基于幾何畫板的初中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐探索

基于幾何畫板的初中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐探索摘要：幾何畫板作為信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的主要工具，具有靈活的繪圖功能，并能對圖形的幾何變換進(jìn)行動態(tài)演示，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的直觀效果，這些教學(xué)能效在傳統(tǒng)的筆紙環(huán)境中是難以到達(dá)的。幾何畫板在輔助數(shù)學(xué)教學(xué)方面的獨(dú)特優(yōu)勢開創(chuàng)了教與學(xué)的新方式，有助于教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，有助于學(xué)生成為主動獲取知識的探索者。本文結(jié)合教學(xué)案例，從數(shù)形結(jié)合、實(shí)驗(yàn)探究、輔助變式三方面來論述幾何畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐運(yùn)用，旨在為廣闊數(shù)學(xué)教師優(yōu)化課堂教學(xué)提供一些借鑒或啟示。關(guān)鍵詞：幾何畫板；數(shù)學(xué)教學(xué)；整合；實(shí)踐《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：現(xiàn)代信息技術(shù)的開展對數(shù)學(xué)教育的價值、目標(biāo)、內(nèi)容以及學(xué)與教的方式產(chǎn)生了重大的影響。把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強(qiáng)有力工具，致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂意并有更多的精力投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去。幾何畫板是信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的主要工具之一，其快捷精準(zhǔn)的繪圖、智能的幾何變換、直觀的動態(tài)演示等功能，為學(xué)生創(chuàng)造了一個探索幾何圖形內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境，讓學(xué)生在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中深化對各種圖形的感性認(rèn)識，形成豐富的幾何認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)對數(shù)學(xué)問題的深入理解和思考。幾何畫板為學(xué)生探索知識增添了更多的途徑，同時也為教師研究教學(xué)開辟了更廣的空間。在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何充分發(fā)揮幾何畫板的功能優(yōu)勢，優(yōu)化課堂教學(xué)，成為當(dāng)前新課程改革中值得探索的一個問題。下面筆者結(jié)合案例，談一談幾何畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐運(yùn)用。一、揭示數(shù)形關(guān)系，優(yōu)化思維品質(zhì)數(shù)〔數(shù)量關(guān)系〕與形〔空間形式〕是數(shù)學(xué)教學(xué)中的兩大根本內(nèi)容。數(shù)形結(jié)合思想貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)教材體系之中，它是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一。華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微〞，也就是說數(shù)與形之間相輔相成：以形助數(shù)，可以化抽象為直觀；以數(shù)輔形，可以化直觀為精確。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，因受教學(xué)條件的限制，數(shù)與形很難真正地完美結(jié)合，特別是有些蘊(yùn)藏在數(shù)量關(guān)系背后的幾何意義很難直觀地展現(xiàn)出來。而幾何畫板憑借其強(qiáng)大的功能優(yōu)勢彌補(bǔ)了這一缺乏，能化隱為顯，化靜為動，直觀地反映數(shù)、形的同步變化，為學(xué)生提供一個探索和構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的平臺，從而幫助學(xué)生優(yōu)化思維品質(zhì)，簡化解題過程，提高學(xué)習(xí)效率?！景咐?】有一張三角形紙片ABC，其中BC=6，∠C=90°，∠A=30°。(1)如圖1，假設(shè)用這張紙片裁剪出一個矩形CDEF，使點(diǎn)D、E、F分別落在AC、AB、BC上，且使矩形CDEF的面積最大，那么點(diǎn)E應(yīng)選在何處？(2)如圖2，假設(shè)用這張紙片裁剪出一個矩形DEFG，使點(diǎn)D、G分別落在AC、BC上，點(diǎn)E、F均在AB上，且使矩形DEFG的面積最大，那么點(diǎn)E應(yīng)選在何處？圖2圖2圖1對于上述題組，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型是解解決該問題的關(guān)鍵，而學(xué)生很難找到解題的突破口，因而退避三舍。這里運(yùn)用幾何畫板就能有效突破難點(diǎn)，幾何畫板為學(xué)生尋求解題模型提供了便利。第〔1〕問中，假設(shè)假設(shè)AE的長為x，那么矩形CDEF的面積可表示為y=，用幾何畫板構(gòu)造動點(diǎn)P(x，y)，再運(yùn)用動點(diǎn)追蹤功能，就能直觀地演示當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動時，動點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡〔如圖3〕，幫助學(xué)生快速建立二次函數(shù)模型來解題。第〔2〕問中，也可以設(shè)AE的長為x，那么矩形CDEF的面積可表示為y=，類似地用幾何畫板直觀地演示動點(diǎn)P(x，y)的運(yùn)動軌跡〔如圖4〕。用幾何畫板將數(shù)、形之間的關(guān)系動態(tài)地展示出來，活潑了學(xué)生的思維活動，使抽象的數(shù)學(xué)知識變得生動形象，容易接受。圖4圖4圖3二、探究數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，把握問題本質(zhì)學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)不僅需要演繹、推理，也需要實(shí)驗(yàn)、歸納。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為一種新穎的數(shù)學(xué)研究方法，已成為中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新形式。廣義的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指在特定的實(shí)驗(yàn)條件下，實(shí)驗(yàn)者為了解決某個未知問題，驗(yàn)證某個數(shù)學(xué)猜測，獲取某個數(shù)學(xué)結(jié)論，運(yùn)用一定的技術(shù)手段或工具，并以數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)，將實(shí)驗(yàn)對象進(jìn)行數(shù)學(xué)化的處理，從而解釋數(shù)學(xué)現(xiàn)象、理解數(shù)學(xué)內(nèi)容或構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的一類數(shù)學(xué)研究活動。進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時，既要關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容抽象化、形式化的一面，還要關(guān)注數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中經(jīng)驗(yàn)化、具體化的一面，為此可以利用幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，輔助學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，認(rèn)清數(shù)學(xué)本質(zhì)。【案例2】在初中數(shù)學(xué)“中點(diǎn)四邊形〞的探究活動中，教師可以運(yùn)用幾何畫板引導(dǎo)學(xué)生探究中點(diǎn)四邊形的特征，探究的過程如圖5所示。圖圖5“中點(diǎn)四邊形〞的探究過程圖6(3)(1)(2)幾何畫板為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)造了良好的條件，利用其實(shí)時度量功能，能快速地為學(xué)生提供精準(zhǔn)的度量數(shù)據(jù)，利用其動畫功能，可以動態(tài)地展示任意改變四邊形形狀時某些幾何元素的變化情況，這有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題背后所隱藏的規(guī)律。教學(xué)時，先用“幾何畫板〞課件進(jìn)行演示，通過點(diǎn)擊不同的按鈕來改變四邊形的對角線的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系〔如圖6〕，讓學(xué)生觀察中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀是如何變化的，它與原四邊形ABCD的哪些量有關(guān)系，然后引導(dǎo)學(xué)生歸納出隱藏在現(xiàn)象背后的規(guī)律。這些實(shí)驗(yàn)操作既讓學(xué)生體驗(yàn)了由特殊到一般圖6(3)(1)(2)三、輔助變式教學(xué)，提升課堂效率變式教學(xué)是促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種有效的教學(xué)方式，長期以來被數(shù)學(xué)教師廣泛地用于教學(xué)之中。在現(xiàn)代信息技術(shù)不斷開展的背景下，重新審視數(shù)學(xué)變式教學(xué)，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力有著深遠(yuǎn)的意義。幾何畫板所具有的圖形動畫處理、幾何變換、自動推理、符號計算等功能，為數(shù)學(xué)變式教學(xué)創(chuàng)造了一個簡易、快捷的智能操作平臺。在數(shù)學(xué)變式教學(xué)中，利用幾何畫板從不同層次、不同角度、不同途徑、不同背景這四方面變更數(shù)學(xué)對象的內(nèi)容或形式，引導(dǎo)學(xué)生從變化的現(xiàn)象中抓住不變的本質(zhì)，從不變的本質(zhì)中探索變化的規(guī)律，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、開展及形成的過程，強(qiáng)化對知識結(jié)構(gòu)的認(rèn)識，增加思維活動的經(jīng)驗(yàn)，提高分析問題和解決問題的技能。【案例3】如圖7，∠AOB=90°，P為∠AOB的角平分線上一點(diǎn)，PC交AO于N，PD交BO于M。假設(shè)∠PNO=∠PMO=90°，那么利用角平分線的性質(zhì)易證：PM=PN。變式1：如圖8，假設(shè)保持∠CPD=90°不變，將∠CPD繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，那么PM與PN仍相等嗎？變式2：如圖9，假設(shè)將題目背景改為P為等腰直角三角形斜邊AB的中點(diǎn)，∠CPD繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，并保持∠CPD=90°不變，那么PM與PN仍相等嗎？變式3：如圖10，假設(shè)將條件“∠AOB=90°〞改為“∠AOB=()〞，條件“∠PNO=∠PMO=90°〞改為“∠PNO+∠PMO=180°〞，其它條件不變，結(jié)論還成立嗎？圖7圖8圖9圖10變式4：如圖11-13，P圖7圖8圖9圖10圖圖11圖12圖13圖14在初中階段存在一些典型的幾何變換問題，由于傳統(tǒng)的變式教學(xué)無法直觀、形象地演示圖形的變化過程，使得學(xué)生的認(rèn)知不能深入到問題的內(nèi)部本質(zhì)，此時可借助幾何畫板的幾何變換、動畫等功能，將幾何圖形因條件改變而變化的過程從不同角度呈現(xiàn)出來。盡管圖形的局部條件發(fā)生變化，但解題思路依然沒變，上述變式題組的根本模型如圖14所示，其中一個直角三角形是由另一個直角三角形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)而得到。利用幾何畫板的復(fù)制和動態(tài)模擬功能，可以從復(fù)雜圖形中別離出根本模型，并使其與原圖形保持同步變化，這樣有助于學(xué)生認(rèn)識圖形，學(xué)會從根本模型入手尋找解題的突破口，從而收到觸類旁通、舉一反三的效果。數(shù)學(xué)教學(xué)中合理地整合幾何畫板，能讓學(xué)生真正參與問題的解決過程，體驗(yàn)知識的形成過程，構(gòu)建清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，深刻地理解和掌握數(shù)學(xué)知識。幾何畫板豐富了教學(xué)的手段，給數(shù)學(xué)教學(xué)注入了新的活力，使得在傳統(tǒng)的筆紙環(huán)境中無法開展的數(shù)學(xué)探究活動能真正開展起來，更重要的是它使抽象、枯燥的數(shù)學(xué)變得直觀、形象，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有助于學(xué)生從傳統(tǒng)的被動式學(xué)習(xí)向主動式學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)換。但值得注意的是，教學(xué)中不能用幾何畫板完全代替教師的板書和學(xué)生的思維訓(xùn)練，幾何畫板只能視為輔助教師解決教學(xué)難點(diǎn)問題、提高教學(xué)效率、輔助學(xué)生思維的工具。隨著課程改革的不斷推進(jìn)，日新月異的信息技術(shù)必然會促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式的變化。如何在教學(xué)中恰到好處地運(yùn)用幾何畫板，更好地優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，仍需要教育工作者不斷地去探索。參考文獻(xiàn)：[1]中華人民共和國教育部．全日制