高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)熱點專題突破系列(五-六)圓錐曲線方程與概率與統(tǒng)計的綜合問題課件

熱點專題突破系列(五)圓錐曲線的綜合問題考點一圓錐曲線中的定點問題【考情分析】以直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線為背景,通過巧妙設(shè)計和整合命題,常與一元二次方程、向量、斜率、距離等知識交匯考查.【典例1】(2014·西安模擬)已知橢圓C:經(jīng)過點一個焦點是F(0,-1).(1)求橢圓C的方程.(2)設(shè)橢圓C與y軸的兩個交點為A1,A2,點P在直線y=a2上,直線PA1,PA2分別與橢圓C交于M,N兩點.試問:當(dāng)點P在直線y=a2上運動時,直線MN是否恒過定點Q?證明你的結(jié)論.【解題提示】(1)由點在橢圓C上及F(0,-1)可求橢圓C的方程.(2)先利用P的特殊位置，即P在y軸上時，確定若直線MN恒過定點，則該定點一定在y軸上，然后利用三點共線的條件解決.【規(guī)范解答】(1)由題意知c=1,可設(shè)橢圓方程為因為在橢圓上，所以解得b2=3,所以橢圓的方程為(2)假設(shè)存在定點Q.當(dāng)點P在y軸上時,M,N分別與A1,A2重合,若直線MN經(jīng)過定點Q,則Q必在y軸上,設(shè)Q(0,m),當(dāng)點P不在y軸上時,設(shè)P(t,4),M(x1,y1),N(x2,y2),因為A1(0,2),A2(0,-2),所以直線PA1的方程為直線PA2的方程為將代入得(3+t2)x2+6tx=0,解得所以將代入得(27+t2)x2-18tx=0,解得所以因為所以所以(1-m)(9+t2)=0,所以m=1,所以當(dāng)點P在直線y=a2上運動時，直線MN恒經(jīng)過定點Q(0,1).【規(guī)律方法】圓錐曲線中定點問題的兩種解法(1)引進參數(shù)法:引進動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量,再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系,找到定點.(2)特殊到一般法:根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點,再證明該定點與變量無關(guān).【變式訓(xùn)練】(2015·南京模擬)如圖，已知橢圓C:的上頂點為A，右焦點為F，直線AF與圓M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.(1)求橢圓C的方程.(2)若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，且求證：直線l過定點，并求出該定點N的坐標(biāo).【解析】(1)將圓M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x-3)2+(y-1)2=3,圓M的圓心為M(3,1),半徑由A(0,1),F(c,0)得直線AF:即x+cy-c=0,由直線AF與圓M相切，得

(舍去).當(dāng)時,a2=c2+1=3,故橢圓C的方程為C:(2)由知AP⊥AQ,從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直，由A(0,1)可設(shè)直線AP的方程為y=kx+1,直線AQ的方程為將y=kx+1代入橢圓C的方程并整理得：(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或因此P的坐標(biāo)為即將上式中的k換成得直線l的方程為化簡得直線l的方程為因此直線l過定點【加固訓(xùn)練】(2015·保定模擬)設(shè)橢圓E：的離心率為且過點(1)求橢圓E的方程.(2)設(shè)橢圓E的左頂點是A，若直線l:x-my-t=0與橢圓E相交于不同的兩點M，N(M，N與A均不重合)，若以MN為直徑的圓過點A，試判定直線l是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標(biāo).【解析】(1)由可得a2=2b2，橢圓方程為代入點可得b2=2,a2=4,故橢圓E的方程為(2)由x-my-t=0得x=my+t,把它代入E的方程得:(m2+2)y2+2mty+t2-4=0,設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)得：x1+x2=m(y1+y2)+2t=x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+tm(y1+y2)+t2=因為以MN為直徑的圓過點A，所以AM⊥AN,所以=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2因為M，N與A均不重合，所以t≠-2,所以直線l的方程是直線l過定點由于點T在橢圓內(nèi)部，故滿足判別式大于0，所以直線l過定點考點二圓錐曲線中的定值問題【考情分析】該問題常涉及直線、圓錐曲線、向量等問題,是高考熱點:(1)定值問題一般考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系,考查斜率、向量的運算以及運算能力.(2)解決這類問題常通過取參數(shù)和特殊值來確定“定值”是多少,或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式,證明該式為定值.【典例2】(2013·江西高考)橢圓C:的離心率(1)求橢圓C的方程.(2)如圖，A,B,D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意點，直線DP交x軸于點N,直線AD交BP于點M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明:2m-k為定值.【解題提示】(1)借助橢圓中a2=b2+c2的關(guān)系及兩個已知條件即可求解.(2)可以寫出BP的直線方程,分別聯(lián)立橢圓方程及AD的方程表示出點P,M的坐標(biāo),再利用DP與x軸表示點N的坐標(biāo),最終把m表示成k的形式,就可求出定值;另外也可設(shè)點P的坐標(biāo),把k與m都用點P的坐標(biāo)來表示.【規(guī)范解答】(1)因為所以又由a2=b2+c2得代入a+b=3，得故橢圓C的方程為(2)因為B(2,0)，P不為橢圓頂點，則直線BP的方程為①，將①代入解得直線AD的方程為：②.聯(lián)立①②解得由D(0,1),N(x,0)三點共線可知即所以點所以MN的斜率為則(定值).【一題多解】解決本例(2)，你知道幾種解法？解答本題，還有如下方法：設(shè)P(x0,y0)(x0≠0,±2)，則直線AD的方程為直線BP的方程為直線DP的方程為令y=0，由于y0≠1，可得解所以MN的斜率為故【規(guī)律方法】圓錐曲線中定值問題的特點及兩大解法(1)特點:待證幾何量不受動點或動線的影響而有固定的值.(2)兩大解法:①從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關(guān).②引進變量法:其解題流程為【變式訓(xùn)練】(2015·廣州模擬)已知橢圓C：的短半軸長為1,動點M(2,t)(t>0)在直線(c為半焦距)上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程.(3)設(shè)F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值.【解析】(1)由點M(2,t)在直線上，得故所以c=1,從而所以橢圓方程為(2)以O(shè)M為直徑的圓的方程為x(x-2)+y(y-t)=0.即其圓心為半徑因為以O(shè)M為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2，所以圓心到直線3x-4y-5=0的距離所以解得t=4.所求圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=5.(3)設(shè)N(x0,y0),則因為所以2(x0-1)+ty0=0,所以2x0+ty0=2.又因為所以x0(x0-2)+y0(y0-t)=0,所以x02+y02=2x0+ty0=2,所以為定值.【加固訓(xùn)練】已知拋物線x2＝4y的焦點為F，A，B是拋物線上的兩動點，且過A，B兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為M.(1)證明：為定值.(2)設(shè)△ABM的面積為S，寫出S＝f(λ)的表達式，并求S的最小值．【解析】(1)由已知條件，得F(0,1)，λ＞0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由即得(－x1,1－y1)＝λ(x2，y2－1)．所以將①式兩邊平方并把代入得y1＝λ2y2，③解②③式得且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4.拋物線方程為求導(dǎo)得所以過拋物線上A，B兩點的切線方程分別是即解出兩條切線的交點M的坐標(biāo)為所以，所以為定值，其值為0.(2)由(1)知在△ABM中，F(xiàn)M⊥AB，因而因為|AF|，|BF|分別等于A，B到拋物線準(zhǔn)線y＝－1的距離，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y(tǒng)1＋y2＋2＝于是由知S≥4，且當(dāng)λ＝1時，S取得最小值4.考點三圓錐曲線中的最值與取值范圍問題【考情分析】常涉及不等式恒成立、求函數(shù)的值域問題和解不等式問題,是高考熱點:(1)恒成立問題一般考查整式不等式、分式、絕對值不等式在某個區(qū)間上恒成立,求參數(shù)取值范圍.(2)求函數(shù)的值域,一般是利用二次函數(shù)、基本不等式或求導(dǎo)的方法求解,有時也利用數(shù)形結(jié)合思想求解.(3)解不等式一般是轉(zhuǎn)化為解一元一次、一元二次不等式.【典例3】(2014·浙江高考)如圖，設(shè)橢圓C:動直線l與橢圓C只有一個公共點P，且點P在第一象限.(1)已知直線l的斜率為k，用a,b,k表示點P的坐標(biāo)．(2)若過原點O的直線l1與l垂直，證明：點P到直線l1的距離的最大值為a－b.【解題提示】(1)將直線與橢圓方程聯(lián)立,解得P點坐標(biāo).(2)表示出點到直線的距離,利用a,b,k之間的關(guān)系和基本不等式求出最大值.【規(guī)范解答】(1)設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k<0,m>0),由消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0,由于l與C只有一個公共點,故Δ=0,即b2-m2+a2k2=0,所以解得點P的坐標(biāo)為又點P在第一象限，故點P的坐標(biāo)為(2)由于直線l1過原點O且與直線l垂直，故直線l1的方程為x+ky=0，所以點P到直線l1的距離d=因為所以當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以，點P到直線l1的距離的最大值為a－b.【規(guī)律方法】1.解決圓錐曲線中的取值范圍問題的五種常用解法(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍.(2)利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系.(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍.2.圓錐曲線中常見最值問題及解題方法(1)兩類最值問題:①涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題;②求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時確定與之有關(guān)的一些問題.(2)兩種常見解法:①幾何法,若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決;②代數(shù)法,若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個函數(shù)的最值,最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解.提醒:求最值問題時,一定要注意對特殊情況的討論.如直線斜率不存在的情況,二次三項式最高次項的系數(shù)的討論等.【變式訓(xùn)練】(2015·杭州模擬)已知圓M：若橢圓C：的右頂點為圓M的圓心，離心率為(1)求橢圓C的方程.(2)若存在直線l:y=kx,使得直線l與橢圓C分別交于A，B兩點，與圓M分別交于G，H兩點，點G在線段AB上，且|AG|=|BH|，求圓M半徑r的取值范圍.【解析】(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,因為所以c=1,所以b=1,所以橢圓C：(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由直線l與橢圓C交于兩點A，B，則所以(1+2k2)x2-2=0,則x1+x2=0,所以|AB|=點到直線l的距離則|GH|=顯然，若點H也在線段AB上，則由對稱性可知，直線y=kx就是y軸，矛盾，所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，所以當(dāng)k=0時，當(dāng)k≠0時，又顯然所以綜上，【加固訓(xùn)練】已知拋物線C:y=x2.過點M(1,2)的直線l交C于A,B兩點.拋物線C在點A處的切線與在點B處的切線交于點P.(1)若直線l的斜率為1,求|AB|.(2)求△PAB的面積的最小值.【解析】(1)設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知，直線l的方程為y=x+1,由消去y得x2-x-1=0,解得,所以|AB|=(2)易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)+2,設(shè)點A(x3,y3),B(x4,y4).由消去y,整理得x2-kx+k-2=0,x3+x4=k,x3x4=k-2,又y′=(x2)′=2x,所以拋物線y=x2在點A，B處的切線方程分別為y=2x3x-x32,y=2x4x-x42.得兩切線的交點所以點P到直線l的距離又|AB|==設(shè)△PAB的面積為S，所以(當(dāng)k=2時取得等號).所以△PAB面積的最小值為2.熱點專題突破系列(六)概率與統(tǒng)計的綜合問題考點一統(tǒng)計與統(tǒng)計案例【考情分析】以實際生活中的事例為背景,通過對相關(guān)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析、抽象概括,作出估計、判斷.常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識交匯考查,考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力.【典例1】(2015·太原模擬)近幾年出現(xiàn)各種食品問題,食品添加劑會引起血脂增高、血壓增高、血糖增高等疾病.為了解三高疾病是否與性別有關(guān),醫(yī)院隨機對入院的60人進行了問卷調(diào)查,得到了如下的列聯(lián)表:(1)請將如圖的列聯(lián)表補充完整;若用分層抽樣的方法在患三高疾病的人群中抽9人,其中女性抽多少人?(2)為了研究三高疾病是否與性別有關(guān),請計算出統(tǒng)計量K2的觀測值k,并說明是否可以在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為三高疾病與性別有關(guān).患三高疾病不患三高疾病總計男630女總計36下面的臨界值表供參考:(參考公式K2=其中n=a+b+c+d)P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解題提示】(1)由問卷調(diào)查的情況,可補充完表格.(2)可利用隨機變量K2確定,因此首先計算K2的觀測值k.【規(guī)范解答】(1)在患三高疾病人群中抽9人,則抽取比例為所以女性應(yīng)該抽取12×=3(人).患三高疾病不患三高疾病總計男24630女121830總計362460(2)因為K2的觀測值k==10＞7.879,所以可以在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為是否患三高疾病與性別有關(guān).【規(guī)律方法】利用獨立性檢驗思想解決問題的步驟(1)依題意寫出列聯(lián)表.(2)依據(jù)列聯(lián)表用公式計算K2的觀測值k的值.(3)依據(jù)k的值以及臨界值表確定問題的結(jié)果.【變式訓(xùn)練】(2015·濟寧模擬)某企業(yè)為了更好地了解設(shè)備改造前后與生產(chǎn)合格品的關(guān)系,隨機抽取了180件產(chǎn)品進行分析,其中設(shè)備改造前生產(chǎn)的合格品有36件,不合格品有49件,設(shè)備改造后生產(chǎn)的合格品有65件,不合格品有30件.根據(jù)所給數(shù)據(jù):(1)寫出2×2列聯(lián)表.(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為產(chǎn)品是否合格與設(shè)備改造有關(guān).【解析】(1)由已知數(shù)據(jù)得列聯(lián)表如下:合格品不合格品總計設(shè)備改造后653095設(shè)備改造前364985總計10179180(2)根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，K2的觀測值為k＝≈12.38，由于12.38＞10.828，所以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下可認為產(chǎn)品是否合格與設(shè)備改造有關(guān)．【加固訓(xùn)練】(2015·蚌埠模擬)在全國漢字聽寫大賽之前,某地先進行了共十輪的選拔賽,某研究機構(gòu)一直關(guān)注其測試選拔過程.第二輪選拔后有450名學(xué)生進入下一輪,該機構(gòu)利用分層抽樣的方法抽取了90人進行跟蹤調(diào)查,得到第三輪是否通過的數(shù)據(jù)如下表所示:考試未通過考試通過總計男學(xué)生273663女學(xué)生91827總計365490(1)利用獨立性檢驗估計第三輪通過與否與學(xué)生的性別是否有關(guān)?(2)估計全部450名學(xué)生通過第三輪測試的大約有多少人.(3)如果從第三輪測試通過的所有學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生,然后從這6名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生進行問卷調(diào)查,求這2名學(xué)生中至少有1名女學(xué)生的概率.附：K2=(其中n=a+b+c+d)P(K2≥k)0.250.150.100.050.025k1.3232.0722.7063.8415.024【解析】(1)根據(jù)公式得:K2=≈0.71<1.323,所以我們認為是否通過第三輪測試與學(xué)生的性別無關(guān).(2)由樣本數(shù)據(jù)可知，學(xué)生通過第三輪測試的頻率為=0.6.故450名學(xué)生中通過第三輪測試的大約有450×0.6=270(人).(3)根據(jù)表格，通過第三輪測試的男學(xué)生有36人，女學(xué)生有18人,由分層抽樣可知，抽取的6名學(xué)生中男學(xué)生有4名，分別記為A,B,C,D,女學(xué)生有2名，分別記為1，2，從中任選2名的不同取法為{A,B},{A,C},{A,D},{A,1},{A,2},{B,C},{B,D},{B,1},{B,2},{C,D},{C,1},{C,2},{D,1},{D,2},{1,2},共15種.其中至少有1名女生的取法為{A,1},{A,2},{B,1},{B,2},{C,1},{C,2},{D,1},{D,2},{1,2}，共9種.所以所求事件的概率為考點二統(tǒng)計與概率分布列綜合【考情分析】以現(xiàn)實生活為背景,利用頻率估計概率,常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率以及概率分布列等知識交匯考查,考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.【典例2】(2015·揭陽模擬)某學(xué)校900名學(xué)生在一次百米測試中,成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間,抽取其中50個樣本,將測試結(jié)果按如下方式分成五組:第一組[13,14),第二組[14,15),…,第五組[17,18],如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.(1)若成績小于14秒認為優(yōu)秀,求該樣本中百米測試成績優(yōu)秀的人數(shù).(2)請估計本年級900名學(xué)生中,成績屬于第三組的人數(shù).(3)若樣本第一組中只有一個女生,其他都是男生,第五組則只有一個男生,其他都是女生,現(xiàn)從第一、五組中各抽取2個同學(xué)組成一個實驗組,設(shè)其中男同學(xué)的數(shù)量為ξ,求ξ的分布列和期望.【解題提示】(1)(2)先求頻率,再求人數(shù).(3)確定ξ的取值,再根據(jù)定義求分布列.【規(guī)范解答】(1)由頻率分布直方圖知,成績在第一組的為優(yōu)秀,頻率為0.06,人數(shù)為:50×0.06=3.所以該樣本中成績優(yōu)秀的人數(shù)為3.(2)由頻率分布直方圖知,成績在第三組的頻率為0.38,以此估計本年級900名學(xué)生中成績屬于第三組的概率為0.38,人數(shù)為:900×0.38=342.所以估計本年級900名學(xué)生中,成績屬于第三組的人數(shù)為342.(3)第一組共有3人，其中2男，1女，第五組共有50×0.08=4人，其中1男，3女，則ξ的可能取值為1，2，3.P(ξ=1)=P(ξ=2)=P(ξ=3)=所以ξ的分布列為所以E(ξ)=1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=ξ123P【規(guī)律方法】統(tǒng)計與概率分布綜合問題的解題思路(1)找概率分布問題中隨機變量的統(tǒng)計意義.(2)綜合統(tǒng)計中相關(guān)圖、表、數(shù)據(jù)明確相關(guān)聯(lián)的隨機變量的分布特征.(3)依隨機變量的分布特征進一步解決相關(guān)問題.【變式訓(xùn)練】(2014·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖:(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).(2)由直方圖可以認為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù),σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布,求P(187.8<Z<212.2).②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù),利用①的結(jié)果,求E(X).附:≈12.2.若Z～N(μ,σ2),則P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.【解析】(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為

=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)①由(1)知,Z～N(200,150),從而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.6826.②由①知,一件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.6826.依題意知X～B(100,0.6826),所以E(X)=100×0.6826=68.26.【加固訓(xùn)練】為了了解《中華人民共和國道路交通安全法》在學(xué)生中的普及情況,調(diào)查部門組織了一次知識競賽,現(xiàn)隨機抽取了某校20名學(xué)生的測試成績,得到如圖所示莖葉圖:(1)若測試成績不低于90分,則稱為“優(yōu)秀成績”,求從這20人中隨機選取3人,至多有1人是“優(yōu)秀成績”的概率.(2)以這20人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學(xué)校的總體數(shù)據(jù),若從該校(人數(shù)較多)任選3人,記ξ表示抽到“優(yōu)秀成績”學(xué)生的人數(shù),求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)優(yōu)秀成績:4人；設(shè)優(yōu)秀成績?nèi)藬?shù)為X,至多一人成績優(yōu)秀為事件A,P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝(2)由樣本估計總體可知抽到“優(yōu)秀成績”學(xué)生的概率P＝.ξ所有可能的取值為0,1,2,3，顯然則P(ξ＝i)＝E(ξ)=ξ0123P考點三期望與方差的綜合應(yīng)用【考情分析】以現(xiàn)實生活為背景,求某些事件的概率分布列、期望值以及方差,常與離散型隨機變量、概率、相互獨立事件、二項分布等知識交匯考查,考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.【典例3】(2014·湖北高考)計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站,過去50年的水文資料顯示,水庫年入流量X(年入流量:一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和.單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年,超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的年入流量相互獨立.(1)求未來4年中,至多1年的年入流量超過120的概率.(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行,但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制,并有如下關(guān)系:年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120發(fā)電機最多可運行臺數(shù)123若某臺發(fā)電機運行,則該臺年利潤為5000萬元;若某臺發(fā)電機未運行,則該臺年虧損800萬元,欲使水電站年利潤的均值達到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺?【解題提示】(1)先求出年入流量X的概率,根據(jù)二項分布,求出未來4年中,至多有1年的年入流量超過120的概率.(2)分三種情況進行討論,分別求出一臺,兩臺,三臺的數(shù)學(xué)期望,比較即可得到.【規(guī)范解答】(1)依題意，p1=P(40<X<80)==0.2，p2=P(80≤X≤120)==0.7，p3=P(X>120)==0.1.根據(jù)二項分布，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為=(2)記水電站年總利潤為Y,①安裝1臺發(fā)電機的情形:由于水庫年入流量總大于40,故一臺發(fā)電機運行的概率為1,對應(yīng)的年利潤Y=5000,E(Y)=1×5000=5000.②安裝2臺發(fā)電機的情形:依題意,當(dāng)40<X<80時,一臺發(fā)電機運行,此時Y=5000-800=4200,因此P(Y=4200)=P(40<X<80)=p1=0.2;當(dāng)X≥80時,兩臺發(fā)電機運行,此時Y=5000×2=10000,因此P(Y=10000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8;由此得分布列如下所以,E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840.Y420010000P0.20.8③安裝3臺發(fā)電機的情形:依題意,當(dāng)40<X<80時,一臺發(fā)電機運行,此時Y=5000-1600=3400,因此P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2;當(dāng)80≤X≤120時,兩臺發(fā)電機運行,此時Y=5000×2-800=9200,因此P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7;當(dāng)X>120時,三臺發(fā)電機運行,此時Y=5000×3=15000,因此P(Y=15000)=P(X>120)=p3=0.1.由此得分布列如下所以,E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620.綜上,欲使水電站年總利潤的均值達到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機2臺.Y3400920015000P0.20.70.1【規(guī)律方法】1.求數(shù)學(xué)期望值的方法(1)求離散型隨機變量