第02講二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)頂點(diǎn)式

第02講二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)——頂點(diǎn)式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)②二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)③二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)掌握、、的函數(shù)與性質(zhì)。能夠利用三種函數(shù)的圖像與性質(zhì)進(jìn)行解題。知識點(diǎn)01的圖像與性質(zhì)的圖像與性質(zhì)：由函數(shù)的平移可知，可將向左右平移個(gè)單位得到函數(shù)。由的圖像與性質(zhì)可得到函數(shù)的圖像與性質(zhì)如下：大致圖像（向左平移）（向右平移）（向左平移）（向右平移）開口方向開口向上開口向下頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，0）（h，0）對稱軸增減性對稱軸右邊y隨x的增大而增大。對稱軸左邊y隨x的增大而減小。對稱軸右邊y隨x的增大而減小。對稱軸左邊y隨x的增大而增大。最值函數(shù)軸最小值這個(gè)值是0。函數(shù)軸最大值這個(gè)值是0。題型考點(diǎn)：①二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)?！炯磳W(xué)即練1】1．拋物線y＝（x+1）2的對稱軸是（）A．直線y＝﹣1 B．直線y＝1 C．直線x＝﹣1 D．直線x＝1【解答】解：拋物線y＝（x+1）2的對稱軸是直線x＝﹣1，故選：C．【即學(xué)即練2】2．同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝（x﹣a）2與一次函數(shù)y＝a+ax的圖象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：A、由一次函數(shù)y＝a+ax的圖象可得：a＜0或a＞0，此時(shí)二次函數(shù)y＝（x﹣a）2的頂點(diǎn)（a，0），a＜0，矛盾，故錯(cuò)誤；B、由一次函數(shù)y＝a+ax的圖象可得：a＜0，此時(shí)二次函數(shù)y＝（x﹣a）2的頂點(diǎn)（a，0），a＞0，矛盾，故錯(cuò)誤；C、由一次函數(shù)y＝a+ax的圖象可得：a＜0或a＞0，此時(shí)二次函數(shù)y＝（x﹣a）2的頂點(diǎn)（a，0），a＜0，矛盾，故錯(cuò)誤；D、由一次函數(shù)y＝a+ax的圖象可得：a＞0，此時(shí)二次函數(shù)y＝（x﹣a）2的頂點(diǎn)（a，0），a＞0，故正確；故選：D．【即學(xué)即練3】3．對于二次函數(shù)y＝﹣2（x+3）2的圖象，下列說法正確的是（）A．開口向上 B．對稱軸是直線x＝﹣3 C．當(dāng)x＞﹣4時(shí)，y隨x的增大而減小 D．頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）【解答】解：由y＝﹣2（x+3）2得拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝﹣3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），x≤﹣3時(shí)y隨x增大而增大，x＞﹣3時(shí)y隨x增大而減小．故選：B．知識點(diǎn)02的圖像與性質(zhì)的圖像與性質(zhì)：由函數(shù)的平移可知，可將向上下平移個(gè)單位得到函數(shù)。由的圖像與性質(zhì)可得到函數(shù)的圖像與性質(zhì)如下：大致圖像（向下平移）（向上平移）（向下平移）（向上平移）開口方向開口向上開口向下頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，k）（0，k）對稱軸y軸y軸增減性對稱軸右邊y隨x的增大而增大。對稱軸左邊y隨x的增大而減小。對稱軸右邊y隨x的增大而減小。對稱軸左邊y隨x的增大而增大。最值函數(shù)軸最小值這個(gè)值是k。函數(shù)軸最大值這個(gè)值是k。題型考點(diǎn)：①二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)?！炯磳W(xué)即練1】4．拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣2x2﹣1，則頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（﹣2，﹣1） B．（2，1） C．（0，﹣1） D．（0，1）【解答】解：拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣2x2﹣1，則頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，﹣1），故選：C．【即學(xué)即練2】5．若拋物線y＝2+（m﹣5）的頂點(diǎn)在x軸下方，則m的值為（）A．m＝5 B．m＝﹣1 C．m＝5或m＝﹣1 D．m＝﹣5【解答】解：∵y＝2+（m﹣5）的圖象是拋物線，∴m2﹣4m﹣3＝2，解得：m＝5或﹣1，又∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，m﹣5），頂點(diǎn)在x軸下方，∴m﹣5＜0，即m＜5，∴m＝﹣1．故選：B．【即學(xué)即練3】6．函數(shù)y＝ax2+b與y＝ax+b（ab≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：A、由拋物線可知，a＞0，b＜0，由直線可知，a＞0，b＞0，故本選項(xiàng)不可能；B、由拋物線可知，a＞0，b＞0，由直線可知，a＜0，b＞0，故本選項(xiàng)不可能；C、由拋物線可知，a＜0，b＞0，由直線可知，a＞0，b＞0，故本選項(xiàng)不可能；D、由拋物線可知，a＜0，b＜0，由直線可知，a＜0，b＜0，拋物線與直線交y軸同一點(diǎn)，故本選項(xiàng)有可能．故選：D．【即學(xué)即練4】7．對于二次函數(shù)y＝﹣2x2+3的圖象，下列說法不正確的是（）A．開口向下 B．對稱軸是直線x＝﹣3 C．頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3） D．x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣2x2+3，∴該函數(shù)的圖象開口向下，故選項(xiàng)A正確；對稱軸是直線x＝0，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），故選項(xiàng)C正確；當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，故選項(xiàng)D正確；故選：B．知識點(diǎn)03的圖像與性質(zhì)的圖像與性質(zhì)：由函數(shù)的平移可知，可將先向左右平移個(gè)單位，再向上下平移個(gè)單位得到函數(shù)。由的圖像與性質(zhì)可得到函數(shù)的圖像與性質(zhì)如下：開口方向開口向上開口向下頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k）（h，k）對稱軸增減性對稱軸右邊y隨x的增大而增大。對稱軸左邊y隨x的增大而減小。對稱軸右邊y隨x的增大而減小。對稱軸左邊y隨x的增大而增大。最值函數(shù)軸最小值這個(gè)值是k。函數(shù)軸最大值這個(gè)值是k。題型考點(diǎn)：①二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)。【即學(xué)即練1】8．拋物線y＝（x﹣2）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）【解答】解：y＝（x﹣2）2+3是拋物線的頂點(diǎn)式方程，根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)可知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）．故選：A．【即學(xué)即練2】 9．關(guān)于y＝2（x﹣3）2+2的圖象，下列敘述正確的是（）A．頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，2） B．對稱軸為直線y＝3 C．當(dāng)x≥3時(shí)，y隨x增大而增大 D．當(dāng)x≥3時(shí)，y隨x增大而減小【解答】解：頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對稱軸為直線x＝3，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)為2＞0，故函數(shù)圖象開口向上對稱軸為直線x＝3，故當(dāng)x≥3時(shí)，y隨x增大而增大，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：C．【即學(xué)即練3】10．關(guān)于二次函數(shù)y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列說法正確的是（）A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6【解答】解：∵二次函數(shù)y＝2（x﹣4）2+6，a＝2＞0，∴該函數(shù)圖象開口向上，有最小值，當(dāng)x＝4取得最小值6，故選：D．【即學(xué)即練4】11．二次函數(shù)y＝2（x+2）2﹣1的圖象是（）A． B． C． D．【解答】解：∵a＝2＞0，∴拋物線開口方向向上；∵二次函數(shù)解析式為y＝2（x+2）2﹣1，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），對稱軸x＝﹣2．故選：C．題型01二次函數(shù)的性質(zhì)【典例1】二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2﹣5的圖象的開口方向，對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．開口向上，對稱軸為直線x＝﹣1，頂點(diǎn)（﹣1，﹣5） B．開口向上，對稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)（1，5） C．開口向下，對稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)（1，﹣5） D．開口向上，對稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)（1，﹣5）【解答】解：∵a＝2＞0，∴拋物線開口向上，∵對稱軸為直線x＝h，∴對稱軸為直線x＝1，∵頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k），∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，﹣5），故選：D．【典例2】由二次函數(shù)y＝2（x﹣3）2+1可知（）A．其圖象的開口向下 B．其圖象的對稱軸為x＝﹣3 C．其最大值為1 D．當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而減小【解答】解：∵y＝2（x﹣3）2+1，∴拋物線開口向上，對稱軸為x＝3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），∴函數(shù)有最小值1，當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而減小，故選：D．【典例3】已知二次函數(shù)y＝﹣2（x+3）2+1．下列說法：①其圖象的開口向下；②其圖象的對稱軸為直線x＝3；③其圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）；④當(dāng)x＞3時(shí)，y隨x的增大而減?。畡t其中說法正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：①∵﹣2＜0，∴圖象的開口向下，故①正確；②圖象的對稱軸為直線x＝﹣3，故本小題錯(cuò)誤；③其圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，1），故本小題錯(cuò)誤；④當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而減小，正確；綜上所述，說法正確的有①④共2個(gè)．故選：B．題型02函數(shù)圖像【典例1】二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣2的圖象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：在y＝（x+1）2﹣2中由a＝1＞0知拋物線的開口向上，故A錯(cuò)誤；其對稱軸為直線x＝﹣1，在y軸的左側(cè)，故B錯(cuò)誤；由y＝（x+1）2﹣2＝x2+2x﹣1知拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，﹣1），在y軸的負(fù)半軸，故D錯(cuò)誤；故選：C．【典例2】在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2（a≠0）的圖象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，0），它的頂點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上，故選：D．【典例3】已知二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2﹣c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax+c的大致圖象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)開口向上則a＞0，根據(jù)﹣c是二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，得出c＞0，故一次函數(shù)y＝ax+c的大致圖象經(jīng)過一、二、三象限，故選：A．【典例4】在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣kx+1與二次函數(shù)y＝x2+k的大致圖象可以是（）A． B． C． D．【解答】解：由y＝x2+k可知拋物線的開口向上，故B不合題意；∵二次函數(shù)y＝x2+k與y軸交于負(fù)半軸，則k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函數(shù)y＝﹣kx+1的圖象經(jīng)過經(jīng)過第一、二、三象限，A選項(xiàng)符合題意，C、D不符合題意；故選：A．題型03二次函數(shù)的最值【典例1】關(guān)于二次函數(shù)y＝﹣（x﹣4）2+3的最值，下列說法正確的是（）A．有最小值3 B．有最小值4 C．有最大值3 D．有最大值4【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣（x﹣4）2+3，a＝﹣1＜0，∴該函數(shù)圖象開口向下，有最大值，當(dāng)x＝4取得最大值3，故選：C．【典例2】已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣h）2（h為常數(shù)），當(dāng)自變量x的值滿足2≤x≤5時(shí)，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為﹣1，則h的值為（）A．3或4 B．1或6 C．1或3 D．4或6【解答】解：當(dāng)h＜2時(shí)，則x＝2時(shí)，函數(shù)值y有最大值，故﹣（2﹣h）2＝﹣1，解得：h1＝1，h2＝3（舍去）；當(dāng)2≤h≤5時(shí)，y＝﹣（x﹣h）2的最大值為0，不符合題意；當(dāng)h＞5時(shí)，則x＝5時(shí)，函數(shù)值y有最大值，故﹣（5﹣h）2＝﹣1，解得：h3＝4（舍去），h4＝6．綜上所述：h的值為1或6．故選：B．【典例3】已知二次函數(shù)y＝（x﹣a）2+1，當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，y的最小值為a+1，則a的值為（）A．0或1 B．0或4 C．1或4 D．0或1或4【解答】解：∵二次函數(shù)y＝（x﹣a）2+1，∴當(dāng)x＝a時(shí)，該函數(shù)取得最小值1，∵當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，y的最小值為a+1，∴當(dāng)a＜﹣1時(shí)，x＝﹣1時(shí)取得最小值，此時(shí)（﹣1﹣a）2+1＝a+1，該方程無解；當(dāng)﹣1≤a≤2時(shí)，x＝a時(shí)取得最小值，此時(shí)1＝a+1，得a＝0；當(dāng)a＞2時(shí)，當(dāng)x＝2時(shí)取得最小值，此時(shí)（2﹣a）2+1＝a+1，得a＝4；故選：B．【典例4】已知二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣4，當(dāng)0≤x≤2a+1時(shí)，y有最大值4，則a的值為．【解答】解：二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣4，∴該函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝﹣1，當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大，∵當(dāng)0≤x≤2a+1時(shí)，y有最大值4，∴（2a+1+1）2﹣4＝4，解得a＝﹣1，故答案為：﹣1．1．二次函數(shù)y＝2（x﹣3）2+1的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（2，3） B．（2，1） C．（3，﹣1） D．（3，1）【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式方程y＝2（x﹣3）2+1知，該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是：（3，1）．故選：D．2．對于拋物線y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列判斷正確的是（）A．拋物線的開口向上 B．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，3） C．對稱軸為直線x＝1 D．當(dāng)x＝3時(shí)，y＞0【解答】解：A、∵﹣2＜0，∴拋物線的開口向下，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，B、拋物線的頂點(diǎn)為（1，3），本選項(xiàng)錯(cuò)誤，C、拋物線的對稱軸為：x＝1，本選項(xiàng)正確，D、把x＝3代入y＝﹣2（x﹣1）2+3，解得：y＝﹣5＜0，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：C．3．若二次函數(shù)y＝（x+2）2+m與y＝x2+nx+3的圖象重合，則m，n的值為（）A．m＝1，n＝4 B．m＝1，n＝﹣4 C．m＝﹣1，n＝﹣4 D．m＝﹣1，n＝4【解答】解：∵y＝（x+2）2+m＝x2+4x+4+m，∴n＝4，4+m＝3，∴m＝﹣1，故選：D．4．函數(shù)y＝ax﹣a和y＝ax2+2（a為常數(shù)，且a≠0），在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：∵y＝ax2+2，∴二次函數(shù)y＝ax2+2的圖象的頂點(diǎn)為（0，2），故A、B不符合題意；當(dāng)y＝ax﹣a＝0時(shí)，x＝1，∴一次函數(shù)y＝ax﹣a的圖象過點(diǎn)（1，0），故D不符題意，C符合題意．故選：C．5．已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣h）2（h為常數(shù)），當(dāng)2≤x≤5時(shí)，函數(shù)y的最大值為﹣1，則h的值為（）A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6【解答】解：∵y＝﹣（x﹣h）2，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，0）將x＝2，y＝﹣1代入y＝﹣（x﹣h）2得﹣1＝（2﹣h）2，解得h＝3或h＝1，當(dāng)h＝3時(shí)，2＜3＜5，函數(shù)最大值為0，不符合題意，當(dāng)h＝1時(shí)，x＞1時(shí)，y隨x增大而減小，x＝2時(shí)，函數(shù)取最大值，符合題意，當(dāng)x＝5，y＝﹣1時(shí)，﹣1＝（5﹣h）2，解得h＝6或h＝4，當(dāng)h＝4時(shí)，2＜4＜5，不符合題意，當(dāng)h＝6時(shí)，x＜6時(shí)，y隨x增大而減小，x＝5時(shí)，函數(shù)取最大值，符合題意，∴h＝1或6，故選：D．6．如果二次函數(shù)y＝（x﹣m）2+n的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)y＝mx+n的圖象經(jīng)過（）A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限【解答】解：根據(jù)題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），且在第四象限，∴m＞0，n＜0，則一次函數(shù)y＝mx+n經(jīng)過第一、三、四象限．故選：B．7．已知二次函數(shù)y＝（x﹣2）2+2，當(dāng)點(diǎn)（3，y1）、（2.5，y2）、（4，y3）在函數(shù)圖象上時(shí)，則y1、y2、y3的大小關(guān)系正確的是（）A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3【解答】解：由二次函數(shù)y＝（x﹣2）2+2知，該拋物線開口方向向上，且對稱軸為直線x＝2．由于點(diǎn)（3，y1）、（2.5，y2）、（4，y3）在函數(shù)圖象上，且|2.5﹣2|＜|3﹣2|＜|4﹣2|，所以y2＜y1＜y3．故選：B．8．設(shè)函數(shù)y1＝﹣（x﹣a1）2，y2＝﹣（x﹣a2）2．直線x＝1的圖象與函數(shù)y1，y2的圖象分別交于點(diǎn)A（﹣1，c1），B（1，c2），得（）A．若1＜a1＜a2，則c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，則c1＜c2 C．若a1＜a2＜1，則c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，則c2＜c1【解答】解：∵直線x＝1的圖象與函數(shù)y1，y2的圖象分別交于點(diǎn)A（1，c1），B（1，c2），A．若1＜a1＜a2，如圖所示，則c1＞c2B．若a1＜1＜a2，如圖所示，則c1＞c2則c1＜c2，故B選項(xiàng)不合題意，C．若a1＜a2＜1，如圖所示，∴c1＜c2，故C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)不正確；故選：C．9．已知點(diǎn)A（2，5），B（4，5）是拋物線y＝4x2+bx+c上的兩點(diǎn)，則這條拋物線的對稱軸為直線．【解答】解：∵A（2，5），B（4，5）橫坐標(biāo)不同，縱坐標(biāo)相同，∴點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸對稱，∴對稱軸為直線x＝×（2+4）＝3．10．拋物線y＝2（x﹣3）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．【解答】解：由拋物線解析式可知，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），故答案為：（3，1）．11．已知二次函數(shù)y＝（x﹣h）2+1（h為常數(shù)），在自變量x的值滿足1≤x≤4的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)y的最小值為5，則h的值為．【解答】解：∵當(dāng)x＞h時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＜h時(shí)，y隨x的增大而減小，∴①若h＜1≤x≤4，x＝1時(shí)，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5，解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤4＜h，當(dāng)x＝4時(shí)，y取得最小值5，可得：（4﹣h）2+1＝5，解得：h＝6或h＝2（舍）．③當(dāng)1＜h＜4時(shí)，y的最小值為1，不合題意，綜上，h的值為﹣1或6，故答案為：﹣1或6．12．點(diǎn)P（m，n）在以y軸為對稱軸的二次函數(shù)y＝x2+ax+4的圖象上，則m﹣n的最大值等于．【解答】解：∵點(diǎn)P（m，n）在以y軸為對稱軸的二次函數(shù)y＝x2+ax+4的圖象上，∴a＝0，∴n＝m2+4，∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，∴當(dāng)m＝時(shí)，m﹣n取得最大值，此時(shí)m﹣n＝﹣，故答案為：﹣．13．已知拋物線y＝（k﹣1）x2﹣2kx+3k，其中k為實(shí)數(shù)．（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，3），求k的值；（2）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，a），（3，b），試說明ab＞﹣3．【解答】（1）解：將點(diǎn)（1，3）代入y＝（k﹣1）x2﹣2kx+3k中，得：3＝k﹣1﹣2k+3k，解得：k＝2；（2）證明：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，a），（3，b），∴a＝k﹣1﹣2k+3k＝2k﹣1，b＝9k﹣9﹣6k+3k＝6k﹣9，∴ab＝（2k﹣1）（6k﹣9）＝12k2﹣24k+9＝12（k﹣1）