第5章生活中的軸對(duì)稱 題型解讀3 等腰三角形題型-2020-2021學(xué)年北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

題型解讀3等腰三角形題型【知識(shí)梳理】1.概念:有兩條邊相等的三角形是等腰三角形;這兩條相等的邊叫腰,另一邊叫底邊,兩腰的夾角叫頂角,腰與底邊的夾角叫底角.2.性質(zhì):①等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸是它的頂角角平分線所在的直線;②等腰三角形頂角的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）；③等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）3.判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）4.等腰三角形的分類討論①若題目未明確角是等腰三角形的哪種角，則需分角是頂角或底角兩種情形分別進(jìn)行討論論證；②若題目未明確邊是等腰三角形的哪種邊，則需分邊是腰或底邊兩種情形分別進(jìn)行討論論證；【典型例題】例1.如圖所示，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D，△ABC的周長(zhǎng)為36，AD=12,則△ADC的周長(zhǎng)為________【解析】考查等腰三角形的性質(zhì)“兩腰相等”及“三線合一”.△ADC的周長(zhǎng)=AD+AC+DC=AD+(AB+AC)/2+BC/2=AD+（AB+BC+AC）/2==12+18=30.例2.如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，BE與CD交于點(diǎn)O，且BO＝CO，求證：（1）∠ABE＝∠ACD；（2）DO＝EO?！窘馕觥浚?）利用等邊對(duì)等邊的性質(zhì)即可得出結(jié)論；∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC-∠OBC=∠ACB-∠OCB，∴∠ABE=∠ACD；（2）利用三角形全等即可得出結(jié)論；在△DOB與△EOC中，∵∠ABE=∠ACD，OB=OC，∠DOB=∠EOC，∴△DOB≌△EOC，∴OD=OE；例3．一個(gè)等腰三角形兩個(gè)內(nèi)角的和為100o，則它的頂角度數(shù)是_______________【解析】由于題目未明確兩個(gè)內(nèi)角是兩個(gè)底角之和還是一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)底角之和，所以要分兩種情況討論；①“底角+頂角=100o”:根據(jù)三角形內(nèi)角和,可算出另一底角為80o,所以頂角為20o；②“底角+底角=100o”:根據(jù)三角形內(nèi)角和,可算出頂角為80o.故它的頂角度數(shù)是20o或80o例4.等腰三角形的一個(gè)角是80°，則它頂角的度數(shù)是_________【解析】由于題目未明確這個(gè)角是頂角還是底角，所以要分兩種情況討論；①“頂角=80o”:答案即為80o；②“底角=80o”:根據(jù)三角形內(nèi)角和,可算出頂角為20o.故它的頂角度數(shù)是80o或20o例5.一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5，8，則它的周長(zhǎng)為_____【解析】由于題目未明確兩邊是兩個(gè)腰還是一個(gè)腰和一個(gè)底邊，所以要分兩種情況討論；①當(dāng)一腰長(zhǎng)為5，一底邊長(zhǎng)為8時(shí)，則等腰三角形的周長(zhǎng)為5+5+8=18；②當(dāng)一腰長(zhǎng)為8，一底邊長(zhǎng)為5時(shí)，則等腰三角形的周長(zhǎng)為8+8+5=23.故等腰三角形周長(zhǎng)為18或23.例6.一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4，8，則它的周長(zhǎng)為_____【解析】由于題目未明確兩邊是兩個(gè)腰還是一個(gè)腰和一個(gè)底邊，所以要分兩種情況討論；①當(dāng)一腰長(zhǎng)為4，一底邊長(zhǎng)為8時(shí)，∵4+4=8，∴不符合三角形三邊關(guān)系，故不存在；②當(dāng)一腰長(zhǎng)為8，一底邊長(zhǎng)為4時(shí)，則等腰三角形的周長(zhǎng)為8+8+4=20.故它的頂角度數(shù)是20o或80o例7.如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40o，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，作∠ADE=40o，DE交線段AC于點(diǎn)E．在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求∠BDA的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】由于題目未明確等腰△ADE的腰與底，故需要分類討論，再利用等腰三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和公式、外角定理即可求解?！摺鰽BC是等腰三角形，∴∠B=∠C=40o.①當(dāng)AD=AE時(shí)，∴∠AED=∠ADE=40o，∵∠AED是∠C的外角，∴∠AED>∠C，故不存在，舍去；②當(dāng)AD=DE時(shí)，∴∠DAC=（180o-40o）÷2=70o，∴∠BDA=∠DAE+∠C=70o+40o=110o；③當(dāng)AE=DE時(shí)，∠DAE=40o，∴∠BDA=∠DAE+∠C=40o+40o=80o；綜上所述，當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，∠BDA的度數(shù)為110°或80°.例8.閱讀下列材料，解答問(wèn)題：定義：線段AD把等腰三角形ABC分成△ABD與△ACD（如圖12-1），如果△ABD與△ACD均為等腰三角形，那么線段AD叫做△ABC的完美分割線。⑴如圖1，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=108o，AD為△ABC的完美分割線，且BD<CD，則∠B=_________，∠ADC=_________；⑵如圖2，已知已知△ABC中，AB=AC，∠A=36o，BE為△ABC的角平分線，求證：BE為△ABC的完美分割線；⑶如圖3，已知△ABC是一等腰三角形紙片，AB=AC，AD是它的一條完美分割線，將△ABD沿直線AD折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B`處，AB`交CD于點(diǎn)E。求證：DB`=EC?！窘馕觥浚?）利用等腰三角形的性質(zhì)即可求解；由題可知，△ABC、△DAB、△CAD均是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠BAD=∠B，∵∠BAC=108o，∴∠B=36o，∴∠BAD=36o，∴∠ADC=∠B+∠BAD=36o+36o=72o；（2）利用等角對(duì)等邊判定△EAB、△BEC是等腰三角形即可；由題可知，△ABC是等腰三角形，∠A=36o，∴∠ABC=∠C=72o，∵BE為△ABC的角平分線，∴∠ABE=∠CBE=36o，∴∠ABE=∠A，∴BE=EA，△EAB是等腰三角形；∵∠BEC=∠A+∠ABE