簡單的排列組合

簡單的排列組合目錄CONTENTS排列組合基本概念常見題型解析與思路梳理經(jīng)典例題講解與練習(xí)解題策略總結(jié)與拓展延伸互動環(huán)節(jié)：現(xiàn)場出題并解答課程回顧與作業(yè)布置01從n個不同元素中取出m（m≤n，m與n均為自然數(shù),下同）個不同元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號p(n,m)表示。定義p(n,m)=n×(n-1)...(n-m+1)=n!/(n-m)!（0≤m≤n）。排列數(shù)公式排列定義從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)。用符號c(n,m)表示。組合數(shù)公式c(n,m)=p(n,m)/m!=n(n-1)...(n-m+1)/m!=n!/m!(n-m)!；c(n,0)=1，c(n,1)=c(n,n-1)=n，c(n,2)=c(n-1,1)+c(n-2,2)，c(n,m)=c(n-1,m-1)+c(n-1,m)。組合有無順序排列是把取出的元素再按順序排列成一列，與元素的順序有關(guān)系；組合只要把取出的元素放在一起，與元素的順序無關(guān)。符號不同排列符號是p(n,m)，組合符號是c(n,m)。排列與組合的區(qū)別02排列組合基本概念排列定義從n個不同元素中取出m（m≤n，m與n均為自然數(shù),下同）個不同元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號p(n,m)表示。計算公式p(n,m)=n×(n-1)...(n-m+1)=n!/(n-m)!（規(guī)定0!=1）。排列定義及計算公式VS從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)。用符號c(n,m)表示。計算公式c(n,m)=p(n,m)/m!=n(n-1)...(n-m+1)/m!=n!/[m!(n-m)!]。組合定義組合定義及計算公式區(qū)別聯(lián)系排列與組合區(qū)別與聯(lián)系排列與組合都是研究從n個不同元素中取出一些（幾個、全部）元素的性質(zhì)及其方法。它們的一般性很強，應(yīng)用十分廣泛。它們都是自然數(shù)集的一個函數(shù)。有無順序：排列是把取出的元素再按順序排列成一列，與元素的順序有關(guān)系；組合只要把取出的元素放在一起，與元素的順序無關(guān)。也就是說，只有元素完全相同、順序也相同，才算相同的排列；只要元素完全相同、不論順序是否相同，都是相同的組合。03常見題型解析與思路梳理相鄰問題不相鄰問題有限制條件排列問題$item1_c通過捆綁法將相鄰元素看作一個整體進行排列，再對整體內(nèi)部進行排列。例如，有A、B、C三個元素，要求A和B相鄰，則可以將A、B捆綁成一個整體，與C一同進行排列，得到2!×2!=4種排列方式。通過捆綁法將相鄰元素看作一個整體進行排列，再對整體內(nèi)部進行排列。例如，有A、B、C三個元素，要求A和B相鄰，則可以將A、B捆綁成一個整體，與C一同進行排列，得到2!×2!=4種排列方式。直接法將所有元素一同進行排列，再除以重復(fù)元素的個數(shù)。例如，有3個A和2個B，則排列方式為5!/(3!×2!)=10種。要點一要點二間接法先考慮所有元素的排列方式，再減去不符合要求的排列方式。例如，有3個A和2個B，要求AB不相鄰，則可以先考慮所有元素的排列方式為5!=120種，再減去AB相鄰的情況，即將AB看作一個整體進行排列的方式為2×4!=48種，因此符合要求的排列方式為120-48=72種。重復(fù)元素排列問題隔板法將n個相同元素分成m組，每組至少一個元素的問題可以轉(zhuǎn)化為在n-1個空隙中插入m-1個隔板的問題。例如，將10個相同的小球分成3組，每組至少一個小球的問題可以轉(zhuǎn)化為在9個空隙中插入2個隔板的問題，即C(9,2)=36種方式。間接法通過計算所有組合方式再減去不符合要求的組合方式來求解。例如，在5個人中選擇3個人參加比賽，其中甲和乙不能同時參加的問題可以先計算所有組合方式為C(5,3)=10種再減去甲乙同時參加的情況即C(3,1)=3種因此符合要求的組合方式為10-3=7種。組合數(shù)求解技巧及實例分析04經(jīng)典例題講解與練習(xí)元素相鄰問題元素不相鄰問題元素定序問題例一：有限制條件排列問題通過捆綁法將相鄰元素看作一個整體進行排列，再對整體內(nèi)部進行排列。先排列沒有限制條件的元素，再將有限制條件的元素插入到已排列元素的空隙中。先排列沒有定序的元素，再將定序元素看作一個整體插入到已排列的元素中，注意定序元素之間的順序是確定的，因此整體插入時不再考慮其內(nèi)部順序。按照題目要求直接進行排列，注意去除重復(fù)情況。先不考慮重復(fù)元素進行排列，再去除重復(fù)情況。具體方法可以通過計算所有元素的排列數(shù)，再除以重復(fù)元素的個數(shù)（重復(fù)元素的個數(shù)?。?。例二：重復(fù)元素排列問題間接法直接法優(yōu)先安排特殊位置的元素，再進行其他位置的元素安排。適用于特殊位置對元素有特殊要求的情況。先不考慮限制條件進行組合，再減去不符合限制條件的情況。適用于限制條件較為復(fù)雜，不易直接計算的情況。特殊位置法排除法例三：組合數(shù)求解技巧應(yīng)用05解題策略總結(jié)與拓展延伸熟練掌握加法原理、乘法原理、排列數(shù)公式和組合數(shù)公式等基本概念和公式，為解題打下基礎(chǔ)。排列組合基本原理學(xué)會根據(jù)題目要求，靈活運用公式進行計算，如使用組合數(shù)公式求解“從n個不同元素中取出m個元素”的問題。公式應(yīng)用技巧掌握基本原理，靈活運用公式題目類型識別熟悉常見的排列組合題型，如排列問題、組合問題、分配問題等，以便快速識別題目類型。方法選擇針對不同題型，選擇合適的方法進行解題，如直接法、間接法、捆綁法、插空法等。善于觀察題目特點，選擇合適方法解題通過大量基礎(chǔ)練習(xí)，熟練掌握各種題型的解題方法和技巧，提高解題速度?；A(chǔ)練習(xí)適當(dāng)挑戰(zhàn)一些難題和綜合題，拓寬解題思路，提升解題能力。難題挑戰(zhàn)加強練習(xí)，提高解題速度和正確率06互動環(huán)節(jié)：現(xiàn)場出題并解答題目類型學(xué)生可以從已經(jīng)學(xué)過的排列組合題目中挑選或者自己創(chuàng)造一個新的問題。解答方式老師將對學(xué)生的問題進行詳細(xì)的解答，同時引導(dǎo)學(xué)生理解問題的本質(zhì)和解題的關(guān)鍵步驟。學(xué)生出題，老師解答老師會出一些稍有難度的排列組合題目，旨在考察學(xué)生對知識點的掌握情況和應(yīng)用能力。題目類型學(xué)生自愿參與搶答，第一個舉手或者站起來的學(xué)生獲得答題機會。答對者得分，答錯者其他學(xué)生可以繼續(xù)搶答。搶答方式老師出題，學(xué)生搶答分組方式將全班學(xué)生分成若干小組，每組4-6人，選定組長，由組長組織組員進行討論和準(zhǔn)備。競賽形式每組輪流選派代表上臺抽題，并在規(guī)定時間內(nèi)完成答題。答對得分，答錯不扣分?？梢栽O(shè)置一定的獎懲機制，如得分最高的小組可以獲得小禮品或者加分等。分組競賽，增強趣味性07課程回顧與作業(yè)布置01020304排列組合基本概念排列數(shù)公式組合數(shù)公式排列組合應(yīng)用關(guān)鍵知識點總結(jié)回顧掌握排列、組合的定義，理解其本質(zhì)區(qū)別。掌握排列數(shù)公式，能夠計算給定條件下的排列數(shù)。了解排列組合在實際問題中的應(yīng)用，如分配問題、選取問題等。掌握組合數(shù)公式，能夠計算給定條件下的組合數(shù)。針對本節(jié)課所學(xué)知識點，布置相關(guān)練習(xí)題，要求學(xué)生進行計算和解答。作業(yè)內(nèi)容學(xué)生需按時完成作業(yè)，作業(yè)提交方式及截止時間等具體要求將另行通知。作業(yè)要求教師將對作業(yè)進行批改，并針對學(xué)生的