小學(xué)數(shù)學(xué)解題常用思維方法的應(yīng)用

小學(xué)數(shù)學(xué)解題常用思維方法的應(yīng)用摘要在平時(shí)的教學(xué)過程中，學(xué)生經(jīng)常因?yàn)檎也坏竭m合的解題思維方法而止步不前。針對這個(gè)問題，我對小學(xué)數(shù)學(xué)常見的解決問題題型進(jìn)行歸納整理。結(jié)合小學(xué)生的思維特點(diǎn)，我覺得可以從直觀思維、對號入座思維、邏輯推理思維、轉(zhuǎn)化思維、找不變量思維、假設(shè)思維、逆推思維這些思維方法入手，幫助學(xué)生快速有效的解決相應(yīng)問題。教學(xué)中，我通過各種題型滲透相應(yīng)的思維方法，讓學(xué)生從中感悟、并選擇合適的思維方法解題。多次實(shí)踐后，不但提高了學(xué)生的解題速度及正確率，還增強(qiáng)了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)思維方法；直觀思維方法；對號入座思維方法；轉(zhuǎn)化思維方法1.研究背景與意義?數(shù)學(xué)教育研究者關(guān)于對數(shù)學(xué)思維方法的研究非常重視，這項(xiàng)研究是一個(gè)不斷發(fā)展的學(xué)科。在心理學(xué)方面，已經(jīng)研究出來并討論了有關(guān)數(shù)學(xué)思維以及因此產(chǎn)生的一些規(guī)律及方法。數(shù)學(xué)教育研究者的任何的活動(dòng)都離不開思維，而數(shù)學(xué)思維方法的不斷學(xué)習(xí)應(yīng)用，能促進(jìn)學(xué)生智力水平的發(fā)展，也能體現(xiàn)智力水平。因?yàn)閿?shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)教育背負(fù)著“發(fā)展兒童的思維”的重任，現(xiàn)代教育觀點(diǎn)認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)其實(shí)就是指數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)。人類是解決問題的動(dòng)物，解決問題是人類活動(dòng)的特征。伯利亞強(qiáng)調(diào)，解決問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重心，而解決數(shù)學(xué)問題依靠的正是數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)思維本身不是數(shù)學(xué)的一個(gè)知識點(diǎn)，卻又隱藏在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的每一個(gè)方面，就像植物的根莖能給植物的每一部分輸送生存所需要的養(yǎng)分。數(shù)學(xué)思維方法的概念及應(yīng)用的界定我們所說的數(shù)學(xué)思維方法是針對數(shù)學(xué)所研究對象的本質(zhì)和規(guī)律的不直接的反映，并且運(yùn)用常見的思維規(guī)律進(jìn)行學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程。解決數(shù)學(xué)題的思維過程其實(shí)包括對問題的理解，選擇數(shù)學(xué)思維中合適的方法，使問題變得容易解決的這樣的過程的活動(dòng)。數(shù)學(xué)之道，即數(shù)學(xué)思維。簡單講就是用數(shù)學(xué)的抽象模型（比如代數(shù)，量化等）來思考問題的思維模式舉個(gè)例子，一個(gè)不透明正方體能不能看到4個(gè)面，因?yàn)檎襟w的6個(gè)面兩兩平行一共有3組，而平行的兩個(gè)面你無法同時(shí)看到，因此用數(shù)學(xué)的方法你就知道了最多看到3個(gè)面，這就是最簡單的數(shù)學(xué)思維。想要讓學(xué)生善于運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解題，首先應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生要重視對基礎(chǔ)知識的認(rèn)識與應(yīng)用，如數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是運(yùn)算的基礎(chǔ)，概念的準(zhǔn)確理解是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提；其次是對基本技能的認(rèn)真學(xué)習(xí)，沒有可靠的基本功，應(yīng)用數(shù)學(xué)思維方法解題就不能做到得心應(yīng)手；再次是提高學(xué)生觀察能力，分析題意的能力，這是選擇適合思維方法來解題的關(guān)鍵。3.小學(xué)數(shù)學(xué)解題常用的數(shù)學(xué)思維方法及其講與練3.1直觀形象思維小學(xué)生的特點(diǎn)是以直觀形象思維為主，所以在平時(shí)課堂上對知識的傳授離不開直觀形象思維。如：學(xué)習(xí)數(shù)字時(shí)，老師就會(huì)把數(shù)字設(shè)計(jì)成卡通形象的圖案，如：1像樹枝細(xì)又長，2像小鴨水上漂，3像耳朵……。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，直觀形象思維經(jīng)常能夠幫助我們將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成直觀的數(shù)量關(guān)系，幫助我們理解題意，讓我們能迅速找到解決問題的切入點(diǎn)。下面我將運(yùn)用直觀形象思維方法，采用圖表直觀的形式，圖形直觀的形式，圖像直觀的形式來解決的數(shù)學(xué)題型列舉如下：3.1.1圖表直觀在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，表格把條件和問題進(jìn)行整理，夠能發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，找出突破口，順利解題?；蛘甙呀鉀Q此題可能的方案整齊有序的列舉在表格中，選擇最佳答案。如：用一定長度的籬笆圍地的方法，雞兔同籠類問題，租車問題，住賓館問題，這些都可以采用圖表直觀的方法進(jìn)行解決。注意：列表的過程中要有序，注意不重復(fù)、不遺漏。例1：要用24分米長的繩子圍成一個(gè)長方形，一共能圍成幾種？圍成它們的面積各是多少？（長度取整分米數(shù)）分析：用24分米的繩子圍成一個(gè)長方形，那么也就是告訴我們它們的周長是24分米，那么長與寬的和就是24分米的一半，也就是24÷2=12（分米）。長／分米11109876寬／分米123456面積／平方分米112027323536表.2圖形直觀通過用畫線段圖或直觀圖的方法把數(shù)量關(guān)系表示出來，使題意形象具體更加直觀，方便較快找到解題的途徑，對解決數(shù)量關(guān)系復(fù)雜的題型能起到化難為易的目的。如：與分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)相關(guān)的單位“1”問題，與年齡相關(guān)的倍數(shù)問題都可以采用。注意畫線段圖時(shí)，圖示比例要恰當(dāng)。例2：小華兩天看完一本故事書，第一天看了40%，如果第一天多看38頁，那么第二天他需要再看全書的一半就可以把這本書看完。小華這兩天各看了多少頁？這道題中數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，具體值和分?jǐn)?shù)的對應(yīng)關(guān)系不明顯。因此，我們需要借助線段圖進(jìn)行分析。本題中用分?jǐn)?shù)表示第一天及第二天看書的頁數(shù)與本書的關(guān)系，很明顯與單位“1”問題相關(guān)，遇到類似問題，就可以想到采用直觀形象思維方法中的的用線段圖表示題中的數(shù)量關(guān)系，使得相應(yīng)數(shù)據(jù)的對應(yīng)關(guān)系一目了然，方便進(jìn)行下一步分析，如圖3.1.2。第一天看全書的40%第二天看書的1－40%第二天看全書的50%第一天多看38頁第二天看全書的50%第一天多看38頁第二天看？頁第二天看？頁第一天多看？頁（圖3.1.2）解：第一天：38÷（1—40%—50%）×40%=38÷10%×40%=152（頁）第二天：38÷（1—40%—50%）×50%+38=38÷10%×50%+38=228（頁）答：第一天看了152頁，第二天看了228頁。3.1.3圖像直觀當(dāng)在進(jìn)行一些統(tǒng)計(jì)工作時(shí)，根據(jù)不同的統(tǒng)計(jì)要求需要選擇不同的統(tǒng)計(jì)方法，這是我們經(jīng)常會(huì)想到直觀形象的統(tǒng)計(jì)圖種類，如：（1）想要能夠看出每一項(xiàng)統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的具體數(shù)據(jù)，可以選用條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）想要看出數(shù)據(jù)的變化情況，選用折線統(tǒng)計(jì)圖；（3）想要看出每一個(gè)部分占總體的百分比，選扇形統(tǒng)計(jì)圖。例3:二年級（1）班同學(xué)的右眼視力情況調(diào)查，統(tǒng)計(jì)如下。5.04.95.35.24.75.24.85.15.35.24.85.04.55.14.95.14.75.04.85.15.05.15.14.95.05.15.25.14.65.05.04.84.95.14.95.14.65.14.75.1（1）根據(jù)上面的數(shù)據(jù)完成下面的統(tǒng)計(jì)表3.1.3。左眼視力4.5～4.74.8～5.05.1～5.3人數(shù)61618觀察上面表中的數(shù)據(jù)，選擇并且制作合適的統(tǒng)計(jì)圖。（圖3.1.3）（3）視力在（5.1～5.3）的人數(shù)最多，（4.5～4.7）的人數(shù)最少。本題中的第（2）問就需要應(yīng)用圖像直觀思維方法進(jìn)行解決。3.2.對號入座思維方法在一年級上冊學(xué)習(xí)比較大小時(shí)，老師就是通過給小動(dòng)物們分物品一課給學(xué)生們滲透了一一對應(yīng)的思想。正是對應(yīng)思想的滲透，讓我們在解決一些蘊(yùn)含著運(yùn)算關(guān)系式，公式等常見的數(shù)量關(guān)系式的問題，可運(yùn)用對號入座的思維。例4：星期天媽媽帶領(lǐng)一家共4口人去游樂場游玩，買門票共花去了96元，每人花費(fèi)門票多少元？此題讀完之后，很容易讓人想到與購物相關(guān)的公式：單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)，通過解讀題中的數(shù)量名稱，可以寫出：單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)，↓↓↓？4人96元就有列式：96÷4=24（元）答：每人花費(fèi)門票24元。3.3邏輯推理思維方法當(dāng)我們遇到的數(shù)學(xué)問題比較復(fù)雜，不能通過一步就進(jìn)行解決時(shí)，我們要通過找到不同的問題突破口進(jìn)行邏輯推理，使得原本復(fù)雜的問題解決起來?xiàng)l理更加清晰。這種邏輯推理的思維方法有兩種：（1）分析法：從問題入手，一步一步向前推理，找到首先要解決的問題，最終達(dá)到解決本問題的目的；（2）綜合法：從條件入手，進(jìn)行逐步推理。這兩種方法常用在與公式相關(guān)的解決問題當(dāng)中。3.3.1分析法：對于復(fù)合應(yīng)用題的解法，通過對問題的分析，分析解決問題需要的條件，從而在題中尋找已知的有用的數(shù)學(xué)信息，通過一步步的邏輯推理達(dá)到最終解決問題的目的。這種方法就像是解開一個(gè)復(fù)雜的結(jié)，關(guān)鍵要找到線的一頭。下面通過例題去感悟這種方法。例5：某工程隊(duì)鋪一條長14.4千米的公路，原計(jì)劃30天完工，，實(shí)際提前6天就鋪完了這條公路，原計(jì)劃每天比實(shí)際每天少鋪路多少千米？原計(jì)劃每天比實(shí)際每天少鋪多少千米？原計(jì)劃每天比實(shí)際每天少鋪多少千米？計(jì)劃每天鋪多少千米？計(jì)劃每天鋪多少千米？實(shí)際每天鋪多少千米？－實(shí)際多少天完工？÷公路長14.4千米實(shí)際多少天完工？÷公路長14.4千米÷計(jì)劃30天完工÷計(jì)劃30天完工公路長14.4千米——-————-——－實(shí)際提前6天完成任務(wù)原計(jì)劃30天完工（圖3.3.1）解：實(shí)際用多少天完成了任務(wù)：30－6=24（天）實(shí)際每天鋪多少千米：14.4÷24=0.6（千米）計(jì)劃每天鋪多少千米：14.4÷30=0.48（千米）原計(jì)劃每天比實(shí)際每天少鋪多少千米：0.6－0.48=0.12（千米）答：原計(jì)劃每天比實(shí)際每天少鋪0.12千米。這類題都可以從問題入手進(jìn)行分析，找到合適的解決問題的思維方法要通過多做題，多總結(jié)再加上多練習(xí)才能鞏固自己的認(rèn)知。3.3.2綜合法從已知條件入手，逐步解決問題，直到求出結(jié)果。已知條件與公式聯(lián)系緊密的題型，可以采用這種方法。如下題：×例6：匯之源果汁廠有蘋果200噸，原來每天消耗2.5噸蘋果榨汁，生產(chǎn)20天后，剩下的每天只生產(chǎn)1.2噸。還可以生產(chǎn)多少天？×每天生產(chǎn)2.5噸已生產(chǎn)了每天生產(chǎn)2.5噸已生產(chǎn)了20天－存蘋果200噸已經(jīng)生產(chǎn)了多少噸？－存蘋果200噸已經(jīng)生產(chǎn)了多少噸？每天只生產(chǎn)1.2噸÷每天只生產(chǎn)1.2噸÷還剩下多少噸？還可以生產(chǎn)多少天？還可以生產(chǎn)多少天？（圖3.3.2）解：已經(jīng)生產(chǎn)了多少噸：2.5×20=50（噸）還剩下多少噸：200－50=150（噸）還可以生產(chǎn)多少天：150÷1.2=125（天）綜合算式：（200－2.5×200）÷1.2=125（天）答：還可以生產(chǎn)125天。3.4轉(zhuǎn)化思維方法：3.4.1.轉(zhuǎn)化思維在陰影面積中的應(yīng)用在面對一些較復(fù)雜的陰影面積問題時(shí)，可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化思維方法，把不能直接求出面積的圖形用割補(bǔ)或旋轉(zhuǎn)拼接的方法，轉(zhuǎn)化為可以用面積公式逐步解決的問題。例7：求陰影部分的面積（單位：厘米）圖a圖b（圖3.4.1）圖a：將陰影部分的面積拼湊后，陰影面積就可以轉(zhuǎn)化為求邊長為4厘米的正方形與半徑是4厘米的四分之一圓的面積的差。4×4=16（平方厘米）3.14×4×4÷4=12.56（平方厘米）陰影面積：16—12.56=3.44（平方厘米）圖b：陰影面積是一片葉子圖形，可以添加輔助線，使陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為二倍的四分之一圓的面積與等腰三角形的面積的差。通過觀察整理，其實(shí)就是半個(gè)圓的面積減去正方形的面積。你會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思維很神奇。3.14×4×4÷2=25.12（平方厘米）4×4=16（平方厘米）25.12—16=9.12（平方厘米）3.4.2.轉(zhuǎn)化思維在簡便運(yùn)算中的應(yīng)用在解一些用簡便方法解決的計(jì)算題時(shí)，通常采用各種運(yùn)算律或者運(yùn)算性質(zhì)，將不能直接運(yùn)用運(yùn)算律簡便的算式轉(zhuǎn)化為具有運(yùn)算律特點(diǎn)的形式進(jìn)行簡便。例8：9.99×22.2+33.3×3.34=33.3×3×2.22+33.3×3.34……運(yùn)用積不變的規(guī)律將數(shù)拆成使算式有共同乘數(shù)的形式，轉(zhuǎn)化為可以用乘法分配律的形式。=33.3×6.66+33.3×3.34……運(yùn)用乘法分配律的進(jìn)行運(yùn)算=33.3×（6.66+3.34）=33.3×10=333轉(zhuǎn)化思維方法還可用在幾人合作的工程問題中，單位“1”問題中。3.5找不變量思維方法當(dāng)我們在解決有關(guān)公式的一些問題時(shí)，如果在題中存在一個(gè)不變的量，可以考慮列方程解，通常面對這樣的題型我們用的是找不變量的思維方法。3.5.1找不變量思維方法在行程問題中的應(yīng)用例10.一艘輪船所帶的燃料最多可以用24小時(shí)，出發(fā)時(shí)是順?biāo)俣仁?0千米／時(shí)，返回時(shí)的速度是24千米／時(shí)。這艘輪船最多駛出多遠(yuǎn)就要返回？分析：本題中路程、時(shí)間、速度，這三者中，往返速度不同，路程卻是相同的，往返時(shí)間不同，但時(shí)間之和是24小時(shí)。找到這個(gè)不變量，可以列出的等式中只含有一個(gè)未知數(shù)，我們就可以列方程解決。解：設(shè)這艘輪船最多駛出X小時(shí)就要返回，則返回的時(shí)間是（32—X）小時(shí)，30X=24（24—X）30X=24×24—24X30X+24X=57654X=576X=32／3答：這艘輪船最多駛出32／3小時(shí)就要返回。3.5.2找不變量思維方法在濃度問題中的應(yīng)用例11：實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備有甲、乙兩種鹽水，其中甲鹽水含鹽150克，含水150克；乙鹽水含鹽150克，含水350克。想要配成濃度為42%的鹽水500克，每種鹽水應(yīng)取多少克？分析：本題可找到不變量可設(shè)取甲鹽水X克，則取乙水鹽（500-X）克，繼而根據(jù)“混合前后溶質(zhì)質(zhì)量不變”；列出方程解答即可。解：設(shè)取甲鹽水X克，則取乙水鹽（500-X）克。甲鹽水的濃度是：150÷（150+150）=50%，乙鹽水的濃度是：150÷（150+350）=30%由題意，得50%X+（500-）X×30%=500×42%50%X+150—30%X=21020%X=60X=300500-x=200答：取甲鹽水300克，乙鹽水200克。如上題例10是往返路程不變，例11是混合前后溶質(zhì)質(zhì)量不變，都可以列方程解決。像這樣用找不變量思維方法的題型還有：分配物品，分法不同結(jié)論不同的盈虧問題，雞兔同籠類問題等。3.6假設(shè)思維方法假設(shè)思維是針對題中數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，直接根據(jù)題中原本條件不易解答，可用用假設(shè)思維解題?？上确治鲆阎獥l件，假設(shè)題目中個(gè)別的條件，分析題中的其它條件，能發(fā)現(xiàn)一些巧妙的解題方法，讓問題方便解決。常見的“雞兔同籠”類問題，運(yùn)易碎品問題，答對題數(shù)與總得分的題型，都可以應(yīng)用假設(shè)思維解題。例12：學(xué)期末到來了，班里為孩子們準(zhǔn)備獎(jiǎng)品，普通橡皮每塊0.5元，動(dòng)物橡皮每塊0.7元，兩種橡皮共買了32塊，花了18.4元。班里買來普通橡皮、動(dòng)物橡皮各幾塊？分析：這道題我們可以看成“雞兔同籠”類問題解決，可以把這里的普通橡皮單價(jià)看成雞腳數(shù)，動(dòng)物橡皮的單價(jià)可以看成兔腳數(shù)，橡皮的總數(shù)可以看成雞和兔的總頭數(shù)，橡皮總價(jià)錢看成是雞與兔的總腳數(shù)。通過假設(shè)法，假設(shè)都是雞的話，利用公式：兔數(shù)=（總腳數(shù)—假設(shè)雞總腳數(shù)）÷雞兔腳數(shù)差，進(jìn)行計(jì)算。列式如下：動(dòng)物橡皮的塊數(shù)：（18.4-0.5×32）÷（0.7—0.5）……假設(shè)都是“雞”，（普通橡皮）=2.4÷0.2=12（塊）……計(jì)算出來的都是“兔”的只數(shù)（動(dòng)物橡皮）普通橡皮塊數(shù)32—12=20（塊）答：班里準(zhǔn)備普通橡皮20塊，動(dòng)物橡皮6塊。3.7.逆推思維方法有些題型用順向思維很難解決，如果從問題的結(jié)果出發(fā)，從后往前逐步推理，問題就很容易得到解決。這種從條件或問題倒著往回尋求解法的解題思路就是逆推法。用本方法的題的特點(diǎn)：開始的數(shù)量都不知道，知道變化的過程，且能較快推算出結(jié)果的數(shù)量，需要求原來的各自的數(shù)量。例13：孫悟空給小猴子準(zhǔn)備了一些桃子，小猴子第一天吃了這些桃子的一半多一個(gè)，第二天吃了剩下的一半多一個(gè)，第三天仍然吃掉了剩下的一半多一個(gè)，第四天小猴子癡吃掉了剩下的最后2個(gè)桃子。孫悟空給小猴子準(zhǔn)備了多少個(gè)桃子？分析：從這道題中我們可以發(fā)現(xiàn)，桃子的總數(shù)不知道，是我們要求的。而每一次吃掉的都是之前剩