第4章三角形證明 題型解讀12 全等典型模型：“手拉手”模型-2020-2021學(xué)年北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊

《三角形證明》題型解讀12全等典型模型：“手拉手”模型【知識(shí)梳理】（一）“手拉手模型”的基本圖形題型特征：△ABC與△BDE是等邊三角形，A、B、D三點(diǎn)在同一直線上。解題方法：一定有以下六個(gè)結(jié)論（三組全等、一個(gè)60°、一個(gè)等邊△、一組平行線）①△ABE≌△CBD證明過程：∵△ABC與△BDE是等邊三角形，∴∠1=∠2=∠3=60°，∴∠ABE=∠CBD=120°，∵AB=BC，BE=BD，∴△ABE≌△CBD（SAS）②△ABH≌△CBF證明過程：∵△ABE≌△CBD，∴∠4=∠5，∵AB=BC，∠1=∠2，∴△ABH≌△CBF（SAS）③△BHE≌△BFD證明過程：∵△ABE≌△CBD，∴∠6=∠7，∵BE=BD，∠2=∠3，∴△BHE≌△BFD（SAS）④∠AGC=60°證明過程：∵△ABE≌△CBD，∴∠6=∠7，在△GFE和△BFD中（“8”字模型），∠3=180°-∠BFD-∠7，∠EGF=180°-∠GFE-∠6，∵∠6=∠7，∠GFE=∠BFD，∴∠3=∠EGF，∵∠AGC=∠EGF，∠3=60°，∴∠AGC=∠3=60°⑤△BHF是等邊三角形證明過程：∵△BHE≌△BFD（SAS），∴BH=BF，∵∠2=60°，∴△BHF是等邊三角形（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）⑥HF//AD證明過程：∵△BHF是等邊三角形，∴∠8=60°，∵∠3=60°，∴∠8=∠3，∴HF//AD（二）“手拉手模型”的變化圖形題型特征：△ABC與△BDE是等邊三角形，A、B、D三點(diǎn)不在同一直線上。解題方法：一定有以下六個(gè)結(jié)論（一組全等，一個(gè)60°、一個(gè)角平分線）①△ABE≌△CBD證明過程：∵△ABC與△BDE是等邊三角形，∴∠1=∠3=60°，∴∠ABE=∠CBD（共角模型），∵AB=BC，BE=BD，∴△ABE≌△CBD（SAS）②∠AGC=60°證明過程：∵△ABE≌△CBD，∴∠6=∠7，在△GFE和△BFD中（“8”字模型），∠3=180°-∠BFD-∠7，∠EGF=180°-∠GFE-∠6，∵∠6=∠7，∠GFE=∠BFD，∴∠3=∠EGF，∵∠AGC=∠EGF，∠3=60°，∴∠AGC=∠3=60°③BG平分∠HBF證明過程：作BM⊥AE于點(diǎn)M，BN⊥GD于點(diǎn)N，如圖2，∵△ABE≌△CBD，∴∠4=∠5，∵AB=BC，∠AMB=∠CNB=90°，∴△ABM≌△CBN（AAS），∴BM=BN，∴BG平分∠HBF（到角兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的角平分線上）（三）常見“手拉手”變化圖形【典型例題】例1.如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ，以下五個(gè)結(jié)論：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④BO＝OE；⑤∠AOB＝60°，恒成立的結(jié)論有（）。A、①③⑤B、①③④⑤C、①②③⑤D、①②③④⑤解析：由“手拉手模型”的基礎(chǔ)圖形的六個(gè)結(jié)論可直接判別，選C例2.如圖，△ABD與△AEC都是等邊三角形，AB≠AC，下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（）①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO；④若∠BAC=90°,且DA//BC，則BC⊥CE.A.1B.2C.3D.4【思路分析】多結(jié)論題型、數(shù)學(xué)典型模型“手拉手模型”。選C（1）證線段相等，首選三角形全等，找BE、CD所在三角形△ABE、△ADC全等。由△ABD、△AEC是等邊三角形，不難找到全等條件：已知條件AD=AB、已知條件∠BAD=∠EAC=60°，由共角模型易得∠DAC=∠BAE,已知條件AC=AE,由SAS易證△ADC≌△ABE,∴BE=CD，①正確；（2）依解題思路的延續(xù)性，由（1）中△ADC≌△ABE可得∠ADC=∠ABE，由三角形內(nèi)角和公式可得：∠BOD=180°-(∠ODB+∠DBA+∠ABE)=180°-(∠ODB+∠DBA+∠ADC)=180°-(∠ADB+∠DBA)=180-(60°+60°)=60°,②正確；（3）可用反證法解題。假設(shè)③成立，由于△ODB與△OEC組成的“8字模型”易得∠OBD=∠OCE，即60°+∠ABO=60°+∠ACO，∴∠ABO=∠ACO，∵∠ACO=∠AEB,∴∠ABO=∠AEB,∴AB=AE，即AB=AC,與AB≠AC矛盾，故假設(shè)不成立，即③錯(cuò)誤；（4）若BC⊥CE，即∠ACE+∠ACB=90°,且∠ACE=60°,由于∠ABC+∠ACB=90°,所以只需證∠ABC=60°即可，由AD//BC，由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ABC=∠DAB=60°,∴∠BCE=90°,即BC⊥CE，④正確.例3.如圖，四邊形ABCD中，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，E是BF上一點(diǎn)，連接AE、AC、DE，若AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=70°,AE平分∠BAC，則下列結(jié)論中：①△ABE≌△ACD；②BE=EF；③∠BFD=110°；④AC垂直平分DE，正確的結(jié)論是____解析：（1）由“共角模型”可得∠BAE=∠CAD，由AB=AC,AE=AD,可證△ABE≌△ACD，①正確；（2）由△ABE≌△ACD可得∠AEB=∠ADC，∵∠AEB+∠AEF=180°,∴∠ADC+∠AEF=180°,∵∠DAE=70°,，由四邊形內(nèi)角和定理可得：∠EFD=360°-∠AED-∠ADF-∠EAD=360°-180°-70°=110°,③正確；（3）由∠BAC=∠DAE=70°,AE平分∠BAC，可得∠BAE=∠EAG=∠DAG=35°,則由AE=AD,AG=AG，可證△EAG≌△DAG，∴EG=GD,∠AGE=∠AGD=90°，④正確；（4）題目已知條件無法判定BE=EF，故③與題目無關(guān)；故選C例4.△ABC與△BDE是等邊三角形，求證：AE=BD解析：由“共角模型”可得∠BCD=∠ACE，由BC=AC,DC=CE,可證△BCD≌△ACE，∴BD=AE.例5.如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，求證：AE=CG解析：由“共角模型”可得∠CDG=∠ADE，由CD=AD,DG=DE,可證△CDG≌△ADE，∴CG=AD.例6.如圖，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC.（1）求證：BC=DE；（2）若AC=12，求四邊形ABCD的面積.解析：（1）由“共角模