人教版九年級數(shù)學上冊 23.7 《旋轉(zhuǎn)》全章復習與鞏固（知識講解）

專題23.7《旋轉(zhuǎn)》全章復習與鞏固（知識講解）【學習目標】1、通過具體實例認識旋轉(zhuǎn)，探索它的基本性質(zhì)，理解對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)；2、通過具體實例認識中心對稱，探索它的基本性質(zhì)，理解對應點所連線段被對稱中心平分的性質(zhì)，了解平行四邊形、圓是中心對稱圖形；3、能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，欣賞旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實生活中的應用；4、探索圖形之間的變化關(guān)系（軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合），靈活運用軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的組合進行圖案設(shè)計．【要點梳理】要點一、旋轉(zhuǎn)1.旋轉(zhuǎn)的概念：把一個圖形繞著某一點O轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)..點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角(如∠AOA′),如果圖形上的點A經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄cA′，那么，這兩個點叫做這個旋轉(zhuǎn)的對應點.特別說明：旋轉(zhuǎn)的三個要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):(1)對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等（OA=OA′）；(2)對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；(3)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等(△ABC≌△).特別說明：圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，既可以按順時針旋轉(zhuǎn)也可以按逆時針旋轉(zhuǎn).3.旋轉(zhuǎn)的作圖:在畫旋轉(zhuǎn)圖形時，首先確定旋轉(zhuǎn)中心，其次確定圖形的關(guān)鍵點，再將這些關(guān)鍵沿指定的方向旋轉(zhuǎn)指定的角度，然后連接對應的部分，形成相應的圖形．作圖的步驟：(1)連接圖形中的每一個關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心；(2)把連線按要求（順時針或逆時針）繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角）；(3)在角的一邊上截取關(guān)鍵點到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點的對應點；(4)連接所得到的各對應點.要點二、特殊的旋轉(zhuǎn)—中心對稱1.中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心．這兩個圖形中的對應點叫做關(guān)于中心的對稱點．特別說明：（1）有兩個圖形，能夠完全重合，即形狀大小都相同；（2）位置必須滿足一個條件：將其中一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°能夠與另一個圖形重合(全等圖形不一定是中心對稱的，而中心對稱的兩個圖形一定是全等的).2.中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．特別說明：(1)中心對稱圖形指的是一個圖形；（2）線段，平行四邊形，圓等等都是中心對稱圖形.要點三、平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)之間的對比平移軸對稱旋轉(zhuǎn)相同點都是全等變換（合同變換），即變換前后的圖形全等．不同點定義把一個圖形沿某一方向移動一定距離的圖形變換．把一個圖形沿著某一條直線折疊的圖形變換．把一個圖形繞著某一定點轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換．圖形要素平移方向平移距離對稱軸旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度性質(zhì)連接各組對應點的線段平行（或共線）且相等．任意一對對應點所連線段被對稱軸垂直平分．對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角都等于旋轉(zhuǎn)角．對應線段平行（或共線）且相等．任意一對對應點所連線段被對稱軸垂直平分．*對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，即：對應點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等．【典型例題】類型一、旋轉(zhuǎn)三要素 1．如圖，E是正方形的邊上任意一點（不與點A，B重合），按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后恰好能夠與重合．旋轉(zhuǎn)中心是________，旋轉(zhuǎn)角為________；請你判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)點D；90°(2)等腰直角三角形，理由見分析【分析】（1）由已知可知，旋轉(zhuǎn)中心為點D，旋轉(zhuǎn)角∠ADC=90°，即可求解；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DE=DF，∠EDF=∠ADC=90，可得結(jié)論．(1)解：由題意得：旋轉(zhuǎn)中心是點D；旋轉(zhuǎn)角為∠ADC，在正方形ABCD中，∠ADC=90°，∴旋轉(zhuǎn)角為90°；故答案為：點D；90°(2)解：根據(jù)題意得：，，∴是等腰直角三角形．【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】在中，，，逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與重合，且點恰好成為中點，如圖．旋轉(zhuǎn)中心是點______，______；求直線與直線的夾角．【答案】(1),(2)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)后點與自身對應，則旋轉(zhuǎn)中心為點，進而根據(jù)，可知與對應，即可求解；（2）延長交于點，取中點，連接，證明是等邊三角形，進而求得在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，即直線與直線的夾角．(1)解：∵旋轉(zhuǎn)后點與自身對應，∴旋轉(zhuǎn)中心為點，，則旋轉(zhuǎn)后與不對應，則與對應故答案為：,(2)延長交于點，取中點，連接，，，逆時針旋轉(zhuǎn)后與重合，,是的中點，是等邊三角形又中即直線與直線的夾角為【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)一點，連接PA，PB，PC，將△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到△CBP′的位置．（1）旋轉(zhuǎn)中心是點__________，旋轉(zhuǎn)角度是__________．（2）連接PP′，△BPP′的形狀是__________三角形．（3）若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的長．【答案】（1）B，90°；（2）等腰直角；（3）6【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義解答；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BP=BP′，又旋轉(zhuǎn)角為90°，然后根據(jù)等腰直角三角形的定義判定；（3）①根據(jù)勾股定理列式求出PP′，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠BP′C=135°，再求出∠PP′C=90°，然后根據(jù)勾股定理列式進行計算即可得解．解：（1）∵P是正方形ABCD內(nèi)一點，△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到△CBP′的位置，∴旋轉(zhuǎn)中心是點B，點P旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是90度，故答案為：B，90°；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)BP=BP′，旋轉(zhuǎn)角為90°，∴△BPP′是等腰直角三角形；故答案為：等腰直角；（3）在等腰Rt△BPP'中，∵PB＝BP'＝4，∴PP′＝，∵∠BP′C＝∠BPA＝135°，∴∠PP′C＝∠BP′C－∠BP′P＝135°－45°＝90°，∵P'C＝PA＝2在Rt△PP′C中，PC＝【點撥】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．類型二、利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求值或證明 2．如圖，點是正方形內(nèi)一點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°至．若，，求；若，求的面積．【答案】(1)(2)的面積為【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，先算出，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得出；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出，，即可算出△CEF的面積．(1)解：∵，，∴，∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°至，∴．(2)∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°至，∴，，∴．【點撥】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出，，是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知在中，，，于點D．在邊BC上取一點E，連接DE，將線段DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，連接AF，交線段CD于點G．如圖，若點E與點C重合，求證：；探究線段AG與GF之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；若，請直接寫出點C與點F之間的最小距離，不必寫解答過程．【答案】(1)見分析(2)AG=GF，理由見分析(3)5【分析】（1）根據(jù)題意，△ABC是等腰直角三角形，CD⊥AB，所以CD=AD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，CD=CF，所以CF=AD，又因為∠GCF=∠GDA=90°，∠CGF=∠DGA，所以（ASA）；（2）作EH⊥BC，交CD于點H，連接FH，則可證明△FEH△CED(SAS)，得到FH=DC=AD，∠EHF=∠ECD=45°，從而證明∠FHG=90°，又因為對頂角相等，可證明△FGH△AGD(AAS)，所以AG=GF；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，，所以當CE取最小值0時CF有最小值5．解：(1)根據(jù)題意，△ABC是等腰直角三角形，∵∴CD是斜邊AB的中線∴CD=AD∵線段DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF∴∠FCG=∠ADG=90°，CD=CF∴AD=CF在和中∴（ASA）(2)AG=GF，理由如下：作EH⊥BC，交CD于點H，連接FH，如圖，∵△ABC是等腰直角三角形，CD⊥AB∴∠BCD==45°，CD=AD=∵EH⊥BC∴∠EHC=∠BCD=45°∴CE=HE∵∠FED+∠DEH=∠DEH+∠HEC∴∠FEH=∠DEC又∵EF=ED∴△FEH△CED(SAS)∴FH=DC=AD，∠EHF=∠ECD=45°∴∠CHF=∠CHE+∠EHF=45°+45°=90°∴∠FHG=90°=∠ADG又∵∠FGH=∠AGD∴△FGH△AGD(AAS)∴AG=GF(3)連接CF，∵FH=AD==，∴當CE最小時CF最小，CE最小值為0，∴CF最小值為點C與點F之間的最小距離為5．【點撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，P是等邊內(nèi)的一點，且，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到．旋轉(zhuǎn)角為_____度；求點P與點Q之間的距離；求的度數(shù)；求的面積．【答案】(1)60(2)4(3)150°(4)9．【分析】（1）根據(jù)△QCB是△PAB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，可知∠ABC為旋轉(zhuǎn)角即可得出答案，（2）連接PQ，根據(jù)等邊三角形得性質(zhì)得∠ABC＝60°，BA＝BC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，于是可判斷△PBQ是等邊三角形，所以PQ＝PB＝4；（3）先利用勾股定理的逆定理證明△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，再加上∠BPQ＝60°，然后計算∠BPQ+∠QPC即可．（4）由直角三角形的性質(zhì)可求CH，PH的長，由勾股定理和三角形的面積公式可求解．解：(1)∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵△QCB是△PAB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到的，∴旋轉(zhuǎn)角為60°故答案為：60；(2)連接PQ，如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，BA＝BC，∵△QCB是△PAB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到的，∴△QCB≌△PAB，∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，∴△PBQ是等邊三角形，∴PQ＝PB＝4；(3)∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，而32+42＝52，∴PC2+PQ2＝CQ2，∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，∵△PBQ是等邊三角形，∴∠BPQ＝60°，∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°；(4)如圖2，過點C作CH⊥BP，交BP的延長線于H，∵∠BPC＝150°，∴∠CPH＝30°，∴CHPC，PHHC，∴BH＝4，∴BC2＝BH2+CH2，∵S△ABCBC2，∴S△ABC）9．【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．類型三、中心對稱圖形與軸對稱圖形3、如圖，在平面直角坐標系中，為格點三角形（頂點為網(wǎng)格線的交點），∠ABC＝90°，點A的坐標為（1，4）．已知與關(guān)于點成中心對稱（點D，E，F(xiàn)分別為A，B，C的對應點，且）．連接AF，CD．若，畫出此時的位置；線段AF與CD的位置和大小關(guān)系是______；若四邊形AFDC是一個軸對稱圖形，則a的值為______．【答案】(1)見分析(2)，且(3)1【分析】（1）當時，點（a，0）即為原點，作出關(guān)于原點成中心對稱的圖形即可；（2）設(shè)對稱中心為點P（a，0），根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，即可得出結(jié)論；（3）當四邊形AFDC是菱形或矩形時，可得出a的值．(1)如圖，即為所畫；(2)如圖所示，，且故答案為：，且(3)∵是直角三角形，且B（1，0），∴與關(guān)于點成中心對稱時，四邊形AFDC是菱形，如圖，∴故答案為：1【點撥】本題考查作圖-中心對稱、軸對稱等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．舉一反三：【變式1】已知：是的角平分線，點E，F(xiàn)分別在上，且，．如圖1，求證：四邊形是平行四邊形；如圖2，若為等邊三角形，在不添加輔助線的情況下，請你直接寫出所有是軸對稱但不是中心對稱的圖形．【答案】(1)證明見分析(2)等邊，等邊，等邊，等腰，等腰梯形，等腰梯形【分析】（1）由角平分線可知，由平行可知，可得，，進而結(jié)論得證；（2）由題意可得四邊形是菱形，是等邊三角形的中點，然后根據(jù)在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形；在平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形；對圖中的三角形與四邊形的對稱性進行判斷即可．(1)證明：∵是的角平分線∴∵∴∴∴∵，∴四邊形是平行四邊形．(2)解：由（1）知四邊形是平行四邊形∴∵是等邊三角形∴∴∴四邊形是菱形∴∴是等邊三角形的中點∴∴由軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義可知，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的有：等邊，等邊，等邊，等腰，等腰梯形，等腰梯形．【點撥】本題考查了角平分線，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，軸對稱圖形，中心對稱圖形等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【變式2】在邊長為1個單位長度的正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標系，的頂點都在格點上，請解答下列問題：（1）作出向左平移4個單位長度后得到的，并寫出點的坐標；（2）作出關(guān)于原點對稱的，并寫出點的坐標；可看作以點（________，________）為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)________°得到的．（3）已知關(guān)于直線對稱的的頂點的坐標為，請直接寫出直線的函數(shù)解析式________．【答案】（1）圖見詳解，C1（-1，2）；（2）圖見詳解，C2（-3，-2），（-2，0），180；（3）y=-x【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可畫出向左平移4個單位后的；（2）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)即可作出關(guān)于原點對稱的，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可以知道直線必過點（-1，1），即可求出解析式．解：（1）如圖所示，點C1的坐標（-1，2）；（2）如圖所示，點C2的坐標（-3，-2），可看作以點（-2，0）為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)180°得到的；（3）因為A的坐標為（2，4），A3的坐標為（-4，-2），所以直線必過點（-1，1），所以直線的解析式為y=-x．【點撥】本題主要考查了平移，軸對稱，中心對稱的作圖，熟練其概念準確的畫出圖形是解決本題的關(guān)鍵．類型四、直角坐標系中的中心對稱圖形4、已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（－5，0）、B（－2，3）、C（－1，0）．畫出△ABC關(guān)于坐標原點O成中心對稱的△A′B′C′；將△ABC繞坐標原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出對應的△A′′B′′C′′；若以A′、B′、C′、D′為頂點的四邊形為平行四邊形，則在第四象限中的點D′坐標為．【答案】(1)見分析(2)見分析(3)（6，－2）【分析】（1）根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)解答；（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C繞坐標原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°的點A″、B″、C″的坐標，然后順次連接即可；（3）根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等解答．(1)如圖所示，△A′B′C′就是求作的圖形；(2)如圖所示，△A′′B′′C′′就是求作的三角形；(3)如圖所示，點D′坐標為（6，－2）；【點撥】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準確找出對應點的位置是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，△ABC三個頂點的坐標分別是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．若經(jīng)過平移后得到，已知點的對應點的坐標為，畫出；請畫出△ABC關(guān)于原點對稱的△A2B2C2．【答案】(1)見分析(2)見分析【分析】（1）根據(jù)C點的平移方式依次得到A點和B點的對應點的位置，順次相連即可；（2）根據(jù)中心對稱的定義確定對應點的位置后順次連接即可．(1)如圖，△A1B1C1即為所求．(2)如圖，△A2B2C2即為所求．【點撥】本題考查了平面直角坐標系內(nèi)的圖形的平移和中心對稱，解題關(guān)鍵是牢記平移作圖與中心對稱圖形的作圖方法．【變式2】已知拋物線y＝﹣2x2+8x﹣7．二次函數(shù)的圖象與已知拋物線關(guān)于y軸對稱，求它的解析式；二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與已知拋物線關(guān)于原點對稱，求a，b，c的值．【答案】(1)y＝﹣2x2﹣8x﹣7(2)a＝2，b＝8，c＝7【分析】（1）拋物線y＝﹣2x2+8x﹣7的圖象關(guān)于y軸對稱的拋物線x互為相反數(shù)，y不變進行求解即可；（2）拋物線y＝﹣2x2+8x﹣7的圖象關(guān)于原點對稱的拋物線x、y均互為相反數(shù)進行求解即可；(1)解：拋物線y＝﹣2x2+8x﹣7的圖象關(guān)于y軸對稱的拋物線x互為相反數(shù)，y不變，∴y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7；(2)拋物線y＝﹣2x2+8x﹣7的圖象關(guān)于原點對稱的拋物線x、y均互為相反數(shù)，∴﹣y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7，即y＝2x2+8x+7∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中的a＝2，b＝8，c＝7．【點撥】本題主要考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型五、旋轉(zhuǎn)幾何綜合拓展 5、△ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，．(1)【觀察猜想】當△ABC和△DEC按如圖1所示的位置擺放，連接BD、AE，延長BD交AE于點F，猜想線段BD和AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．(2)【探究證明】如圖2，將△DCE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，線段BD和線段AE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？如果成立，請證明：如果不成立，請說明理由．(3)【拓展應用】如圖3，在△ACD中，，，，將AC繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°至BC，連接BD，求BD的長．【答案】(1)，(2)成立，理由見分析(3)【分析】（1）通過證明，即可求證；（2）通過證明，即可求證；（3）過點C作，垂足為C，交AD于點H，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，即可求解．解：(1)，，證明如下：在和中，，，，，，，，，，；(2)成立，理由如下：∵，∴，即，在和中，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；(3)如圖，過點C作，垂足為C，交AD于點H，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：，，∵，∴，∵，且，∴，

∴，∴，在中：，∵，∴，即，在和中，∵，，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，

∴，∴，∴是直角三角形，在中，．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D為△ABC內(nèi)部的一動點（不在邊上），連接BD，將線段BD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使點B到達點F的位置；將線段AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，使點A到達點E的位置，連接AD，CD，AE，AF，BF，EF．（1）求證：△BDA≌△BFE；（2）①CD+DF+FE的最小值為；②當CD+DF+FE取得最小值時，求證：AD∥BF．（3）如圖2，M，N，P分別是DF，AF，AE的中點，連接MP，NP，在點D運動的過程中，請判斷∠MPN的大小是否為定值．若是，求出其度數(shù)；若不是，請說明理由．【答案】（1）見解答；（2）①；②見解答；（3）是，∠MPN=30°．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)60°知，∠ABD=∠EBF、AB=AE、BD=BF，故由SAS證出全等即可；（2）①由兩點之間，線段最短知C、D、F、E共線時CD+DF+FE最小，且CD+DF+FE最小值為CE，再由∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1求出BC和AB，再由旋轉(zhuǎn)知AB=BE，∠CBE=90°，最后根據(jù)勾股定理求出CE即可；②先由△BDF為等邊三角形得∠BFD=60°，再由C、D、F、E共線時CD+DF+FE最小，∠BFE=120°=∠BDA，最后ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，即證；（3）由中位線定理知道MN∥AD且PN∥EF，再設(shè)∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，則∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，得∠PNM=120°．（1）證明：∵∠DBF=∠ABE=60°，∴∠DBF-∠ABF=∠ABE-∠ABF，∴∠ABD=∠EBF，在△BDA與△BFE中，，∴△BDA≌△BFE（SAS）；（2）①∵兩點之間，線段最短，即C、D、F、E共線時CD+DF+FE最小，∴CD+DF+FE最小值為CE，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，∴BE=AB=2，BC=，∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，∴CE=，故答案為：；②證明：∵BD=BF，∠DBF=60°，∴△BDF為等邊三角形，即∠BFD=60°，∵C、D、F、E共線時CD+DF+FE最小，∴∠BFE=120°，∵△BDA≌△BFE，∴∠BDA=120°，∴∠ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，∴∠ADF=∠BFD，∴AD∥BF；（3）∠MPN的大小是為定值，理由如下：如圖，連接MN，∵M，N，P分別是DF，AF，AE的中點，∴MN∥AD且PN∥EF，∵AB=BE且∠ABE=60°，∴△ABE為等邊三角形，設(shè)∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，則∠AEF=∠APN=60°-α，∠EAD=60°+α，∴∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，∴∠PNM=∠PNF+∠FNM=60°-α+β+60°+α-β=120°，∵△BDA≌△BFE，∴MN=AD=FE=PN，∴∠MPN=(180°-∠PNM)=30°．【點撥】本題是三角形與旋轉(zhuǎn)變換的綜合應用，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、平行線的判定、勾股定理的應用、中位線的性質(zhì)及等腰、等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2】如圖1，正方形的邊長為4，點在邊上（不與重合），連接．將線段繞點順時針旋