第44講不等式的證明方法

第44講：不等式的證明方法【考綱要求】了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。【基礎知識】不等式的證明常用的有六種方法（不等式證明六法：比綜分放數(shù)反）證明不等式時，從待證命題出發(fā)，分析使其成立的充分條件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后將命題成立的條件歸結(jié)為一個已經(jīng)證明過的定理、簡單事實或題設的條件，這種證明的方法稱為分析法，它是執(zhí)果索因的方法。用分析法證明時，要注意格式，一般格式是“要證明，只需證明……”。一般用分析法尋找思路，用綜合法寫出證明過程。5、數(shù)學歸納法用數(shù)學歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論。在證明第二步時，一般多用到比較法、放縮法和分析法。6、反證法證明不等式時，首先假設要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個與命題的條件或已證明的定理或公認的簡單事實相矛盾的結(jié)論，以此說明原假設的結(jié)論不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法。如果命題中含有“至少”或“唯一”或其它否定詞時，一般用反證法?！痉椒ㄖv評】方法一比較法使用情景一般是兩個實數(shù)解題方法包括比差和比商兩種方法。比差的一般步驟是：作差→變形（配方、因式分解、通分等）→與零比→下結(jié)論；比商的一般步驟是：作商→變形（配方、因式分解、通分等）→與1比→下結(jié)論.如果兩個數(shù)都是正數(shù)，一般用比商，其它一般用比差。例2、設a,bR+，求證：SKIPIF1<0證：作商：SKIPIF1<0當a=b時，SKIPIF1<0方法二綜合法使用情景一般題設較簡單，題目較簡單。解題方法證明不等式時，從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、定理、法則等，逐步推導出要證明的命題的方法稱為綜合法，它是由因?qū)Ч姆椒ā＠?設a，b，c為正實數(shù)，求證：SKIPIF1<0．方法三分析法使用情景一般從題設入手比較難。解題方法證明不等式時，從待證命題出發(fā)，分析使其成立的充分條件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后將命題成立的條件歸結(jié)為一個已經(jīng)證明過的定理、簡單事實或題設的條件，這種證明的方法稱為分析法，它是執(zhí)果索因的方法。例4求證:a,b,c∈R+,求證:SKIPIF1<0(3)欲證2(SKIPIF1<0)≤3(SKIPIF1<0)只需證a+b-2SKIPIF1<0≤a+b+c-3SKIPIF1<0即證c+2SKIPIF1<0≥3SKIPIF1<0∵a,b,c∈R+∴c+2SKIPIF1<0=c+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0≥3SKIPIF1<0∴c+2SKIPIF1<0≥3SKIPIF1<0成立故原不等式成立【方法點評】用分析法證明時，要注意格式，一般格式是“要證明，只需證明……”。一般用分析法尋找思路，用綜合法寫出證明過程。【變式演練3】若a,b>0,2c>a+b,求證:(1)c2>ab（2）c-SKIPIF1<0<a<c+SKIPIF1<0例5設SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0SKIPIF1<0證明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0方法五數(shù)學歸納法使用情景一般是與正整數(shù)有關的命題。解題方法用數(shù)學歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論。在證明第二步時，一般多用到比較法、放縮法和分析法。例6.證明不等式(n∈N*)證明：(1)當n等于1時，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假設n=k(k≥1)時，不等式成立，即1+＜2，證明：對SKIPIF1<0總有SKIPIF1<0證明：對SKIPIF1<0總有SKIPIF1<0方法六反證法使用情景一般從正面著手比較困難。解題方法證明不等式時，首先假設要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個與命題的條件或已證明的定理或公認的簡單事實相矛盾的結(jié)論，以此說明原假設的結(jié)論不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法。例7已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中至少有一個小于等于SKIPIF1<0.證明：假設SKIPIF1<0則有SKIPIF1<0〔＊〕又∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0與〔＊〕矛盾所以假設不成立，原命題成立?！痉椒c評】如果命題中含有“至少”或“唯一”或其它否定詞時，一般用反證法?！咀兪窖菥?】9．若x,y>0，且x+y>2，則SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中至少有一個小于2?！靖呖季x傳真】2012高考沒有此類題目。【反饋訓練】1、甲乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果mn，問：甲乙兩人誰先到達指定地點？2、設，且曲線y＝f（x）在x＝1處的切線與x軸平行。（1）求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；（2）證明：當3、若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<06.設數(shù)列的前項和為，滿足，且成等差數(shù)列。（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項公式。（3）證明：對一切正整數(shù)，有7.設SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)證明：對于一切正整數(shù)n,SKIPIF1<0.8、已知函數(shù)SKIPIF1<0,數(shù)列{SKIPIF1<0}滿足:SKIPIF1<0證明:（I）．SKIPIF1<0;（II）．SKIPIF1<0.9．設0<a,b,c<2，求證：(2a)c,(2b)a,(2c)b,證明：∵SKIPIF1<0≥2bc,a＞0,∴SKIPIF1<0≥2abc①同理SKIPIF1<0≥2abc②SKIPIF1<0≥2abc③因為a，b，c不全相等，所以SKIPIF1<0≥2bc,SKIPIF1<0≥2ca,SKIPIF1<0≥2ab三式不能全取“=”號，從而①、②、③三式也不能全取“=”號∴SKIPIF1<0【變式演練3詳細解析】證明:（1）∵ab≤(SKIPIF1<0)2<c2∴ab<c2（2）欲證c-SKIPIF1<0<a<c+SKIPIF1<0只需證-SKIPIF1<0<a-c<SKIPIF1<0即|a-c|<SKIPIF1<0即a2-2ac+c2<c2-ab只需證a(a+b)<2ac∵a>0,只要證a+b<2c(已知)故原不等式成立【變式演練4詳細解析】證明：∵SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0，將上述四個同向不等式兩邊分別相加，得：1＜SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＜2．【變式演練5詳細解析】證明：（1）先證SKIPIF1<0①當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0②設SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0成立由①②得SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴對SKIPIF1<0總有SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0∴對SKIPIF1<0總有SKIPIF1<0【變式演練6詳細解析】設SKIPIF1<0≥2，SKIPIF1<0≥2∵x,y>0，可得x+y≤2與x+y>2矛盾于是SKIPIF1<0.故當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0＜0；w.w.w.zxxk.c.o.m當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0＞0.從而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)減少，在SKIPIF1<0單調(diào)增加.（Ⅱ）由（Ⅰ）知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)增加，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，4、【解析】（1）設直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（SKIPIF1<0舍去）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（2）證明：∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，可令函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，給定區(qū)間SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，又SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.w.w.w.k5.s.5.u.c.o.m