正態(tài)總體，樣本來自總體,計(jì)算6、假設(shè)新生兒體重，現(xiàn)測(cè)得10名新生兒的體重，得數(shù)據(jù)如下：3100348025203700252032002800380030203260（1）求參數(shù)和的矩估計(jì)；（2）求參數(shù)的一個(gè)無偏估計(jì)。7、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，設(shè)來自總體的一個(gè)樣本，求的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)。8、在測(cè)量反應(yīng)時(shí)間中，一位心理學(xué)家估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差是秒，為了以的置信度使平均反應(yīng)時(shí)間的估計(jì)誤差不超過秒，那么測(cè)量的樣本容量最小應(yīng)取多少9、設(shè)隨機(jī)變量，是來自的10個(gè)觀察值，要在的水平下檢驗(yàn)：，：取拒絕域（1）（2）若已知是否可以據(jù)此推斷成立？（3）如果以檢驗(yàn)：的拒絕域，試求該檢驗(yàn)的檢驗(yàn)水平。10、假設(shè)按某種工藝生產(chǎn)的金屬纖維的長(zhǎng)度（單位mm）服從正態(tài)分布，現(xiàn)在隨機(jī)抽出15根纖維，測(cè)得它們的平均長(zhǎng)度，如果估計(jì)方差沒有變化，可否認(rèn)為現(xiàn)在生產(chǎn)的金屬纖維的長(zhǎng)度仍為11、某地九月份氣溫，觀察九天，得，，求（1）此地九月份平均氣溫的置信區(qū)間；（置信度95%）（2）能否據(jù)此樣本認(rèn)為該地區(qū)九月份平均氣溫為（檢驗(yàn)水平（3）從（1）與（2）可以得到什么結(jié)論？12、正常成年人的脈搏平均為72次/分，今對(duì)某種疾病患者10人，測(cè)得脈搏為54686577706469726271，假設(shè)人的脈搏次數(shù)，試就檢驗(yàn)水平下檢驗(yàn)患者脈搏與正常成年人的脈搏有無顯著差異？13、設(shè)隨機(jī)變量均未知，與相互獨(dú)立?，F(xiàn)有5個(gè)的觀察值，樣本均值，樣本方差為，有4個(gè)的觀察值，樣本均值，樣本方差為，（1）檢驗(yàn)與的方差是否相等？在（1）的基礎(chǔ)上檢驗(yàn)與的均值是否相等。（）14、假設(shè)某廠生產(chǎn)的纜繩，其抗拉強(qiáng)度X服從正態(tài)分布，現(xiàn)在從改進(jìn)工藝后生產(chǎn)的纜繩中隨機(jī)抽取10根，測(cè)量其抗拉強(qiáng)度，樣本方差。當(dāng)顯著水平為時(shí)，能否據(jù)此認(rèn)為新工藝生產(chǎn)的纜繩的抗拉強(qiáng)度的穩(wěn)定性是否有變化？15、某種導(dǎo)線的電阻，現(xiàn)從新生產(chǎn)的一批導(dǎo)線中抽取9根，得。（1）對(duì)于，能否據(jù)此認(rèn)為新生產(chǎn)的一批導(dǎo)線的穩(wěn)定性無變化？（2）求總體方差的95%的置信區(qū)間16、某廠用自動(dòng)包裝機(jī)包裝糖，每包糖的重量，某日開工后，測(cè)得9包糖的重量如下：99.398.7100.5101.298.399.7102.1100.599.5(單位：千克)試求總體均值的置信區(qū)間，給定置信水平為。17、設(shè)有甲、乙兩種安眠藥，現(xiàn)在比較它們的治療效果，表示失眠患者服用甲藥后睡眠時(shí)間的延長(zhǎng)時(shí)數(shù)，表示失眠患者服用乙藥后睡眠時(shí)間的延長(zhǎng)時(shí)數(shù)，隨機(jī)地選取20人，10人服用甲藥，10人服用乙藥，經(jīng)計(jì)算得，設(shè)；求的置信度為95%的置信區(qū)間。18、研究由機(jī)器A和B生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑，隨機(jī)地抽取機(jī)器A生產(chǎn)的管子18根，測(cè)得樣本方差，抽取機(jī)器B生產(chǎn)的管子13根，測(cè)得樣本方差，設(shè)兩樣本獨(dú)立，且由機(jī)器A和B生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑服從正態(tài)分布，試求總體方差比的置信度為90%的置信區(qū)間。19、設(shè)某種材料的強(qiáng)度，未知，現(xiàn)從中抽取20件進(jìn)行強(qiáng)度測(cè)試，以kg/cm為強(qiáng)度單位，由20件樣本得樣本方差，求和的置信度為90%的置信區(qū)間。20、設(shè)自一大批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100個(gè)樣品，得一級(jí)品50個(gè)，求這批產(chǎn)品的一級(jí)中率的置信度為95%的置信區(qū)間。21、一家廣告公司想估計(jì)某類商店去年所花的平均廣告費(fèi)有多少。經(jīng)驗(yàn)表明，總體方差約為1800000，如果置信度為95%，并要使估計(jì)值處在總體均值附近500元的范圍內(nèi)，這家廣告公司應(yīng)取多大的樣本？22、設(shè)電視機(jī)的首次故障時(shí)間服從指數(shù)分布，，試導(dǎo)出的極大似然估計(jì)量和矩估計(jì)。23、為了比較兩位銀行職員為新顧客辦理個(gè)人結(jié)算賬目的平均時(shí)間長(zhǎng)度，分別給兩位銀行職員隨機(jī)地安排了10個(gè)顧客，并記錄下為每位顧客辦理賬單所需的時(shí)間（單位：分鐘）相應(yīng)的樣本均值和方差為：。假設(shè)每位職員為顧客辦理賬單所需的時(shí)間服從正態(tài)分布，且方差相等，求總體平均值差的置信度為95%的區(qū)間估計(jì)。24、某飲料公司對(duì)其所做的報(bào)紙廣告在兩個(gè)城市的效果進(jìn)行了比較，他們從兩個(gè)城市中分別隨機(jī)地調(diào)查了1000個(gè)成年人，其中看過該廣告的比例分別為0.18和0.14，試求兩個(gè)城市成年人中看過該廣告的比例之差的置信度為95%的置信區(qū)間。25、電視機(jī)顯像管批量生產(chǎn)的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)為平均壽命1200小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為300小時(shí)。某電視機(jī)廠宣稱其生產(chǎn)的顯像管質(zhì)量大大超過規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)。為了進(jìn)行驗(yàn)證，隨機(jī)抽取100件為樣本，測(cè)得其平均壽命為1245小時(shí)。能否據(jù)此認(rèn)為該廠的顯像管質(zhì)量大大高于規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)？26、某機(jī)器制造出的肥皂厚度為，今欲了解機(jī)器性能是否良好，隨機(jī)抽取10塊為樣本，測(cè)得其平均厚度為，標(biāo)準(zhǔn)差為，試分別以0.05和0.01的顯著水平檢驗(yàn)機(jī)器性能是否良好？（假設(shè)肥皂厚度服從正態(tài)分布）27、有兩種方法可用于制造某種以抗拉強(qiáng)度為重要特征的產(chǎn)品。根據(jù)以往的資料得知，第一種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差為8kg，第二種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差為10kg。從兩種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品各抽取一個(gè)樣本，樣本容量分別為32和40，測(cè)得。問這兩種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均抗拉強(qiáng)度是否有顯著差別28、一個(gè)車間研究用兩種不同的工藝組裝產(chǎn)品所用的時(shí)間是否相同，讓一個(gè)組的10名工人用第一種工藝組裝產(chǎn)品，平均所需的時(shí)間為26.1分鐘，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為12分鐘；另一組的8名工人用第二種工藝組裝產(chǎn)品，平均所需的時(shí)間為17.6分鐘，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為10.5分鐘，已知用兩種工藝組裝產(chǎn)品所需的時(shí)間服從正態(tài)分布，且方差相等，問能否認(rèn)為用第二種工藝組裝產(chǎn)品所需的時(shí)間比用第一種工藝組裝產(chǎn)品所需的時(shí)間短？29、某地區(qū)小麥的一般生產(chǎn)水平為畝產(chǎn)250kg，其標(biāo)準(zhǔn)差為30kg?，F(xiàn)用一種化肥進(jìn)行試驗(yàn)，從25個(gè)小區(qū)抽樣結(jié)果為平均產(chǎn)量為270kg。問這種化肥是否使小麥明顯增產(chǎn)？30、某種大量生產(chǎn)的袋裝食品，按規(guī)定不得少于250kg。今從一批該食品中任意抽取50袋，發(fā)現(xiàn)有6袋低于250kg。若規(guī)定不符合標(biāo)準(zhǔn)的比例超過5%就不得出廠，該批食品能否出廠？31、某種電子元件的壽命服從正態(tài)分布?，F(xiàn)測(cè)得16只元件的壽命如下：159280101212224379179264222362168250149260485170，問是否有理由認(rèn)為元件的平均壽命大于225小時(shí)。32、某電器經(jīng)銷公司在6個(gè)城市設(shè)有經(jīng)銷處，公司發(fā)現(xiàn)彩電銷售量與該城市居民戶數(shù)多少有很大關(guān)系，并希望通過居民戶數(shù)多少來預(yù)測(cè)其彩電銷售量。下表是有關(guān)彩電銷售量與城市居民戶數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：城市編號(hào)銷售量戶數(shù)(萬戶)123456542563196827774383658916189193197202206209要求：(1)計(jì)算彩電銷售量與城市居民戶數(shù)之間的線性相關(guān)系數(shù)；（2）擬合彩電銷售量對(duì)城居民戶數(shù)的回歸直線；(3)計(jì)算判定系數(shù)(4)對(duì)回歸方程的線性關(guān)系和回歸系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)()，并對(duì)結(jié)果作簡(jiǎn)要分析。33、在每種溫度下各做三次試驗(yàn)，測(cè)得其得率(%)如下：溫度得率868583868887908892848388檢驗(yàn)溫度對(duì)該化工產(chǎn)品的得率是否有顯著影響。34、測(cè)量9對(duì)做父子的身高，所得數(shù)據(jù)如下(單位：英父親身高x606264666768707274兒子身高y63.665.26666.967.167.868.370.170(1)試建立了兒子身高關(guān)于父親身高的回歸直線方程(2)檢驗(yàn)兒子身高關(guān)于父親身高的回歸直線方程是否顯著成立？（3）父親身高為70，試對(duì)兒子身高進(jìn)行置信度為95%的區(qū)間預(yù)測(cè)35、某商店采用四種不同的方式推銷商品。為檢驗(yàn)不同的方式推銷商品的效果是否有顯著差異隨機(jī)抽取樣本，得到如下數(shù)據(jù)：（）方式1方式2方式3方式47786808884959282918972776882758084797082計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，并以的顯著水平作出統(tǒng)計(jì)決策。四、證明題1、設(shè)來自正態(tài)總體，總體的數(shù)學(xué)期望及方差均存在，求證：均是總體的數(shù)學(xué)期望的無偏估計(jì)。其中2、假設(shè)隨機(jī)變量服從分布時(shí)，求證：3、設(shè)來自正態(tài)總體，總體的方差存在，為樣本方差，求證：為的無偏估計(jì)。4、假設(shè)總體的數(shù)學(xué)期望和方差均存在，來自總體，求證：與都是總體期望的無偏估計(jì)，且。其中，5、已知，證明6、設(shè)總體的階矩存在，來自總體,證明樣本階矩為總體的階矩的無偏估計(jì)。7、設(shè)總體的密度函數(shù)為試證是的無偏估計(jì)，而不是的無偏估計(jì)。8、設(shè)總體，證明均是的無偏估計(jì)（來自總體的樣本）第二部份參考答案第一章概率論的基本概念一、填空題1、2、0.23、4、5、0.36、0.67、3/88、0.79、10、1/311、12、0.2,013、014、0.1215、0.5416、0.5217、118、11/1219、2/320、二、選擇題1、④2、③3、②4、②5、③6、③7、④8、②9、③10、③11、③12、④13、①14、④15、③16、③17、④18、①19、④三、計(jì)算題1、2、3、4、分別表示甲、乙、丙生產(chǎn)的零件，表示優(yōu)質(zhì)品，用Bayes公式求分別為0.4319,0.3606,0.2014，故可認(rèn)為是甲機(jī)器生產(chǎn)的零件6、＝0.0589067、＝“答對(duì)”，＝“平時(shí)沒練習(xí)過”，用Bayes公式求，答案為12/698、2/3,2/3,2/39、“第次取得電影票”，，答案為1/210、011、=“兩個(gè)均為紅色”，＝“兩個(gè)均為白色”，（1）（2）1－12、（1）（3）至少有一個(gè)不發(fā)生，（2）（4）兩個(gè)都不發(fā)生13、(1)1/2(2)33/100（3）16/10014、“第次取得合格品“，即求＝15、“第次打開門”，用乘法公式（1）（2）16、=“有一個(gè)為黑色”，＝“另一個(gè)也為黑色”即求答案為1/817、=“丟失的為黑色”，＝“第二次的均為白色，用Bayes公式求，答案為，5/1318、(1)用全概率公式求77/225，（2）用Bayes公式求105/15419、用獨(dú)立性，103/30020、1/221、0.899222、5/1523、1/324、0.05925、26、9/1627、1/228、29、0.530、631、0.27232、0.285733、0.663634、(1)0.27(2)0.1535、0.458表示“飛機(jī)被擊落”，“擊中飛機(jī)次”，全概率公式求36、0.78437、三局兩勝制甲勝的概率0.648，五局三勝制甲勝的概,0.68238、39、0.311740、4/941、＝“出現(xiàn)雙6”，“不出現(xiàn)雙6”，42、43、用乘法公式44、“第次撥號(hào)接通”，則求，答：3/10，3/545、表示有0,1，2支部隊(duì)按時(shí)趕到，表示“取勝”，先求，用全概率公式表示，用，解46、（1）0.512（2）0.488（3）0.08第二章隨機(jī)變量及其分布一、填空題1、2、3、14、5、6、7、8、9、10、，011、設(shè)“第次取次品”，用乘法公式求12、013、14、0.7115、16、217、118、1/3619、20、二、選擇題1、③2、④3、①4、②5、①6、③7、③8、①9、①10、①11、②12、①13、②14、③三、計(jì)算題1、表示取得好燈泡的個(gè)數(shù)，X123P1/157/157/15X的分布函數(shù)為：P{X≥2}＝P{X=2}+P{X=3}＝14/152、X的分布律如下表X123…k…P5/815/6445/512…(3/8)k-15/8…∴P{1<X≤3}＝P{X＝2}＋P{X＝3}≈0.3223、14、=0.20146/307/3017/305、解出6、7、－1012/155/158/158、9、10、0.20611、12、(1)0.54618(2)0.906534513、(1)5/6(2)4/514、15、(1)37/16(2)22/2916、(1)1/4(2)4/917、（1）（2）18、（1）1/3(2)1/319、20、設(shè)進(jìn)入商店的顧客購(gòu)買該種物品人數(shù)為，求的分布律其中進(jìn)入某一商店的顧客人數(shù)，答案：21、表示任意一頁(yè)書上印刷錯(cuò)誤個(gè)數(shù)，表示隨機(jī)地取5頁(yè)書印刷錯(cuò)誤個(gè)數(shù)不超過2個(gè)的頁(yè)數(shù)，此題所求為22、(1)X~P(2)，(1)所求為P{X>3}=0.143設(shè)須增加設(shè)備至x個(gè)方可滿足需要。有：P{X≤x}≥0.9x＝4最可能數(shù)是1只到2只23、設(shè)X表示任一時(shí)刻關(guān)機(jī)的電腦臺(tái)數(shù)，所求是P{X>2}=0.609任一時(shí)刻開機(jī)的電腦臺(tái)數(shù)Y~B(12,3/4)。故最有可能同時(shí)開機(jī)臺(tái)數(shù)是k=12×3/4＋3/4＝924、設(shè)X為同時(shí)使用的車床數(shù)，所求為P{7.5X>55}=0.00007825、表示電子管的壽命，表示5個(gè)電子管使用1000小時(shí)后損壞的個(gè)數(shù)，表示電子設(shè)備正常工作26、(1)0.3384,0.5952(2)129.7427、(1)0.0228(2)81.163528、用右連續(xù)（1）（2）＝29、解：(1)1，(2)=30、31、先求分布函數(shù)，32、10.90.133、“第次取得次品”，用乘法公式求，3456789101/1203/1206/12010/12015/12021/12028/12036/12034、的分布律－10122/61/61/62/6的分布律02/43/41/63/62/635、36、答案：4098.737、2/538、39、（1）（2）（3）第三章多維隨機(jī)變量及其分布一、填空題1、2、9/133、4、5、6、，1－7、18、1/39、5/712、1/413、 10、11011/43/4013/41/4二、選擇題1、③2、③3、③4、①5、④6、③7、①8、③9、②三、計(jì)算題1、（1）(2) 2、X，Y的聯(lián)合分布率為XY123－30.10.050.1－20.10.050.1－10.20.10.2由(1)的結(jié)果，有：(X，Y)(-3,1)(-3,2)(-3，3)(-2,1)(-2,2)(－2,3)(-1,1)(-1,2)(-1,3)Z－5－4－3－3－2－1－101U－4－5－6－3－4－5－2－3－4P0.10.050.10.10.050.10.20.10.2于是，Z＝2X＋Y和U＝X－Y的分布律分別為：Z－5－4－3－2－101P0.10.050.20.050.30.10.2U－6－5－4－3－2P0.10.150.350.20.23、設(shè)等候?qū)Ψ降臅r(shí)間為隨機(jī)變量Z(單位：小時(shí))，則Z＝｜X－Y｜于是所求概率＝1/124、5、6、7、同理可得的分布8、（1）：當(dāng)或?yàn)?當(dāng)為當(dāng)為當(dāng)為當(dāng)，為0（2）＝當(dāng)其他為0當(dāng)其他為0（3）＝9、用獨(dú)立性得Y0120120.160.320.160.080.160.080.010.020.0110、(1)由有再用邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系Y01－1011/4001/21/401/41/21/41/21/2(2)和不獨(dú)立。11、（1）先求邊緣分布函數(shù)，得和獨(dú)立（2）求12、13、先求，再求＝14、15、（1）＝21/4(2)（3）16、先求分布函數(shù)，后求密度函數(shù)17、：，：18、19、20、第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第五章極限定理一、填空題1、2、53、或4、平均出現(xiàn)的次數(shù)10/6,最可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)3的次數(shù)為15、,06、4，0.47、208、9、310、11、12、13、214、8/915、16、18.4二、選擇題1、①2、②3、②4、③5、①6、④7、②8、①9、①10、④11、②12、②13、④14、③15、①16、①17、③三、計(jì)算題1、用，令，2、3、，，4、為100個(gè)索賠戶中被盜索賠戶數(shù)，所求，0.9275、設(shè)表示比賽場(chǎng)數(shù)，表示第次比賽甲隊(duì)獲勝，6、為遭受交通事故的人數(shù)，，（1）（2）保險(xiǎn)公司利潤(rùn)（萬元）7、P{EX－3σ<X<EX＋3σ}＝P{|X-EX|<3σ}≥1－＝8/98、P{|X-EX|≥5}≤＝0.19、用中心極限定理X~B(120,0.2)所求為P{30≤X≤50}＝0.08110、設(shè)X表示損壞的部件個(gè)數(shù)。由X~B(100,0.05)。所求為P{X≤10}＝0.9811、設(shè)X表示在用電高峰時(shí)，同時(shí)用電的戶數(shù)。所求為P{X>9030}，由X~B(10000,0.9)=0.16設(shè)電站至少應(yīng)具有瓦的發(fā)電量，才能以95%的概率保證供應(yīng)用電。所求為P{200X≤x}≥0.95x≥180990012、設(shè)應(yīng)檢查件產(chǎn)品，次品數(shù)0.90,13、14、33.6415、表示每周獲利，則16、用中心極限求（1）0（2）0.5數(shù)理統(tǒng)計(jì)一、填空題不含任何未知參數(shù)2、3、4、小概率事件在一次試驗(yàn)中不會(huì)發(fā)生5、：6、1430.87、用，8、9、用得10、11、12、13、，14、15、16、17、二、選擇題1、③2、④3、③4、②5、②6、④7、④8、①9、①10、③11、12、④13、③14、②15、②16、②17、①18、②19、②20、①三、計(jì)算題1、（1）1－（2）（3）12、解：3、）4、由所以=0.955、得6、（1）（2）7、（1）故（2）似然函數(shù)故8、估計(jì)誤差的置信區(qū)間為估計(jì)誤差故樣本容量最小應(yīng)取97。9、（1）取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)的水平下，拒絕域（2），故，因此不能據(jù)此推斷成立（3）10、：，：取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量答案：可認(rèn)為現(xiàn)在生產(chǎn)的金屬纖維的長(zhǎng)度仍為11、置信區(qū)間公式為得（2）檢驗(yàn)：，：取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域答案：不能認(rèn)為該地區(qū)九月份平均氣溫為（3）對(duì)于同一而言，在顯著水平拒絕：與在置信度為的置信區(qū)間之外是一致的。12、檢驗(yàn)：，：取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域答案：可認(rèn)為患者的脈搏與正常成年人的脈搏有顯著差異13、（1）：，：取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域答：可認(rèn)為與的方差相等（2）：，：由的方差相等，取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，拒絕域答：可認(rèn)為與的均值相等。14、：，：取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量答：故可認(rèn)為新工藝生產(chǎn)的纜繩的抗拉強(qiáng)度的穩(wěn)定性無顯著變化1