中考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)題型精講精練人教版：專(zhuān)題06 相似三角形（熱考題型）-原卷版

專(zhuān)題05相似三角形判定、性質(zhì)及其模型【思維導(dǎo)圖】◎考點(diǎn)題型1相似三角形的判定-定義法三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，三條對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似．例．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在與’中，有下列條件，如果從中任取兩個(gè)條件組成一組，那么能判斷的共有（

）組．①；②；③；④．A． B． C． D．變式1．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)P在的邊上，若要判定，則下列添加的條件不正確的是（

）A． B．C． D．變式2．（2022·河北石家莊·九年級(jí)期末）將兩個(gè)完全相同的等腰直角△ABC與△AFG按圖所示的方式放置，那么圖中一定相似（不含全等）的三角形是（）A．△AEC與△ADB B．△ABE與△DAE C．△ABC與△ADE D．△AEC與△ADC變式3．（2023·河北·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，P、Q分別為AB、AC邊上的點(diǎn)，且滿足．根據(jù)以上信息，嘉嘉和淇淇給出了下列結(jié)論：嘉嘉說(shuō)：連接PQ，則PQ//BC．淇淇說(shuō)：．對(duì)于嘉嘉和淇淇的結(jié)論，下列判斷正確的是（

）A．嘉嘉正確，淇淇錯(cuò)誤 B．嘉嘉錯(cuò)誤，淇淇正確 C．兩人都正確 D．兩人都錯(cuò)誤◎考點(diǎn)題型2相似三角形的判定-平行法平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．例．（2021·河北保定·九年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)F是矩形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，射線BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．變式1．（2021·上海市奉賢區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，聯(lián)結(jié)DE，那么下列條件中不能判斷△ADE和△ABC相似的是（）A．DEBC B．∠AED＝∠B C． D．變式2．（2021·四川宜賓·九年級(jí)期中）如圖，，，AE、FD分別交BC于點(diǎn)G、H，則圖中的相似三角形共有（

）A．3對(duì) B．4對(duì) C．5對(duì) D．6對(duì)變式3．（2021·北京大興·九年級(jí)期中）下列條件中，不能判斷△ABC與△DEF相似的是（?）A．∠A=∠D，∠B=∠F B．且∠B=∠DC． D．且∠A=∠D◎考點(diǎn)題型3判定定理1如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似．例．（2019·安徽·安慶市第四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）下列條件中能判斷△ABC∽△A′B′C′的是（）A．∠A＝∠B，∠A′＝∠BB．∠A＝∠A′，∠B＝∠CC．∠A＝∠A′，D．∠A＝∠A′，AB＝AC，A′B′＝A′C′變式1．（2022·廣西·靖西市教學(xué)研究室九年級(jí)期中）如圖，在中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，DE與BC不平行，那么下列條件中，不能判斷∽的是（

）．A． B． C． D．變式2．（2022·河北·石家莊市欒城區(qū)教育局教研室九年級(jí)期末）如圖，△ABC中，CE⊥AB，垂足為E，BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，CE與BD交于點(diǎn)F，則圖中相似三角形有幾對(duì)（）A．6對(duì) B．5對(duì) C．4對(duì) D．3對(duì)變式3．（2021·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，是的平分線，過(guò)點(diǎn)F作，交于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．◎考點(diǎn)題型4判定定理2如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似．例．（2022·河北保定·九年級(jí)期末）如圖，，請(qǐng)你再添加一個(gè)條件，使得．則下列選項(xiàng)不成立的是（

）A． B． C． D．變式1．（2021·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形的兩條不等長(zhǎng)對(duì)角線，相交于點(diǎn)，且將四邊形分成甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形．若，則（

）A．甲、丙相似，乙、丁相似 B．甲、丙相似，乙、丁不相似C．甲、丙不相似，乙、丁相似 D．甲、丙不相似，乙、丁不相似變式2．（2021·河北承德·九年級(jí)期末）如圖，在中，為上一點(diǎn)，若，則（

）A．～ B．～ C．～ D．無(wú)法判斷變式3．（2020·廣西賀州·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，，垂足為D，，，則CB的長(zhǎng)為（

）A． B．4 C．12 D．16◎考點(diǎn)題型5判定定理3如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似例．（2020·安徽·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知與都是等邊三角形，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)、重合），與相交于點(diǎn)，下列結(jié)論中不一定成立的是（

）A． B． C． D．變式1．（2020·浙江·濱蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，四邊形，四邊形，四邊形都是正方形，圖中與相似的三角形為（

）A． B． C． D．變式2．（2021·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，則△ADE與△ABC的周長(zhǎng)之比為（）A． B． C． D．變式3．（2021·浙江杭州·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在正三角形ABC中，點(diǎn)D、E分別在AC、AB上，且，AE=BE，則有（

）A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD◎考點(diǎn)題型6相似三角形基本圖形--8字型有一組隱含的等角(對(duì)頂角)，此時(shí)需從已知條件或圖中隱含條件通過(guò)證明得另一對(duì)角相等INCLUDEPICTURE"D雪晨浙數(shù)108A.TIF"(AB、CD不平行，∠A＝∠C)(AB∥CD)例．（2021·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，為平行四邊形的邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接．交于，交于．求證：．變式1．（2021·重慶·九年級(jí)期末）如圖與交于，且．（1）求證：∽．（2）若，，，求的長(zhǎng)．變式2．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點(diǎn)F在邊AB上，BC2=BF?BA，CF與DE相交于點(diǎn)G．（1）求證：DF?AB=BC?DG；（2）當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí)，求證：2DF?EG=AF?DG．變式3．（2013·云南德宏·中考真題）如圖，是一個(gè)照相機(jī)成像的示意圖．(1)如果像高M(jìn)N是35mm，焦距是50mm，拍攝的景物高度AB是4.9m，拍攝點(diǎn)離景物有多遠(yuǎn)？(2)如果要完整的拍攝高度是2m的景物，拍攝點(diǎn)離景物有4m，像高不變，則相機(jī)的焦距應(yīng)調(diào)整為多少？◎考點(diǎn)題型7相似三角形基本圖形--A字型有一個(gè)公共角(圖①、圖②)或角有公共部分(圖③，∠DAF＋∠BAD＝∠DAF＋∠EAF)，此時(shí)需要找另一對(duì)角相等或相等角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例例．（2021·遼寧丹東·九年級(jí)期中）如圖，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．（1）求t為何值時(shí)，△AMN的面積是△ABD面積的；（2）當(dāng)以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似時(shí)，求t值．變式1．（2021·江蘇·九年級(jí)）在中，，D為上一點(diǎn)，過(guò)D作DEBC交于點(diǎn)E，連接．設(shè)，求的取值范圍．變式2．（2021·山東·嘉祥縣馬集鎮(zhèn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）中，，，，現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB也向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P的速度是4cm/s，點(diǎn)Q的速度是2cm/s，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為10cm?（2）若的面積為，求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．（3）當(dāng)t為多少時(shí)，以點(diǎn)C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似?變式3．（2021·上海市金山初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．◎考點(diǎn)題型8相似三角形基本圖形--母子型有一個(gè)公共角及一個(gè)直角(圖①為母子型的特殊形式AC2＝AD·AB仍成立，另CD2＝AD·BD)例．（2022·江蘇南京·九年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．變式1．（2022·廣東·江門(mén)市第二中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的直線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，∠COB＝2∠PCB．（1）求證：CP是⊙O的切線；（2）若M是弧AB的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)N，若AB＝6，求MC?MN的值．變式2．（2021·安徽合肥·九年級(jí)期中）中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，且有，過(guò)F點(diǎn)作于點(diǎn)H．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的長(zhǎng)．變式3．（2021·安徽滁州·九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．◎考點(diǎn)題型9相似三角形基本圖形--K字型如圖①，∠D＋∠DBA＝∠E＋∠EBC＝∠DBA＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝∠D，∠E＝∠DBA，且一組直角相等，用任意兩組等角即可證得三角形相似例．（2022·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）等邊△ABC邊長(zhǎng)為6，P為BC上一點(diǎn)，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P上，使三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．(1)如圖1，當(dāng)P為BC的三等分點(diǎn)，且PE⊥AB時(shí)，判斷△EPF的形狀；(2)在（1）問(wèn)的條件下，F(xiàn)E、PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，如圖2，求△EGB的面積；(3)在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如圖3，求PE的長(zhǎng)．變式1．（2022·山東菏澤·三模）（1）問(wèn)題如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．（2）探究若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且，若，求CD的長(zhǎng)．變式2．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)D作FD⊥ED，交直線BC于點(diǎn)F．（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，若m＝n，點(diǎn)E在線段AC上，則＝；（2）數(shù)學(xué)思考：①如圖2，若點(diǎn)E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；②當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)僅就圖3的情形給出證明；（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請(qǐng)直接寫(xiě)出CE的長(zhǎng)．變式3．（2021·吉林·長(zhǎng)春市綠園區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校九年級(jí)期末）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．若，，，求AP的長(zhǎng)．【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出AP的長(zhǎng)．◎考點(diǎn)題型10相似基本模型（手拉手型）基礎(chǔ)模型：旋轉(zhuǎn)放縮變換，圖中必有兩對(duì)相似三角形.例．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在和中，，，與在同一條直線上，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，如圖為將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的圖形，連接，，若，求和的面積．變式1．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)在內(nèi)，，，，．（1）當(dāng)時(shí)，求證：；變式2．（2022·河南周口·九年級(jí)期末）觀察猜想(1)如圖1，在等邊中，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．(2)類(lèi)比探究如圖2，在等邊中，點(diǎn)M是延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），（1）中其它條件不變，（1）中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)拓展延伸如圖3，在等腰中，，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．變式3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，為等邊三角形，D為AC邊上一點(diǎn)，連接BD，M為BD的中點(diǎn)，連接AM．(1)如圖1，若AB＝2+2，∠ABD＝45°，求的面積；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)M作與AC交于點(diǎn)E，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，求證：AD＝CN；(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿AM翻折得，連接B'N，當(dāng)B'N取得最小值時(shí)，直接寫(xiě)出的值．◎考點(diǎn)題型11相似基本模型（一線三等角型）基礎(chǔ)模型：如圖1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一線三等角）如圖2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一線三等角）如圖3，特別地，當(dāng)D時(shí)BC中點(diǎn)時(shí)：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，F(xiàn)D平分∠EFC.例．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)分別在邊上，連接，且．（1）證明：；（2）若，當(dāng)點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D不與重合），且是等腰三角形，求此時(shí)的長(zhǎng)．變式1．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，點(diǎn)B，C，E都在同一直線上，且△ABC和△DCE在該直線同側(cè)．（1）如圖①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，請(qǐng)猜想線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（3）如圖③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（用含α的式子表示）．變式2．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝8，過(guò)BC邊上一點(diǎn)P，作∠DPE＝60°，分別與邊AB，AC相交于點(diǎn)D與點(diǎn)E．（1）在圖中找出與∠EPC始終相等的角，并說(shuō)明理由；（2）若△PDE為正三角形時(shí)，求BD+CE的值；（3）當(dāng)DE∥BC時(shí)，請(qǐng)用BP表示BD，并求出BD的最大值．變式3．（2020·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，B、C、D在同一直線上，△ABC和△DCE都是等邊三角形，且在直線BD的同側(cè)，BE交AD于F，BE交AC于M，AD交CE于N．（1）求證：AD=BE；

（2）求證：△ABF∽△ADB．

◎考點(diǎn)題型12利用相似求坐標(biāo)例．（2023·江西·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）圖，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求，，的值．(2)是軸上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．變式1．（2022·湖南常德·一模）如圖，矩形的頂點(diǎn)、分別在軸和軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線的圖象經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)，且與交于點(diǎn)，連接(1)求的面積(2)若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且∽，求點(diǎn)坐標(biāo)．變式2．（2021·陜西榆林·二模）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx（a≠0）過(guò)點(diǎn)B（1，3）和點(diǎn)A（4，0），過(guò)點(diǎn)B作直線BC∥x軸，交y軸于點(diǎn)C．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線BC的垂線，垂足為D．連接OB，是否存在點(diǎn)P，使得以B，D，P為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，若存在，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式3．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）直線y＝kx+b與反比例函數(shù)（x＞0）的圖象分別交于點(diǎn)A（m，3）和點(diǎn)B（6，n），與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D．（1）求直線AB的解析式；（2）若點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△COD與△ADP相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．◎考點(diǎn)題型13相似三角形的性質(zhì)--邊和角相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等例．（2022·河南濮陽(yáng)·八年級(jí)期末）如圖，等邊三角形中，為邊上的一點(diǎn)，為邊上的一點(diǎn)．且，，，則的邊長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．變式1．（2021·陜西渭南·九年級(jí)階段練習(xí)）若，與的面積比為，則與的對(duì)應(yīng)邊的比是（

）A． B． C． D．變式2．（2021·江蘇·常州市金壇良常初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，ABC∽DAC，∠B＝31°，∠D＝117°，則∠BCD的度數(shù)是（

）A．32° B．48° C．64° D．86°變式3．（2022·河南許昌·九年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)D、E分別在的邊BA、CA的延長(zhǎng)線上，且，若，，則（

）A．12 B．18 C．24 D．36◎考點(diǎn)題型14相似三角形的性質(zhì)--線段的比相似三角形中的重要線段的比等于相似比；相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.例．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如下圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D在線段AC上，且△ABC∽△ADB，則下列結(jié)論一定正確的是(

)A． B．C． D．變式1．（2020·浙江寧波·九年級(jí)期中）如圖，∽，且，則與的相似比為（

）A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2變式2．（2022·甘肅天水·九年級(jí)期末）如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩部分面積相等，則為（

）A． B． C． D．變式3．（2021·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，且相似比為，則與的對(duì)應(yīng)高之比為（

）A． B． C． D．◎考點(diǎn)題型15似三角形的性質(zhì)--面積比相似三角形的面積比等于相似比的平方．例．（2021·遼寧大連·九年級(jí)期末）如圖，△ABC中，DE∥BC，，則等于（

）A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9變式1．（2022·河北唐山·八年級(jí)期末）的面積是，則它的三條中位線所圍成的三角形的面積是（

）A． B． C． D．變式2．（2022·海南省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)期末）如圖，與位似，、、分別為OA、OB、OC的中點(diǎn)，若面積是5，則的面積為（

）A．10 B．20 C．25 D．50變式3．（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)期末）與的位似比是，已知的面積是3，則的面積是（

）A．3 B．6 C．9 D．12◎考點(diǎn)題型16相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例．（2021·吉林·長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿AC邊向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿AB邊向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)求出點(diǎn)Q到AC的距離（用t表示）；(2)設(shè)△APQ的面積為y，求出y關(guān)于t的函數(shù)解析式；(3)當(dāng)△APQ與△ABC相似時(shí)，直接寫(xiě)出t值．變式1．（2022·寧夏吳忠·九年級(jí)期中）已知△AOB的三邊OA=，OB=6，AB=，以頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，過(guò)點(diǎn)P作PN∥x軸，分別交AO，AB于點(diǎn)M，N，當(dāng)點(diǎn)M與N重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)，并確定t的取值范圍；(2)求MN的長(zhǎng)度(用含t的代數(shù)式表示)；(3)設(shè)△AMN的面積為S，寫(xiě)出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最值．變式2．（2022·陜西寶雞·九年級(jí)期末）如圖，在中，，，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊以2cm/s的速度移動(dòng)．如果點(diǎn)，分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘后，以點(diǎn)、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似？變式3．（2021·湖南邵陽(yáng)·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知，，點(diǎn)、分別是線段、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)、中有一個(gè)點(diǎn)停止時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形；（2）當(dāng)為何值時(shí)，是等腰三角形？并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．◎考點(diǎn)題型17相似三角形中的折疊問(wèn)題例．（2022·廣東茂名·二模）在矩形ABCD中，，，將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為DE．(1)如圖①，若點(diǎn)P恰好在邊BC上，連接AP，求的值；(2)如圖②，若E是AB的中點(diǎn)，EP的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，求BF的長(zhǎng)．變式1．（2021·吉林·長(zhǎng)春市第五十二中學(xué)九年級(jí)期中）將按如圖的方式折疊，使點(diǎn)落在邊上，記為點(diǎn)，折痕為EF．，，若以點(diǎn)，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形與相似，求BF的長(zhǎng)度．變式2．（2021·吉林·長(zhǎng)春市第一零九中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．（2）如圖2，在三角形紙片ABC中，AC＝BC＝3，AB＝5，將△ABC折疊，使點(diǎn)B