5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式第一課時+課件-2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

5.5三角恒等變換5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式知識梳理

一、利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)課時1教材中［cos（α-β）-1］2+sin2（α-β）=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2化簡［cos（α-β）-1］2+sin2（α-β）（左邊）=

cos2（α-β）-2cos（α-β）+1+sin2（α-β）＝2-2cos（α-β），cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2

（右邊）=cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α-2sinαsinβ+sin2β＝2-2cosαcosβ-2sinαsinβ，∴2-2cos（α-β）＝2-2cosαcosβ-2sinαsinβ，∴cos（α-β）＝cosαcosβ+sinαsinβ.二、兩角差的余弦公式

任意角α，β的正弦、余弦與其差角α-β的余弦之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡記作C（α-β）.

cos（α-β）＝cosαcosβ+sinαsinβ.（C（α-β））

三、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

由公式C（α-β）出發(fā)，如何推導(dǎo)出兩角和與差的三角函數(shù)的其他公式？

一利用和（差）角公式求值<1>給角求值?？碱}型例1給角求值的解法（1）把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，利用公式直接求值.（2）在轉(zhuǎn)化過程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造兩角和（差）的正（余）弦公式的形式，然后逆用公式求值.

解題歸納訓(xùn)練題2.［2020·鄭州高三檢測］tan255°＝

.B

<2>給值求值

例2給值求值問題的解法在解決此類題目時，一定要注意已知角與所求角之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)剡\用拆角、拼角技巧，同時分析角之間的關(guān)系，利用角的代換化異角為同角.具體做法是：（1）當(dāng)已知角有兩個時，一般把所求角表示為已知兩角的和或差.（2）當(dāng)已知角有一個時，可利用誘導(dǎo)公式把所求角轉(zhuǎn)化為已知角.（3）常見的變角技巧有2α＝（α+β）+（α-β），2β＝（α+β）-（α-β），α＝（α+β）-β，β＝（α+β）-α等.

解題歸納訓(xùn)練題CA

例3<3>給值求角給值求角問題的解答步驟第一步，求角的某一個三角函數(shù)值；第二步，確定角所在的范圍；第三步，根據(jù)角的取值范圍寫出所求的角.

解題歸納訓(xùn)練題D二利用和（差）角公式化簡例4利用和（差）角公式化簡的常用技巧1.逆用和（差）角公式：因為和（差）角公式的原形是由簡到繁的形式，逆用這些公式便可起到化簡的效果.2.變角：把已知非特殊角化為兩個特殊角的和（差），然后利用和（差）角公式求解.3.1的代換：將常數(shù)1換成tan45°或?qū)⒊?shù)1換成sin2α+cos2α等.解題歸納訓(xùn)練題BB三和（差）角公式在三角形中的應(yīng)用

例5［2019·貴州遵義四中高一檢測］已知在△ABC中，tanAtanB>1，判斷△ABC的形狀.

解題歸納訓(xùn)練題

B

四

輔助角公式的應(yīng)用

訓(xùn)練題函數(shù)f（x）＝sinx-cosx的遞增區(qū)間是

.

知識梳理

二倍角的正弦、余弦、正切公式利用S（α±β），C（α±β），T（α±β）推導(dǎo)出sin2α，cos2α，tan2α的公式

一般情況下，sin2α≠2sinα，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα.倍角公式的逆用更能開拓思路，我們要熟悉這組公式的逆用，如sin3αcos3α＝

sin6α.

從和（差）角公式、倍角公式的推導(dǎo)過程可以發(fā)現(xiàn)，歸納總結(jié)這些公式存在緊密的邏輯聯(lián)系：一利用二倍角公式求值<1>給角求值?？碱}型例1利用二倍角公式給角求值的基本思路（1）直接正用、逆用二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對已知式子進行轉(zhuǎn)化，一般可以化為特殊角.（2）若形式為幾個非特殊角的三角函數(shù)式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過程中，需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件，使得問題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式.

解題歸納訓(xùn)練題

<2>條件求值條件求值問題解法條件求值問題常有兩種解題途徑：①對題設(shè)條件變形，把條件中的角、函數(shù)名向結(jié)論中的角、函數(shù)名靠攏；②對結(jié)論變形，將結(jié)論中的角、函數(shù)名向題設(shè)條件中的角、函數(shù)名靠攏，以便將題設(shè)條件代入結(jié)論.

解題歸納訓(xùn)練題DAB二利用二倍角公式化簡三角函數(shù)式的化簡要求①能求出值的應(yīng)求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使三角函數(shù)式中的項數(shù)盡量少；④盡量使分母不含有三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).三角函數(shù)式的化簡方法①弦切互化，異名化同名，異角化同角.②降冪或升冪.③一個重要結(jié)論：（sinθ±cosθ）2＝1±sin2θ.

解題歸納訓(xùn)練題A

三二倍角公式的靈活應(yīng)用例4

解題歸納訓(xùn)練題BC四

二倍角公式的綜合應(yīng)用

用二倍角公式解決三角函數(shù)性質(zhì)問題的方法1.為了研究函數(shù)的性質(zhì)，往往要充分利用三角變換公式轉(zhuǎn)化為余弦型（正弦型）函數(shù)，這是解決問題的前提.2.解決有關(guān)三角函數(shù)的最值問題，一般需利用三角函數(shù)的有界性來解決，利用三角函數(shù)變換化多個三