人教版九年級數(shù)學上冊 22.32 實際問題與二次函數(shù)（知識講解）

專題22.32實際問題與二次函數(shù)（知識講解）【學習目標】1.能運用二次函數(shù)分析和解決簡單的實際問題，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力和應用數(shù)學的意識．2.經(jīng)歷探索實際問題與二次函數(shù)的關(guān)系的過程，深刻理解二次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型．【要點梳理】要點一、列二次函數(shù)解應用題列二次函數(shù)解應用題與列整式方程解應用題的思路和方法是一致的，不同的是，學習了二次函數(shù)后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個變量的等式．對于應用題要注意以下步驟：(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系)．(2)設(shè)出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設(shè)變量的單位要準確．(3)列函數(shù)表達式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)．(4)按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應的問題。(5)檢驗所得解是否符合實際：即是否為所提問題的答案．(6)寫出答案．特別說明：常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.要點二、建立二次函數(shù)模型求解實際問題一般步驟：(1)恰當?shù)亟⒅苯亲鴺讼担?2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標；(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；(4)代入已知條件或點的坐標，求出關(guān)系式；(5)利用關(guān)系式求解問題．特別說明：(1)利用二次函數(shù)解決實際問題，要建立數(shù)學模型，即把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應具有實際意義.(2)對于本節(jié)的學習，應由低到高處理好如下三個方面的問題：①首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；②學會從實際問題中建立二次函數(shù)的模型；③借助二次函數(shù)的性質(zhì)來解決實際問題.【典型例題】類型一：圖形問題1．如圖，要用籬笆（虛線部分）圍成一個矩形苗圃ABCD，其中兩邊靠的墻足夠長，中間用平行于AB的籬笆EF隔開，已知籬笆的總長度為18米，設(shè)矩形苗圃ABCD的一邊AB的長為x（m），矩形苗圃ABCD面積為y（）．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求所圍矩形苗圃ABCD的面積最大值；【答案】(1)y＝﹣2x2＋18x(2)m2【分析】（1）設(shè)矩形苗圃ABCD的一邊AB的長為x（m），矩形苗圃ABCD面積為y（），則，根據(jù)矩形的面積公式求解即可；（2）根據(jù)頂點坐標公式計算即可求解(1)解：設(shè)矩形苗圃ABCD的一邊AB的長為x（m），矩形苗圃ABCD面積為y（），則，根據(jù)題意得：y＝x（18﹣2x）＝﹣2x2＋18x；(2)解：二次函數(shù)y＝﹣2x2＋18x（0＜x＜9），∵a＝﹣2＜0，∴二次函數(shù)圖象開口向下，且當x＝﹣＝時，y取得最大值，最大值為y＝×（18﹣2×）＝（m2）；【點撥】本題考查了一元二次函數(shù)的應用，用代數(shù)式表示出是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定在一塊一邊靠墻(墻長25m)的空地上修建一個矩形小花園ABCD，小花園一邊靠墻，另三邊用總長40m的柵欄圍住，如下圖所示．若設(shè)矩形小花園AB邊的長為m，面積為ym2．（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當為何值時，小花園的面積最大？最大面積是多少？【答案】（1）（1）.（）；（2）當x為時，小花園的面積最大，最大面積是【分析】（1）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)，由花園的AB邊長為xm，可得BC=(40-2x)m，然后根據(jù)矩形面積即可求得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，又由墻長25m，即可求得自變量的x的范圍；（2）用配方法求最大值解答問題．解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∵AB=xm，∴BC=(40-2x)m，∴花園的面積為：y=AB?BC=x?(40-2x)=-2x2+40x，∵40-2x≤25，x+x<40，∴x7.5，x<20，∴7.5≤x<20，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-2x2+40x（7.5≤x<20）；（2）∵，()∴當時，．答：當x為10m時，小花園的面積最大，最大面積是200m2．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的應用、一元二次方程的應用，解題的關(guān)鍵是明確題意，列出函數(shù)解析式．【變式2】某數(shù)學實驗小組為學校制作了一個如圖所示的三棱錐模型P﹣ABC，已知三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩互相垂直，且棱PB與PC的和為6米，PB＝2PA．現(xiàn)要給該模型的三個側(cè)面（即Rt△PAB，Rt△PBC，Rt△PAC）刷上油漆，已知每平方米需要刷0.5升油漆，油漆的單價為60元/升．（1）設(shè)PA的長為x米，三個側(cè)面的面積之和為y平方米，試求y（平方米）關(guān)于x（米）的函數(shù)關(guān)系式；（2）若油漆工的工時費為10元/平方米，該實驗小組預算總費用為410元（即油漆費和工時費）．試通過計算判斷完成該模型的油漆工作是否會超出預算？【答案】（1）y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x2+9x；（2）完成該模型的油漆工作不會超出預算．【分析】（1）先根據(jù)PA的長為x米，PB=2PA，PB+PC=6米，求出PB=2x米，PC=（6-2x）米，然后根據(jù)三棱錐的側(cè)面積等于三個直角三角形面積公之和列出函數(shù)解析式即可；（2）由（1）解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大面積，然后根據(jù)總費用=油漆費和工時費算出最大費用，然后與410比較即可．解：（1）∵PA=x米，PB=2PA，PB+PC=6米，∴PB=2x米，PC=（6-2x）米，由題意，得：y=PA?PB+PA?PC+PB?PC=x?2x+x（6-2x）+×2x（6-2x）=x2+3x-x2+6x-2x2=-2x2+9x，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x2+9x；（2）由（1）知，y=-2x2+9x=-2（x-）2+，∵-2＜0，∴當x=時，y有最大值，最大值，當y取得最大值時，需要總費用為：×（0.5×60+10）=405（元），∵405＜410，∴完成該模型的油漆工作不會超出預算．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的實際應用，關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式．類型二：圖形運動問題2．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，P點沿邊AC向C以每秒3個單位長度的速度運動，Q點沿邊BC向B以每秒4個單位長度的速度運動，當P、Q到達終點C、B時，運動停止，設(shè)運動時間為t（s）．（1）①當運動停止時，t的值為；②設(shè)P、C之間的距離為y，則y與t滿足關(guān)系（填“正比例函數(shù)”、“一次函數(shù)”或“二次函數(shù)”）；（2）設(shè)△PCQ的面積為S．①求S的表達式（用含t的式子表示）；②求當t為何值時，S取得最大值，這個最大值是多少？【答案】（1）①2；②一次函數(shù)；（2）①；②，面積最大為【分析】（1）①根據(jù)運動速度，以及、的長度，即可求解；②求得與的關(guān)系式，即可求解；（2）①求得線段、的長度，即可求得S的表達式；②根據(jù)表達式可得S與t為二次函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．解：（1）①運動停止時，分別到達終點點和B點，故答案為②由題意可得：，，即，∴y與t滿足一次函數(shù)的關(guān)系故答案為一次函數(shù)（2）①由題意可得：，△PCQ的面積故答案為：②由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：，開口向下，對稱軸為∴當時，取得最大值，最大值為【點撥】此題考查了函數(shù)與幾何的綜合應用，涉及了正比例函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，理解題意，找到題中的等量關(guān)系．舉一反三：【變式1】如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，動點P從點A開始沿邊AB向點B以2cm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以4cm/s的速度移動，如果P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，設(shè)運動時間為ts，（1）BP=_________cm；BQ=_________cm；（2）t為何值時△PBQ的面積為32cm2?（3）t為何值時△PBQ的面積最大？最大面積是多少？【答案】（1）12-2t，4t；（2）當t=2秒或4秒時，△PBQ的面積是32cm2；（3）當t為3時△PBQ的面積最大，最大面積是36cm2．【分析】（1）根據(jù)題意得出即可；（2）根據(jù)題意和三角形的面積列出方程，求出方程的解即可；（3）先列出函數(shù)解析式，再化成頂點式，最后求出最值即可．解：（1）根據(jù)題意得：AP=2tcm，BQ=4tcm，所以BP=（12-2t）cm，故答案為：12-2t，4t；（2）△PBQ的面積S=×BP×BQ=×（12-2t）×4t=-4t2+24t=32，解得：t=2或4，即當t=2秒或4秒時，△PBQ的面積是32cm2；（3）由題意得：S=-4t2+24t=-4（t-3）2+36，所以當t為3時△PBQ的面積最大，最大面積是36cm2．【點撥】本題考查了三角形的面積，二次函數(shù)的最值等知識點，能求出S與x的函數(shù)關(guān)系式是解此題的關(guān)鍵．【變式2】如圖（單位：），等腰直角三角形以的速度沿直線l向正方形移動，直到與重合．設(shè)時，三角形與正方形重疊部分的面積為．（1）寫出y與x的關(guān)系式；（2）當，3.5時，y分別是多少？（3）當重疊部分的面積是正方形面積的一半時，三角形移動了多長時間？【答案】（1）；（2）8，24.5；（3）當重疊部分的面積是正方形的一半時，三角形移動了5s．【分析】（1）根據(jù)題意可知，三角形與正方形重合部分是個等腰直角三角形，且直角邊都是2x，據(jù)此可得出y、x的函數(shù)關(guān)系式；（2）可將x的值，代入（1）的函數(shù)關(guān)系式中，即可求得y的值；（3）將正方形的面積的一半代入（1）的函數(shù)關(guān)系式中，即可求得x的值．（其實此時AB與DC重合，也就是說等腰三角形運動的距離正好是正方形的邊長10m，因此x=5）解：（1）因為三角形與正方形重合部分是個等腰直角三角形，且直角邊都是2x，所以y=×2x×2x=2x2；（2）在y=2x2中，當x=2時，y=8；當x=3.5時，y=24.5；（3）在y=2x2中，因為當y=50時，2x2=50，所以x2=25，解得x=5s（負值舍去）．即當重疊部分的面積是正方形的一半時，三角形移動了5s．【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)以及函數(shù)關(guān)系式等知識；本題綜合性強，熟練掌握正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，求出y與x之間的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．類型三：拱撟問題3、某涵洞的橫斷面呈拋物線形，現(xiàn)測得底部的寬，涵洞頂部到底面的最大高度為在如圖所示的直角坐標系中，求拋物線所對應的二次函數(shù)的表達式．【答案】．【分析】根據(jù)此拋物線經(jīng)過原點，可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)，涵洞頂點到水面的距離為，那么A點坐標應該是，利用待定系數(shù)法即可求解．解：設(shè)此拋物線所對應的函數(shù)表達式為：，，涵洞頂點到水面的距離為，點坐標應該是，把A點代入得：，解得：，故涵洞所在拋物線的函數(shù)表達式．【點撥】本題主要考查了二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵在于結(jié)合題意列出式子求出解析式．舉一反三：【變式1】如圖①，橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內(nèi)的水面寬OA＝8m，橋拱頂點B到水面的距離是4m．(1)按如圖②所示建立平面直角坐標系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達式；(2)一只寬為1.2m的打撈船徑直向橋駛來，當船駛到橋拱下方且距O點0.4m時，橋下水位剛好在OA處，有一名身高1.68m的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會觸碰到橋拱，請說明理由（假設(shè)船底與水面齊平）．【答案】(1)y=-x2+2x

（0≤x≤8）；(2)不會碰到頭，理由見分析【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合圖象可以求出函數(shù)的頂點B（4，4），先設(shè)拋物線的頂點式y(tǒng)=a（x-4）2+4，再根據(jù)圖象過原點，求出a的值即可；（2）先求出工人矩原點的距離，再把距離代入函數(shù)解析式求出y的值，然后和1.68比較即可．(1)解：如圖②，由題意得：水面寬OA是8m，橋拱頂點B到水面的距離是4m，結(jié)合函數(shù)圖象可知，頂點B（4，4），點O（0，0），設(shè)二次函數(shù)的表達式為y=a（x-4）2+4，將點O（0，0）代入函數(shù)表達式，解得：a=-，∴二次函數(shù)的表達式為y=-（x-4）2+4，即y=-x2+2x（0≤x≤8）；(2)解：工人不會碰到頭，理由如下：∵小船距O點0.4m，小船寬1.2m，工人直立在小船中間，由題意得：工人距O點距離為0.4+×1.2=1，∴將x=1代入y=-x2+2x，解得：y==1.75，∵1.75m＞1.68m，∴此時工人不會碰到頭．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的應用，求出函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵．【變式2】漪汾橋是太原市首座對稱雙七拱吊橋，每個橋拱呈大小相等的拋物線型，橋拱如長虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地標性建筑之一．如圖2所示，單個橋拱在橋面上的跨度OA＝60米，在水面的跨度BC＝80米，橋面距水面的垂直距離OE＝7米，以橋面所在水平線為x軸，OE所在直線為y軸建立平面直角坐標系．（1）求橋拱所在拋物線的函數(shù)關(guān)系表達式；（2）求橋拱最高點到水面的距離是多少米？【答案】（1）y＝﹣0.01x2+0.6x；（2）16米【分析】（1）根據(jù)題意，可以設(shè)出拋物線的解析式，然后根據(jù)題意可以得到點B的坐標和頂點的橫坐標，從而可以求得該拋物線的解析式；（2）將（1）中的拋物線解析式化為頂點式，即可得到該函數(shù)的最大值，再根據(jù)OE＝7米，即可得到橋拱最高點到水面的距離是多少米．解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx，由題意可得，點B（﹣10，﹣7），頂點的橫坐標為30，∴，解得，即橋拱所在拋物線的函數(shù)關(guān)系表達式是y＝﹣0.01x2+0.6x；（2）解：∵y＝﹣0.01x2+0.6x＝﹣0.01（x﹣30）2+9，∴當x＝30時，y取得最大值9，∵9+7＝16（米），∴橋拱最高點到水面的距離是16米．【點撥】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和最值問題，熟練掌握，即可解題.類型四：銷售問題4、為了落實“鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略”，我縣出臺了一系列惠農(nóng)政策，使農(nóng)民收入大幅度增加，某農(nóng)業(yè)生產(chǎn)合作社將黑木耳生產(chǎn)加工后進行銷售．已知黑木耳的成本價為每盒60元，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，黑木耳每天的銷售量y（盒）與銷售單價x（元/盒）滿足如下關(guān)系式：，設(shè)該農(nóng)業(yè)生產(chǎn)合作社每天銷售黑木耳的利潤為w（元）．(1)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若要使該農(nóng)業(yè)生產(chǎn)合作社每天的銷售利潤為2500元且最大程度地減少庫存，則黑木耳的銷售單價為多少元？(3)若規(guī)定黑木耳的銷售單價不低于76元，且每天的銷售量不少于240盒，則每天銷售黑木耳獲得的最大利潤是多少元？【答案】(1)；(2)黑木耳的銷售單價為65元；(3)每天銷售黑木耳獲得的最大利潤是4480元【分析】（1）根據(jù)題意，可以寫出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)“每天的銷售利潤為2500元”列出一元二次方程，求解即可；（3）根據(jù)題意，可以得到售價的取值范圍，再根據(jù)（1）中的函數(shù)關(guān)系式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到每天銷售黑木耳獲得的最大利潤．(1)解：由題意可得，w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：w=y（x-60）=（-20x+1800）（x-60）=-20x2+3000x-108000，即w與x之間的函數(shù)關(guān)系式是w=-20x2+3000x-108000；(2)解：令-20x2+3000x-108000=2500，解得x1=85，x2=65，∵要最大程度的減少庫存，∴x=65．答：黑木耳的銷售單價為65元；(3)解：∵規(guī)定該黑木耳的銷售單價不低于76元，且要完成每天不少于240千克的銷售任務(wù)，∴，即．解得76≤x≤78，由（1）得，w=-20x2+3000x-108000=-20（x-75）2+4500，∴當x=76時，w取得最大值，此時w=4480，答：每天銷售黑木耳獲得的最大利潤是4480元．【點撥】本題考查二次函數(shù)的應用，一元二次方程的應用，不等式組的應用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．舉一反三：【變式1】商店銷售某種利潤率為50%的商品，現(xiàn)在的售價為30元/千克，每天可賣100千克，現(xiàn)準備對價格進行調(diào)整，由實際銷售經(jīng)驗可知，售價每漲1元銷售量要少賣10千克，設(shè)漲價后的銷專單價為x（元/千克），且物價局規(guī)定每千克的利潤不低于12元且不高于18元．(1)該商品的購進價格是每千克多少元？(2)若商店某天的利潤為750元，求售價為多少元？(3)求該商店每天銷售這種商品的最大利潤．【答案】(1)該商品的進價為20元；(2)商店某天的利潤為750元，求售價為25元；(3)x＝32時，W有最大值960元．【分析】（1）設(shè)進價為a元，根據(jù)題意列出一元一次方程，故可求解；（2）根據(jù)題意列出一元二次方程，故可求解；（3）根據(jù)題意列出二次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．(1)解：設(shè)進價為a元，∵利潤率為50%，∴a（1+50%）＝30，解得：a＝20，所以該商品的進價為20元；(2)解：∵物價局規(guī)定每千克的利潤不低于12元且不高于18元．∴12≤x﹣20≤18∴x的取值為32≤x≤38根據(jù)題意得：[100﹣10（x-30）]（x﹣20）＝750∴（400﹣10x）（x﹣20）＝750，解得：x1＝35，x2＝25（不合題意，舍去），∴x＝35，∴商店某天的利潤為750元，求售價為35元；(3)解：設(shè)每天的利潤為W，則W＝（400﹣10x）（x﹣20）＝﹣10x2+600x﹣8000＝﹣10（x﹣30）2+1000，∵12≤x﹣20≤18，∴32≤x≤38，∵-10＜0，拋物線開口向下，故x＞30時，y隨x增大而減小，∴x＝32時，W有最大值960元．【點撥】此題主要考查二次函數(shù)、一元二次方程及一元一次方程的應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)或方程．【變式2】端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習俗，市場上豆沙粽的進價比豬肉粽的進價每盒便宜10元，某商家用8000元購進的豬肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數(shù)相同，在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒，設(shè)豬肉粽每盒售價x元，y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤（單位：元）．(1)豬肉粽和豆沙粽每盒的進價分別為元和元；(2)若每盒利潤率不超過50%，問豬肉粽價格為多少元時，商家每天獲利1350元？(3)若x滿足50≤x≤65，求商家每天的最大利潤．【答案】(1)40；30(2)55元(3)1750元【分析】（1）設(shè)豬肉粽每盒進價a元，則豆沙粽每盒進價（a?10）元，根據(jù)商家用8000元購進的豬肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數(shù)相同列出方程，解方程即可；（2）根據(jù)利潤率得到x的取值范圍，再根據(jù)每盒利潤×銷售量＝1350列出方程，解方程即可；（3）列出每天銷售豬肉粽的利潤y與豬肉粽每盒售價x元的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及x的取值范圍求利潤的最大值．(1)解：設(shè)豬肉粽每盒進價a元，則豆沙粽每盒進價（a?10）元，則，解得a＝40，經(jīng)檢驗a＝40是方程的解，∴豬肉粽每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元，故答案為：40，30；(2)解：∵每盒利潤率不超過50%，∴40≤x≤60，由題意得，（x?40）[100?2（x?50）]＝1350，整理得，x2?140x＋4675＝0，解得x1＝85（舍去），x2＝55．答：豬肉粽價格為55元時，商家每天獲利1350元；(3)解：設(shè)商家的利潤為y元，∴y＝x[100?2（x?50）]?40×[100?2（x?50）]＝?2x2＋280x?8000，配方得：y＝?2（x?70）2＋1800，∵x＜70時，y隨x的增大而增大，∴當x＝65時，y取最大值，最大值為1750．答：最大利潤為1750元．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的應用以及分式方程的解法，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出每天銷售豬肉粽的利潤y與豬肉粽每盒售價x元的函數(shù)關(guān)系式．類型五：擲球問題5、圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向出擊時，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度（單位：）與飛行時間（單位：）之間具有二次函數(shù)關(guān)系．小明在一次擊球過程中測得一些數(shù)據(jù)，如下表所示．根據(jù)相關(guān)信息解答下列問題．飛行時間012飛行高度01520(1)求小球的飛行高度（單位：）關(guān)于飛行時間（單位：）的二次函數(shù)關(guān)系式；(2)小球從飛出到落地要用多少時間？(3)小球的飛行高度能否達到？如果能，請求出相應的飛行時間；如果不能，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)不能，理由見分析【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）令h=0即可求解；（3）令，得到方程無解即可判斷．(1)解：由題意可設(shè)關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系式為，因為當，2時，，20，∴，解得：．∴關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系式為．(2)解：當，，解得：，．∴小球從飛出到落地所用的時間為．(3)解：小球的飛行高度不能達到．理由如下：當時，，方程即為，∵，∴此方程無實數(shù)根．即小球飛行的高度不能達到．【點撥】此題主要考查一元二次方程與二次函數(shù)的實際應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出函數(shù)解析式，再根據(jù)題意進行解答．舉一反三：【變式1】2021年東京奧運會，中國跳水隊贏得8個項目中的7塊金牌，優(yōu)異成績的取得離不開艱辛的訓練．某跳水運動員在進行跳水訓練時，身體（看成一點）在空中的運動路線是如圖所示的一條拋物線，已知跳板AB長為2米，跳板距水面CD的高BC為3米，訓練時跳水曲線在離起跳點水平距離1米時達到距水面最大高度k米，現(xiàn)以CD為橫軸，CB為縱軸建立直角坐標系．(1)當時，求這條拋物線的解析式．(2)當時，求運動員落水點與點的距離．(3)圖中米，米，若跳水運動員在區(qū)域EF內(nèi)（含點E，F(xiàn)）入水時才能達到訓練要求，求k的取值范圍．【答案】(1)y=-（x-3）2+4(2)5米(3)【分析】（1）根據(jù)拋物線頂點坐標M（3，4），可設(shè)拋物線解析為：y=a（x-3）2+4，將點A（2，3）代入可得；（2）在（1）中函數(shù)解析式中令y=0，求出x即可；（3）若跳水運動員在區(qū)域EF內(nèi)（含點E，F(xiàn)）入水達到訓練要求，則在函數(shù)y=a（x-3）2+k，中，當米，y>0，當時，y=0，解不等式，即可求解．(1)解：如圖，根據(jù)題意得：拋物線頂點坐標M（3，4），A（2，3）可設(shè)拋物線解析為：y=a（x-3）2+4，∴3=a（2-3）2+4，解得：a=-1，∴拋物線解析式為：y=-（x-3）2+4；(2)解：由題意可得：當y=0時，0=-（x-3）2+4，解得：x1=1，x2=5，∴拋物線與x軸交點為：（5，0），∴當k=4時，運動員落水點與點C的距離為5米；(3)解：根據(jù)題意，拋物線解析式為：y=a（x-3）2+k，將點A（2，3）代入得：a+k=3，即a=3-k，若跳水運動員在區(qū)域EF內(nèi)（含點E，F(xiàn)）入水，當時，，即，∴，解得：，當時，，即，∴，解得：，∴跳水運動員在區(qū)域EF內(nèi)（含點E，F(xiàn)）入水時才能達到訓練要求，k的取值范圍為．【點撥】此題主要考查了二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意利用頂點式求出二次函數(shù)解析式是解題基礎(chǔ)，判斷入水的位置對應的拋物線上點的坐標特點是解題關(guān)鍵．【變式2】如圖所示的是小青同學設(shè)計的一個動畫示意圖，某彈球P（看作一點）從數(shù)軸上表示﹣8的點A處彈出后，呈拋物線y＝﹣x2﹣8x狀下落，落到數(shù)軸上后，該彈球繼續(xù)呈現(xiàn)原拋物線狀向右自由彈出，但是第二次彈出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次彈出的高度最大值是第二次高度最大值的一半，…，依次逐漸向右自由彈出．(1)根據(jù)題意建立平面直角坐標系，并計算彈球第一次彈出的最大高度．(2)當彈球P在數(shù)軸上兩個相鄰落點之間的距離為4時，求此時下落的拋物線的解析式．【答案】(1)16(2)y＝﹣（x﹣4）（x﹣44）【分析】（1）根據(jù)題意建立坐標系，根據(jù)函數(shù)解析式求出最大值即可；（2）分別求出彈球第二次、第三次的解析式，以及落地見的距離，當落地之間距離為4時求出解析式即可．(1)解：根據(jù)彈球彈出的位置和函數(shù)解析式建立如圖所示坐標系：∵拋物線解析式為y＝﹣x2﹣8x＝﹣（x﹣4）2+16，∴函數(shù)最大值為16，∴彈球第一次彈出的最大高度為16；(2)解：當y＝0時，則﹣x2﹣8x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣8，∴第一次相鄰兩落點之間的距離為：|﹣8﹣0|＝8，設(shè)第二次彈出時，彈球下落的拋物線的解析式為y＝﹣x（x﹣b），當x時，y＝168，∴（）＝8，解得b＝4或b＝﹣4（舍去），∴所求拋物線的解析式為y＝﹣x（x﹣4），∴第二次相鄰兩落點之間的距離為4，設(shè)第三次彈出時，彈球下落的拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣4）（x﹣c），當x時，y＝164，解得c＝44或c＝44（舍去），∴所求拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣4）（x﹣44），∴第三次相鄰兩落點之間的距離為|44﹣4|＝4，∴相鄰兩落點之間的距離為4時，彈球下落拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣4）（x﹣44）．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的實際應用，根據(jù)題意求出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．類型六：噴水問題6、如圖，從某建筑物的窗口A處用水管向外噴水，噴出的水成拋物線狀（拋物線所在平面與墻面垂直），點A離地面的高度為6米，拋物線的最高點P到墻的垂直距離為2米，到地面的垂直距離為8米，如圖建立平面直角坐標系．(1)求拋物線的解析式；(2)求水落地離墻的最遠距離OB．【答案】(1)(2)6米【分析】（1）根據(jù)題意可知該拋物線頂點坐標，且經(jīng)過點A（0，6），即可設(shè)拋物線的解析式為，再將A（0，6）代入，求出a即可；（2）對于該拋物線解析式，令y=0，求出x的值即可．(1)解：由題意可知拋物線的頂點坐標為（2，8），且經(jīng)過點A（0，6），∴設(shè)拋物線的解析式為，把A（0，6）代入得，解得：，∴．(2)解：令，得，解得：，（舍去），∴水落地離墻的最遠距離為6米．【點撥】本題考查二次函數(shù)的實際應用．根據(jù)題意，利用待定系數(shù)法求出解析式是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，一個圓形噴水池的中央垂直于水面安裝了一個柱形噴水裝置OA，O恰好在水面中心，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的平面上，按如圖所示建立直角坐標系，水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系式可以用表示，且拋物線經(jīng)過點，．請根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并確定噴水裝置OA的高度；(2)噴出的水流距水面的最大高度是多少米？(3)若不計其他因素，水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外？【答案】(1)噴水裝置OA的高度為米；(2)噴出的水流距水面的最大高度是米；(3)水池的半徑至少要1+米，才能使噴出的水流不至于落在池外【分析】（1）將點B、C坐標代入y＝﹣x2+bx+c列方程組求出b、c的值即可得解析式，令x＝0可得y的值，即噴水裝置OA的高度；（2）將拋物線解析式配方成頂點式即可得其最大值，即水流距水面的最大高度；（3）令y＝0可得對應x的值．(1)解：根據(jù)題意，將點B（，），C（2，）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣x2+2x+，當x＝0時，y＝，∴噴水裝置OA的高度為米；(2)解：∵y＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣1）2+，∴當x＝1時，y取得最大值，故噴出的水流距水面的最大高度是米；(3)解：當y＝0時，﹣x2+2x+＝0，解得：x1＝1﹣，x2＝1+，∵x1＝1﹣＜0，不合題意，舍去，∴x2＝1+，答：水池的半徑至少要1+米，才能使噴出的水流不至于落在池外．【點撥】本題是二次函數(shù)的實際應用，掌握拋物線頂點、與x軸交點、y軸交點的實際意義是解題的關(guān)鍵．【變式2】某游樂場的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向為x軸，點O為原點建立直角坐標系，點A在y軸上，x軸上點C，D為水柱的落水點，水柱所在拋物線第一象限部分的函數(shù)解析式為．（1）求雕塑高OA和落水點C，D之間的距離；（2）若需要在OD上的點E處豎立雕塑EF，，，，請通過計算說明頂部F是否會碰到水柱?【答案】（1），CD＝22m；（2）不會【分析】（1）求雕塑高,直接令，代入求解可得；（2）可先求出的距離，再根據(jù)對稱性求的長；再利用，計算出的函數(shù)值，再與的長進行比較可得結(jié)論．解：（1）由題意得，A點在圖象上．當時，．∵D點在圖象上．∴令，得．解得：（不合題意，舍去）．（2）由題意得：當時，，，∴不會碰到水柱．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及圖像關(guān)于軸對稱問題，解題的關(guān)鍵是：掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．類型七：增長率問題7、某種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是，計劃今后兩年增加產(chǎn)量．如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y將隨計劃所定的x的值而確定，y與x之間的關(guān)系應怎樣表示？【答案】，y是x的函數(shù)【分析】根據(jù)題意可得一年后的產(chǎn)量是，再經(jīng)過一年后的產(chǎn)量是，由此求解即可．解：這種產(chǎn)品的原產(chǎn)量是，一年后的產(chǎn)量是，再經(jīng)過一年后的產(chǎn)量是，即兩年后的產(chǎn)量，即①①式表示了兩年后的產(chǎn)量y與計劃增產(chǎn)的倍數(shù)x之間的關(guān)系，對于x的每一個值，y都有一個對應值，即y是x的函數(shù)．【點撥】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，利用增長問題獲得函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵，注意增加x倍是原來的（x+1）倍．舉一反三：【變式1】為積極響應國家“舊房改造”工程，該市推出《加快推進舊房改造工作的實施方案》推進新型城鎮(zhèn)化建設(shè)，改善民生，優(yōu)化城市建設(shè)．（1）根據(jù)方案該市的舊房改造戶數(shù)從2020年底的3萬戶增長到2022年底的4.32萬戶，求該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長率；（2）該市計劃對某小區(qū)進行舊房改造，如果計劃改造300戶，計劃投入改造費用平均20000元/戶，且計劃改造的戶數(shù)每增加1戶，投入改造費平均減少50元/戶，求舊房改造申報的最高投入費用是多少元？【答案】（1）20%；（2）6125000（元）【分析】（1）設(shè)平均增長率為x，根據(jù)題意列式求解即可；（2）設(shè)多改造y戶，最高投入費用為w元，根據(jù)題意列式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值．解：（1）設(shè)平均增長率為x，則x>0，由題意得：，解得：x=0.2或x=-2.2（舍），答：該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長率為20%；（2）設(shè)多改造a戶，最高投入費用為w元，由題意得：，∵a=-50，拋物線開口向下，∴當a-50=0，即a=50時，w最大，此時w=612500元，答：舊房改造申報的最高投入費用為612500元．【點撥】本題考查二次函數(shù)的實際應用，解題的關(guān)鍵是正確讀懂題意列出式子，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解．【變式2】為了打造“清潔能源示范城市”，東營市2016年投入資金2560萬元用于充電樁的安裝，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2018年在2016年的基礎(chǔ)上增加投入資金3200萬元.（1）從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為多少？（2）2019年東營市計劃再安裝A、B兩種型號的充電樁共200個.已知安裝一個A型充電樁需3.5萬元，安裝一個B型充電樁需4萬元，且A型充電樁的數(shù)量不多于B型充電樁的一半.求A、B兩種型號充電樁各安裝多少個時，所需資金最少，最少為多少？【答案】（1）從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為50%；（2）A、B兩種型號充電樁分別安裝66個，134個時所需資金最少，最少為767萬元【分析】(1)設(shè)從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為x，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程，即可求解；(2)設(shè)安裝A型充電樁a個，則安裝B型充電樁個，所需資金為萬元，列不等式，求出a的范圍，再求出的函數(shù)解析式，進而可求出答案.解：（1）設(shè)從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為x，根據(jù)題意得：，解得:，（舍去）.答：從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為50%；（2）設(shè)安裝A型充電樁a個，則安裝B型充電樁個，所需資金為萬元.根據(jù)題意，得:，解得:，，∵，∴隨a的增大而減小.∵a為整數(shù)，∴當時，最小，最小值為（萬元）.此時，.答：A、B兩種型號充電樁分別安裝66個，134個時，所需資金最少，最少為767萬元.【點撥】本題主要考查一次函數(shù)，二次函數(shù)以及一元一次不等式的實際應用，找到數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)解析式和一元一次不等式，是解題的關(guān)鍵.類型八：其他問題8、如圖，拋物線與軸交于，，與軸交于點．連接，，點在拋物線上運動．(1)求拋物線的表達式；(2)若點在第四象限，點在的延長線上，當時，求點的坐標；【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法即可求得答案．（2）根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷為直角三角形，從而利用等量代換即可求得，在軸上取點，連接，易證得，結(jié)合直線的解析式即可求得直線的解析式，根據(jù)交點的含義聯(lián)立方程組，解方程組即可求得答案．(1)解：把，代入，得，解得：，∴拋物線的解析式是．解：(2)令，則，即，∵，，，∴，為直角三角形，∴，∵，∴，在軸上取點，連接，如圖，則，∴，∴，∴，∵，，∴直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，把點代入，可得，∴直線的解析式為，解方程組，得或，∴點的坐標是．【點撥】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)