2022自主招生模擬數(shù)學(xué)試題

2022自主招生摹擬數(shù)學(xué)試題

一、選擇題

1.如果關(guān)于X的方程X2-ax+32-3=0至少有一個正根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A,-2<a<2B、百<a<2c、-百<a<2D、-^3<a<2

2.P是凸四邊形內(nèi)的一點(diǎn)，P與四個頂點(diǎn)連接得到的四條線段的長分別為1,2,3,4。那末

這個四邊形的面積的最大值為()

A、10.5B、12C、12.5D、15

aa+b

3.設(shè)a,b,c分別為AABC的三邊的長，且=，則它的內(nèi)角NA、NB的

ba+b+c

關(guān)系是0

(A)ZB>2ZA(B)ZB=2ZA(C)ZB<2ZA(D)不確定

4.滿足y=JTC+JX+2022的正整數(shù)數(shù)對(x,y)()

(A)惟獨(dú)一對(B)恰有兩對(C)至少有三對(D)不存在

In

5.己4y<cosA<sin80°,則銳角A的取值范圍是()

(A)60°<A<80°(B)30°<A<80°(C)10°<A<60(D)100<A<30°

6.骰子是一個質(zhì)量均勻的正方體，6個面上分別刻有1,2,3,456點(diǎn)，現(xiàn)在桌面上有3個骰子

分別為木制，骨制，塑料制的.重復(fù)下面操作，直到桌子上沒有骰子為止：將桌上的骰子全

部擲出，然后去掉那些奇數(shù)點(diǎn)的骰子，則完成以上操作的次數(shù)多于3次的概率為()

11169119

A.—B.-C.D.

34512216

7.若兩個不同的自然數(shù)a,b組成的數(shù)對(a,b)滿足他們的算術(shù)平均數(shù)A和幾何平均數(shù)G

均為兩位數(shù)，且A和G中的一個可由另一個交換個位和十位數(shù)字得到，則稱這樣的自然數(shù)

對為“好數(shù)對”，滿足條件的“好數(shù)對”有A對.則A=()

A.0B.lC.2D.3

8.如圖,已知圓心角為120°的扇形AOB半徑為1,C為AB中點(diǎn).點(diǎn)D,E分別在半徑OA,

5

OB上.若CD2+CE2+DE2=-設(shè)m=OD+OE則m的取值范圍是()

2

2+Jl4B.正<m<l

A.<m<

452

J5+11

c.<m<2D.-<m<1

22

9.已知函數(shù)f(x)=ax2—c(a,c為實(shí)數(shù)),若一4<f(1)<—1,—i<f⑵<2,則f⑻的最

大值是()

A.120B.121C.122D.123

10.已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩個定點(diǎn)M(0,4),N(-2,一2),拋物線

y=ax；?—6ax+5a(a士0)與x軸自左至右交于A、B,當(dāng)此拋物線擺布平移時，AM+BN

的最小值是()

A、B、廣2C、8D、6

11.已知a,b,c是實(shí)常數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個非零實(shí)根x,

1

11

X,則下列關(guān)于X的一元二次方程中，以，為兩個實(shí)根的是()

2X2X2

12

A.C2X2+?一2ac)x+a2=0B.C2X2—(bz-2ac)x+az=0

cox2+(bz-2ac)x-a2=0D.OX2—(也一2ac)x—az=o

12.已知正實(shí)數(shù)a,b,d滿足關(guān)系式：a+b+c+d=l設(shè)

S=J3a2+1+J3b2+1+J3c2+1+J3d2+1,那末s與2的關(guān)系是()

s>2B.s<2C.s22D.sW2

13.計(jì)算：⑶+4)(74+4)(11+4)…(394+4)_()

5+4)(%+4)(134+4)(414+)4

1111

A.B.C.D.

353354355356

二、填空題

14.已知函數(shù)f(X)=(X2+2ax)|x-2|的圖象為軸對稱圖形，則實(shí)數(shù)a的值為.

15.將與105互質(zhì)的所有正整數(shù)從小到大排成數(shù)列，則這個數(shù)列的2022項(xiàng)為.

16.己知a,b,c均為非負(fù)數(shù)，將a,b,c填入下面的數(shù)表中：

a0.5c

1b2

設(shè)豎排的數(shù)的和從左往右分別為k,k,k,橫行的積從上往下分別為s,s。若kkk=4,

12312123

S=S=m,貝m的最大值為.

12

15.一些物體每一個染上紅色或者藍(lán)色中的一種，排在一條直線上，至少有一個物體染上紅

色，同樣至少有一個物體染上染上藍(lán)色，已知兩物體之間有10個或者15個此外的物體，

則這兩個物體是同色的，那末這些物體最多有個。

16.在△ABC中，ZC=900,斜邊AB=10,直角邊AC,BC的長分別是關(guān)于X的方程

X2-mx+3m+6=0的兩個實(shí)根，則sinA+sinB+sinA.sinB=。

17.三角形的三邊為a,b,c,若b=10,a,c為整數(shù)，月.a<b<c,則該三角形是等邊三角形

的概率是。

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或者演算步驟.

18.對于x的二次三項(xiàng)式ax?+bx+c(a>o)?

⑴當(dāng)cvo時，求函數(shù)y=-21ax2+bx+c|-i的最大值；

k2

⑵若不論k為任何實(shí)數(shù)，直線y=k(x-i)-—力與拋物線y=ax2+bx+c有且惟獨(dú)

一個公共點(diǎn)，求a,b,c的值。

19.如圖，已知雙曲線C：y=1>拋物線C：y=X2-i2,直線I：y=kx+m.

1X2

k2

(I)若直線I與拋物線C有公共點(diǎn)，求——+m的最小值；

24

(H)設(shè)直線I與雙曲線C的兩個交點(diǎn)為A、B,與拋物線C的兩個交點(diǎn)為C、D.是否存

12

在直線I,使得A、B為線段CD的三等分點(diǎn)？若存在，求出直線I的解析式，若不存在，

請說明理由。“8

20.如圖，在aABC中，已知AD±BC,BE1AC,AD與BE相交于點(diǎn)H,P為邊AB的中點(diǎn),

過點(diǎn)C作CQ1PH,垂足為Q,求證：PE2=PH.PQ,

21.如圖：直線y=-X+18分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)；

直線y=2X分別與AB交于C點(diǎn)，與過點(diǎn)A且平行于y軸的

直線交于D點(diǎn).點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿

x軸向左運(yùn)動，過點(diǎn)E作x軸的垂線，分別交直線AB、OD于

P、Q,以PQ為邊向右作正方形PQMN,設(shè)正方形PQMN與

AACD重疊部份（陰影部份）的面積為S（平方單位），點(diǎn)E

的運(yùn)動時間為t（秒）?（1）當(dāng)0<t<12時，求S與t之間的

函數(shù)關(guān)系式；（2）求（1）中S的最大值；（3）當(dāng)t>0時，若

點(diǎn)（10,10）落在正方形PQMN的內(nèi)部，求t的取值范圍.

22.如圖，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)N,點(diǎn)M在對角線BD±,且

滿足NBAM=NDAN,ZBCM=ZDCN.

ANAM

求證：⑴M為BD的中點(diǎn)；（2）——=■——.

GNCM

23.分解因式：X3（y-z）+y3（z-x）+Z3（x-y）.

24.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c和一次函數(shù)y=-bx,其中a、b、c滿足a>b>c,

a+b+c=0.(a,b,cR).

(1)求證：兩函數(shù)的圖象有兩個不同的交點(diǎn)A、B；

(2)過(1)中的兩點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，垂足為ArB「求線段AB.的長的

取值范圍.

25.如圖，AB是的直徑，過點(diǎn)B作。0的切線BM，點(diǎn)P在右半圓上挪移

點(diǎn)P與點(diǎn)A、B不重合)，過點(diǎn)P作PC,AB,垂足為C；點(diǎn)Q在射線BM上挪移

(點(diǎn)M在點(diǎn)B的右邊)，且在挪移過程中保持0Q//AP.

(1)若PC、Q0的延長線相交于點(diǎn)E,判斷是否存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)E恰好在。()上？

若存在，求出三APC的大?。蝗舨淮嬖?，請說明理由；

PF

⑵連結(jié)AQ交PC于點(diǎn)F,設(shè)卜=,試問:k的值是否隨點(diǎn)P的挪移而變化？證明你

FU

的結(jié)論.

26.已知二次函數(shù)y=X2+bx-c的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)p(l,a),Q(2,ioa).

(1)如果a,b,c都是整數(shù),且c<b<8a,求a,b,c的值.

(2)設(shè)二次函數(shù)y=X2+bx-c的圖象與x軸的交點(diǎn)為A、B,與y軸的交點(diǎn)為c.如果關(guān)于

x的方程X2+bx-C=0的兩個根都是整數(shù)，求aABC的面積.

27.1,2,3,4,5的羅列a,a,a,a,a具有性質(zhì)，對于1v區(qū)4,a,a,a,.??，a不能構(gòu)成

12345123i

1,2,3,4,...，i的某個羅列，求這種羅列的個數(shù)。

28.定義：在平面內(nèi)，我們把既有大小又有方向的量叫做平面向量。平面向量可以用有向線

段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向。其中大小相等,

方向相同的向量叫做相等向量。

如以正方形ABCD的四個頂點(diǎn)中某一點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個頂點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，可以作出8

MW*

個不同的向量:AB、BA、AC、CA、AD、DA、BD、DB(由于AB和DC是相等

向量，因此只算一個)。

⑴作兩個相鄰的正方形(如圖一)。以其中的一個頂點(diǎn)為起點(diǎn),另一個頂點(diǎn)為終點(diǎn)作向量,

可以作出不同向量的個數(shù)記為f(2),試求f(2)的值；

圖一

⑵作n個相鄰的正方形(如圖二)“一字型”排開。以其中的一個頂點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個頂

點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，可以作出不同向量的個數(shù)記為f(n),試求f(n)的值；

共n個正方形

⑶作2x3個相鄰的正方形(如圖三)排開。以其中的一個頂點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個頂點(diǎn)為終點(diǎn)

作向量，可以作出不同向量的個數(shù)記為f(2x3),試求f(2x3)的值;

(4)作mXn個相鄰的正方形(如圖四)排開。以其中的一個頂點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個頂點(diǎn)為

終點(diǎn)作向量，可以作出不同向量的個數(shù)記為f(mxn)，試求f(mxn)的值。

共

m

個

正

方

形

相