2023屆甘肅省臨澤縣高考數(shù)學三模試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.為實現(xiàn)國民經(jīng)濟新"三步走'’的發(fā)展戰(zhàn)略目標，國家加大了扶貧攻堅的力度.某地區(qū)在2015年以前的年均脫貧率（脫

離貧困的戶數(shù)占當年貧困戶總數(shù)的比）為70%.2015年開始，全面實施“精準扶貧”政策后，扶貧效果明顯提高，其

中2019年度實施的扶貧項目，各項目參加戶數(shù)占比（參加該項目戶數(shù)占2019年貧困戶總數(shù)的比）及該項目的脫貧率

見下表：

實施項目種植業(yè)養(yǎng)殖業(yè)工廠就業(yè)服務業(yè)

參加用戶比40%40%10%10%

脫貧率95%95%90%90%

那么2019年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的（）

2.已知z的共物復數(shù)是，，且|z|=W+l-2i（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.在我國傳統(tǒng)文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五個物質(zhì)類別，在五者之間，有一種“相生”的關系，具體是:

金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個，這二者具有相生關系的概率是（）

A.0.2B.0.5C.0.4D.0.8

4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值是（）

（結束）

A.8B.32C.64D.128

5.M是拋物線尸=以上一點，N是圓（x—iy+（y—2）2=l關于直線x-y-l=（）的對稱圓上的一點，貝！||腸V|最

小值是（）

A.--1B.V3-1C.272-1D.|

22

6.已知定義在［1,田）上的函數(shù)/（力滿足〃3x）=3/（x）,且當時，/（x）=l-|x-2|,則方程

/（x）="2019）的最小實根的值為（）

A.168B.249C.411D.561

7.下列圖形中，不是三棱柱展開圖的是（）

8,已知復數(shù)z滿足z=i(l-z),(i為虛數(shù)單位)，則回=()

A.72B.73C.2D.3

9.已知點片是拋物線C：d=2py的焦點，點與為拋物線C的對稱軸與其準線的交點，過尸2作拋物線。的切線，

切點為A,若點A恰好在以耳，區(qū)為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）

A.正立B.五—1C.正&D.6+1

22

10.如圖，正方體A8CZ）-A4GA的棱長為1，動點￡在線段AG上，F(xiàn)、”分別是A。、8的中點，則下列

A.FM"AG，B.存在點E,使得平面比下//平面CG2。

C.技0，平面CC/D.三棱錐3—CEE的體積為定值

11.下圖為一個正四面體的側(cè)面展開圖，G為BE的中點，則在原正四面體中，直線EG與直線所成角的余弦值

為（）

12.已知角。的終邊經(jīng)過點P（-4〃z,3⑺則2sina+cosa的值是（）

2222

A.1或-1B.二或一gC.1或一？D.T或不

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.為了抗擊新型冠狀病毒肺炎，某醫(yī)藥公司研究出一種消毒劑，據(jù)實驗表明，該藥物釋放量y（〃琢///）與時間t（h）

kt,0<r<-

12（如圖所示），實驗表明，當藥物釋放量y<0.75（〃吆/機3）對人體無害.（1）

的函數(shù)關系為y=<I

t>-

.kt'2

k=；（2）為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對房間進行消毒，則在消毒后至少經(jīng)過_____分鐘

人方可進入房間.

14.圓C:（x+1-+（y—2>=4關于直線y=2x-1的對稱圓的方程為.

15.如圖是九位評委打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均分為

4468

16.已知a，b，e是平面向量，e是單位向量.若a-e=2，be=3,且。功=0,則,+⑷的取值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）我國在貴州省平塘縣境內(nèi)修建的500米口徑球面射電望遠鏡（FAST）是目前世界上最大單口徑射電望遠

鏡.使用三年來，已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質(zhì)的脈沖星候選體，其中有93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星，脈沖星是上世紀60年

代天文學的四大發(fā)現(xiàn)之一，脈沖星就是正在快速自轉(zhuǎn)的中子星，每一顆脈沖星每兩脈沖間隔時間（脈沖星的自轉(zhuǎn)周期）

是-定的，最小小到0.0014秒，最長的也不過11.765735秒.某-天文研究機構觀測并統(tǒng)計了93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈

沖星的自轉(zhuǎn)周期，繪制了如圖的頻率分布直方圖.

頻率陷I距

0.05

0.025

°24681012自動周期（秒）

（1）在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有多少顆？

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉(zhuǎn)周期的平均值.

18.（12分）已知函數(shù)/（x）=T^+g,曲線y=/（x）在點處的切線方程為x+2y-3=0.

（I）求。的值；

CD）若攵40,求證：對于任意X€（l,大?）,/（力>回+￡

19.（12分）如圖，在四棱錐產(chǎn)一A8C。中，底面ABCD為矩形，側(cè)面246,底面ABC。，H為棱的中點，E

為棱。C上任意一,點,且不與。點、C點重合.A.B—2,A,D-PA.-1>PH-A/2?

（1）求證：平面”石，平面A5CD；

(2)是否存在點E使得平面APE與平面所成的角的余弦值為業(yè)？若存在，求出點E的位置；若不存在，請

3

說明理由.

，、r,、r、[??>〃為奇數(shù)

20.(12分)已知數(shù)列qj,｛b?｝,數(shù)列｛%｝滿足q,="衣/申物，“eN*.

[bn,〃為偶數(shù)

若勺=〃，b?=T,求數(shù)列｛%｝的前〃項和；

(1)2T2I,

(2)若數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且對任意"eN*，C“+I>C”恒成立.

①當數(shù)列｛2｝為等差數(shù)列時，求證：數(shù)列｛4｝,｛2｝的公差相等；

②數(shù)列也｝能否為等比數(shù)列？若能，請寫出所有滿足條件的數(shù)列也｝;若不能，請說明理由.

21.(12分)2019年是五四運動100周年.五四運動以來的100年，是中國青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100

年，是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚五四精神在青年節(jié)到來之際，學校組

織“五四運動100周年”知識競賽，競賽的一個環(huán)節(jié)由10道題目組成，其中6道A類題、4道B類題，參賽者需從10

道題目中隨機抽取3道作答，現(xiàn)有甲同學參加該環(huán)節(jié)的比賽.

(1)求甲同學至少抽到2道8類題的概率；

23

(2)若甲同學答對每道A類題的概率都是；，答對每道5類題的概率都是二，且各題答對與否相互獨立.現(xiàn)已知甲同

35

學恰好抽中2道A類題和1道B類題，用X表示甲同學答對題目的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.

比2

22.(10分)已知。>0,函數(shù)〃x)=xlnx+——

(I)若/(X)在區(qū)間[|,+8]上單調(diào)遞增，求”的值；

(II)若aeZ〃x)>0恒成立，求。的最大值.(參考數(shù)據(jù)：6'1.6)

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

設貧困戶總數(shù)為明利用表中數(shù)據(jù)可得脫貧率P=2X40%*95%+2X10%X90%,進而可求解.

【詳解】

設貧困戶總數(shù)為脫貧率P=2x40%x95%a+2xl0%x90%j94%,

a

故2019年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的一倍.

35

故選：B

【點睛】

本題考查了概率與統(tǒng)計，考查了學生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎題.

2.D

【解析】

設z=x+yi(x,ywR),整理|z|=Z+l—2i得到方程組［4，二1解方程組即可解決問題.

【詳解】

設2=%+川(元ywR),

因為|z|=2+1—2i,所以Ji+,2=%一個+1—2,=(%+1)一(丁+2)i.

所以復數(shù)二在復平面內(nèi)對應的點為，此點位于第四象限.

故選D

【點睛】

本題主要考查了復數(shù)相等、復數(shù)表示的點知識，考查了方程思想，屬于基礎題.

3.B

【解析】

利用列舉法，結合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.

【詳解】

從五行中任取兩個，所有可能的方法為：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共1()種,

其中由相生關系的有金水、木水、木火、火土、金土，共5種，所以所求的概率為』='=0.5.

102

故選：B

【點睛】

本小題主要考查古典概型的計算，屬于基礎題.

4.C

【解析】

根據(jù)給定的程序框圖，逐次計算，結合判斷條件，即可求解.

【詳解】

由題意，執(zhí)行上述程序框圖，可得

第1次循環(huán)，滿足判斷條件，S=\,k=\；

第2次循環(huán)，滿足判斷條件，S=Zk=2；

第3次循環(huán)，滿足判斷條件，S=8歡=3；

第4次循環(huán)，滿足判斷條件，S=64,女=4；

不滿足判斷條件，輸出S=64.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的計算與輸出，其中解答中認真審題，逐次計算，結合判斷條件求解是解答的關

鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

5.C

【解析】

求出點(1,2)關于直線x-y-1=0的對稱點C的坐標，進而可得出圓(x—iy+(y—2『=l關于直線-的

對稱圓C的方程，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最小值，由此可得出|MNLn=|Mqmin-1，即可得解.

【詳解】

如下圖所示：

設點(1,2)關于直線x-y-l=O的對稱點為點C(a,b),

。+1

2a-b-3=0a=3(、

則,整理得＜解得＜C，即點c(3,o),

b-2。+。-3=0b=0

所以，圓(x—lY+(y—2)2=1關于直線x-y-l=O的對稱圓。的方程為(X—3『+y2=i,

設點則|MC|=J73)+/=舊一5+9=,器()，2—4)2+8,

當尸±2時，|困取最小值2啦，因此，|MNLn=|MQ血一1=2夜一1.

故選：C.

【點睛】

本題考查拋物線上一點到圓上一點最值的計算，同時也考查了兩圓關于直線對稱性的應用，考查計算能力，屬于中等

6.C

【解析】

先確定解析式求出了(2019)的函數(shù)值，然后判斷出方程〃x)="2019)的最小實根的范圍結合此時的

f(x)=x-35,通過計算即可得到答案.

【詳解】

當xNl時,/(3x)=3/(x),所以/*)=3.嗎)=32/(學==3"/仔)，故當

YV-|3Z,+I_yy>2-

時，971,3]，所以/(x)=3"(l-*一2)='，，而

2019

677

2019G[3,3],所以/(2019)=36(1—v--2)-3-2109=168.又當1WXW3時，

/(力的極大值為1,所以當3"x43"+i時，f(x)的極大值為3"，設方程〃x)=168

的最小實根為f,168G[3-35],貝he3,三色)，BPre(243,468),此時/(x)=x—35

令/(X)=X-35=168,得￡=243+168=411,所以最小實根為4n.

故選：C.

【點睛】

本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問題，涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識，本題有一定的難度及高度，是

一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.

7.C

【解析】

根據(jù)三棱柱的展開圖的可能情況選出選項.

【詳解】

由圖可知，ABD選項可以圍成三棱柱，C選項不是三棱柱展開圖.

故選：C

【點睛】

本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷，屬于基礎題.

8.A

【解析】

Z=j(l-i)=l+i,故目=夜，故選A.

9.D

【解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)，設出直線方程，代入拋物線方程，求得A的值，設出雙曲線方程，求得2a=\AF2\-\AF.

I=(近—1)P，利用雙曲線的離心率公式求得e.

【詳解】

直線的直線方程為：y=kx--^,Fi(0,),Fi(0,-)>

代入拋物線C必=2刀方程，整理得：X2-2pkx+p2=0,

.?.△=4A2P2-4p2=0,解得：k=±l9

22

.,.A(p,4),設雙曲線方程為：與-==1,

2ab-

IAFiI=p,|AFz|=yjp2+p2=x/2p>

2a=IAF2|-|AF,[=(V2-DP，

2c=p,

離心率e=q=-—=0+1,

aV2-1

故選：D.

【點睛】

本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力，屬于中檔題.

10.B

【解析】

根據(jù)平行的傳遞性判斷A；根據(jù)面面平行的定義判斷B；根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C；由三棱錐戶以三角

形BCF為底,則高和底面積都為定值，判斷D.

【詳解】

在A中，因為分別是ARC。中點，所以月0〃AC〃AG，故A正確；

在B中，由于直線Bb與平面CG2。有交點，所以不存在點E，使得平面BEF//平面CG2。，故B錯誤；

在C中，由平面幾何得根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出J.GC,結合線面垂直的判定定理得出80_]_平

面CGR,故C正確；

在D中，三棱錐B-CEP以三角形為底，則高和底面積都為定值，即三棱錐B-。戶的體積為定值，故D正

確；

故選：B

【點睛】

本題主要考查了判斷面面平行，線面垂直等，屬于中檔題.

11.C

【解析】

將正四面體的展開圖還原為空間幾何體，廠三點重合，記作。，取。。中點H,連接EG,EH,GH,NEG”即

為EG與直線BC所成的角，表示出三角形EG"的三條邊長，用余弦定理即可求得cosNEG”.

【詳解】

將展開的正四面體折疊，可得原正四面體如下圖所示，其中A廠三點重合，記作力：

D(A,F)

則G為8。中點，取。。中點H,連接EG,EH,GH,設正四面體的棱長均為。，

由中位線定理可得G”/ABC且G"='BC='。，

22

所以ZEGH即為EG與直線8c所成的角,

由余弦定理可得喀黑產(chǎn)

3212^2

_444_，3

~43X~6

2x——a--a

22

所以直線EG與直線8c所成角的余弦值為由,

6

故選：C.

【點睛】

本題考查了空間幾何體中異面直線的夾角，將展開圖折疊成空間幾何體，余弦定理解三角形的應用，屬于中檔題.

12.B

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求得sin?,cos?后可得結論.

【詳解】

由題意得點/與原點間的距離/=+(3〃2)一=5|/n|?

①當相〉()時，r=5m,

.3m3-4m4

:.sma=——=—,COSQ=-------=——

5m55m5

：?2sin。+cost?=2x------=—.

555

②當機<()時，r=-5m,

.3m3-4m4

..sina=-----=——,cos?=------=—

-5m5-5m5

27

綜上可得2sina+cosa的值是一或一§.

故選B.

【點睛】

利用三角函數(shù)的定義求一個角的三角函數(shù)值時需確定三個量:角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x,縱坐標y,

該點到原點的距離r,然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.240

【解析】

(1)由/=；時，y=\,即可得出人的值;

1_

t>

2

(2)解不等式組，即可得出答案.

—<0.75

It

【詳解】

1,，C

(1)由圖可知，當1=,時,-----=1=>攵=2

>=1,即arl,1

2KX—

2

■

22

(2)由題意可得,解得/>§

—<0.75

[it

2

則為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對房間進行消毒，則在消毒后至少經(jīng)過一X60=40分鐘人方可進入

3

房間.

故答案為：⑴2；(2)40

【點睛】

本題主要考查了分段函數(shù)的應用，屬于中檔題.

14.(x-3)2+J2=4

【解析】

求出圓心關于直線的對稱點，即可得解.

【詳解】

C:(x+1)2+(y—2)2=4的圓心為(-1,2),關于y=2x-1對稱點設為(x,y),

y+2x-\

------=2x---------1

x=3

則有：〈22解得《

y-2_1y=o

x+\2

所以對稱后的圓心為(3,0),故所求圓的方程為(x-3/+V=4.

故答案為：(x-3)2+y2=4

【點睛】

此題考查求圓關于直線的對稱圓方程，關鍵在于準確求出圓心關于直線的對稱點坐標.

15.1

【解析】

寫出莖葉圖對應的所有的數(shù)，去掉最高分，最低分，再求平均分.

【詳解】

解：所有的數(shù)為：77,78,82,84,84,86,88,93,94,共9個數(shù)，

去掉最高分，最低分，剩下78,82,84,84,86,88,93,共7個數(shù)，

八d78+82+84+84+86+88+93

平均分為-----------------------------=8o5,

故答案為1.

【點睛】

本題考查莖葉圖及平均數(shù)的計算，屬于基礎題.

16.[5,+QO)

【解析】

先由題意設向量的坐標，再結合平面向量數(shù)量積的運算及不等式可得解.

【詳解】

由e是單位向量.若a.e=2,b.e=3,

設e=(i,o),

則4=(2,zn),b=(3,n),

又a.b=0>

貝！I=-6,

則d+E=(5,m+n),

貝!11a+61=[25+(〃?+")’,

又Q〃+〃)2..O,

所以|a+6|..5,(當m=瓜,〃=—76或〃z=-瓜,n=娓時取等)

即|a+》|的取值范圍是15,+oo),

故答案為：15,+8).

【點睛】

本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)79顆；(2)5.5秒.

【解析】

(D利用各小矩形的面積和為1可得進而得到脈沖星自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的頻率，從而得到頻數(shù);

(2)平均值的估計值為各小矩形組中值與頻率的乘積的和得到.

【詳解】

(1)第一到第六組的頻率依次為

0.1,0.2,0.3,0.2,2a,0.05,其和為1

所以2a=1-(0.1+0.2+0.3+0.2+0.05),a=0,075,

所以，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有93x(1-0.15)=79.05^79(顆).

(2)新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為

0.1x1+0.2x3+0.3x5+0.2x7+0.15x9+0.05x11=5.5(秒).

故新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為5.5秒.

【點睛】

本題考查頻率分布直方圖的應用，涉及到平均數(shù)的估計值等知識，是一道容易題.

18.（I）a=\,b=l（II）見解析

【解析】

（D根據(jù)導數(shù)的運算法則，求出函數(shù)的導數(shù)，利用切線方程求出切線的斜率及切點，利用函數(shù)在切點處的導數(shù)值為曲

線切線的斜率及切點也在曲線上，列出方程組，求出匕值；（2）首先將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，即將不等式右邊式子

左移，得

A'）一匕1+十中［2g+—--J,

構造函數(shù)〃（x）=21nx+竺史二D并判斷其符號，這里應注意x的取值范圍，從而證明不等式.

【詳解】

由于直線x+2y—3=0的斜率為一；，且過點（1,1）,

川）=1，fb=l,

Inx1

(2)由(1)知/(%)=-----1—,

考慮函數(shù)力(x)=21nx+^-----------?(x>l)，

貝ij“⑺=(ZT(/+l)+2x=+

X2X2

而MD=O,故當X￡（l,+8）時,/2（X）＜0,

所以」^'〃（月＞0,即〃x）＞則￡+人.

1XX1X

【點睛】

本題考查了利用導數(shù)求切線的斜率，利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、和最值問題，以及不等式證明問題，考查了

分析及解決問題的能力，其中，不等式問題中結合構造函數(shù)實現(xiàn)正確轉(zhuǎn)換為最大值和最小值問題是關鍵.

19.（1）證明見解析（2）存在，E為。。中點

【解析】

（D證明”_1_面45。。，即證明平面APE_L平面ABC。；（2）以A為坐標原點，AO為》軸正方向，為）'軸

町四|11+221V6]

正方向，AP為Z軸正方向，建立空間直角坐標系.利用向量方法得COSe=J=；，解得2=

網(wǎng)?同行，4儲+132

所以E為。C中點.

【詳解】

（1）由于〃為AB中點，

2

又PH=近，故Pf/2=Af>2+AH2，

所以.24〃為直角三角形且=90°,

即B4_LAB.

又因為Q4u面面面ABCD=AB,面PABJ_面ABC。，

故"_1面筋8,

又P4u面所以面出￡_1面ABCD.

（2）由（1）知面ABC。，又四邊形ABC。為矩形，則ARAD,A8兩兩垂直.

以A為坐標原點，A。為x軸正方向，A8為）'軸正方向，AP為二軸正方向，建立空間直角坐標系.

則A(0,0,0),P(0,0,l),”(0,l,0),C(l,2,0),設E(l,2/l,0),/LG(0,1),

則”=(0,0,1),AE=(1,240),P”=(0,1,-1),HC=(1,1,0),

設平面APE的法向量為〃?=(x，y，z),

,AP=Q[z=0,

則有1c,c，令x=_22,貝！ly=l,

m-AE=0[x+24y=0

則平面APE的一個法向量為仍=(一241,0),

同理可得平面PHC的一個法向量為^=(-1,1,1),

設平面APE與平面PHC所成角為3,

八同事|I1+2AIa1

則由題意可得COS0=|~~i-j—T=7—/=—Z~,解得2=彳，

網(wǎng).聞V3-V422+l32

所以點E為。C中點.

【點睛】

本題主要考查空間幾何位置關系的證明，考查空間二面角的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

4"+i24,、

20.(1)Tln=-+n--(2)①見解析②數(shù)列也｝不能為等比數(shù)列，見解析

【解析】

(1)根據(jù)數(shù)列通項公式的特點，奇數(shù)項為等差數(shù)列，偶數(shù)項為等比數(shù)列，選用分組求和的方法進行求解；

(2)①設數(shù)列｛4｝的公差為d,數(shù)列也｝的公差為4,當〃為奇數(shù)時，得出42%當〃為偶數(shù)時，得出

從而可證數(shù)列｛4｝,也｝的公差相等；

②利用反證法，先假設也｝可以為等比數(shù)列，結合題意得出矛盾，進而得出數(shù)列也｝不能為等比數(shù)列.

【詳解】

(1)因為2=2",所以4+2-%=2,勺'=4且C]=q=l,C2=b2=4

由題意可知，數(shù)列,2,一｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，

數(shù)列K｝是首項和公比均為4的等比數(shù)列，

的〃(〃-1),4(1-4")4n+l24

所以7；“=〃+二----x2+-------——+/?——?

21-433

(2)①證明：設數(shù)列｛%｝的公差為d,數(shù)列也,｝的公差為4，

當n為奇數(shù)時，c“=%=q+(〃-1)4,cn+l=%=4+必

a.-d-h,,

若4<d,則當〃〉一;---1時，C-c=(4-+J-a,<0,

U1-an+in

即C?+I<c?,與題意不符，所以4Nd,

當n為偶數(shù)時，cn=d=4+(〃-1)4,cn+1=an+l=q+,

若4>d,則當〃〉」1~!■時，c“+]—c“=(d—4)〃+。]+4—々<0,

Cl6Z]

即與題意不符，所以《

綜上，4=",原命題得證;

②假設｛4｝可以為等比數(shù)列，設公比為g,

因為q,+i>q,，所以c“+2>C“T>c“，所以4+2一%=24>0，^1二^〉"

b”

因為當〃"咻扁匕時,

21

\bn+2-bn\=\bn\(q-T)=\b｝\.\q\-'?(整-T)>4d,

所以當”為偶數(shù)，且％一|<d<4+1時，2+2史(4+1，4+3)，

即當n為偶數(shù)，且*<cn<c,M時，cn+1<cn+2<c“+3不成立，與題意矛盾，

所以數(shù)列｛〃,｝不能為等比數(shù)列.

【點睛】

本題主要考查數(shù)列的求和及數(shù)列的綜合，數(shù)列求和時一般是結合通項公式的特征選取合適的求和方法，數(shù)列綜合題要

回歸基本量，充分挖掘題目已知信息，細思細算，本題綜合性較強，難度較大，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學運算的核心

素養(yǎng).

129

21.(1)-；(2)分布列見解析，期望為一.

315

【解析】

(1)甲同學至少抽到2道5類題包含兩個事件：一個抽到2道B類題，一個是抽到3個B類題，計算出抽法數(shù)后可

求得概率；

(2)X的所有可能值分別為01,2,3,依次計算概率得分布列，再由期望公式計算期望.

【詳解】

(1)令“甲同學至少抽到2道8類題”為事件A,則抽到2道8類題有C：C；種取法，抽