專題3.1 從算式到方程【十大題型】（舉一反三）（人教版）（解析版）2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列（人教版）

第第頁(yè)專題3.1從算式到方程【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1方程的概念辨析】 1【題型2列方程】 3【題型3一元一次方程的概念辨析】 5【題型4根據(jù)方程的解求值】 7【題型5利用等式的性質(zhì)判斷變形正誤】 8【題型6利用等式的性質(zhì)解方程】 10【題型7利用等式的性質(zhì)比較大小】 13【題型9利用等式的性質(zhì)檢驗(yàn)方程的解】 17【題型10方程的解的規(guī)律問(wèn)題】 19【知識(shí)點(diǎn)1方程的定義】方程是含有未知數(shù)的等式，在這一概念中要抓住方程定義的兩個(gè)要點(diǎn)①等式；②含有未知數(shù)．【題型1方程的概念辨析】【例1】（2023春·湖南衡陽(yáng)·七年級(jí)衡陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┫铝懈魇街校孩?x?1=5；②4+8=12；③5y+8；④2x+3y=0；⑤2a+1=1；⑥2x2?5x?1，是方程的是（）A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤【答案】C【分析】根據(jù)方程的定義即可一一判定．【詳解】解：含有未知數(shù)的等式叫做方程，①2x?1=5是方程；②4+8=12，不含有未知數(shù)，故不是方程；③5y+8不是等式，故不是方程；④2x+3y=0是方程；⑤2a+1=1是方程；⑥2x故方程有：①④⑤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了方程的定義，熟練掌握和運(yùn)用方程的定義是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023秋·湖南常德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）宋元時(shí)期，中國(guó)數(shù)學(xué)家創(chuàng)立了“天元術(shù)”，用“天元”表示未知數(shù)，解題先要“立天元為某某”，相當(dāng)于“設(shè)x為某某”．“天元術(shù)”是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一項(xiàng)杰出創(chuàng)造，它指的是我們所學(xué)的（

）A．絕對(duì)值 B．有理數(shù) C．代數(shù)式 D．方程【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)展常識(shí)作答．【詳解】解：中國(guó)古代列方程的方法被稱為天元術(shù)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程，代數(shù)式，數(shù)學(xué)常識(shí)，方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)模型．【變式1-2】（2023秋·山東德州·七年級(jí)?？计谥校┫铝懈魇街胁皇欠匠痰氖牵ǎ〢．2x+3y=1 B．3π+4≠5C．﹣x+y=4 D．x=8【答案】B【分析】根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式叫方程），即可解答．【詳解】3π+4≠5中不含未知數(shù)，所以錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)睛】考查了方程的定義，在這一概念中要抓住方程定義的兩個(gè)要點(diǎn)①等式；②含有未知數(shù)．【變式1-3】（2023秋·江西贛州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于等式：x?1+2=3，下列說(shuō)法正確的是（

A．不是方程 B．是方程，其解只有2C．是方程，其解只有0 D．是方程，其解有0和2【答案】D【分析】根據(jù)方程的定義及方程解的定義可判斷選項(xiàng)的正確性．方程就是含有未知數(shù)的等式，方程的解是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．【詳解】解：|x-1|+2=3符合方程的定義，是方程，（1）當(dāng)x≥1時(shí)，x-1+2=3，解得x=2；（2）當(dāng)x＜1時(shí)，1-x+2=3，解得x=0．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的定義及方程解的定義，關(guān)鍵在于討論x的取值情況，從而通過(guò)解方程確定方程的解．【題型2列方程】【例2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）七年級(jí)學(xué)生人數(shù)為x，其中男生占52%，女生有150人，下列正確的是（

）A．1?52%x=150 B．x=150?52%xC．(1+52%)x=150 D．(1?52%)x=150【答案】D【分析】根據(jù)總?cè)藬?shù)×女生所占百分比=女生人數(shù)列方程即可求解．【詳解】解：由題意列方程得(1?52%)x=150．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)題意列方程，理解題意是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2023秋·山西陽(yáng)泉·七年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)下面所給條件，能列出方程的是（

）A．一個(gè)數(shù)的13是6 B．x與1的差的C．甲數(shù)的2倍與乙數(shù)的13 D．a(chǎn)與b【答案】A【分析】根據(jù)題意列出方程或代數(shù)式，即可求解．【詳解】A.一個(gè)數(shù)的13是6，設(shè)這個(gè)數(shù)為x，則有1B.x與1的差的14，根據(jù)題意列式為：1C.甲數(shù)的2倍與乙數(shù)的13，設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y，根據(jù)題意可得：2x，13D.a與b的和的60％，根據(jù)題意列式為：a+b×60故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了方程的定義，解題的關(guān)鍵是理解方程的定義，含有未知數(shù)的等式是方程．【變式2-2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）列等式表示“比a的3倍大5的數(shù)等于a的4倍”為．【答案】3a+5=4a【分析】根據(jù)已知對(duì)數(shù)量關(guān)系的描述列式即可．【詳解】解：∵a的3倍即3a，a的4倍即4a，比a的3倍大5的數(shù)即3a+5，∴所列等式為3a+5=4a，故答案為：3a+5=4a．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)對(duì)數(shù)量關(guān)系的描述列式，熟練掌握基本運(yùn)算的各種表述方法是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·河南南陽(yáng)·七年級(jí)校聯(lián)考期末）根據(jù)圖中給出的信息，可得正確的方程是（

）A．π×(82C．π×82x=π×【答案】A【分析】根據(jù)題意可得相等關(guān)系的量為“水的體積”，然后利用圓柱體積公式列出方程即可.【詳解】解：大量筒中的水的體積為：π×8小量筒中的水的體積為：π×6則可列方程為：π×8故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查列方程，解此題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找到題中相等關(guān)系的量，然后利用圓柱的體積公式列出方程即可.【知識(shí)點(diǎn)2一元一次方程的定義】只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b=0（a，b為常數(shù)，且a≠0）．一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是整式．一元指方程僅含有一個(gè)未知數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1，且未知數(shù)的系數(shù)不為0．我們將ax+b=0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且a≠0）叫一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式．這里a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，x的次數(shù)必須是1．【題型3一元一次方程的概念辨析】【例3】（2023春·福建泉州·七年級(jí)校考期中）在方程2x?y=6，x+1x?3=0，12x=A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)一元一次方程的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】2x?y=6中有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程；x+112x2故一元一次方程的個(gè)數(shù)為1個(gè)，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次方程，熟知只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程是解答此題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·上?！ち昙?jí)?？计谥校┓匠??3x2=1中，一次項(xiàng)是【答案】?【分析】一元一次方程中，含x的項(xiàng)叫做一次項(xiàng)，進(jìn)而直接得出答案．【詳解】4?3x2=1∴一次項(xiàng)是?3故答案是：?3【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的項(xiàng)，理解一元一次方程的一次項(xiàng)概念是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式中：2x?1=0，3x=?2；10x2?7x+2；5+(?3)=2；x?5y=1；x2?2x=1；ax+1=0（a≠0且a為常數(shù)），若方程個(gè)數(shù)記為【答案】3【分析】分別找出方程的個(gè)數(shù)和一元一次方程的個(gè)數(shù)即可求出m和n的值，從而可求出m?n的值.【詳解】∵2x?1=0，3x=?2；x?5y=1；x2?2x=1；ax+1=0（∴m=5；∵2x?1=0，ax+1=0（a≠0且a為常數(shù)）是一元一次方程，∴n=2，∴m?n=5?2=3.故答案為3.【點(diǎn)睛】本題考查了方程和一元一次方程的定義.含有未知數(shù)的等式叫做方程；方程的兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做一元一次方程，根據(jù)定義判斷即可.【變式3-3】（2023秋·河北邢臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若方程□?x=1是一元一次方程，則□不可以是（

）A．0 B．14x C．y 【答案】C【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程，據(jù)此分別判斷．【詳解】解：A、0?x=1是一元一次方程，故不合題意；B、14C、y?x=1不是元一次方程，故符合題意；D、?7?x=1是一元一次方程，故不合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)不是0，這是這類題目考查的重點(diǎn)．【知識(shí)點(diǎn)3方程的解】解方程就是求出使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解．【題型4根據(jù)方程的解求值】【例4】（2023秋·云南昆明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的方程2ax+b=12的解為x=1，則6a+3b=【答案】3【分析】將x=1代入2ax+b=12可得：2a+b=1【詳解】解：關(guān)于x的方程2ax+b=12的解為將x=1代入2ax+b=12可得：∴6a+3b=32a+b故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查方程的解與代數(shù)式求值，理解方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023秋·福建廈門·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若x=4是方程mx?3=5的解，則m=．【答案】2【分析】將x=4代入方程mx?3=5即可得到關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵x=4是方程mx?3=5的解，∴4m?3=5，解得：m=2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的解，解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟，將x=4代入方程mx?3=5是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023秋·云南紅河·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小剛同學(xué)在做作業(yè)時(shí)，不小心將方程3x?3?■=x+1中的一個(gè)常數(shù)涂黑了，在詢問(wèn)老師后，老師告訴她方程的解是x=7，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)被涂黑的常數(shù)■是（A．6 B．5 C．4 D．1【答案】C【分析】將x=7代入3x?3【詳解】解：將x=7代入3x?3?■=x+1得：12?■=8，解得：■=4，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握使方程兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解．【變式4-3】（2023秋·江蘇南京·七年級(jí)校聯(lián)考期末）若關(guān)于x的一元一次方程12023x?1=b的解為x=3，則關(guān)于x的一元一次方程12023x+1【答案】2【分析】根據(jù)方程12023x?1=b的解為x=3，得到12023x+1?1=b【詳解】解：∵方程12023x?1=b的解為∴12023x+1?1=b∴x=2；故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查方程的解．熟練掌握方程的解是使方程成立的未知數(shù)的值，是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)4等式的性質(zhì)】性質(zhì)1：等式兩邊加同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．【題型5利用等式的性質(zhì)判斷變形正誤】【例5】（2023春·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列利用等式的基本性質(zhì)變形錯(cuò)誤的是（

）A．如果x?5=12，則x=12+5 B．如果?4x=8，則x=?2C．如果13x=9，則x=3 D．如果4x+1=9【答案】C【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】A．x?5=12，則x=12+5，選項(xiàng)正確，不符合題意．

B．?4x=8，則x=?2，選項(xiàng)正確，不符合題意．

C．13x=9，則x=27D．4x+1=9，則4x=8，選項(xiàng)正確，不符合題意．

故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了等式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉等式的基本性質(zhì)．【變式5-1】（2023秋·浙江溫州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知3a=2b，則下列選項(xiàng)中的等式成立的是（

）A．9a=4b B．a(chǎn)3=b2 C．【答案】C【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、由3a=2b得9a=6b,原變形錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；B、由3a=2b得a2C、由3a=2b得3a?2=2b?2，原變形正確，故本選項(xiàng)符合題意；D、由3a=2b得不到3a+1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，能正確根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．等式的性質(zhì)：（1）等式兩邊加同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；（2）等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．【變式5-2】（2023秋·安徽阜陽(yáng)·七年級(jí)?？计谀┤鬭=b≠0，則下列式子中正確的是（填序號(hào)）．①a?2=b?2，②13a=12b【答案】①③④【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：根據(jù)等式性質(zhì)1，a=b兩邊都減2，即可得到a?2=b?2，故①正確；根據(jù)等式性質(zhì)2，a=b兩邊都乘以13，即可得到1根據(jù)等式性質(zhì)2，a=b兩邊都乘以?34，即可得到根據(jù)等式性質(zhì)2，a=b兩邊都乘，5，即可得到5a=5b，再根據(jù)等式性質(zhì)1，5a=5b兩邊都減1，可得5a?1=5b?1，故④正確；故正確的是①③④．故答案為：①③④【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，等式的性質(zhì)1：等式的兩邊同時(shí)加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等；等式的性質(zhì)2：等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等．熟知等式的兩條性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·上海黃浦·六年級(jí)統(tǒng)考期中）解方程x0.7?1.7?2xA．10x7?17?20xC．10x7?17?2x【答案】A【分析】利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)把方程左邊的分子，分母中的小數(shù)化為整數(shù)，從而可得答案．【詳解】解：∵x∴10x所以A正確，B,C,D錯(cuò)誤；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)，掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型6利用等式的性質(zhì)解方程】【例6】（2023秋·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期中）用等式的性質(zhì)解下列方程：(1)4x?2=2；解：方程兩邊同時(shí)加上，得：；方程兩邊同時(shí)，得：．(2)12【答案】(1)2；4x=4；除以4；x=1(2)x=8【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)方程兩邊同時(shí)加上2，然后方程兩邊同時(shí)除以4，即可求解；（2）根據(jù)等式的性質(zhì)方程兩邊同時(shí)減去2，然后方程兩邊同時(shí)乘以2，即可求解．【詳解】（1）解：4x?2=2；方程兩邊同時(shí)加上2，得：4x=4；方程兩邊同時(shí)除以4，得：x=1；故答案為：2；4x=4；除以4；x=1；（2）解：121212x=8．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等；等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．【變式6-1】（2023秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級(jí)校聯(lián)考期中）利用等式性質(zhì)解方程（1）2x-5=x-5（2）?【答案】（1）x=0；（2）x=?39【分析】（1）根據(jù)等式性質(zhì)1，方程兩邊同時(shí)加上－x+5即可求得x；（2）根據(jù)等式性質(zhì)1，方程兩邊分別加上5，再利用等式性質(zhì)2即可求得x．【詳解】（1）方程兩邊都加上－x+5，得：2x-5－x+5=x-5－x+5合并同類項(xiàng)得：x=0（2）方程兩邊都加上5，得：?合并同類項(xiàng)得：?方程兩邊都乘-3，得：x=－39【點(diǎn)睛】本題考查了等式的兩個(gè)性質(zhì)，等式的兩個(gè)性質(zhì)是解方程的基礎(chǔ)，因此掌握等式的兩個(gè)性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023秋·北京·七年級(jí)?？计谥校├玫仁叫再|(zhì)補(bǔ)全下列解方程過(guò)程：3?解：根據(jù)等式性質(zhì)1，兩邊同時(shí)，可得3?1于是?1根據(jù)____________兩邊同時(shí)乘以-3，可得x=_______．【答案】減去3；-3；1；等式的性質(zhì)2；-3【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)解方程【詳解】解：3?1根據(jù)等式性質(zhì)1，兩邊同時(shí)減去3，可得3?1于是?1根據(jù)等式的性質(zhì)2，兩邊同時(shí)乘以-3，可得x=-3，故答案為：減去3；-3；1；等式的性質(zhì)2；-3．【點(diǎn)睛】本題考查等式的性質(zhì)，熟知等式的基本性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023秋·湖北咸寧·七年級(jí)?？计谥校├玫仁降男再|(zhì)解方程(1)4x?4=3(x+1)(2)2y+1【答案】(1)x=7(2)y=4【分析】（1）去括號(hào)，然后用等式的性質(zhì)求解即可；（2）利用等式的性質(zhì)去分母，然后進(jìn)一步求解即可；【詳解】（1）解：4x?4=3(x+1)去括號(hào)得：4x?4=3x+3等式兩邊同時(shí)加上(?3x+4)，得：4x?3x?4+4=3x?3x+3+4合并同類項(xiàng)得：x=7；（2）解：2y+13等式兩邊同時(shí)乘3得：2y+1=21?3y等式兩邊同時(shí)加上(3y?1)，得：5y=20等式兩邊同時(shí)除以5，得：y=4．【點(diǎn)睛】本題考查了用等式的性質(zhì)解方程；熟練掌握等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型7利用等式的性質(zhì)比較大小】【例7】（2023秋·云南昆明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知2m﹣1＝2n，利用等式的性質(zhì)比較m，n的大小是(

)A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．無(wú)法確定【答案】A【分析】等式兩邊同時(shí)除以2，減去n，加上12【詳解】等式兩邊同時(shí)除以2得：m﹣12＝n等式兩邊同時(shí)減去n得：m﹣n﹣12等式兩邊同時(shí)加上12m﹣n＝12即m﹣n＞0，即m＞n，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的基本性質(zhì)，正確掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．等式的基本性質(zhì)1是等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)整式，所得的結(jié)果仍是等式；等式的基本性質(zhì)2是等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能為0），所得的結(jié)果仍是等式.【變式7-1】（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知5a?3b?1=5b?3a，利用等式的基本性質(zhì)比較a，b的大小.【答案】a>b【分析】利用等式的性質(zhì)將一個(gè)字母用另一個(gè)字母表示出來(lái)，再判斷．【詳解】解：等式兩邊同時(shí)加3b+1，得5a=8b-3a+1．等式兩邊同時(shí)加3a，得8a=8b+1．等式兩邊同時(shí)除以8，得a=b+18所以a＞b．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)．等式性質(zhì)：1、等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或字母，等式仍成立；2、等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0數(shù)或字母，等式仍成立．【變式7-2】（2023秋·江蘇泰州·七年級(jí)?？计谀┮阎?m+2n﹣5=m+5n，利用等式的性質(zhì)比較m與n的大小關(guān)系：mn（填“＞”，“＜”或“=”）．【答案】>【分析】利用等式的性質(zhì)兩邊同時(shí)減去(m+5n-5)，可得3m-3n=5，等式的兩邊再同時(shí)除以3可得，m-n=53【詳解】解：等式的兩邊同時(shí)減去(m+5n-5)，可得3m-3n=5，等式的兩邊再同時(shí)除以3可得，m-n=53故答案為＞.【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì).【變式7-3】（2023·甘肅武威·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知34m﹣1=3【答案】m＞n．【詳解】試題分析：根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，最后得到m與n的差，根據(jù)差的正負(fù)即可進(jìn)行判斷.試題解析：等式兩邊同時(shí)乘以4得：3m-4=3n，整理得：3（m-n）=4，∴m-n＞0，則m＞n．【點(diǎn)睛】此題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【題型8等式的性質(zhì)在天平中的運(yùn)用】【例8】（2023春·河北石家莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）“○”“口”“△”分別表示三種不同的物體，用天平比較它們的大小，兩次情況如圖．那么，每個(gè)“○”“口”“△”按質(zhì)量大小的順序排列為（）A．〇△□ B．〇□△ C．□〇△ D．△□〇【答案】B【分析】根據(jù)圖一可知〇與□質(zhì)量大小關(guān)系，根據(jù)圖二可知□與△的質(zhì)量大小關(guān)系，即可求解．【詳解】由圖1可知〇〇＞□〇∴1個(gè)〇的質(zhì)量大于1個(gè)□的質(zhì)量，由圖2可知△△△=□△∴1個(gè)□的質(zhì)量等于2個(gè)△的質(zhì)量，∴1個(gè)□質(zhì)量大于1個(gè)△質(zhì)量．∴按質(zhì)量大小的順序排列〇□△故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）有15盒餅干，其中的14盒質(zhì)量相同另有一盒少了幾塊，如果能用天平稱，至少()次保證可以找出這盒餅干．【答案】3【分析】把15盒餅干進(jìn)行分組，天平兩端擺放相同的盒數(shù)，利用天平的原理進(jìn)行求解．【詳解】解：把15盒分成5、5、5三份，第一次在天平兩端各放5盒，若平衡，少了幾塊的一盒在沒(méi)稱的5盒中，若不平衡，少了幾塊的一盒在較輕一端的5盒中；把5盒分成2、2、1三份，第二次在天平兩端各放2盒，若平衡，少了幾塊的一盒是沒(méi)稱的那一盒，若不平衡，少了幾塊的一盒在較輕一端的2盒中；第三次在天平兩端各放1盒，即可找到少了幾塊的一盒．綜上可知，至少稱3次可以保證找出這盒餅干．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了學(xué)生根據(jù)天平的原理解答問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是具備一定的邏輯思維能力，方法不唯一．【變式8-2】（2023秋·廣東江門·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）設(shè)■，●，▲分別表示三種不同的物體，如圖所示，前兩架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右邊不能放的是（

）

A．▲▲▲▲ B．▲▲▲▲▲ C．●●▲ D．●▲▲▲【答案】A【分析】設(shè)■，●，▲代表的三個(gè)物體的重量分別為a、b、c，根據(jù)前面兩幅圖可以得到2a=b+c，a+b=c進(jìn)而推出a=2b，c=3b，由此即可得到答案．【詳解】解：設(shè)■，●，▲代表的三個(gè)物體的重量分別為a、b、c，由左邊第一幅圖可知a+c=2b①，由中間一幅圖可知b+c=a②，∴①?②得∴2a=3b，∴a=3由②得，c=a?b=32∴a=3c∴a+b=5c，故A不正確，B正確，a+b=3c+b=2c+b+c=b+b+c=2b+c，故C，D正確，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)，正確理解題意得到a=3c，b=2c是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023秋·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）我們知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性質(zhì)．【提出問(wèn)題】能否借助一架天平和一個(gè)10克的砝碼測(cè)量出一個(gè)乒乓球和一個(gè)一次性紙杯的質(zhì)量？【實(shí)驗(yàn)探究】準(zhǔn)備若干相同的乒乓球和若干相同的一次性紙杯（每個(gè)乒乓球的質(zhì)量相同，每個(gè)紙杯的質(zhì)量也相同），設(shè)一個(gè)乒乓球的質(zhì)量是x克，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)，將有關(guān)信息記錄在下表中：記錄天平左邊天平右邊天平狀態(tài)乒乓球總質(zhì)量一次性紙杯的總質(zhì)量記錄一5個(gè)乒乓球，1個(gè)10克的砝碼15個(gè)一次性紙杯平衡5x______記錄二3個(gè)乒乓球1個(gè)一次性紙杯1個(gè)10克的砝碼平衡3x______【解決問(wèn)題】（1）將表格中兩個(gè)空白部分用含x的代數(shù)式表示；（2）分別求出一個(gè)乒乓球的質(zhì)量和一個(gè)一次性紙杯的質(zhì)量．【及時(shí)遷移】（3）借助以上相關(guān)數(shù)據(jù)以及實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)，你能設(shè)計(jì)一種方案，使實(shí)驗(yàn)中選取的乒乓球的個(gè)數(shù)是紙杯的個(gè)數(shù)的3倍嗎？請(qǐng)補(bǔ)全下面橫線上內(nèi)容，完善方案，并說(shuō)明方案設(shè)計(jì)的合理性．方案：將天平左邊放置______，天平右邊放置______，使得天平平衡．理由：【答案】（1）5x+10；3x?10；（2）一個(gè)乒乓球的質(zhì)量為4克，一個(gè)一次性紙杯的質(zhì)量為2克；（3）3個(gè)乒乓球，1個(gè)一次性紙杯和1個(gè)10克的砝碼，詳見(jiàn)解析；【分析】解決問(wèn)題：（1）用乒乓球的總質(zhì)量加上砝碼的總質(zhì)量可得答案；（2）根據(jù)題意列出方程，求解可得答案；及時(shí)遷移：根據(jù)乒乓球、紙杯、砝碼的質(zhì)量設(shè)計(jì)即可，只是平衡即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得：記錄一中的一次性紙杯的總質(zhì)量為：5x+10；記錄二中的一次性紙杯的總質(zhì)量為：3x?10，故答案為：5x+10；3x?10，（2）由題意得：5x+10=15(3x?10)，解得：x=4，∴3x?10=2答：一個(gè)乒乓球的質(zhì)量為4克，一個(gè)一次性紙杯的質(zhì)量為2克．及時(shí)遷移：將天平左邊放置3個(gè)乒乓球，天平右邊放置1個(gè)一次性紙杯和1個(gè)10克的砝碼，使得天平平衡．故答案為：3個(gè)乒乓球，1個(gè)一次性紙杯和1個(gè)10克的砝碼，理由：不唯一，算術(shù)方法或者方程方法說(shuō)明都可以，言之有理即可．【點(diǎn)睛】此題考查的是等式的性質(zhì)、列代數(shù)式，掌握等式兩邊加同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式是解決此題的關(guān)鍵．【題型9利用等式的性質(zhì)檢驗(yàn)方程的解】【例9】（2023秋·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）整式mx?n的值隨x取值的變化而變化，下表是當(dāng)x取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的整式的值：x?5?4?3?2?11mx?n9630?3?9則關(guān)于x的方程?mx+n=9的解為（

）A．x=?5 B．x=?4 C．x=?2 D．x=1【答案】D【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)把?mx+n=9變形為mx?n=?9；再根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】解：關(guān)于x的方程?mx+n=9變形為mx?n=?9，由表格中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)?mx+n=9時(shí)，x=1；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行等式變形，根據(jù)表格求解．【變式9-1】（2023秋·甘肅白銀·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列方程中，其解為x=?2的是（

）A．3x?4=2 B．3x+1?3=0 C．2x=?1 【答案】D【分析】把x=?2分別代入各選項(xiàng)左邊代數(shù)式求值，然后比較判定即可；【詳解】解：A.當(dāng)x=-2時(shí)，3x?4=?6?4=?0≠2，故不符合題意；B.當(dāng)x=-2時(shí)，3x+1C.當(dāng)x=-2時(shí)，2x=2×?2D.當(dāng)x=-2時(shí)，x+75故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，熟練掌握解的定義是解答本題的關(guān)鍵，能使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．【變式9-2】（2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）檢驗(yàn)下列方程后面小括號(hào)內(nèi)的數(shù)是否為相應(yīng)方程的解．(1)2x+5=10x?3,x=1(2)0.52x?1?0.52【答案】(1)是(2)不是【分析】（1）將x=1分別代入方程兩邊，再比較兩邊，若相等，則x=1是該方程的解，否則不是；（2）將x=1000分別代入方程兩邊，再比較兩邊，若相等，則x=1000是該方程的解，否則不是．【詳解】（1）解：當(dāng)x=1時(shí)，左邊=2x+5=7，右邊=10x?3=7，左邊=右邊，∴x=1是該方程的解．（2）解：當(dāng)x=1000時(shí)，左邊=0.52x?1?0.52右邊=80，左邊≠右邊，∴x=1000不是方程的解．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握使方程兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解．【變式9-3】（2023春·上海·六年級(jí)專題練習(xí)）x=2是方程ax﹣4=0的解，檢驗(yàn)x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解．【答案】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由見(jiàn)解析.【分析】x=3不是方程2ax-5=3x-4a的解，理由為：由x=2為已知方程的解，把x=2代入已知方程求出a的值，再將a的值代入所求方程，檢驗(yàn)即可．【詳解】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由為：∵x=2是方程ax﹣4=0的解，∴把x=2代入得：2a﹣4=0，解得：a=2，將a=2代入方程2ax﹣5=3x﹣4a，得4x﹣5=3x﹣8，將x=3代入該方程左邊，則左邊=7，代入右邊，則右邊=1，左邊≠右邊，則x=3不是方程4x﹣5=3x﹣8的解．【點(diǎn)睛】此