曲線的參數(shù)方程

在過去的學習中我們已經(jīng)掌握了一些求曲線方程的方法，在求某些曲線方程時，直接確定曲線上的點的坐標x,y的關系并不容易，但如果利用某個參數(shù)作為聯(lián)系它們的橋梁，那么就可以方便地得出坐標x,y所要適合的條件，即參數(shù)可以幫助我們得出曲線的方程f(x,y)＝0。下面我們就來研究求曲線參數(shù)方程的問題。第一頁第二頁，共35頁。1、參數(shù)方程的概念第二頁第三頁，共35頁。1、參數(shù)方程的概念探究：一架救援飛機在離災區(qū)地面500m的高處以100m/s的速度作水平直線飛行，為使投放的救援物資準確落于災區(qū)指定的地面（不計空氣阻力），飛行員應如何確定投放時機呢？第三頁第四頁，共35頁。AM(x,y)xyo

飛機在A點將物資投出機艙，在經(jīng)過飛行航線（直線）且垂直與地面的平面上建立平面直角坐標系，其中x軸為地平面與這個平面的郊交線，y軸經(jīng)過A點。記物資投出機艙時為時刻0，在時刻t時物資的位置為點M（x,y）,則x表示物資的水平位置，y表示物資距地面的高度。由于水平位移量x與高度y是由兩種不同的運動得到的，因此直接建立x,y所要滿足的關系式并不容易。換個角度看這個問題。由物理知識，物資投出機艙后，它的運動由下列兩種運動合成：（1）沿ox作初速為100m/x的勻速直線運動；（2）沿oy反方向作自由落體運動。第四頁第五頁，共35頁。一、方程組有3個變量，其中的x,y表示點的坐標，變量t叫做參變量，而且x,y分別是t的函數(shù)。二、由物理知識可知，物體的位置由時間t唯一決定，從數(shù)學角度看，這就是點M的坐標x,y由t唯一確定，這樣當t在允許值范圍內(nèi)連續(xù)變化時，x,y的值也隨之連續(xù)地變化，于是就可以連續(xù)地描繪出點的軌跡。三、平拋物體運動軌跡上的點與滿足方程組的有序?qū)崝?shù)對（x,y）之間有一一對應關系。第五頁第六頁，共35頁。一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x,y都是某個變數(shù)t的函數(shù)并且對于t的每一個允許值，由方程組（2）所確定的點M(x,y)都在這條曲線上，那么方程(2)就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)，相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程。第六頁第七頁，共35頁。第七頁第八頁，共35頁。請用自己的語言來比較一下參數(shù)方程與普通方程的異同點第八頁第九頁，共35頁。2、圓的參數(shù)方程第九頁第十頁，共35頁。xoyM(x,y)圓周運動是生產(chǎn)生活中常見的。當物體繞定軸做勻速轉(zhuǎn)動時，物體中各個點都做勻速圓周運動，那么怎樣刻畫運動中點的位置呢？設圓O的半徑為r，點M從初始位置出發(fā)，按逆時針方向在圓O上做勻速圓周運動，點M繞點O轉(zhuǎn)動的角速度為ω。以圓心O為原點，所在直線為x軸，建立直角坐標系。顯然，點M的位置由時刻t惟一確定，因此可取t為參數(shù)。r第十頁第十一頁，共35頁。第十一頁第十二頁，共35頁。第十二頁第十三頁，共35頁。圓的參數(shù)方程的一般形式第十三頁第十四頁，共35頁。由于選取的參數(shù)不同，圓有不同的參數(shù)方程，一般地，同一條曲線，可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，因此得到的參數(shù)方程也可以有不同的形式，形式不同的參數(shù)方程，它們表示的曲線可以是相同的，另外，在建立曲線的參數(shù)參數(shù)時，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。第十四頁第十五頁，共35頁。練習1已知圓方程x2+y2+2x-6y+9=0，將它化為參數(shù)方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化為標準方程，（x+1）2+（y-3）2=1，∴參數(shù)方程為(θ為參數(shù))第十五頁第十六頁，共35頁。例2如圖，圓O的半徑為2，P是圓上的動點，Q(6,0)是x軸上的定點，M是PQ的中點，當點P繞O作勻速圓周運動時，求點M的軌跡的參數(shù)方程。yoxPMQ(6,0)oxPMQ(6,0)第十六頁第十七頁，共35頁。分析：取為參數(shù)，則圓O的參數(shù)方程是（θ為參數(shù)），當θ變化是，動點P在定圓O上運動，線段PQ也隨之變動，從而使點M遠動，因此點M的運動可以看成是由角θ決定的。于是，選θ為參數(shù)是適合的。第十七頁第十八頁，共35頁。思考：這里定點Q在圓O上外，你能判斷這個軌跡表示什么曲線呢？如果定點Q在圓O上，軌跡是什么？如果定點Q在圓O內(nèi)，軌跡又是什么？第十八頁第十九頁，共35頁。練習第十九頁第二十頁，共35頁。（2，1）第二十頁第二十一頁，共35頁。3、參數(shù)方程和普通方程的互化第二十一頁第二十二頁，共35頁。第二十二頁第二十三頁，共35頁。將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有利于識別曲線的類型。曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式。一般地，可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程。如果知道變數(shù)x,y中的一個與參數(shù)t的關系，例如，把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關系那么就是曲線的參數(shù)方程。第二十三頁第二十四頁，共35頁。參數(shù)方程和普通方程的互化：（1）普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)如：①直線L的普通方程是2x-y+2=0，可以化為參數(shù)方程（t為參數(shù)）②在普通方程xy=1中，令x=tan

,可以化為參數(shù)方程

（

為參數(shù)）第二十四頁第二十五頁，共35頁。（2）參數(shù)方程通過代入消元或加減消元消去參數(shù)化為普通方程如：①參數(shù)方程消去參數(shù)

可得圓的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.②參數(shù)方程（t為參數(shù)）可得普通方程：y=2x-4通過代入消元法消去參數(shù)t,（x≥0）注意：在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致。否則，互化就是不等價的.第二十五頁第二十六頁，共35頁。例3、把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線？第二十六頁第二十七頁，共35頁。（2）把平方后減去得到因為所以因此，與參數(shù)方程等價的普通方程是這是拋物線的一部分。所以代入第二十七頁第二十八頁，共35頁。練習、1.將下列參數(shù)方程化為普通方程：(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（1）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1≤x≤1）（3）x2-y=2（X≥2或x≤-2）步驟：（1）消參；（2）求定義域。第二十八頁第二十九頁，共35頁。2.求參數(shù)方程表示（）（A）雙曲線的一支，這支過點（1，）：（B）拋物線的一部分，這部分過（1，）；（C）雙曲線的一支，這支過點（–1，）；（D）拋物線的一部分，這部分過（–1，）第二十九頁第三十頁，共35頁。分析一般思路是：化參數(shù)方程為普通方程求出范圍、判斷。解∵x2==1+sin=2y，普通方程是x2=2y，為拋物線。

∵，又0<

<2，0<x，故應選（B）說明這里切不可輕易去絕對值討論，平方法是最好的方法。第三十頁第三十一頁，共35頁。例4

解（1）把

帶入橢圓方程，得到

于是由參數(shù)的任意性，可取因此橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）

第三十一頁第三十二頁，共35頁。思考：為什么（2）中的兩個參數(shù)方程合起來才是橢圓的參數(shù)方程？因此橢圓的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）和（2）把代入橢圓方程，得第三十二頁第三十三頁，共35頁。x,y范圍與y=x2中x,y的范圍相同，代入y=x2后滿足該方程，從而D是曲線y=x2的一種參數(shù)方程.曲線y=x2的一種參數(shù)