2023-2024學(xué)年湖南師大附中思沁中學(xué)高一上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年湖南師大附中思沁中學(xué)高一上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．已知集合，那么A.（-1,2） B.（0，1）C.（-1,0） D.（1,2）2．函數(shù)的圖像大致為A. B.C. D.3．一個扇形的弧長為6，面積為6，則這個扇形的圓心角是（）A.1 B.2C.3 D.44．如圖是一個幾何體的三視圖，則此幾何體的直觀圖是.A. B.C. D.5．不等式對一切恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.6．若過，兩點的直線的傾斜角為，則y等于（）A. B.C.1 D.57．30°的弧度數(shù)為（）A. B.C. D.8．直線過點，且與軸正半軸圍成的三角形的面積等于的直線方程是（）A. B.C. D.9．某幾何體的三視圖如圖所示,它的體積為()A.72π B.48πC.30π D.24π10．已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．已知是半徑為，圓角為扇形,是扇形弧上的動點，是扇形的接矩形，則的最大值為________.12．函數(shù)的最大值是__________13．已知是定義在正整數(shù)集上的嚴格減函數(shù)，它的值域是整數(shù)集的一個子集，并且，，則的值為___________.14．若函數(shù)滿足：對任意實數(shù)，有且，當(dāng)時，，則時，________15．若，則實數(shù)____________.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．設(shè)函數(shù)，其中.（1）求函數(shù)的值域；（2）若，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（3）若在區(qū)間上為增函數(shù)，求的最大值.17．（1）計算：.（2）化簡：.18．已知函數(shù)是上的奇函數(shù).（1）求的值；（2）比較與0的大小，并說明理由.19．某農(nóng)戶利用墻角線互相垂直的兩面墻，將一塊可折疊的長為am的籬笆墻圍成一個雞圈，籬笆的兩個端點A，B分別在這兩墻角線上，現(xiàn)有三種方案：方案甲：如圖1，圍成區(qū)域為三角形；方案乙：如圖2，圍成區(qū)域為矩形；方案丙：如圖3，圍成區(qū)域為梯形，且.（1）在方案乙、丙中，設(shè)，分別用x表示圍成區(qū)域的面積，;（2）為使圍成雞圈面積最大，該農(nóng)戶應(yīng)該選擇哪一種方案，并說明理由.20．設(shè)是實數(shù)，（1）證明：f(x)是增函數(shù)；（2）試確定的值，使f(x)為奇函數(shù)21．一只口袋裝有形狀大小都相同的只小球，其中只白球，只紅球，只黃球，從中隨機摸出只球，試求（1）只球都是紅球的概率（2）只球同色概率（3）“恰有一只是白球”是“只球都是白球”的概率的幾倍？

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、A【解析】利用數(shù)軸，取所有元素，得【名師點睛】對于集合的交、并、補運算問題，應(yīng)先把集合化簡再計算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖處理2、A【解析】詳解】由得，故函數(shù)的定義域為又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除B又當(dāng)時，；當(dāng)時，．排除C，D．選A3、C【解析】根據(jù)扇形的弧長公式和扇形的面積公式，列出方程組，即可求解，得到答案.【詳解】設(shè)扇形所在圓的半徑為，由扇形的弧長為6，面積為6，可得，解得，即扇形的圓心角為.故選C.【點睛】本題主要考查了扇形的弧長公式，以及扇形的面積公式的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用扇形的弧長公式和扇形的面積公式，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】由已知可得原幾何體是一個圓錐和圓柱的組合體，上部分是一個圓錐，下部分是一個圓柱，而且圓錐和圓柱的底面積相等，故此幾何體的直觀圖是：故選D5、B【解析】當(dāng)時，得到不等式恒成立；當(dāng)時，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，不等式對一切恒成立，當(dāng)時，即時，不等式恒成立，符合題意；當(dāng)時，即時，要使得不等式對一切恒成立，則滿足，解得，綜上，實數(shù)a的取值范圍是.故選：B.6、B【解析】根據(jù)斜率的定義和坐標表達式即可求得結(jié)果.【詳解】，.【點睛】本題考查斜率的定義和坐標表達式，注意認真計算，屬基礎(chǔ)題.7、B【解析】根據(jù)弧度與角度之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系進行轉(zhuǎn)化即可．詳解】解：，故選．【點睛】本題考查了將角度制化為弧度制，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解析】先設(shè)直線方程為：，根據(jù)題意求出，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)所求直線方程為：，由題意得，且解得故，即.故選：A.【點睛】本題主要考查求直線的方程，熟記直線的斜截式方程即可，屬于?？碱}型.9、C【解析】由題意，結(jié)合圖象可得該幾何體是圓錐和半球體的組合體，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)即可計算出組合體的體積選出正確選項.由圖知，該幾何體是圓錐和半球體的組合體，球的半徑是3，圓錐底面圓的半徑是3，圓錐母線長為5，由圓錐的幾何特征可求得圓錐的高為4，則它的體積.考點：由三視圖求面積、體積10、B【解析】對于ACD，舉例判斷，對于B，分兩種情況判斷詳解】對于A，若時，滿足，而不滿足，所以A錯誤，對于B，當(dāng)時，則一定成立，當(dāng)時，由，得，則，所以B正確，對于C，若時，滿足，而不滿足，所以C錯誤，對于D，若時，則滿足，而不滿足，所以D錯誤，故選：B二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、【解析】設(shè),用表示出的長度,進而用三角函數(shù)表示出,結(jié)合輔助角公式即可求得最大值.【詳解】設(shè)扇形的半徑為,是扇形的接矩形則,所以則所以因為,所以所以當(dāng)時,取得最大值故答案為:【點睛】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用,將邊長轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式,結(jié)合輔助角公式求得最值是常用方法,屬于中檔題.12、【解析】由題意得，令，則，且故，，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，且，即函數(shù)的最大值為答案：點睛：（1）對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，當(dāng)其中一個式子的值知道時，其余二式的值可求，轉(zhuǎn)化的公式為(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα（2）求形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的函數(shù)的最值（或值域）時，可先設(shè)t＝sinx±cosx，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)求最值（或值域）13、【解析】利用嚴格單調(diào)減函數(shù)定義求得值，然后在由區(qū)間上整數(shù)個數(shù)，可確定的值【詳解】，根據(jù)題意，，又，，所以，即，，在上只有13個整數(shù)，因此可得，故答案為：14、【解析】由，可知.所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).，時，..對任意實數(shù)，有，可知函數(shù)關(guān)于點(1,0)中心對稱,所以，又.所以.綜上可知，時，.故答案為.點睛：抽象函數(shù)的周期性：（1）若，則函數(shù)周期為T；（2）若，則函數(shù)周期為（3）若，則函數(shù)的周期為；（4）若，則函數(shù)的周期為.15、5##【解析】根據(jù)題中條件，由元素與集合之間的關(guān)系，得到求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，解得.故答案為：.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）（2）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（3）【解析】（1）首先化簡函數(shù)，再求函數(shù)的值域；（2）利用代入法，求的范圍，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，即可求解函數(shù)的單調(diào)性；（3）由（1）可知，，首先求的范圍，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求的最大值.【小問1詳解】，所以函數(shù)的值域是；【小問2詳解】時，，當(dāng)，，當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；【小問3詳解】若，則，若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則，解得：，所以的最大值是.17、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪及對數(shù)的運算法則計算可得；（2）利用誘導(dǎo)公式及特殊值的三角函數(shù)值計算可得；【詳解】解：（1）（2）18、（1）；（2）【解析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)列式求解；（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解，利用單調(diào)性與奇偶性即可判斷出.【小問1詳解】因為是上的奇函數(shù)，所以，得時，，滿足為奇函數(shù)，所以.【小問2詳解】設(shè)，則，因，所以，所以，即，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，又因為為上的奇函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，即，所以，因為是上的奇函數(shù)，所以，所以【點睛】判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時，一般利用換元法，分別判斷內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性，再由同增異減的性質(zhì)判斷出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.19、（1），；，.（2）農(nóng)戶應(yīng)該選擇方案三，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)矩形面積與梯形的面積公式表示即可得答案；（2）先根據(jù)基本不等式研究方案甲得面積的最大值為，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合（1）研究，的最大值即可得答案.【小問1詳解】解：對于方案乙，當(dāng)時，，所以矩形的面積，；對于方案丙，當(dāng)時，，由于所以，所以梯形面積為，.【小問2詳解】解：對于方案甲，設(shè)，則，所以三角形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故方案甲的雞圈面積最大值為.對于方案乙，由（1）得，，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值.故方案乙的雞圈面積最大值為；對于方案丙，，.當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值.故方案丙的雞圈面積最大值為；由于所以農(nóng)戶應(yīng)該選擇方案丙，此時雞圈面積最大.20、（1）見解析（2）1【解析】（1）設(shè)x1、x2∈R且x1＜x2，用作差法，有f（x1）﹣f（x2）=，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析可得f（x1）﹣f（x2）＜0，可得f（x）的單調(diào)性且與a的值無關(guān)；（2）根據(jù)題意，假設(shè)f（x）是奇函數(shù)，由奇函數(shù)的定義可得，f（﹣x）=﹣f（x），即a﹣=﹣（a﹣），對其變形，解可得a的值，即可得答案【詳解】(1)證明：設(shè)x1、x2∈R且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=（a﹣）﹣（a﹣）=，又由y=2x在R上為增函數(shù)，則＞0，＞0，由x1＜x2，可得﹣＜0，則f（x1）﹣f（x2）＜0，故f（x）為增函數(shù)，與a的值無關(guān)，即對于任意a，f（x）在R為增函數(shù)；（2）若f（x）為奇函數(shù)，且其定義域為R，必有有f（﹣x）=﹣f（x），即a﹣=﹣（a﹣），變形可得2a==2，解可得，a=1，即當(dāng)a=1時，f（x）為奇函數(shù)【點睛】證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）取值：在定義域上任取，并且（或）；（2）作差：，并將此式變形（要注意變形到能判斷整個式子符號為止）；（3）定號：判斷的正負（要注意說理的充分性），必要時要討論；（4）下結(jié)論：根據(jù)定義得出其單調(diào)性.21、（1）（2）（3）8【解析】記兩只白球分別為，；兩只紅球分別為，；兩只黃球分別為，用列舉法得出從中隨機取2只的所有結(jié)果；（1）列舉只球都是紅球的種數(shù)，利用古典概型概率公式，可得結(jié)論；（2）列舉只球同色的種數(shù)，利用古典概型概率公式，可