高等數(shù)學(xué)高數(shù)課件-92偏導(dǎo)數(shù)

一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算方法二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系三、高階偏導(dǎo)數(shù)第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法由偏導(dǎo)數(shù)的定義，可以看出計(jì)算f關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù),可以先將y0固定,用一元函數(shù)求導(dǎo)的方法求導(dǎo),再代入x0,即可求得fx(x0,y0)。因此由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知，偏導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上是一元函數(shù)的微分法問題。只要把x

之外的其他自變量暫時(shí)看成常量，對(duì)x

求導(dǎo)數(shù)即可。只要把y

之外的其他自變量暫時(shí)看成常量，對(duì)y

求導(dǎo)數(shù)即可。其它情況類似。偏導(dǎo)數(shù)的定義對(duì)自變量的偏導(dǎo)數(shù)為…偏導(dǎo)數(shù)的概念可推廣到二元以上的函數(shù).例如,三元函數(shù)在處的偏導(dǎo)數(shù)……注:上述定義表明,在求多元函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量的只需把其余自變量看作常數(shù),然后直接利偏導(dǎo)數(shù)時(shí),用一元函數(shù)的求導(dǎo)公式之.及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則來計(jì)算如在處例1.

求解法1:解法2:在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).例2設(shè)求證證因?yàn)樗栽Y(jié)論成立.例3的偏導(dǎo)數(shù)求三元函數(shù)解把和看作常數(shù),對(duì)求導(dǎo)得把和看作常數(shù),對(duì)求導(dǎo)得把和看作常數(shù),對(duì)求導(dǎo)得例4求的偏導(dǎo)數(shù).解把和看作常數(shù),對(duì)求導(dǎo)得利用函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性,可得偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例5.

已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號(hào),有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明1.偏導(dǎo)數(shù)是一個(gè)整體記號(hào),不能拆分;2.求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求;例如，二元函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)為有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

及函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系1．幾何意義圖示2.偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系？但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù).一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)，高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)則在內(nèi)和都是、的函數(shù).如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在,則稱它們是函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同,共有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):高階偏導(dǎo)數(shù)其中第二、第三兩個(gè)偏導(dǎo)稱為混合偏導(dǎo)數(shù).類似地,可以定義三階、四階、.以及階偏導(dǎo)數(shù),我們把二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).例6設(shè)求及解例7解設(shè)求二階偏導(dǎo)數(shù).例8求的二階偏導(dǎo)數(shù).解例9滿足拉普驗(yàn)證函數(shù)拉斯方程證例9滿足拉普驗(yàn)證函數(shù)拉斯方程證例9滿足拉普驗(yàn)證函數(shù)拉斯方程證可以看出關(guān)于y的偏導(dǎo)可通過互換變量x,y而得到。2）然后互換x,y后，若將函數(shù)的自變量互換后，函數(shù)的表達(dá)式不變，則稱該二元函數(shù)具有對(duì)稱性，即1）若將函數(shù)的自變量互換后，函數(shù)的表達(dá)式相反，則稱該二元函數(shù)具有反對(duì)稱性，即若具有對(duì)稱性，計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，先計(jì)算出變得到若具有反對(duì)稱性，只需互換x,y后,再添加一個(gè)負(fù)號(hào)即可到關(guān)于y的三個(gè)偏導(dǎo)。例10證明函數(shù)滿足Laplace方程其中證由函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性,得x換y，y換z，z換x，表達(dá)式不變例10證明函數(shù)滿足Laplace方程其中證例10證明函數(shù)滿足Laplace方程其中證例11設(shè)試求及解因當(dāng)時(shí),例11設(shè)試求及解當(dāng)時(shí),例11設(shè)試求及解當(dāng)時(shí),例11設(shè)試求及解例11設(shè)試求及解所以例11設(shè)試求及解例11設(shè)試求及解同理有當(dāng)時(shí),例11設(shè)試求及解同理有例11設(shè)試求及解同理有所以我們有下面的定理：那么一個(gè)函數(shù)具有什么條件時(shí)，它的二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)的順序無關(guān)呢？則本定理對(duì)n

元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立。由上例我們可以看到，同一函數(shù)不同順序的同階混合偏導(dǎo)數(shù)未必相等。更一般地有如下的定理：類似,對(duì)三元函數(shù)u=f(x,y,z),說明:函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序。因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)時(shí),有而初等例12設(shè),計(jì)算（其中p,q為正整數(shù)）。因此，關(guān)于y用Leibniz公式得解:關(guān)于x再用一次Leibniz公式就得：命題：若f(x,y)在凸區(qū)域D上連續(xù)，對(duì)

(x,y)D，且f(x,y)在D上恒為一常數(shù)。在一元函數(shù)中，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，則此函數(shù)必恒為一個(gè)常數(shù)。則在二元函數(shù)中，若它的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都為0，此二元函數(shù)是否也恒為常數(shù)呢？答案是成立的，但要滿足一定的條件。有fx(x,y)=fy(x,y)=0,則命題：若f(x,y)在凸區(qū)域D上連續(xù)，則f(x,y)在D上恒為一常數(shù)。證：

(x1,y1),(x2,y2)D,利用單變量的拉格朗日定理由于在D上，fx(x,y)=fy(x,y)=0,便有f(x1,y1)=f(x2,y2)。故f(