上海市嘉定區(qū)2022-2023學年高二下學期期末數(shù)學試題

上海市嘉定區(qū)2022-2023學年高二下學期期末數(shù)學試題一、填空題1．直線x+y+2=0的傾斜角的是．2．若排列數(shù)P6m=6×5×4，則m=3．拋物線y2=8x的焦點到準線的距離是4．在空間直角坐標系O?xyz中，點P(1，2，3)關(guān)于坐標平面xOy的對稱點5．i=1+∞(6．已知一個圓錐的底面半徑為3，其側(cè)面積為15π，則該圓錐的體積為.7．(2x?1)5的二項展開式的各項系數(shù)之和為8．在空間直角坐標系O?xyz中，某二面角α?l?β的大小為θ，0<θ<π2，半平面α、β的一個法向量分別為n1、n2，且n9．已知雙曲線x2a2?y24=1(a>0)的一條漸近線與圓10．從0、1、2、3、4、5、6、7這8個數(shù)中任取5個不同的數(shù)，則這5個不同的數(shù)的中位數(shù)為3的概率為.11．已知圓錐曲線Ck的方程：x29?k+y24?k=1.當m、n為正整數(shù)，且m<n時，存在兩條曲線Cm、Cn，其交點12．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱B1

（1）存在點P，使得PA1=PE；（2）存在點P，使得BD1⊥平面PA1二、單選題13．在空間內(nèi)，異面直線所成角的取值范圍是（）A．(0,π2) B．(0,π2]14．一般的數(shù)學建模包含如下活動過程：①建立模型；②實際情境；③提出問題；④求解模型；⑤實際結(jié)果；⑥檢驗結(jié)果，則正確的序號順序為（）A．③②①④⑤⑥ B．③②①④⑥⑤C．②①③④⑤⑥ D．②③①④⑥⑤15．已知A、B、C是半徑為1的球面上的三點，若AB=AC=1，則BC的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．216．設(shè)數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，若對任意的n∈N?，都有Sn<an+1，則稱數(shù)列{an}A．①和②都為真命題 B．①為真命題，②為假命題C．①為假命題，②為真命題 D．①和②都為假命題三、解答題17．已知數(shù)列{an}的前n（1）求數(shù)列{a（2）求證：數(shù)列{a18．在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，（1）求證：BC⊥平面D1（2）求點D到平面BCD19．某校高二年級一個班有60名學生，將期中考試的數(shù)學成績（均為整數(shù)）分成六段：[40，（1）求a的值；（2）用分層隨機抽樣的方法從中抽取一個容量為20的樣本，已知甲同學的成績在[70，80)，乙同學的成績在20．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓Γ：x22+y2（1）寫出橢圓右焦點F的坐標及該橢圓的離心率；（2）證明：直線MN必過定點，并求出此定點坐標；（3）若弦AB，CD的斜率均存在，求△FMN面積的最大值．21．已知f(x)=x?ln（1）求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程；（2）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(k，k+1)(k∈N)上有零點，求k的值；（3）記g(x)=12x2?bx?2?f(x)，設(shè)x1、x2(x

答案解析部分1．【答案】3π【知識點】直線的傾斜角；直線的斜率【解析】【解答】設(shè)直線x+y+2=0的傾斜角為α，

因為直線x+y+2=0的斜率?1，即tanα=?1，

因為α∈[0，π)，所以α=故答案為：3π【分析】根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.2．【答案】3【知識點】排列及排列數(shù)公式【解析】【解答】解：∵排列數(shù)P6∴由排列數(shù)公式得P6∴m=3．故答案為：m=3．【分析】利用排列數(shù)公式直接求解．3．【答案】4【知識點】拋物線的定義【解析】【解答】由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦點到準線的距離就是p，所以焦點到準線的距離為4.

【分析】根據(jù)拋物線的方程求出p的值，即可求得焦點到準線的距離。4．【答案】(1【知識點】空間直角坐標系；空間中的點的坐標【解析】【解答】因為點P′是點P(1，2，3)關(guān)于坐標平面xOy的對稱點，所以P′(1，2，?3).

故答案為：(1，2，?3).

【分析】根據(jù)空間中點面對稱分析求解.5．【答案】2【知識點】等比數(shù)列的前n項和；數(shù)列的極限【解析】【解答】因為i=1+∞故答案為：2【分析】由等比數(shù)列的前n項和公式結(jié)合數(shù)列的極限，即可得出答案.6．【答案】12π【知識點】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺/球）的結(jié)構(gòu)特征【解析】【解答】設(shè)圓錐的母線長為l，因為圓錐的底面半徑r=3，所以圓錐的側(cè)面積S=πrl=3πl(wèi)，依題意可得3πl(wèi)=15π，解得l=5，所以圓錐的高?=l所以該圓錐的體積V=1故答案為：12π。

【分析】設(shè)圓錐的母線長為l，再利用圓錐的底面半徑r=3結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式，從而求出圓錐的側(cè)面積，再利用已知條件求出圓錐母線長，再結(jié)合勾股定理求出圓錐的高，再利用圓錐的體積公式，從而求出該圓錐的體積。7．【答案】1【知識點】二項式定理的應(yīng)用【解析】【解答】因為(2x?1)令x=1，則(2?1)故(2x?1)5故答案為：1.【分析】令x=1，即可得出答案.8．【答案】arccos【知識點】二面角的平面角及求法【解析】【解答】因為n1所以cosn因為0<θ<π2，所以cosθ=故答案為：arccos2【分析】根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.9．【答案】4【知識點】直線與圓相交的性質(zhì)；雙曲線的簡單性質(zhì)【解析】【解答】令x2a2不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線為2x?ay=0，設(shè)圓(x?3)2+y則圓心C(3，0)到直線2x?ay=0的距離為：d=6則|MN|=2=24?d2所以64+a2=3，則a=±22，

因為故答案為：4【分析】求出雙曲線的一條漸近線，由圓心C(3，0)到雙曲線的一條漸近線的距離結(jié)合題意可得d=610．【答案】9【知識點】古典概型及其概率計算公式；簡單計數(shù)與排列組合【解析】【解答】根據(jù)題意，從8個數(shù)中任取5個數(shù)，則基本事件的總數(shù)為C8又由這5個數(shù)的中位數(shù)是3的基本事件為C3所以這5個不同的數(shù)的中位數(shù)為3的概率為P=18故答案為：928【分析】先求得基本事件的總數(shù)，以及這5個不同的數(shù)的中位數(shù)為3的基本事件的個數(shù)，再利用古典摡型的概率計算公式，即可求解.11．【答案】3【知識點】橢圓的定義；橢圓的標準方程；雙曲線的定義；雙曲線的標準方程【解析】【解答】由題意得C1，C結(jié)合橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)可知本題中的任意兩橢圓與兩雙曲線均無公共點，從而m<n時，存在兩條曲線Cm、C必然有m∈{1，2，3}，n∈{5，6，7，8}，設(shè)|PF1|=d1，|P且PF1⊥PF2因為d1+d2所以存在兩條曲線Cm、Cn，且m=1n=7或m=2故答案為：3.【分析】本題主要考查圓錐曲線的定義，易得到C1，C2，C3是橢圓，C5，12．【答案】（1）（3）（4）【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的性質(zhì)；空間向量垂直的坐標表示；點、線、面間的距離計算【解析】【解答】設(shè)正方體棱長為2，DP=m，由AA1⊥平面ABCD，AP?平面ABCD，可得A所以PA12由8+m2=5+(2?m)2正方體中，CD∥平面A1B1C1即P到平面A1B1E的距離不變，而△A以DA，DC，DD1為正方體棱長為2，則A1(2，0，2)，E(1，2，2)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，

可得A1E→=(?1，2，0)，BD1→=(?2，?2，2)，設(shè)P(0，m，0)，(0≤m≤2)，

因為PE→=(1，2?m，2)，PE→所以cos?設(shè)P到直線A1E的距離為d，則d=PE由二次函數(shù)性質(zhì)知0≤m≤2時，y=(m?4)2+20所以△A1PE綜上所述：(1)(3)(4)正確故答案為：(1)(3)(4).【分析】設(shè)正方體棱長為2，DP=m，根據(jù)PA12=PE2，解出m，確定(1)正確；考慮到P到平面A1B1E的距離不變，從而易判斷(4)；以DA，DC，DD13．【答案】B【知識點】異面直線及其所成的角【解析】【解答】由異面直線所成角的定義可知,過空間一點分別作相應(yīng)直線的平行線,兩條相交直線所成的直角或銳角為異面直線所成角,所以兩條異面直線所成角的取值范圍是(0,π故答案為：B.【分析】由異面直線所成角的定義可得出答案.14．【答案】D【知識點】聚類分析【解析】【解答】數(shù)學建?；顒?，根據(jù)實際情境，提出問題，基于問題，建立模型，通過模型的求解，以檢驗?zāi)Ｐ徒鉀Q問題的結(jié)果，若結(jié)果不符合實際，還需要重新建立模型；若結(jié)果符合實際，問題的回答便有了實際的結(jié)果，所以正確的序號順序是②③①④⑥⑤.故答案為：D【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)學建模的活動過程及順序?qū)懗鼋Y(jié)論作答.15．【答案】C【知識點】余弦定理的應(yīng)用【解析】【解答】設(shè)球心為O，連接OA，OB，OC，由OA=OB=OC=AB=AC=1，所以△AOC和△AOB均為等邊三角形，所以∠CAO=∠BAO=60°，所以∠BAC≤∠OAC+∠OAB=120°，當且僅當O，A，B，C共面時取等號，如圖所示，

此時BC取得最大值，在△ABC中，由余弦定理得BC所以BC=3，即BC的最大值為3故答案為：C.【分析】設(shè)球心為O，連接OA，OB，OC，則可得△AOC和△AOB均為等邊三角形，所以∠BAC≤120°，再在△ABC中利用余弦定理可求出BC.16．【答案】C【知識點】等差數(shù)列的前n項和；等比數(shù)列的前n項和【解析】【解答】令等差數(shù)列{an}的公差為d，當d≤0當d>0時，Sn函數(shù)f(x)存在x0>32?a1d，使得即Sn>a等比數(shù)列{an}首項a1>0，因為數(shù)列{Sn=a依題意，任意的n∈N?，2?q<1qn，函數(shù)y=因此2?q≤0?q≥2，所以q∈[2，+∞)判斷正確的是①為假命題，②為真命題.故答案為：C

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及“K數(shù)列”的定義判斷命題①；利用等比數(shù)列的性質(zhì)及“K數(shù)列”的定義和充要條件判斷命題②，可得答案.17．【答案】（1）解：當n=1時，a1當n≥2時，an令n=1，a1=?2滿足an（2）解：由（1）知，an+1所以數(shù)列{an}是以首項為?2【知識點】數(shù)列的概念及簡單表示法；等差關(guān)系的確定【解析】【分析】(1)分n=1和n≥2兩種情況，結(jié)合an與Sn之間的關(guān)系運算求解；18．【答案】（1）證明：取CD的中點E，連接BE，∵該幾何體為直四棱柱，∴DD1∵AD⊥AB，AB=AD=1，∴BD=∵AB//DE，AB=DE=1，AD⊥AB∴四邊形ABCD為正方形，∴BE⊥CE∴BC=2，∵BD∵DD1⊥BC，BC⊥BD，DD1∩BD=D∴BC⊥平面D（2）解：等體積法由圖可得：V由（1）中證明知：BC⊥平面D1DB，∴又∵∴d=【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)【解析】【分析】(1)取CD的中點E，連接BE，可證DD1⊥BC，BC⊥BD，進而可得結(jié)果；

19．【答案】（1）解：由題意可得(0解得a=0.（2）解：因為總體共60名學生，樣本容量為20，因此抽樣比為2060其中[70，80)分數(shù)段有0.03×10×60=18人，所以在[70，80)分數(shù)段中抽取0.03×10×60×1設(shè)甲被抽到的事件為A，乙被抽到的事件為B，則P(A)=618=則甲乙至少一人被抽到的概率為P(AB)+P(AB【知識點】分層抽樣方法；頻率分布直方圖；互斥事件與對立事件；互斥事件的概率加法公式；相互獨立事件的概率乘法公式【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率和為1運算求解；

(2)先根據(jù)分層抽樣求各層人數(shù)，進而可得甲、乙被抽到的概率，結(jié)合獨立事件概率乘法公式運算求解.20．【答案】（1）解：由橢圓方程Γ：x22+y右焦點坐標F(1，（2）證明：AB，設(shè)A(x1，則M(x聯(lián)立y=k(則有x1將上式中k換為?1k，可得若2k21+2下證動直線MN過定點(2若直線MN斜率存在，則kMN直線MN方程為y?k令y=0得x=23，所以此時直線MN也過定點當AB，不妨設(shè)AB斜率不存在，CD斜率為0，此時M(0，則直線MN的方程為y=0，過點(2綜上，動直線MN過定點(2（3）解：由（2）可知直線MN過定點P(2S=1令t=|k|+1S△FMN因為f′(t)=所以t=2時，S△FMN取得最大值19，此時【知識點】導數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；橢圓的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題【解析】【分析】(1)根據(jù)方程求出a，b，c，進而可得結(jié)果；

(2)根據(jù)題意利用韋達定理求M、N的坐標，進而求MN的方程，即可得結(jié)果，注意對斜率不存在的討論；

(3)結(jié)合(2)中的結(jié)論可得S△FMN=S△FPM+21．【答案】（1）解：因為f(x)=x?ln又f(1)=?1，切點為(1，?1)，所以切線方程為（2）解：∵f′(當0<x<1時，f′(x當x>1時，f′(x所以f(x)