第44講不等式的證明方法

第44講：不等式的證明方法【考綱要求】了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法?！净A(chǔ)知識(shí)】不等式的證明常用的有六種方法（不等式證明六法：比綜分放數(shù)反）證明不等式時(shí)，從待證命題出發(fā)，分析使其成立的充分條件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后將命題成立的條件歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)證明過(guò)的定理、簡(jiǎn)單事實(shí)或題設(shè)的條件，這種證明的方法稱(chēng)為分析法，它是執(zhí)果索因的方法。用分析法證明時(shí)，要注意格式，一般格式是“要證明，只需證明……”。一般用分析法尋找思路，用綜合法寫(xiě)出證明過(guò)程。5、數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論。在證明第二步時(shí)，一般多用到比較法、放縮法和分析法。6、反證法證明不等式時(shí)，首先假設(shè)要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個(gè)與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)相矛盾的結(jié)論，以此說(shuō)明原假設(shè)的結(jié)論不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱(chēng)為反證法。如果命題中含有“至少”或“唯一”或其它否定詞時(shí)，一般用反證法?！痉椒ㄖv評(píng)】方法一比較法使用情景一般是兩個(gè)實(shí)數(shù)解題方法包括比差和比商兩種方法。比差的一般步驟是：作差→變形（配方、因式分解、通分等）→與零比→下結(jié)論；比商的一般步驟是：作商→變形（配方、因式分解、通分等）→與1比→下結(jié)論.如果兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)，一般用比商，其它一般用比差。例2、設(shè)a,bR+，求證：SKIPIF1<0證：作商：SKIPIF1<0當(dāng)a=b時(shí)，SKIPIF1<0方法二綜合法使用情景一般題設(shè)較簡(jiǎn)單，題目較簡(jiǎn)單。解題方法證明不等式時(shí)，從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、定理、法則等，逐步推導(dǎo)出要證明的命題的方法稱(chēng)為綜合法，它是由因?qū)Ч姆椒ā＠?設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：SKIPIF1<0．方法三分析法使用情景一般從題設(shè)入手比較難。解題方法證明不等式時(shí)，從待證命題出發(fā)，分析使其成立的充分條件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后將命題成立的條件歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)證明過(guò)的定理、簡(jiǎn)單事實(shí)或題設(shè)的條件，這種證明的方法稱(chēng)為分析法，它是執(zhí)果索因的方法。例4求證:a,b,c∈R+,求證:SKIPIF1<0(3)欲證2(SKIPIF1<0)≤3(SKIPIF1<0)只需證a+b-2SKIPIF1<0≤a+b+c-3SKIPIF1<0即證c+2SKIPIF1<0≥3SKIPIF1<0∵a,b,c∈R+∴c+2SKIPIF1<0=c+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0≥3SKIPIF1<0∴c+2SKIPIF1<0≥3SKIPIF1<0成立故原不等式成立【方法點(diǎn)評(píng)】用分析法證明時(shí)，要注意格式，一般格式是“要證明，只需證明……”。一般用分析法尋找思路，用綜合法寫(xiě)出證明過(guò)程。【變式演練3】若a,b>0,2c>a+b,求證:(1)c2>ab（2）c-SKIPIF1<0<a<c+SKIPIF1<0例5設(shè)SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0SKIPIF1<0證明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0方法五數(shù)學(xué)歸納法使用情景一般是與正整數(shù)有關(guān)的命題。解題方法用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論。在證明第二步時(shí)，一般多用到比較法、放縮法和分析法。例6.證明不等式(n∈N*)證明：(1)當(dāng)n等于1時(shí)，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)，不等式成立，即1+＜2，證明：對(duì)SKIPIF1<0總有SKIPIF1<0證明：對(duì)SKIPIF1<0總有SKIPIF1<0方法六反證法使用情景一般從正面著手比較困難。解題方法證明不等式時(shí)，首先假設(shè)要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個(gè)與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)相矛盾的結(jié)論，以此說(shuō)明原假設(shè)的結(jié)論不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱(chēng)為反證法。例7已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中至少有一個(gè)小于等于SKIPIF1<0.證明：假設(shè)SKIPIF1<0則有SKIPIF1<0〔＊〕又∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0與〔＊〕矛盾所以假設(shè)不成立，原命題成立。【方法點(diǎn)評(píng)】如果命題中含有“至少”或“唯一”或其它否定詞時(shí)，一般用反證法?！咀兪窖菥?】9．若x,y>0，且x+y>2，則SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中至少有一個(gè)小于2?！靖呖季x傳真】2012高考沒(méi)有此類(lèi)題目?！痉答佊?xùn)練】1、甲乙兩人同時(shí)同地沿同一路線(xiàn)走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果mn，問(wèn)：甲乙兩人誰(shuí)先到達(dá)指定地點(diǎn)？2、設(shè)，且曲線(xiàn)y＝f（x）在x＝1處的切線(xiàn)與x軸平行。（1）求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)3、若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<06.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，且成等差數(shù)列。（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有7.設(shè)SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0,(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)證明：對(duì)于一切正整數(shù)n,SKIPIF1<0.8、已知函數(shù)SKIPIF1<0,數(shù)列{SKIPIF1<0}滿(mǎn)足:SKIPIF1<0證明:（I）．SKIPIF1<0;（II）．SKIPIF1<0.9．設(shè)0<a,b,c<2，求證：(2a)c,(2b)a,(2c)b,證明：∵SKIPIF1<0≥2bc,a＞0,∴SKIPIF1<0≥2abc①同理SKIPIF1<0≥2abc②SKIPIF1<0≥2abc③因?yàn)閍，b，c不全相等，所以SKIPIF1<0≥2bc,SKIPIF1<0≥2ca,SKIPIF1<0≥2ab三式不能全取“=”號(hào)，從而①、②、③三式也不能全取“=”號(hào)∴SKIPIF1<0【變式演練3詳細(xì)解析】證明:（1）∵ab≤(SKIPIF1<0)2<c2∴ab<c2（2）欲證c-SKIPIF1<0<a<c+SKIPIF1<0只需證-SKIPIF1<0<a-c<SKIPIF1<0即|a-c|<SKIPIF1<0即a2-2ac+c2<c2-ab只需證a(a+b)<2ac∵a>0,只要證a+b<2c(已知)故原不等式成立【變式演練4詳細(xì)解析】證明：∵SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0，將上述四個(gè)同向不等式兩邊分別相加，得：1＜SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＜2．【變式演練5詳細(xì)解析】證明：（1）先證SKIPIF1<0①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0②設(shè)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0成立由①②得SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴對(duì)SKIPIF1<0總有SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0∴對(duì)SKIPIF1<0總有SKIPIF1<0【變式演練6詳細(xì)解析】設(shè)SKIPIF1<0≥2，SKIPIF1<0≥2∵x,y>0，可得x+y≤2與x+y>2矛盾于是SKIPIF1<0.故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0＜0；w.w.w.zxxk.c.o.m當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0＞0.從而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)減少，在SKIPIF1<0單調(diào)增加.（Ⅱ）由（Ⅰ）知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)增加，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，4、【解析】（1）設(shè)直線(xiàn)SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（SKIPIF1<0舍去）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（2）證明：∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，可令函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，給定區(qū)間SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，又SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.w.w.w.k5.s.5.u.c.o.m