寧夏銀川市六盤山高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)20232024學(xué)年第一學(xué)期高二月考測(cè)試卷學(xué)科：數(shù)學(xué)測(cè)試時(shí)間：120分鐘滿分：150分命題一?單選題（每小題5分，共40分）1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出直線斜率，即可得出傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以傾斜角為.故選：B2.已知點(diǎn)，且兩點(diǎn)的距離為5，則（）A.0 B.8 C.0或8 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)距離公式即可求解.【詳解】由題意可得或，故選：C3.已知空間向量，，，，且與垂直，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知可得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求出，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】因與垂直，所以，即，所以.又，所以.故選：D.4.如圖，在長(zhǎng)方體中，，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.點(diǎn)的坐標(biāo)為B.點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為C.點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為D.點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間中的點(diǎn)對(duì)稱的特征即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】點(diǎn)的坐標(biāo)為,故A正確，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，B正確，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，C錯(cuò)誤，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，D正確，故選：C5.如圖，空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算直接求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，所以，所以.故選：B.6.過點(diǎn)，且平行于直線的直線方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行直線系即可求解.【詳解】與直線平行的直線可設(shè)為，將代入可得，故直線方程為，故選：C7.若向量，則（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】A【解析】【分析】先利用空間向量的線性運(yùn)算得到的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又，所以，故選：A8.如圖，已知直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，為的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接、，可得，從而異面直線與所成角就是直線與直線所成的角，然后在三角形中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接、，易知，所以異面直線與所成角就是直線與直線所成的角，即，因?yàn)橹比庵乃欣忾L(zhǎng)都相等，可設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)都為，則，，，則在中，由余弦定理可得：即異面直線與所成角的余弦值為：.故選：.二?多選題（每小題5分，共20分）9.下列命題正確的是（）A.任何直線方程都能表示為一般式B.兩條直線相互平行的充要條件是它們的斜率相等C.直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是D.直線方程可化為截距式為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)具體條件對(duì)相應(yīng)選項(xiàng)作出判斷即可.【詳解】對(duì)A：直線的一般是方程為：，當(dāng)時(shí)，方程表示水平線，垂直軸；當(dāng)時(shí)，方程表示鉛錘線，垂直軸；當(dāng)時(shí)，方程表示任意一條不垂直于軸和軸的直線；故A正確.對(duì)B：兩條直線相互平行的充要條件是它們的斜率相等且不重合，故B錯(cuò).對(duì)C：聯(lián)立，解得，故C正確對(duì)D：若或時(shí)，式子顯然無意義，故D錯(cuò).故選：AC.10.下列直線中，與垂直的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)垂直滿足的斜率關(guān)系即可求解.【詳解】直線的斜率為，故與其垂直的直線斜率為，對(duì)于ACD,斜率為,符合，對(duì)于B，斜率為，不符合，故選：ACD11.下列說法中正確的是（）A.若向量共線，則向量所在的直線平行B.已知不共面，則一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底C.三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)共面D.若為空間四點(diǎn)，且有（不共線），則是三點(diǎn)共線的充要條件【答案】BCD【解析】【分析】利用共線向量定義可知，當(dāng)向量共線時(shí)，向量所在的直線不一定平行，即A錯(cuò)誤；根據(jù)不共面的空間向量可構(gòu)成一組基底可利用反證法證明B正確；由空間向量證明點(diǎn)共面可知C正確；由共線定理可證明是三點(diǎn)共線的充要條件，可得D正確.【詳解】對(duì)于A，若向量共線，則向量所在的直線可能平行，也可能重合，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，假設(shè)向量共面，則存在實(shí)數(shù)滿足，所以可得，若，則，可得兩向量共線，這與不共面矛盾；若，則，可得共面，與已知矛盾，所以假設(shè)不成立，即可得向量不共面，所以一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，即B正確；對(duì)于C，因?yàn)槿c(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)，若，因?yàn)?，所以可知四點(diǎn)共面，即C正確；對(duì)于D，若為空間四點(diǎn)，且有（不共線），當(dāng)，即時(shí)，可得，即，所以三點(diǎn)共線；當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，根據(jù)共線定理可知可知對(duì)于空間中任意一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)滿足（不共線），且，即D正確.故選：BCD.12.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.四面體的體積為 B.向量在方向上的投影向量為C.直線與直線垂直 D.點(diǎn)到直線的距離【答案】ABD【解析】【分析】以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立空間坐標(biāo)系，利用體積公式判斷A；利用空間向量法判斷BCD.【詳解】解：以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，，，，對(duì)于A，因?yàn)?，故正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，，所以在方向上的投影向量為：，故正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，，所以與不垂直，即直線與直線不垂直，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，所以，所以點(diǎn)到直線的距離，故正確.故選：ABD.三?填空題（每小題5分，共20分）13.已知直線過點(diǎn)，則直線的斜率為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)斜率公式即可求解.【詳解】由斜率公式可得，故答案為：14.兩條平行直線與間的距離為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩平行直線間的距離公式求得正確答案.【詳解】依題意可知，兩直線的距離為.故答案為：15.如圖，已知線段在平面內(nèi)，，且，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性表示，結(jié)合模長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】由于，在平面內(nèi)，所以,又所以,由于,所以,所以，故答案為：16.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，則當(dāng)平面與平面所成角的余弦值為時(shí)，三棱錐的體積為___________.【答案】【解析】【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法結(jié)合面面角求出，再根據(jù)錐體的體積公式即可得解.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，因?yàn)檩S平面，則可取平面的法向量為，則，解得或（舍去），所以，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用空間向量法求解二面角的步驟如下：（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出二面角對(duì)應(yīng)的兩個(gè)半平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面內(nèi)兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面為坐標(biāo)平面，直接取法向量即可）；（3）計(jì)算（2）中兩個(gè)法向量的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實(shí)際情況，判斷二面角是銳角還是鈍角，從而得到二面角的余弦值.四?解答題（17題10分，其余各題每小題12分，共70分）17.已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是.（1）求直線的方程（答案用一般式方程表示）；（2）求邊上的高線的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由點(diǎn)，，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求得的方程；（2）過點(diǎn)作，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【小問1詳解】解：由點(diǎn)，，可得直線的斜率為，所以直線的方程為，即.【小問2詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作，即設(shè)的邊上的高線為，由直線的方程為，又由，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，可得，即邊上的高線的長(zhǎng).18.已知向量，.（1）求與的夾角余弦值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量坐標(biāo)夾角公式計(jì)算可得答案；（2）利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，，，所以；【小?詳解】，因?yàn)?，所以，解?19.如圖，在四面體中，，，，設(shè).（1）求的值；（2）已知是線段中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求線段的長(zhǎng).【答案】（1）36（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解，（2）根據(jù)空間向量的線性，結(jié)合模長(zhǎng)公式即可求解.【小問1詳解】由，，可得,所以【小問2詳解】由于是線段中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，所以故,所以,所以20.如圖，長(zhǎng)方體是的中點(diǎn).（1）求證：∥平面；（2）求直線與平面夾角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接交于，再連接，由線面平行的判定定理證明即可；（2）以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【小問1詳解】證明：連接交于，再連接，由題意可知是中點(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以∥,又因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面；【小?詳解】解：以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)樗?，，，，，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則有，所以，取，設(shè)直線與平面夾角，則有，所以直線與平面夾角的正弦值為.21.如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)分別在棱上，且，.（1）求證：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，可求得平面和平面的法向量，可證得法向量互相垂直，由此可得結(jié)論；（2）利用點(diǎn)到平面距離的向量求法可求得結(jié)果.【小問1詳解】三棱柱為直三棱柱，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，，平面平面.【小問2詳解】，，，又平面的法向量，點(diǎn)到平面的距離.22.如圖，四棱錐的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，為側(cè)棱上的點(diǎn)，且平面.（1）求平面與平面所成的角；（2）側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，試說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，利用線面垂直判定可證得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法可求得結(jié)