2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 雙曲線的幾何性質(zhì) 作業(yè)

2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版雙曲線的幾何性質(zhì)作業(yè)一、選擇題1.（2023·廣東湛江高三期末）已知雙曲線的一條漸近線與雙曲線的—條漸近線垂直，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】雙曲線的漸進(jìn)線方程為，故雙曲線的漸近線方程為.設(shè)雙曲線的方程為.當(dāng)時，雙曲線的方程為，則，解得：；當(dāng)時，雙曲線的方程為，則，解得：；故選C2．（2023·寧夏銀川一中高三月考）若雙曲線的一條漸近線被曲線所截得的弦長為2．則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】雙曲線的漸近線方程為，由對稱性，不妨取，即．又曲線化為，則其圓心的坐標(biāo)為，半徑為．由題得，圓心到直線的距離，又由點(diǎn)到直線的距離公式．可得．解得，所以．故選B．3．（2023·重慶八中月考）設(shè)雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，若圓與直線交于坐標(biāo)原點(diǎn)及另一點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3【答案】B【解析】如圖所示，，設(shè)直線上點(diǎn)，，則，即，得，將代入圓，得，即，故.故選：B.4．（2023·湖南師大附中高三月考）已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個公共點(diǎn)，且，線段的垂直平分線過，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（）A． B．3 C．6 D．【答案】C【解析】設(shè)橢圓長軸，雙曲線實(shí)軸，由題意可知：，又，，兩式相減，可得：，，．，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的最小值為6.5．（多選題）（2023·江蘇南通月考）已知雙曲線過點(diǎn)且漸近線為，則下列結(jié)論正確的是（）A．的方程為 B．的離心率為C．曲線經(jīng)過的一個焦點(diǎn) D．直線與有兩個公共點(diǎn)【答案】AC【解析】對于選項A：由已知，可得，從而設(shè)所求雙曲線方程為，又由雙曲線過點(diǎn)，從而，即，從而選項A正確；對于選項B：由雙曲線方程可知，，，從而離心率為，所以B選項錯誤；對于選項C：雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，滿足，從而選項C正確；對于選項D：聯(lián)立，整理，得，由，知直線與雙曲線只有一個交點(diǎn)，選項D錯誤.故選AC6.（多選題）（2023·湖北恩施高中高三月考）已知雙曲線C：與直線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)為C上任意一點(diǎn)，且直線，的斜率分別為，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．雙曲線的漸近線方程為 B．雙曲線的漸近線方程為C．雙曲線的離心率為 D．雙曲線的離心率為【答案】AC【解析】設(shè)點(diǎn)，，∴.又∵，兩式相減得，∴.又∵，∴，∴，∴雙曲線的漸近線方程為，故選項A正確；又∵，∴，故選項C正確，故選：AC.二、填空題7．（2023·湖南師大附中月考）過雙曲線的下焦點(diǎn)作軸的垂線，交雙曲線于兩點(diǎn)，若以為直徑的圓恰好過其上焦點(diǎn),則雙曲線的離心率為__________．【答案】【解析】過雙曲線的下焦點(diǎn)作軸的垂線，交雙曲線于，兩點(diǎn)，則，以為直徑的圓恰好過其上焦點(diǎn)，可得：，∴，可得，解得，舍去.8.（2023·云南師大附中高三月考）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過F作C的一條漸近線的垂線垂足為A，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則C的離心率為_________．【答案】【解析】由題意可得，漸近線方程為，∴，，故．9．（2023·湖北沙區(qū)·沙市中學(xué)期末）橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，，它們的交點(diǎn)為，且.若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為_________．【答案】【解析】不妨設(shè)P為第一象限的點(diǎn)，在橢圓中：①,在雙曲線中:②,聯(lián)立①②解得,,在中由余弦定理得：即即，，橢圓的離心率，雙曲線的離心率.10．（2023·河北石家莊一中高三月考）設(shè)，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)，使，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】取的中點(diǎn)，則∵，∴，∴，∵是的中位線，∴，.由雙曲線的定義得，∵，∴，.中，由勾股定理得，∴，∴.三、解答題11.（2023·全國高三課時練）已知雙曲線(a>0，b>0)的右準(zhǔn)線l2與一條漸近線l交于點(diǎn)P，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn)．(1)求證：PF⊥l；(2)若PF＝3，且雙曲線的離心率e＝，求該雙曲線的方程．【解析】(1)證明：右準(zhǔn)線為l2：x＝，由對稱性不妨設(shè)漸近線l為y＝x，則P，又F(c,0)，∴kPF＝＝－.又∵kl＝，∴kPF·kl＝－·＝－1.∴PF⊥l.(2)∵PF的長即F(c,0)到l：bx－ay＝0的距離，∴，∴b＝3.又e＝＝，∴＝.∴a＝4.故雙曲線方程為－＝1.12.（2023·全國高三課時練）已知橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且直線經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)不過原點(diǎn)O的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且，求面積的取值范圍．【解析】（1）∵雙曲線的離心率為，∴橢圓的離心率．又∵直線經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)，令，則∴右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方