江西省新余市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考試數(shù)學(xué)試卷

2023年12月6日高中數(shù)學(xué)練習(xí)12月6日學(xué)校：__________姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________一?單選題1.若平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，且，則的值是（）A.-3B.-4C.3D.42.設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，到兩焦點(diǎn)的距離之差為2，則是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形3.已知雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)為，雙曲線上任意一點(diǎn)（與不重合）都滿足的斜率之積為，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.4.直線與曲線相交于兩點(diǎn)，則直線傾斜角的取值范圍是（）A.B.C.D.5.三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，若，則（）A.B.C.D.6.在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角大小等于（）A.B.C.D.7.已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)作軸垂線交橢圓于兩點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.8.已知是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A.B.C.D.二?多選題9.已知空間向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.在上的投影向量為10.如圖，在棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐中，分別為側(cè)棱的中點(diǎn)，是底面四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）A.平面B.平面平面C.D.平面11.以下四個(gè)命題表述錯(cuò)誤的是（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn)B.圓上有且僅有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于C.曲線與恰有四條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.已知圓為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓引條切線，其中為切點(diǎn)，則的最小值為12.已知曲線，則下列命題中為真命題的是（）A.若，則是圓B.若，且，則是橢圓C.若，則是雙曲線，且漸近線方程為D.若，則是橢圓，其離心率為三?填空題13.2023年10月國(guó)慶節(jié)旅游黃金周期間，自駕游愛(ài)好者甲?乙?丁3家組團(tuán)自駕去杭州旅游，3家人分別乘坐3輛車(chē)，滬昆高速杭州入口有共3個(gè)不同的窗口，則每個(gè)窗口恰好都有一位該團(tuán)的自駕車(chē)在等候的概率為_(kāi)_________.14.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)，若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_________.15.的展開(kāi)式中的系數(shù)是__________.16.已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，若，則__________.四?解答題17.已知空間三點(diǎn)，設(shè).（1）求與的夾角的余弦值；（2）若向量與互相垂直，求的值.18.已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，且右頂點(diǎn)到該條漸近線的距離為.（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求直線的方程.19.已知點(diǎn).（1）求線段的垂直平分線的直線方程；（2）若點(diǎn)到直線的距離相等，求實(shí)數(shù)的值.20.某醫(yī)療小組有4名男性，2名女性共6名醫(yī)護(hù)人員，醫(yī)護(hù)人員甲是其中一名.（1）若從中任選2人參加兩項(xiàng)救護(hù)活動(dòng)，每人只能參加其中一項(xiàng)活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)都要有人參加，求醫(yī)護(hù)人員甲不參加項(xiàng)救護(hù)活動(dòng)的選法種數(shù)；（2）這6名醫(yī)護(hù)人員將去3個(gè)不同的地方參與醫(yī)療支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一個(gè)地方，求不同的分配方案種數(shù).21.如圖，四棱錐中，四邊形為梯形，其中.（1）證明：平面平面；（2）若，點(diǎn)滿足，且三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角的余弦值.22.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為.（1）求軌跡的方程；（2）過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn).且，設(shè)直線的斜率分別為，若，證明：為定值.23.在中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，求的面積.24.已知正方形的邊長(zhǎng)為為等邊三角形（如圖1所示）.沿著折起，點(diǎn)折起到點(diǎn)的位置，使得側(cè)面底面是棱的中點(diǎn)（如圖2所示）.（1）求證：；（2）求點(diǎn)與平面的距離.25.已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，且直線交軸于，直線交軸于.（1）求直線的斜率的取值范圍；（2）設(shè)為原點(diǎn)，，求證：為定值.2023年12月6日高中數(shù)學(xué)練習(xí)答案一?單選題1.【答案】A【詳解】，故存在實(shí)數(shù)，使得，即，故，解得.故選：A2.【答案】B【詳解】試題分析：兩焦點(diǎn)分別為：.根據(jù)橢圓的定義：到兩焦點(diǎn)的距離之和等于，又因?yàn)榈絻山裹c(diǎn)的距離之差為2，可求得，到兩焦點(diǎn)距離分別為5，3.所以三角形邊長(zhǎng)分別為.所以是直角三角形選.3.【答案】B【詳解】設(shè)，由，由，所以，可得，所以，即，所以，所以離心率.故選：4.【答案】B【詳解】由可得，整理得到在上有兩個(gè)不同的根，故，解得或，故直線的傾斜角的范圍為：，故選：B5.【答案】D【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算法則與空間向量基本定理，求解即可.【詳解】.故選：D.6.【答案】A【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，故為異面直線與所成的角，在正方體中，由分別為的中點(diǎn)，則，即為等邊三角形，所以，即異面直線與所成的角大小等于.故選：A7.【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，則，則，則.故選：A8.【答案】C【詳解】由題意可得是圓心為半徑為1的圓，是圓心為半徑為1的圓，設(shè)中點(diǎn)為，由垂徑定理得在圓上，又，由圖可知，的范圍為.故選：C二?多選題9.【答案】BCD【詳解】易知，顯然，故A錯(cuò)誤；易知：，故B正確；易知，故C正確；在上的投影向量，故D正確.故選：BCD10.【答案】ABC【詳解】因?yàn)闉榈酌嫠倪呅螌?duì)角線的交點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，由是的中點(diǎn)，可得，因?yàn)樵谄矫嫫矫妫云矫嬲_；同理可推得平面，而，所以平面平面，正確；因?yàn)槠矫?，故不可能垂直平面錯(cuò)誤；設(shè)該正四棱錐的棱長(zhǎng)為，則，所以，因?yàn)椋哉_.故選.11.【答案】BD【分析】選項(xiàng)，變形后得到，求出定點(diǎn)；選項(xiàng)，求出圓心到直線的距離，結(jié)合圓心和半徑，數(shù)形結(jié)合得到有且僅有3個(gè)點(diǎn)符合題意；選項(xiàng)，根據(jù)公切線條數(shù)得到兩圓的位置關(guān)系，結(jié)合圓心距列出不等式，求出答案；選項(xiàng)，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最小值，利用點(diǎn)到直線距離公式得到答案.【詳解】選項(xiàng)，變形得到，故，解得，所以恒過(guò)定點(diǎn)表述正確；選項(xiàng)，圓的圓心到直線的距離，因?yàn)閳A的半徑為，故圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于表述錯(cuò)誤；選項(xiàng)，曲線與恰有四條公切線，故圓與圓相離，其中變形為，圓心為，半徑為1，變形為，圓心為，半徑為，故，解得，故圓心距為，所以，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為表述正確；選項(xiàng)，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，故過(guò)點(diǎn)向圓引條切線，有，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最小值，的最小值為，故最小值為表述錯(cuò)誤.故選：BD12.【答案】BC【詳解】解：對(duì)于：若，則，原方程為，此時(shí)曲線不存在，故A不正確；對(duì)于B：由已知得，又，且，所以表示橢圓，故B正確；對(duì)于C：若，則是雙曲線，但漸近線方程為，故C正確；對(duì)于D：由已知得，又，所以，則曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以，，其離心率為，故不正確，故選：.三?填空題13.【答案】【詳解】該團(tuán)的3輛自駕車(chē)在3個(gè)窗口等候的基本事件總數(shù)為，3個(gè)窗口各有1輛車(chē)在等候的事件含有個(gè)基本事件，所以每個(gè)窗口恰好都有一位該團(tuán)的自駕車(chē)在等候的概率為.故答案為：14.【答案】【詳解】如圖所示，由橢圓方程為，則，又點(diǎn)，滿足，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)，由橢圓定義可知，即，所以，故答案為：.15.【答案】126【分析】根據(jù)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式表示出各部分中的系數(shù)，然后利用組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為：.故答案為：126.16.【答案】9【詳解】根據(jù)雙曲線方程可得，再由雙曲線定義可得，解得或，又因?yàn)?，所以可?故答案為：9四?解答題17.【詳解】（1）.（2）.因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，所以，即，解得或.18.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線垂直，且直線的斜率為，且雙曲線的漸近線為，則，可得，所以，雙曲線的漸近線方程為，即，因?yàn)橛翼旤c(diǎn)到該條漸近線的距離為，所以，解得，所以，所以雙曲線的方程為.（2）若直線軸，則關(guān)于軸對(duì)稱，此時(shí)，線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，設(shè)，設(shè)直線的斜率為，則，則，所以，化簡(jiǎn)得.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，所以，解得，雙曲線漸近線為，直線斜率大于漸近線斜率，故過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).所以直線的方程為.19.【詳解】（1）解：線段的中點(diǎn)為，故線段的中垂線的方程為，即.（2）解：由條件線段的中點(diǎn)為在直線上或線段所在直線與直線平行，若線段的中點(diǎn)為在直線上，則，解得；線段所在直線與直線平行，則，解得.綜上所述，或.20.【詳解】（1）分兩類(lèi)：①甲參加項(xiàng)救護(hù)活動(dòng)，再?gòu)钠溆?人中選一人參加，選法數(shù)為，②甲不參加救護(hù)活動(dòng)，則從其余5人中任選兩人參加救護(hù)活動(dòng)，選法數(shù)為，所以共有選法種數(shù)為；（2）分三步：第一步先安排兩名女性醫(yī)護(hù)人員有：，第二步：安排兩名女醫(yī)護(hù)人員同去的男醫(yī)護(hù)人員有：，第三步：剩余兩名男性醫(yī)護(hù)人員去另外一地有：，所以共有不同的分配方案數(shù)為：.21.【詳解】（1）為等邊三角形，，又四邊形為梯形，，則，根據(jù)余弦定理可知，在中，根據(jù)勾股定理可知，，即，平面平面，又平面平面平面；（2）為中點(diǎn)，，由（1）可知，平面平面，又平面平面平面，平面，連接，則，且平面，故，所以兩兩垂直.以為原點(diǎn)，以為軸正方向，以為軸正方向，以為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)且，則，由三棱錐的體積為得：，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，故.所以平面與平面的夾角余弦值為：.22.【詳解】（1）由已知圓可化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，即圓心，半徑，圓可化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，即圓心，半徑，經(jīng)分析可得，，則.由題意可知，兩式相加得，，所以，點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，可設(shè)方程為，則，，所以，軌跡的方程為.（2）由題意直線的斜率一定存在，由（1）知，，則橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線方程為：坐標(biāo)為.所以，設(shè)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得恒成立，由韋達(dá)定理知，且，則.故（定值）.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中取值范圍或者定值問(wèn)題的求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值或者范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的關(guān)系建立不等式或者方程，從而求出參數(shù)的取值或者范圍；（4）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.23.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，，又，所以，又，所以，故，所?（2）由余弦定理得，所以，故.24.【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接交于，為等邊三角形，，又平面平面平面，平面平面，故平面，而平面，又，又平面平面平面，平面.（2）設(shè)點(diǎn)與平面的距離為，是正方形，為等邊三角形，，又平面平面平面，平面平面，故平面，而平面，所以，，在Rt中，，則易得，由（1）知，平面為三棱錐的高，又，得.故點(diǎn)與平面的距離為.25.解：（1）因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線的方程為.由題意可知直線的斜率存在