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文檔簡介
2023年高考數(shù)學模擬試卷
注意事項:
1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再
選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。
3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1.為實現(xiàn)國民經(jīng)濟新"三步走'’的發(fā)展戰(zhàn)略目標,國家加大了扶貧攻堅的力度.某地區(qū)在2015年以前的年均脫貧率(脫
離貧困的戶數(shù)占當年貧困戶總數(shù)的比)為70%.2015年開始,全面實施“精準扶貧”政策后,扶貧效果明顯提高,其
中2019年度實施的扶貧項目,各項目參加戶數(shù)占比(參加該項目戶數(shù)占2019年貧困戶總數(shù)的比)及該項目的脫貧率
見下表:
實施項目種植業(yè)養(yǎng)殖業(yè)工廠就業(yè)服務業(yè)
參加用戶比40%40%10%10%
脫貧率95%95%90%90%
那么2019年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的()
2.已知z的共物復數(shù)是,,且|z|=W+l-2i(i為虛數(shù)單位),則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3.在我國傳統(tǒng)文化“五行”中,有“金、木、水、火、土”五個物質(zhì)類別,在五者之間,有一種“相生”的關系,具體是:
金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個,這二者具有相生關系的概率是()
A.0.2B.0.5C.0.4D.0.8
4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的S的值是()
(結束)
A.8B.32C.64D.128
5.M是拋物線尸=以上一點,N是圓(x—iy+(y—2)2=l關于直線x-y-l=()的對稱圓上的一點,貝!||腸V|最
小值是()
A.--1B.V3-1C.272-1D.|
22
6.已知定義在[1,田)上的函數(shù)/(力滿足〃3x)=3/(x),且當時,/(x)=l-|x-2|,則方程
/(x)="2019)的最小實根的值為()
A.168B.249C.411D.561
7.下列圖形中,不是三棱柱展開圖的是()
8,已知復數(shù)z滿足z=i(l-z),(i為虛數(shù)單位),則回=()
A.72B.73C.2D.3
9.已知點片是拋物線C:d=2py的焦點,點與為拋物線C的對稱軸與其準線的交點,過尸2作拋物線。的切線,
切點為A,若點A恰好在以耳,區(qū)為焦點的雙曲線上,則雙曲線的離心率為()
A.正立B.五—1C.正&D.6+1
22
10.如圖,正方體A8CZ)-A4GA的棱長為1,動點£在線段AG上,F(xiàn)、”分別是A。、8的中點,則下列
A.FM"AG,B.存在點E,使得平面比下//平面CG2。
C.技0,平面CC/D.三棱錐3—CEE的體積為定值
11.下圖為一個正四面體的側(cè)面展開圖,G為BE的中點,則在原正四面體中,直線EG與直線所成角的余弦值
為()
12.已知角。的終邊經(jīng)過點P(-4〃z,3⑺則2sina+cosa的值是()
2222
A.1或-1B.二或一gC.1或一?D.T或不
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.為了抗擊新型冠狀病毒肺炎,某醫(yī)藥公司研究出一種消毒劑,據(jù)實驗表明,該藥物釋放量y(〃琢///)與時間t(h)
kt,0<r<-
12(如圖所示),實驗表明,當藥物釋放量y<0.75(〃吆/機3)對人體無害.(1)
的函數(shù)關系為y=<I
t>-
.kt'2
k=;(2)為了不使人身體受到藥物傷害,若使用該消毒劑對房間進行消毒,則在消毒后至少經(jīng)過_____分鐘
人方可進入房間.
14.圓C:(x+1-+(y—2>=4關于直線y=2x-1的對稱圓的方程為.
15.如圖是九位評委打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖,去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均分為
4468
16.已知a,b,e是平面向量,e是單位向量.若a-e=2,be=3,且。功=0,則,+⑷的取值范圍是.
三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(12分)我國在貴州省平塘縣境內(nèi)修建的500米口徑球面射電望遠鏡(FAST)是目前世界上最大單口徑射電望遠
鏡.使用三年來,已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質(zhì)的脈沖星候選體,其中有93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星,脈沖星是上世紀60年
代天文學的四大發(fā)現(xiàn)之一,脈沖星就是正在快速自轉(zhuǎn)的中子星,每一顆脈沖星每兩脈沖間隔時間(脈沖星的自轉(zhuǎn)周期)
是-定的,最小小到0.0014秒,最長的也不過11.765735秒.某-天文研究機構觀測并統(tǒng)計了93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈
沖星的自轉(zhuǎn)周期,繪制了如圖的頻率分布直方圖.
頻率陷I距
0.05
0.025
°24681012自動周期(秒)
(1)在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中,自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有多少顆?
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉(zhuǎn)周期的平均值.
18.(12分)已知函數(shù)/(x)=T^+g,曲線y=/(x)在點處的切線方程為x+2y-3=0.
(I)求。的值;
CD)若攵40,求證:對于任意X€(l,大?),/(力>回+£
19.(12分)如圖,在四棱錐產(chǎn)一A8C。中,底面ABCD為矩形,側(cè)面246,底面ABC。,H為棱的中點,E
為棱。C上任意一,點,且不與。點、C點重合.A.B—2,A,D-PA.-1>PH-A/2?
(1)求證:平面”石,平面A5CD;
(2)是否存在點E使得平面APE與平面所成的角的余弦值為業(yè)?若存在,求出點E的位置;若不存在,請
3
說明理由.
,、r,、r、[??>〃為奇數(shù)
20.(12分)已知數(shù)列qj,{b?},數(shù)列{%}滿足q,="衣/申物,“eN*.
[bn,〃為偶數(shù)
若勺=〃,b?=T,求數(shù)列{%}的前〃項和;
(1)2T2I,
(2)若數(shù)列{4}為等差數(shù)列,且對任意"eN*,C“+I>C”恒成立.
①當數(shù)列{2}為等差數(shù)列時,求證:數(shù)列{4},{2}的公差相等;
②數(shù)列也}能否為等比數(shù)列?若能,請寫出所有滿足條件的數(shù)列也};若不能,請說明理由.
21.(12分)2019年是五四運動100周年.五四運動以來的100年,是中國青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100
年,是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚五四精神在青年節(jié)到來之際,學校組
織“五四運動100周年”知識競賽,競賽的一個環(huán)節(jié)由10道題目組成,其中6道A類題、4道B類題,參賽者需從10
道題目中隨機抽取3道作答,現(xiàn)有甲同學參加該環(huán)節(jié)的比賽.
(1)求甲同學至少抽到2道8類題的概率;
23
(2)若甲同學答對每道A類題的概率都是;,答對每道5類題的概率都是二,且各題答對與否相互獨立.現(xiàn)已知甲同
35
學恰好抽中2道A類題和1道B類題,用X表示甲同學答對題目的個數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.
比2
22.(10分)已知。>0,函數(shù)〃x)=xlnx+——
(I)若/(X)在區(qū)間[|,+8]上單調(diào)遞增,求”的值;
(II)若aeZ〃x)>0恒成立,求。的最大值.(參考數(shù)據(jù):6'1.6)
參考答案
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1.B
【解析】
設貧困戶總數(shù)為明利用表中數(shù)據(jù)可得脫貧率P=2X40%*95%+2X10%X90%,進而可求解.
【詳解】
設貧困戶總數(shù)為脫貧率P=2x40%x95%a+2xl0%x90%j94%,
a
故2019年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的一倍.
35
故選:B
【點睛】
本題考查了概率與統(tǒng)計,考查了學生的數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎題.
2.D
【解析】
設z=x+yi(x,ywR),整理|z|=Z+l—2i得到方程組[4,二1解方程組即可解決問題.
【詳解】
設2=%+川(元ywR),
因為|z|=2+1—2i,所以Ji+,2=%一個+1—2,=(%+1)一(丁+2)i.
所以復數(shù)二在復平面內(nèi)對應的點為,此點位于第四象限.
故選D
【點睛】
本題主要考查了復數(shù)相等、復數(shù)表示的點知識,考查了方程思想,屬于基礎題.
3.B
【解析】
利用列舉法,結合古典概型概率計算公式,計算出所求概率.
【詳解】
從五行中任取兩個,所有可能的方法為:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土,共1()種,
其中由相生關系的有金水、木水、木火、火土、金土,共5種,所以所求的概率為』='=0.5.
102
故選:B
【點睛】
本小題主要考查古典概型的計算,屬于基礎題.
4.C
【解析】
根據(jù)給定的程序框圖,逐次計算,結合判斷條件,即可求解.
【詳解】
由題意,執(zhí)行上述程序框圖,可得
第1次循環(huán),滿足判斷條件,S=\,k=\;
第2次循環(huán),滿足判斷條件,S=Zk=2;
第3次循環(huán),滿足判斷條件,S=8歡=3;
第4次循環(huán),滿足判斷條件,S=64,女=4;
不滿足判斷條件,輸出S=64.
故選:C.
【點睛】
本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的計算與輸出,其中解答中認真審題,逐次計算,結合判斷條件求解是解答的關
鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.
5.C
【解析】
求出點(1,2)關于直線x-y-1=0的對稱點C的坐標,進而可得出圓(x—iy+(y—2『=l關于直線-的
對稱圓C的方程,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最小值,由此可得出|MNLn=|Mqmin-1,即可得解.
【詳解】
如下圖所示:
設點(1,2)關于直線x-y-l=O的對稱點為點C(a,b),
。+1
2a-b-3=0a=3(、
則,整理得<解得<C,即點c(3,o),
b-2。+。-3=0b=0
所以,圓(x—lY+(y—2)2=1關于直線x-y-l=O的對稱圓。的方程為(X—3『+y2=i,
設點則|MC|=J73)+/=舊一5+9=,器(),2—4)2+8,
當尸±2時,|困取最小值2啦,因此,|MNLn=|MQ血一1=2夜一1.
故選:C.
【點睛】
本題考查拋物線上一點到圓上一點最值的計算,同時也考查了兩圓關于直線對稱性的應用,考查計算能力,屬于中等
6.C
【解析】
先確定解析式求出了(2019)的函數(shù)值,然后判斷出方程〃x)="2019)的最小實根的范圍結合此時的
f(x)=x-35,通過計算即可得到答案.
【詳解】
當xNl時,/(3x)=3/(x),所以/*)=3.嗎)=32/(學==3"/仔),故當
YV-|3Z,+I_yy>2-
時,971,3],所以/(x)=3"(l-*一2)=',,而
2019
677
2019G[3,3],所以/(2019)=36(1—v--2)-3-2109=168.又當1WXW3時,
/(力的極大值為1,所以當3"x43"+i時,f(x)的極大值為3",設方程〃x)=168
的最小實根為f,168G[3-35],貝he3,三色),BPre(243,468),此時/(x)=x—35
令/(X)=X-35=168,得£=243+168=411,所以最小實根為4n.
故選:C.
【點睛】
本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問題,涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識,本題有一定的難度及高度,是
一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.
7.C
【解析】
根據(jù)三棱柱的展開圖的可能情況選出選項.
【詳解】
由圖可知,ABD選項可以圍成三棱柱,C選項不是三棱柱展開圖.
故選:C
【點睛】
本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷,屬于基礎題.
8.A
【解析】
Z=j(l-i)=l+i,故目=夜,故選A.
9.D
【解析】
根據(jù)拋物線的性質(zhì),設出直線方程,代入拋物線方程,求得A的值,設出雙曲線方程,求得2a=\AF2\-\AF.
I=(近—1)P,利用雙曲線的離心率公式求得e.
【詳解】
直線的直線方程為:y=kx--^,Fi(0,),Fi(0,-)>
代入拋物線C必=2刀方程,整理得:X2-2pkx+p2=0,
.?.△=4A2P2-4p2=0,解得:k=±l9
22
.,.A(p,4),設雙曲線方程為:與-==1,
2ab-
IAFiI=p,|AFz|=yjp2+p2=x/2p>
2a=IAF2|-|AF,[=(V2-DP,
2c=p,
離心率e=q=-—=0+1,
aV2-1
故選:D.
【點睛】
本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查計算能力,屬于中檔題.
10.B
【解析】
根據(jù)平行的傳遞性判斷A;根據(jù)面面平行的定義判斷B;根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C;由三棱錐戶以三角
形BCF為底,則高和底面積都為定值,判斷D.
【詳解】
在A中,因為分別是ARC。中點,所以月0〃AC〃AG,故A正確;
在B中,由于直線Bb與平面CG2。有交點,所以不存在點E,使得平面BEF//平面CG2。,故B錯誤;
在C中,由平面幾何得根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出J.GC,結合線面垂直的判定定理得出80_]_平
面CGR,故C正確;
在D中,三棱錐B-CEP以三角形為底,則高和底面積都為定值,即三棱錐B-。戶的體積為定值,故D正
確;
故選:B
【點睛】
本題主要考查了判斷面面平行,線面垂直等,屬于中檔題.
11.C
【解析】
將正四面體的展開圖還原為空間幾何體,廠三點重合,記作。,取。。中點H,連接EG,EH,GH,NEG”即
為EG與直線BC所成的角,表示出三角形EG"的三條邊長,用余弦定理即可求得cosNEG”.
【詳解】
將展開的正四面體折疊,可得原正四面體如下圖所示,其中A廠三點重合,記作力:
D(A,F)
則G為8。中點,取。。中點H,連接EG,EH,GH,設正四面體的棱長均為。,
由中位線定理可得G”/ABC且G"='BC='。,
22
所以ZEGH即為EG與直線8c所成的角,
由余弦定理可得喀黑產(chǎn)
3212^2
_444_,3
~43X~6
2x——a--a
22
所以直線EG與直線8c所成角的余弦值為由,
6
故選:C.
【點睛】
本題考查了空間幾何體中異面直線的夾角,將展開圖折疊成空間幾何體,余弦定理解三角形的應用,屬于中檔題.
12.B
【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義求得sin?,cos?后可得結論.
【詳解】
由題意得點/與原點間的距離/=+(3〃2)一=5|/n|?
①當相〉()時,r=5m,
.3m3-4m4
:.sma=——=—,COSQ=-------=——
5m55m5
:?2sin。+cost?=2x------=—.
555
②當機<()時,r=-5m,
.3m3-4m4
..sina=-----=——,cos?=------=—
-5m5-5m5
27
綜上可得2sina+cosa的值是一或一§.
故選B.
【點睛】
利用三角函數(shù)的定義求一個角的三角函數(shù)值時需確定三個量:角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x,縱坐標y,
該點到原點的距離r,然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.240
【解析】
(1)由/=;時,y=\,即可得出人的值;
1_
t>
2
(2)解不等式組,即可得出答案.
—<0.75
It
【詳解】
1,,C
(1)由圖可知,當1=,時,-----=1=>攵=2
>=1,即arl,1
2KX—
2
■
22
(2)由題意可得,解得/>§
—<0.75
[it
2
則為了不使人身體受到藥物傷害,若使用該消毒劑對房間進行消毒,則在消毒后至少經(jīng)過一X60=40分鐘人方可進入
3
房間.
故答案為:⑴2;(2)40
【點睛】
本題主要考查了分段函數(shù)的應用,屬于中檔題.
14.(x-3)2+J2=4
【解析】
求出圓心關于直線的對稱點,即可得解.
【詳解】
C:(x+1)2+(y—2)2=4的圓心為(-1,2),關于y=2x-1對稱點設為(x,y),
y+2x-\
------=2x---------1
x=3
則有:〈22解得《
y-2_1y=o
x+\2
所以對稱后的圓心為(3,0),故所求圓的方程為(x-3/+V=4.
故答案為:(x-3)2+y2=4
【點睛】
此題考查求圓關于直線的對稱圓方程,關鍵在于準確求出圓心關于直線的對稱點坐標.
15.1
【解析】
寫出莖葉圖對應的所有的數(shù),去掉最高分,最低分,再求平均分.
【詳解】
解:所有的數(shù)為:77,78,82,84,84,86,88,93,94,共9個數(shù),
去掉最高分,最低分,剩下78,82,84,84,86,88,93,共7個數(shù),
八d78+82+84+84+86+88+93
平均分為-----------------------------=8o5,
故答案為1.
【點睛】
本題考查莖葉圖及平均數(shù)的計算,屬于基礎題.
16.[5,+QO)
【解析】
先由題意設向量的坐標,再結合平面向量數(shù)量積的運算及不等式可得解.
【詳解】
由e是單位向量.若a.e=2,b.e=3,
設e=(i,o),
則4=(2,zn),b=(3,n),
又a.b=0>
貝!I=-6,
則d+E=(5,m+n),
貝!11a+61=[25+(〃?+")’,
又Q〃+〃)2..O,
所以|a+6|..5,(當m=瓜,〃=—76或〃z=-瓜,n=娓時取等)
即|a+》|的取值范圍是15,+oo),
故答案為:15,+8).
【點睛】
本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標運算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.
三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(1)79顆;(2)5.5秒.
【解析】
(D利用各小矩形的面積和為1可得進而得到脈沖星自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的頻率,從而得到頻數(shù);
(2)平均值的估計值為各小矩形組中值與頻率的乘積的和得到.
【詳解】
(1)第一到第六組的頻率依次為
0.1,0.2,0.3,0.2,2a,0.05,其和為1
所以2a=1-(0.1+0.2+0.3+0.2+0.05),a=0,075,
所以,自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有93x(1-0.15)=79.05^79(顆).
(2)新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為
0.1x1+0.2x3+0.3x5+0.2x7+0.15x9+0.05x11=5.5(秒).
故新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為5.5秒.
【點睛】
本題考查頻率分布直方圖的應用,涉及到平均數(shù)的估計值等知識,是一道容易題.
18.(I)a=\,b=l(II)見解析
【解析】
(D根據(jù)導數(shù)的運算法則,求出函數(shù)的導數(shù),利用切線方程求出切線的斜率及切點,利用函數(shù)在切點處的導數(shù)值為曲
線切線的斜率及切點也在曲線上,列出方程組,求出匕值;(2)首先將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù),即將不等式右邊式子
左移,得
A')一匕1+十中[2g+—--J,
構造函數(shù)〃(x)=21nx+竺史二D并判斷其符號,這里應注意x的取值范圍,從而證明不等式.
【詳解】
由于直線x+2y—3=0的斜率為一;,且過點(1,1),
川)=1,fb=l,
Inx1
(2)由(1)知/(%)=-----1—,
考慮函數(shù)力(x)=21nx+^-----------?(x>l),
貝ij“⑺=(ZT(/+l)+2x=+
X2X2
而MD=O,故當X£(l,+8)時,/2(X)<0,
所以」^'〃(月>0,即〃x)>則£+人.
1XX1X
【點睛】
本題考查了利用導數(shù)求切線的斜率,利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、和最值問題,以及不等式證明問題,考查了
分析及解決問題的能力,其中,不等式問題中結合構造函數(shù)實現(xiàn)正確轉(zhuǎn)換為最大值和最小值問題是關鍵.
19.(1)證明見解析(2)存在,E為。。中點
【解析】
(D證明”_1_面45。。,即證明平面APE_L平面ABC。;(2)以A為坐標原點,AO為》軸正方向,為)'軸
町四|11+221V6]
正方向,AP為Z軸正方向,建立空間直角坐標系.利用向量方法得COSe=J=;,解得2=
網(wǎng)?同行,4儲+132
所以E為。C中點.
【詳解】
(1)由于〃為AB中點,
2
又PH=近,故Pf/2=Af>2+AH2,
所以.24〃為直角三角形且=90°,
即B4_LAB.
又因為Q4u面面面ABCD=AB,面PABJ_面ABC。,
故"_1面筋8,
又P4u面所以面出£_1面ABCD.
(2)由(1)知面ABC。,又四邊形ABC。為矩形,則ARAD,A8兩兩垂直.
以A為坐標原點,A。為x軸正方向,A8為)'軸正方向,AP為二軸正方向,建立空間直角坐標系.
則A(0,0,0),P(0,0,l),”(0,l,0),C(l,2,0),設E(l,2/l,0),/LG(0,1),
則”=(0,0,1),AE=(1,240),P”=(0,1,-1),HC=(1,1,0),
設平面APE的法向量為〃?=(x,y,z),
,AP=Q[z=0,
則有1c,c,令x=_22,貝!ly=l,
m-AE=0[x+24y=0
則平面APE的一個法向量為仍=(一241,0),
同理可得平面PHC的一個法向量為^=(-1,1,1),
設平面APE與平面PHC所成角為3,
八同事|I1+2AIa1
則由題意可得COS0=|~~i-j—T=7—/=—Z~,解得2=彳,
網(wǎng).聞V3-V422+l32
所以點E為。C中點.
【點睛】
本題主要考查空間幾何位置關系的證明,考查空間二面角的應用,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.
4"+i24,、
20.(1)Tln=-+n--(2)①見解析②數(shù)列也}不能為等比數(shù)列,見解析
【解析】
(1)根據(jù)數(shù)列通項公式的特點,奇數(shù)項為等差數(shù)列,偶數(shù)項為等比數(shù)列,選用分組求和的方法進行求解;
(2)①設數(shù)列{4}的公差為d,數(shù)列也}的公差為4,當〃為奇數(shù)時,得出42%當〃為偶數(shù)時,得出
從而可證數(shù)列{4},也}的公差相等;
②利用反證法,先假設也}可以為等比數(shù)列,結合題意得出矛盾,進而得出數(shù)列也}不能為等比數(shù)列.
【詳解】
(1)因為2=2",所以4+2-%=2,勺'=4且C]=q=l,C2=b2=4
由題意可知,數(shù)列,2,一}是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,
數(shù)列K}是首項和公比均為4的等比數(shù)列,
的〃(〃-1),4(1-4")4n+l24
所以7;“=〃+二----x2+-------——+/?——?
21-433
(2)①證明:設數(shù)列{%}的公差為d,數(shù)列也,}的公差為4,
當n為奇數(shù)時,c“=%=q+(〃-1)4,cn+l=%=4+必
a.-d-h,,
若4<d,則當〃〉一;---1時,C-c=(4-+J-a,<0,
U1-an+in
即C?+I<c?,與題意不符,所以4Nd,
當n為偶數(shù)時,cn=d=4+(〃-1)4,cn+1=an+l=q+,
若4>d,則當〃〉」1~!■時,c“+]—c“=(d—4)〃+。]+4—々<0,
Cl6Z]
即與題意不符,所以《
綜上,4=",原命題得證;
②假設{4}可以為等比數(shù)列,設公比為g,
因為q,+i>q,,所以c“+2>C“T>c“,所以4+2一%=24>0,^1二^〉"
b”
因為當〃"咻扁匕時,
21
\bn+2-bn\=\bn\(q-T)=\b}\.\q\-'?(整-T)>4d,
所以當”為偶數(shù),且%一|<d<4+1時,2+2史(4+1,4+3),
即當n為偶數(shù),且*<cn<c,M時,cn+1<cn+2<c“+3不成立,與題意矛盾,
所以數(shù)列{〃,}不能為等比數(shù)列.
【點睛】
本題主要考查數(shù)列的求和及數(shù)列的綜合,數(shù)列求和時一般是結合通項公式的特征選取合適的求和方法,數(shù)列綜合題要
回歸基本量,充分挖掘題目已知信息,細思細算,本題綜合性較強,難度較大,側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學運算的核心
素養(yǎng).
129
21.(1)-;(2)分布列見解析,期望為一.
315
【解析】
(1)甲同學至少抽到2道5類題包含兩個事件:一個抽到2道B類題,一個是抽到3個B類題,計算出抽法數(shù)后可
求得概率;
(2)X的所有可能值分別為01,2,3,依次計算概率得分布列,再由期望公式計算期望.
【詳解】
(1)令“甲同學至少抽到2道8類題”為事件A,則抽到2道8類題有C:C;種取法,抽
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