理論力學(xué)第六章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)(Y) (2)

第二篇運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)工程運(yùn)動(dòng)學(xué)與機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)學(xué)的力學(xué)模型：

點(diǎn)、剛體和剛體系，通稱(chēng)物體。物體的運(yùn)動(dòng)不僅與受力有關(guān)，還與物體本身的慣性、初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、約束等因數(shù)有關(guān)，是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題。為了循序漸進(jìn)，暫時(shí)不考慮影響物體運(yùn)動(dòng)的物理因素，而只研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)。運(yùn)動(dòng)學(xué)的任務(wù)：●建立物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的描述方法；●分析物體運(yùn)動(dòng)的速度、加速度、角速度、角加速度以及它們之間的關(guān)系；●研究物體運(yùn)動(dòng)的分解與合成規(guī)律。一、描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的矢量法二、描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法三、描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的弧坐標(biāo)法第六章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)研究對(duì)象：幾何點(diǎn)，稱(chēng)為動(dòng)點(diǎn)，有時(shí)簡(jiǎn)稱(chēng)為點(diǎn)。研究任務(wù)：研究點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)，即點(diǎn)相對(duì)于某坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程、運(yùn)動(dòng)軌跡、速度和加速度。例如研究圖示輪緣上點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，可以看出M點(diǎn)沿?cái)[線運(yùn)動(dòng)。一、描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的矢量法1、運(yùn)動(dòng)方程和軌跡選定參考空間上的點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)O向動(dòng)點(diǎn)M作矢量

為點(diǎn)M相對(duì)于原點(diǎn)O的位置矢量——簡(jiǎn)稱(chēng)為矢徑當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，矢徑

隨時(shí)間而變化，且矢徑

是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)研究對(duì)象——?jiǎng)狱c(diǎn)M——矢量表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，矢徑

的末端描繪出一條連續(xù)曲線，稱(chēng)為矢端曲線——M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡2、速度

t時(shí)間間隔內(nèi)矢徑的改變量速度——

描述點(diǎn)在t瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)快慢和運(yùn)動(dòng)方向的力學(xué)量。t＋

t

瞬時(shí):矢徑速度大?。核俣确较?沿著運(yùn)動(dòng)軌跡的切線；指向與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向一致；t瞬時(shí):矢徑——點(diǎn)在t

瞬時(shí)的速度3、加速度加速度——描述點(diǎn)在t

瞬時(shí)速度大小和方向變化率。t＋

t

瞬時(shí):速度

t

時(shí)間間隔內(nèi)速度的改變量——點(diǎn)在t

瞬時(shí)的加速度t瞬時(shí):速度加速度的方向：沿速度始端曲線圖的切線方向。加速度大小：速度矢端曲線矢端曲線動(dòng)點(diǎn)M的速度和加速度圖1、運(yùn)動(dòng)方程不受約束的點(diǎn)在空間有3個(gè)自由度，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在空間的位置由3個(gè)方程確定：x=f1(t)y=f2(t)z=f3(t)二、描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程2、速度(Oxyz)為固定參考系——為常矢量直角坐標(biāo)與矢徑之間的關(guān)系點(diǎn)的速度矢量在直角坐標(biāo)軸上的投影等于點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。3、加速度三、描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的弧坐標(biāo)法如果動(dòng)點(diǎn)沿著已知軌跡運(yùn)動(dòng)，用自然法描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，物理意義更明確、更直觀。1、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程坐標(biāo)原點(diǎn)——一般在軌跡上任選一參考點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)；正、負(fù)方向——一般以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向作為正向；動(dòng)點(diǎn)M在已知軌跡上的位置由弧長(zhǎng)確定，弧長(zhǎng)S

稱(chēng)為動(dòng)點(diǎn)M在軌跡上的弧坐標(biāo)。s=f

(t)——弧坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程（1）過(guò)點(diǎn)M作軌跡的切線T，取為切線的單位矢量。過(guò)切線T

作一個(gè)平面，稱(chēng)為密切面。密切面的幾何意義：曲線上M點(diǎn)處微小弧長(zhǎng)ds

所在的平面；平面問(wèn)題：密切面就是曲線所在的平面；空間問(wèn)題：密切面隨點(diǎn)M而改變。2、自然軸系M——空間曲線上的動(dòng)點(diǎn)；密切面（3）法平面與密切面的交線，稱(chēng)為主法線N。因?yàn)橹鞣ň€也在法平面內(nèi)所以也垂直于切線。取為主法線單位矢量，正向指向曲線的凹側(cè)。（2）過(guò)點(diǎn)M作一平面垂直于切線，稱(chēng)為法平面。法平面內(nèi)所有的直線均垂直于切線。主法線N——密切面內(nèi)垂直于切線的直線，正向指向曲率中心；密切面法平面構(gòu)成一個(gè)以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，并跟隨點(diǎn)M

一起運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)系，稱(chēng)為自然軸系。（4）過(guò)點(diǎn)M，在法平面內(nèi)作一直線MB

，MB線稱(chēng)為副法線，取

為副法線單位矢量，且滿(mǎn)足下式：副法線B——過(guò)動(dòng)點(diǎn)M垂直于切線和主法線的直線。密切面法平面自然軸系的特點(diǎn)：跟隨動(dòng)點(diǎn)在軌跡上作空間曲線運(yùn)動(dòng)。——自然軸系——指向弧坐標(biāo)S

的正向?！赶蚯€的凹側(cè)，即指向曲率中心。密切面法平面的方向：M點(diǎn)的切線方向一致3、速度點(diǎn)速度的大?。旱扔诨∽鴺?biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。點(diǎn)速度的方向：沿著運(yùn)動(dòng)軌跡的切線。的大?。寒?dāng)時(shí)，與同向，點(diǎn)沿軌跡正向運(yùn)動(dòng)。當(dāng)時(shí)，與反向，點(diǎn)沿軌跡負(fù)向運(yùn)動(dòng)。4、加速度的大小:的方向:指向主法向n當(dāng)

0

時(shí)，

和

′以及

同處于M點(diǎn)的密切面內(nèi)，這時(shí)，

的極限方向垂直于

，亦即n方向?！邢蚣铀俣取ㄏ蚣铀俣取狈ㄏ蚣铀俣然∽鴺?biāo)中的加速度表示速度大小的變化率速度方向的變化率討論：（1），點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)，與同向。

（2），點(diǎn)作減速運(yùn)動(dòng)，與反向。（3）點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)（4）點(diǎn)作勻速曲線運(yùn)動(dòng)（5）點(diǎn)作勻變速曲線運(yùn)動(dòng)描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的三種方法比較●變矢量法——結(jié)果簡(jiǎn)明，具有概括性。對(duì)于實(shí)際問(wèn)題需將變矢量及其導(dǎo)數(shù)表示成標(biāo)量的形式?！裰苯亲鴺?biāo)法——實(shí)際問(wèn)題中，一種廣泛應(yīng)用的方法?！窕∽鴺?biāo)法——應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)軌跡已知的情形，其最大特點(diǎn)是將加速度矢量大小的變化率和方向變化率區(qū)分開(kāi)來(lái)，使得數(shù)學(xué)表達(dá)式的含義更加清晰。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)應(yīng)用的兩類(lèi)問(wèn)題

第一類(lèi)問(wèn)題：已知運(yùn)動(dòng)軌跡，確定速度與加速度；給定約束條件，確定運(yùn)動(dòng)軌跡、速度、加速度。——求導(dǎo)過(guò)程。

第二類(lèi)問(wèn)題：已知加速度以及運(yùn)動(dòng)的初始條件，確定速度和運(yùn)動(dòng)軌跡——第一類(lèi)問(wèn)題的反運(yùn)算?！e分過(guò)程。已知：橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)求：M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、速度、加速度。1、建立固定參考系Oxy；2、將所考察的點(diǎn)置于坐標(biāo)系中的一般位置；3、根據(jù)已知的約束條件列寫(xiě)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程：從中消去t得到

M點(diǎn)的軌跡方程M點(diǎn)的速度：M點(diǎn)的加速度：解：（1）點(diǎn)M的速度和加速度。建立圖示直角坐標(biāo)系M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程已知：圓盤(pán)半徑為R，圓心速度為u，開(kāi)始時(shí)M和地面接觸。求：（1）點(diǎn)M的速度和加速度。

（2）任意瞬時(shí)M點(diǎn)的切向加速度、法向加速度及曲率半徑。M點(diǎn)的速度M點(diǎn)的加速度由前面的計(jì)算結(jié)果得xCOy

Mu（2）任意瞬時(shí)M點(diǎn)的切向加速度、法向加速度及曲率半徑。s解：(1)小環(huán)M的運(yùn)動(dòng)方程、速度、加速度建立圖示弧坐標(biāo)OM

AB2

C加速度速度運(yùn)動(dòng)方程va已知：R，

=t(

為常數(shù)）求：(1)小環(huán)M的運(yùn)動(dòng)方程、速度、加速度

(2)小環(huán)M相對(duì)于AB桿的速度、加速度OM

AB2

(2)小環(huán)M相對(duì)于AB桿的速度、加速度

建立圖示直角坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)方程速度加速度x′y′已知：搖桿滑道機(jī)構(gòu)中的滑塊M同時(shí)在固定的圓弧槽BC和搖桿

OA的滑道中滑動(dòng)?；C的半徑為R，圓心在，搖桿OA

的軸O在弧BC的圓周上。搖桿繞O軸以等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，搖桿在水平位置。試求：（1）用直角坐標(biāo)法給出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。（2）用自然法給出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。解：（1）直角坐標(biāo)法（2）自然法已知：小環(huán)M在鉛垂面內(nèi)沿曲桿ABCE從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，在直線段AB上，小環(huán)的加速度為g；在圓弧段BCE上，小環(huán)的切向加速度。曲桿尺寸如圖，

求：小環(huán)在C