理論力學(xué)第六章 點的運動學(xué)(Y) (2)

第二篇運動學(xué)運動學(xué)工程運動學(xué)與機構(gòu)運動分析運動學(xué)的力學(xué)模型：

點、剛體和剛體系，通稱物體。物體的運動不僅與受力有關(guān)，還與物體本身的慣性、初始運動狀態(tài)、約束等因數(shù)有關(guān)，是一個比較復(fù)雜的問題。為了循序漸進(jìn)，暫時不考慮影響物體運動的物理因素，而只研究物體機械運動的幾何性質(zhì)。運動學(xué)的任務(wù)：●建立物體運動規(guī)律的描述方法；●分析物體運動的速度、加速度、角速度、角加速度以及它們之間的關(guān)系；●研究物體運動的分解與合成規(guī)律。一、描述點運動的矢量法二、描述點運動的直角坐標(biāo)法三、描述點運動的弧坐標(biāo)法第六章點的運動學(xué)研究對象：幾何點，稱為動點，有時簡稱為點。研究任務(wù)：研究點在空間運動的幾何性質(zhì)，即點相對于某坐標(biāo)系運動的運動方程、運動軌跡、速度和加速度。例如研究圖示輪緣上點M的運動，可以看出M點沿擺線運動。一、描述點運動的矢量法1、運動方程和軌跡選定參考空間上的點O為坐標(biāo)原點從坐標(biāo)原點O向動點M作矢量

為點M相對于原點O的位置矢量——簡稱為矢徑當(dāng)動點運動時，矢徑

隨時間而變化，且矢徑

是時間的單值連續(xù)函數(shù)研究對象——動點M——矢量表示的點的運動方程動點在運動過程中，矢徑

的末端描繪出一條連續(xù)曲線，稱為矢端曲線——M點的運動軌跡2、速度

t時間間隔內(nèi)矢徑的改變量速度——

描述點在t瞬時運動快慢和運動方向的力學(xué)量。t＋

t

瞬時:矢徑速度大?。核俣确较?沿著運動軌跡的切線；指向與點的運動方向一致；t瞬時:矢徑——點在t

瞬時的速度3、加速度加速度——描述點在t

瞬時速度大小和方向變化率。t＋

t

瞬時:速度

t

時間間隔內(nèi)速度的改變量——點在t

瞬時的加速度t瞬時:速度加速度的方向：沿速度始端曲線圖的切線方向。加速度大?。核俣仁付饲€矢端曲線動點M的速度和加速度圖1、運動方程不受約束的點在空間有3個自由度，在直角坐標(biāo)系中，點在空間的位置由3個方程確定：x=f1(t)y=f2(t)z=f3(t)二、描述點運動的直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法表示的點的運動方程2、速度(Oxyz)為固定參考系——為常矢量直角坐標(biāo)與矢徑之間的關(guān)系點的速度矢量在直角坐標(biāo)軸上的投影等于點的相應(yīng)坐標(biāo)對時間的一階導(dǎo)數(shù)。3、加速度三、描述點運動的弧坐標(biāo)法如果動點沿著已知軌跡運動，用自然法描述點的運動，物理意義更明確、更直觀。1、點的運動方程坐標(biāo)原點——一般在軌跡上任選一參考點作為坐標(biāo)原點；正、負(fù)方向——一般以點的運動方向作為正向；動點M在已知軌跡上的位置由弧長確定，弧長S

稱為動點M在軌跡上的弧坐標(biāo)。s=f

(t)——弧坐標(biāo)表示的點的運動方程（1）過點M作軌跡的切線T，取為切線的單位矢量。過切線T

作一個平面，稱為密切面。密切面的幾何意義：曲線上M點處微小弧長ds

所在的平面；平面問題：密切面就是曲線所在的平面；空間問題：密切面隨點M而改變。2、自然軸系M——空間曲線上的動點；密切面（3）法平面與密切面的交線，稱為主法線N。因為主法線也在法平面內(nèi)所以也垂直于切線。取為主法線單位矢量，正向指向曲線的凹側(cè)。（2）過點M作一平面垂直于切線，稱為法平面。法平面內(nèi)所有的直線均垂直于切線。主法線N——密切面內(nèi)垂直于切線的直線，正向指向曲率中心；密切面法平面構(gòu)成一個以點M為坐標(biāo)原點，并跟隨點M

一起運動的直角坐標(biāo)系，稱為自然軸系。（4）過點M，在法平面內(nèi)作一直線MB

，MB線稱為副法線，取

為副法線單位矢量，且滿足下式：副法線B——過動點M垂直于切線和主法線的直線。密切面法平面自然軸系的特點：跟隨動點在軌跡上作空間曲線運動。——自然軸系——指向弧坐標(biāo)S

的正向。——指向曲線的凹側(cè)，即指向曲率中心。密切面法平面的方向：M點的切線方向一致3、速度點速度的大小：等于弧坐標(biāo)對時間的一階導(dǎo)數(shù)。點速度的方向：沿著運動軌跡的切線。的大?。寒?dāng)時，與同向，點沿軌跡正向運動。當(dāng)時，與反向，點沿軌跡負(fù)向運動。4、加速度的大小:的方向:指向主法向n當(dāng)

0

時，

和

′以及

同處于M點的密切面內(nèi)，這時，

的極限方向垂直于

，亦即n方向?！邢蚣铀俣取ㄏ蚣铀俣取狈ㄏ蚣铀俣然∽鴺?biāo)中的加速度表示速度大小的變化率速度方向的變化率討論：（1），點作加速運動，與同向。

（2），點作減速運動，與反向。（3）點作直線運動（4）點作勻速曲線運動（5）點作勻變速曲線運動描述點運動的三種方法比較●變矢量法——結(jié)果簡明，具有概括性。對于實際問題需將變矢量及其導(dǎo)數(shù)表示成標(biāo)量的形式。●直角坐標(biāo)法——實際問題中，一種廣泛應(yīng)用的方法?！窕∽鴺?biāo)法——應(yīng)用于運動軌跡已知的情形，其最大特點是將加速度矢量大小的變化率和方向變化率區(qū)分開來，使得數(shù)學(xué)表達(dá)式的含義更加清晰。點的運動學(xué)應(yīng)用的兩類問題

第一類問題：已知運動軌跡，確定速度與加速度；給定約束條件，確定運動軌跡、速度、加速度。——求導(dǎo)過程。

第二類問題：已知加速度以及運動的初始條件，確定速度和運動軌跡——第一類問題的反運算。——積分過程。已知：橢圓規(guī)機構(gòu)求：M點的運動方程、速度、加速度。1、建立固定參考系Oxy；2、將所考察的點置于坐標(biāo)系中的一般位置；3、根據(jù)已知的約束條件列寫點的運動方程。M點的運動方程：從中消去t得到

M點的軌跡方程M點的速度：M點的加速度：解：（1）點M的速度和加速度。建立圖示直角坐標(biāo)系M點的運動方程已知：圓盤半徑為R，圓心速度為u，開始時M和地面接觸。求：（1）點M的速度和加速度。

（2）任意瞬時M點的切向加速度、法向加速度及曲率半徑。M點的速度M點的加速度由前面的計算結(jié)果得xCOy

Mu（2）任意瞬時M點的切向加速度、法向加速度及曲率半徑。s解：(1)小環(huán)M的運動方程、速度、加速度建立圖示弧坐標(biāo)OM

AB2

C加速度速度運動方程va已知：R，

=t(

為常數(shù)）求：(1)小環(huán)M的運動方程、速度、加速度

(2)小環(huán)M相對于AB桿的速度、加速度OM

AB2

(2)小環(huán)M相對于AB桿的速度、加速度

建立圖示直角坐標(biāo)系運動方程速度加速度x′y′已知：搖桿滑道機構(gòu)中的滑塊M同時在固定的圓弧槽BC和搖桿

OA的滑道中滑動?；C的半徑為R，圓心在，搖桿OA

的軸O在弧BC的圓周上。搖桿繞O軸以等角速度轉(zhuǎn)動，當(dāng)運動開始時，搖桿在水平位置。試求：（1）用直角坐標(biāo)法給出點M的運動方程、速度和加速度。（2）用自然法給出點M的運動方程、速度和加速度。解：（1）直角坐標(biāo)法（2）自然法已知：小環(huán)M在鉛垂面內(nèi)沿曲桿ABCE從A點由靜止開始運動，在直線段AB上，小環(huán)的加速度為g；在圓弧段BCE上，小環(huán)的切向加速度。曲桿尺寸如圖，

求：小環(huán)在C