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培優(yōu)拓展(八)隱形圓問題有些數學問題,題設沒有明確給出圓的相關信息,而是隱含在題目條件中,需要我們通過分析、轉化,發(fā)現這些隱藏的圓(簡稱隱圓),再利用圓的知識來求解,我們稱這類問題為隱形圓問題,是近年高考題和各地模擬題命題的熱點.類型1利用圓的定義或圓的幾何性質確定隱圓例1(2020全國Ⅰ,理11)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直線l:2x+y+2=0,P為l上的動點.過點P作☉M的切線PA,PB,切點為A,B,當|PM|·|AB|最小時,直線AB的方程為(

)A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0D增分技巧如果一個四邊形的對角互補,那么它就一定有外接圓,特別地,如果一組對角為直角,則外接圓的直徑即直角所對的那條對角線.類型2由圓周角的性質確定隱形圓例2(2023江蘇常州模擬)已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=r2,A(-1,0),B(1,0).若圓C上存在點P,使得∠APB=90°,則正數r可以是__________.(只要寫出一個符合條件的r即可)5解析

因為點A(-1,0),B(1,0),而點P滿足∠APB=90°,所以點P的軌跡是以線段AB為直徑的圓O(除點A,B外),圓O:x2+y2=1(y≠0),半徑r1=1.又點P在圓C:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0)上,圓C的圓心C(3,4),半徑為r,|OC|=

=5,依題意,圓O與圓C有公共點,所以|r-r1|≤|OC|≤r+r1,即|r-1|≤5≤r+1,解得4≤r≤6.增分技巧利用圓的性質、圓周角為直角即可得到:若PA⊥PB或∠APB=90°,則點P的軌跡是以AB為直徑的圓(除點A,B外).注意有時候軌跡中要刪除不滿足條件的點.類型3阿波羅尼斯圓

ABD增分技巧在平面上給定相異的兩點A,B,設點P與點A,B在同一平面上,且滿足|PA|=λ|PB|,當λ>0且λ≠1時,點P的軌跡是一個圓.

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