北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊 專題3.1 概率的進(jìn)一步認(rèn)識【九大題型】（舉一反三）（教師版）111

專題3.1概率的進(jìn)一步認(rèn)識【九大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1列舉法或樹狀圖求概率（卡片問題）】 1【題型2列舉法或樹狀圖求概率（轉(zhuǎn)盤問題）】 3【題型3列舉法或樹狀圖求概率（不放回的摸球問題）】 7【題型4列舉法或樹狀圖求概率（放回的摸球問題）】 9【題型5列舉法或樹狀圖求概率（電路問題）】 11【題型6列舉法或樹狀圖求概率（數(shù)字問題）】 14【題型7列舉法或樹狀圖求概率（實際應(yīng)用問題）】 16【題型8利用頻率估計概率】 19【題型9統(tǒng)計概率綜合】 22【知識點1用列表法求概率】當(dāng)一次試驗要涉及兩個因素并且可能出現(xiàn)得結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能得結(jié)果，通常用列表法。列表法就是用表格得形式反映事件發(fā)生得各種情況出現(xiàn)得次數(shù)與方式，以及某一事件發(fā)生得可能得次數(shù)與方式，并求出概率得方法?！局R點2用樹狀圖求概率】當(dāng)一次試驗要涉及3個或更多得因素時，列方形表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能得結(jié)果，通常采用樹形圖。樹形圖就是反映事件發(fā)生得各種情況出現(xiàn)得次數(shù)與方式，并求出概率得方法。（1）樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)得總次數(shù)不就是很大時求概率得方法。（2）在用列表法與樹形圖法求隨機事件得概率時，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)得可能性務(wù)必相同。【題型1列舉法或樹狀圖求概率（卡片問題）】【例1】（2023?蘭考縣二模）現(xiàn)有A、B兩個不透明的盒子，A盒里有兩張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1、2，B盒里有三張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字3、4、5，這些卡片除數(shù)字外其余都相同，將卡片充分搖勻．從A盒、B盒里各隨機抽取一張卡片，則抽到的兩張卡片上標(biāo)有的數(shù)字之和大于5的概率為（）A．56 B．12 C．13【分析】畫出樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片上標(biāo)有的數(shù)字之和大于5的有3種情況，再由概率公式即可求得答案．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片上標(biāo)有的數(shù)字之和大于5的有3種情況，∴兩次抽取的卡片上數(shù)字之和大于5的概率為36故選：B．【變式1-1】（2023?肇東市校級一模）現(xiàn)有三張正面分別標(biāo)有數(shù)字﹣1，2，3的不透明卡片，它們除數(shù)字外其余完全相同，將它們背面朝上洗均勻，隨機抽取一張，記下數(shù)字后放回，背面朝上洗均勻，再隨機抽取一張記下數(shù)字，前后兩次抽取的數(shù)字分別記為m，n，則點P（m，n）在第二象限的概率為（）A．12 B．13 C．23【分析】畫樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，利用第二象限內(nèi)點的坐標(biāo)特征確定點P（m，n）在第二象限的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【解答】解：畫樹狀圖為：共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中點P（m，n）在第二象限的結(jié)果數(shù)為2，所以點P（m，n）在第二象限的概率=2故選：D．【變式1-2】（2023?寧夏）喜迎黨的二十大召開，學(xué)校推薦了四部影片：《1921》、《香山葉正紅》、《建黨偉業(yè)》、《建軍大業(yè)》．甲、乙同學(xué)用抽卡片的方式?jīng)Q定本班觀看哪部，四張卡片正面分別是上述影片劇照，除此之外完全相同．將這四張卡片背面朝上，甲隨機抽出一張并放回，洗勻后，乙再隨機抽出一張，則兩人恰好抽到同一部的概率是14【分析】畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人恰好抽到同一部的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．【解答】解：把影片劇照《1921》、《香山葉正紅》、《建黨偉業(yè)》、《建軍大業(yè)》的四張卡片分別記為A、B、C、D，畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人恰好抽到同一部的結(jié)果有4種，∴甲、乙兩人恰好抽到同一部的概率為416故答案為：14【變式1-3】（2023?新野縣一模）現(xiàn)有四張完全相同的卡片，在正面分別標(biāo)有數(shù)字0，﹣9，﹣3，8，把卡片背面朝上洗勻，然后從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片上的數(shù)字的積恰好是0的概率是（）A．712 B．13 C．12【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中這兩張卡片上的數(shù)字的積恰好是0的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中這兩張卡片上的數(shù)字的積恰好是0的結(jié)果有6種，∴這兩張卡片上的數(shù)字的積恰好是0的概率是612故選：C．【題型2列舉法或樹狀圖求概率（轉(zhuǎn)盤問題）】【例2】（2023?海港區(qū)模擬）如圖，是兩個圓形轉(zhuǎn)盤，同時旋轉(zhuǎn)兩個轉(zhuǎn)盤，兩個轉(zhuǎn)盤的指針都不落在“1”區(qū)域的概率是（）A．34 B．14 C．38【分析】用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況，再從中找出兩個轉(zhuǎn)盤的指針都不落在“1”區(qū)域的結(jié)果情況，進(jìn)而求出相應(yīng)的概率．【解答】解：用列表法表示所有空白出現(xiàn)的結(jié)果情況如下：共有8種能可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中兩個轉(zhuǎn)盤的指針都不落在“1”區(qū)域的有3種，所以兩個轉(zhuǎn)盤的指針都不落在“1”區(qū)域的概率為38故選：C．【變式2-1】（2023?安徽模擬）如圖是一個游戲轉(zhuǎn)盤，連續(xù)自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次（如果落在分隔線上，則重新轉(zhuǎn)動，直至轉(zhuǎn)到其中一塊區(qū)域），則兩次轉(zhuǎn)動指針都落在數(shù)字“Ⅲ”所示區(qū)域內(nèi)的概率是（）A．19 B．16 C．14【分析】畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，兩次轉(zhuǎn)動指針都落在數(shù)字“Ⅲ”所示區(qū)域內(nèi)的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．【解答】解：如圖，把分隔線上方的兩個扇形記為A、B，下方的半圓分成兩個小扇形記為C、D，畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，兩次轉(zhuǎn)動指針都落在數(shù)字“Ⅲ”所示區(qū)域內(nèi)的結(jié)果有4種，∴兩次轉(zhuǎn)動指針都落在數(shù)字“Ⅲ”所示區(qū)域內(nèi)的概率為416故選：C．【變式2-2】（2023?鹽城校級模擬）如圖所示，可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤被3等分，指針落在每個扇形內(nèi)的機會均等．（1）現(xiàn)隨機轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，停止后，指針指向2的概率為13（2）小明和小華利用這個轉(zhuǎn)盤做游戲，若采用下列游戲規(guī)則，你認(rèn)為對雙方公平嗎？請用列表或畫樹狀圖的方法說明理由．游戲規(guī)則：隨機轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次，停止后，指針各指向一個數(shù)字，若兩數(shù)之積為偶數(shù)，則小明勝；否則小華勝．【分析】（1）三個等可能的情況中出現(xiàn)3的情況有一種，求出概率即可；（2）列表得出所有等可能的情況數(shù)，求出兩人獲勝的概率，比較即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：隨機轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，停止后，指針指向3的概率為13故答案為：13（2）列表得：1231（1，1）（2，1）（3，1）2（1，2）（2，2）（3，2）3（1，3）（2，3）（3，3）所有等可能的情況有9種，其中兩數(shù)之積為偶數(shù)的情況有5種，之積為奇數(shù)的情況有4種，∴P（小明獲勝）=59，P（小華獲勝）∵59∴該游戲不公平．【變式2-3】（2023?沈河區(qū)一模）如圖是甲、乙兩個轉(zhuǎn)盤，其中甲轉(zhuǎn)盤被分成四個面積相等的扇形，乙轉(zhuǎn)盤被分成三個面積相等的扇形，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)以時，如指針恰好停在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一扇形區(qū)域為止．（1）轉(zhuǎn)動甲轉(zhuǎn)盤時指針指向偶數(shù)區(qū)域的概率是12（2）請用樹狀圖或列表法求分別轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤各一次得到的兩個數(shù)字之和為5的概率．【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；（2）列表得出所有等可能解果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：（1）轉(zhuǎn)動甲轉(zhuǎn)盤時指針指向偶數(shù)區(qū)域的概率是24故答案為：12（2）列表如下：1234123452345634567由表知，共有12種等可能結(jié)果，其中轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤各一次得到的兩個數(shù)字之和為5的有3種結(jié)果，∴轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤各一次得到的兩個數(shù)字之和為5的概率為312【題型3列舉法或樹狀圖求概率（不放回的摸球問題）】【例3】（2023?武漢模擬）甲、乙兩名同學(xué)玩一個游戲：在一個不透明的口袋中裝有標(biāo)號分別為1，2，3，4的四個小球（除標(biāo)號外無其他差異）．從口袋中隨機摸出兩個小球，記下標(biāo)號．若兩個小球的標(biāo)號之積為奇數(shù)，則甲獲勝；若兩個小球的標(biāo)號之積為偶數(shù)，則乙獲勝．乙獲勝的概率是（）A．112 B．16 C．12【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩個小球的標(biāo)號之積為偶數(shù)的結(jié)果有10種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩個小球的標(biāo)號之積為偶數(shù)的結(jié)果有10種，∴乙獲勝的概率=10故選：D．【變式3-1】（2023?沙坪壩區(qū)校級開學(xué)）不透明的袋子中裝了2個紅球，1個黑球，1個白球，這些球除顏色外無其它差別，從袋子中隨機摸出2個球，摸出1個紅球1個黑球的概率為13【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中摸出1個紅球1個黑球的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中摸出1個紅球1個黑球的結(jié)果有4種，∴摸出1個紅球1個黑球的概率為412故答案為：13【變式3-2】（2023秋?中原區(qū)校級期末）將分別標(biāo)有“鄭”“州”“加”“油”漢字的四個小球裝在一個不透明的口袋中，這些球除漢字外無其他差別，每次摸球前先攪拌均勻隨機摸出一球，不放回；再隨機摸出一球．兩次摸出的球上的漢字能組成“加油”的概率是（）A．18 B．16 C．14【分析】畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再依據(jù)概率公式計算可得．【解答】解：列表如下：鄭州加油鄭（州，鄭）（加，鄭）（油，鄭）州（鄭，州）（加，州）（油，州）加（鄭，加）（州，加）（油，加）油（鄭，油）（州，油）（加，油）由樹狀圖知，共有12種等可能結(jié)果，其中兩次摸出的球上的漢字能組成“加油”的有2種結(jié)果，∴兩次摸出的球上的漢字能組成“加油”的概率為212故選：B．【變式3-3】（2023?泌陽縣四模）一個袋子中裝有除顏色外完全相同的6個小球，其中有3個小球是白色的，2個小球是紅色的，1個小球是黑色的，那么不放回連續(xù)取出兩個小球都是白色的概率為（）A．15 B．14 C．13【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：列表如下：白白白紅紅黑白（白，白）（白，白）（紅，白）（紅，白）（黑，白）白（白，白）（白，白）（紅，白）（紅，白）（黑，白）白（白，白）（白，白）（紅，白）（紅，白）（黑，白）紅（白，紅）（白，紅）（白，紅）（紅，紅）（黑，紅）紅（白，紅）（白，紅）（白，紅）（紅，紅）（黑，紅）黑（白，黑）（白，黑）（白，黑）（紅，黑）（紅，黑）由表知，共有30種等可能結(jié)果，其中取出兩個小球都是白色的有6種結(jié)果，所以取出兩個小球都是白色的概率為630故選：A．【題型4列舉法或樹狀圖求概率（放回的摸球問題）】【例4】（2023?同安區(qū)二模）小林和小華在進(jìn)行摸球游戲．在不透明的袋子里有4個分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的小球，這些小球除數(shù)字外完全一樣．小林先摸，將摸到的小球數(shù)字記為m，然后將小球放回．再由小華摸球，小華摸到的小球數(shù)字記為n．如果m，n滿足|m﹣n|≤1，就稱小林、小華兩人“心有靈犀”．則小林、小華兩人“心有靈犀”的概率是（）A．14 B．38 C．12【分析】根據(jù)題意，可以畫出相應(yīng)的樹狀圖，然后即可求出小林、小華兩人“心有靈犀”的概率．【解答】解：樹狀圖如下所示，由上可得，一共有16種可能性，其中|m﹣n|≤1的可能性有10種，∴小林、小華兩人“心有靈犀”的概率是1016故選：D．【變式4-1】（2023?宛城區(qū)一模）一只不透明的袋子中裝有1個紅球和2個白球，這些球除顏色外其余都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回攪勻，再從中摸出第2個球．則兩次摸出的球顏色相同的概率是（）A．59 B．49 C．13【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，得出所有等可能的情況數(shù)，找出兩次摸出的球顏色相同的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意畫圖如下：所有可能的結(jié)果有9種，兩次摸出顏色相同球的結(jié)果有5種；則兩次摸出的球顏色相同的概率是59故選：A．【變式4-2】（2023?西工區(qū)模擬）將分別標(biāo)有“精”“準(zhǔn)”“扶”“貧”漢字的四個小球裝在一個不透明的口袋中，這些球除漢字外無其它差別，每次摸球前先攪拌均勻，隨機摸出一球，放回后；再隨機摸出一球，兩次摸的球上的漢字組成詞語“扶貧”的概率是（）A．14 B．16 C．18【分析】畫樹狀圖，共有16個等可能的結(jié)果，兩次摸的球上的漢字組成詞語“扶貧”的結(jié)果有2個，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如圖：共有16個等可能的結(jié)果，兩次摸的球上的漢字組成詞語“扶貧”的結(jié)果有2個，∴兩次摸的球上的漢字組成詞語“扶貧”的概率為216故選：C．【變式4-3】（2023春?鄲城縣校級月考）一個不透明的盒子里裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球共4個，它們除顏色外完全相同，其中紅球有2個，藍(lán)球有1個．小明從盒子里隨機摸出1個小球，然后放回?fù)u勻，再隨機摸出1個，則兩次摸到的小球顏色為一紅一藍(lán)的概率是（）A．16 B．15 C．14【分析】畫樹狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩次摸到的小球顏色為一紅一藍(lán)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【解答】解：畫樹狀圖為：共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次摸到的小球顏色為一紅一藍(lán)的結(jié)果數(shù)是4，所以兩次摸到的小球顏色為一紅一藍(lán)的概率是416故選：C．【題型5列舉法或樹狀圖求概率（電路問題）】【例5】（2023?武漢模擬）如圖，電路圖上有三個開關(guān)S1，S2，S3和兩個小燈泡L1，L2，隨機閉合開關(guān)S1，S2，S3中的兩個，能讓燈泡L2發(fā)光的概率是（）A．12 B．14 C．23【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，能讓燈泡L2發(fā)光的2種，然后由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖得：共有6種等可能的結(jié)果，其中能讓燈泡L2發(fā)光的結(jié)果數(shù)為2，∴能讓燈泡L2發(fā)光的概率為：26故選：D．【變式5-1】（2023?海勃灣區(qū)校級一模）如圖，電路圖上有4個開關(guān)A，B，C，D和1個小燈泡，同時閉合開關(guān)A，B或同時閉合開關(guān)C，D都可以使小燈泡發(fā)光．現(xiàn)隨機閉合兩個開關(guān)，小燈泡發(fā)光的概率為（）A．12 B．13 C．23【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與小燈泡發(fā)光的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結(jié)果，現(xiàn)任意閉合其中兩個開關(guān)，則小燈泡發(fā)光的有4種情況，∴小燈泡發(fā)光的概率為412故選：B．【變式5-2】（2023?煙臺模擬）如圖，電路圖中，當(dāng)隨機閉合S1、S2、S3、S4、S5中的兩個開關(guān)時，能夠讓燈泡發(fā)光的概率為25【分析】畫樹狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，其中能夠讓燈泡發(fā)光的結(jié)果有8種，再由概率公式求解即可．【解答】解：把S1、S2、S3、S4、S55個開關(guān)分別記為A、B、C、D、E，畫樹狀圖如下：共有20種等可能的結(jié)果，其中能夠讓燈泡發(fā)光的結(jié)果有8種，∴能夠讓燈泡發(fā)光的概率為820故答案為：25【變式5-3】（2023?商水縣三模）如圖電路中，隨機閉合開關(guān)S1，S2，S3，S4中的兩個，能夠點亮燈泡的概率為．【分析】用列表法或樹狀圖法列舉出所有等可能出現(xiàn)的情況，從中找出能夠“點亮燈泡”的情況數(shù)，進(jìn)而求出概率．【解答】解：用列表法表示所有可能出現(xiàn)的情況如下：共有12種可能出現(xiàn)的情況，其中能夠點亮燈泡的有8種，∴P（點亮燈泡）=8故答案為：23【題型6列舉法或樹狀圖求概率（數(shù)字問題）】【例6】（2023秋?恩施市期末）從﹣2、﹣1、0三個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)作為點的坐標(biāo)，則該點在坐標(biāo)軸上的概率（）A．13 B．12 C．1 【分析】畫樹狀圖，共有6個等可能的結(jié)果，其中該點在坐標(biāo)軸上的結(jié)果有4個，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如圖：共有6個等可能的結(jié)果，其中該點在坐標(biāo)軸上的結(jié)果有4個，∴該點在坐標(biāo)軸上的概率為46故選：D．【變式6-1】（2023?常德）從1，2，3，4，5這五個數(shù)中任選兩個數(shù)，其和為偶數(shù)的概率為（）A．15 B．25 C．35【分析】畫樹狀圖列出所有等可能的結(jié)果，再從中找出兩個數(shù)的和為偶數(shù)的結(jié)果，即可求出概率．【解答】解：畫樹狀圖如圖：∴共有20種等可能的結(jié)果，其中兩個數(shù)的和為偶數(shù)的有（1，3），（1，5），（2，4），（3，1），（3，5），（4，2），（5，1），（5，3），共8種，∴這五個數(shù)中任選兩個數(shù)的和為偶數(shù)的概率為820故選：B．【變式6-2】（2023?港北區(qū)二模）從1、2、3三個數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)，分別記為a，c，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0沒有實數(shù)根的概率為（）A．12 B．13 C．14【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，再找出滿足Δ＝16﹣4ac≤0的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中滿足Δ＝16﹣4ac≤0，即ac≥4的結(jié)果有（2，3）、（3，2）這2種結(jié)果，∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0沒有實數(shù)根的概率為26故選：B．【變式6-3】（2023春?浦東新區(qū)校級期末）從3至8的6個整數(shù)中隨機抽取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互素的概率是710【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：列表如下：3456783（4，3）（5，3）（6，3）（7，3）（8，3）4（3，4）（5，4）（6，4）（7，4）（8，4）5（3，5）（4，5）（6，5）（7，5）（8，5）6（3，6）（4，6）（5，6）（7，6）（8，6）7（3，7）（4，7）（5，7）（6，7）（8，7）8（3，8）（4，8）（5，8）（6，8）（7，8）由表知，共有30種等可能結(jié)果，其中這2個數(shù)互素的有21種結(jié)果，所以這2個數(shù)互素的概率為2130故答案為：710【題型7列舉法或樹狀圖求概率（實際應(yīng)用問題）】【例7】（2023?武漢）班長邀請A，B，C，D四位同學(xué)參加圓桌會議．如圖，班長坐在⑤號座位，四位同學(xué)隨機坐在①②③④四個座位，則A，B兩位同學(xué)座位相鄰的概率是（）A．14 B．13 C．12【分析】畫樹狀圖展示所有24種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出A，B兩位同學(xué)座位相鄰的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【解答】解：畫樹狀圖為：4個A中每個各有6種等可能的結(jié)果數(shù)，共有24種等可能的結(jié)果數(shù)，其中A，B兩位同學(xué)座位相鄰的結(jié)果數(shù)為12，故A，B兩位同學(xué)座位相鄰的概率是1224故選：C．【變式7-1】（2023?海淀區(qū)二模）“宮商角徵羽”是中國古樂的五個基本音階（相當(dāng)于西樂的1，2，3，5，6），是采用“三分損益法”通過數(shù)學(xué)方法獲得．現(xiàn)有一款“一起聽古音”的音樂玩具，音樂小球從A處沿軌道進(jìn)入小洞就可以發(fā)出相應(yīng)的聲音，且小球進(jìn)入每個小洞的可能性大小相同．現(xiàn)有一個音樂小球從A處先后兩次進(jìn)入小洞，先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的概率是（）A．125 B．110 C．15【分析】畫樹狀圖，共有25種等可能的結(jié)果，其中先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的結(jié)果有1種，再由概率公式求解即可．【解答】解：根據(jù)題意畫圖如下：共有25種等可能的情況數(shù)，其中先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的有1種，則先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的概率是125故選：A．【變式7-2】（2023?安慶模擬）某市中考體育項目有：中長跑（1000米/男生、800米/女生）、坐位體前屈、立定跳遠(yuǎn)、一分鐘跳繩、擲實心球、籃球運球、足球運球，其中中長跑設(shè)定為必考項目，考生可以在余下六個項目中自主選擇2個不同的項目進(jìn)行考試，則恰好選中坐位體前屈和一分鐘跳繩的概率是（）A．13 B．136 C．130【分析】畫樹狀圖，共有30種等可能的結(jié)果，其中恰好選中坐位體前屈和一分鐘跳繩的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：把坐位體前屈、立定跳遠(yuǎn)、一分鐘跳繩、擲實心球、籃球運球、足球運球六個項目分別記為①、②、③、④、⑤、⑥，畫樹狀圖如下：共有30種等可能的結(jié)果，其中恰好選中坐位體前屈和一分鐘跳繩的結(jié)果有2種，∴恰好選中坐位體前屈和一分鐘跳繩的概率為230故選：D．【變式7-3】（2023?青山區(qū)模擬）把三張形狀、大小相同但畫面不同的風(fēng)景圖片都按同樣的方式剪成相同的三段，然后將上、中、下三段分別混合均勻，從三堆圖片中隨機各抽出一張，則這三張圖片恰好組成一張完整風(fēng)景圖片的概率為（）A．127 B．227 C．19【分析】把三張風(fēng)景圖片用A、B、C來表示，根據(jù)題意畫樹形圖，數(shù)出可能出現(xiàn)的結(jié)果利用概率公式即可得出答案．【解答】解：把三張風(fēng)景圖片用A、B、C來表示，根據(jù)題意畫如下的樹形圖：從樹形圖可以看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有27種，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等．其中恰好組成一張完整風(fēng)景圖片的有3種，所以這三張圖片恰好組成一張完整風(fēng)景圖片的概率為327故選：C．【題型8利用頻率估計概率】【例8】（2023春?廣陵區(qū)校級期末）在一個不透明的口袋里裝有若干個相同的紅球，為了用估計袋中紅球的數(shù)量，八（1）班學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗室分組做摸球試驗：每組先將10個與紅球大小形狀完全相同的白球裝入袋中，攪勻后從中隨機摸出一個球并記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)．下表是這次活動統(tǒng)計匯總各小組數(shù)據(jù)后獲得的全班數(shù)據(jù)統(tǒng)計表：摸球的次數(shù)s15030060090012001500摸到白球的頻數(shù)n63a247365484606摸到白球的頻率n0.4200.4100.4120.4060.403b（1）按表格數(shù)據(jù)格式，表中的a＝123；b＝0.404；（2）請估計：當(dāng)次數(shù)s很大時，摸到白球的頻率將會接近0.4（精確到0.1）；（3）請推算：摸到紅球的概率是0.6（精確到0.1）；（4）試估算：這一個不透明的口袋中紅球有15只．【分析】（1）根據(jù)頻率＝頻數(shù)÷樣本總數(shù)分別求得a、b的值即可；（2）從表中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4左右；（3）摸到紅球的概率為1﹣0.4＝0.6；（4）根據(jù)紅球的概率公式得到相應(yīng)方程求解即可；【解答】解：（1）a＝300×0.41＝123，b＝606÷1500＝0.404；（2）當(dāng)次數(shù)s很大時，摸到白球的頻率將會接近0.40；（3）摸到紅球的概率是1﹣0.4＝0.6；（4）設(shè)紅球有x個，根據(jù)題意得：xx+10解得：x＝15；故答案為：123，0.404；0.4；0.6；15．【變式8-1】（2023春?順德區(qū)校級期末）小明做投擲骰子（質(zhì)地均勻的正方體）實驗，共做了100次實驗，實驗的結(jié)果如下：朝上的點數(shù)123456出現(xiàn)的次數(shù)141523162012（1）計算“4點朝上”的頻率．（2）小明說：“根據(jù)實驗，一次實驗中出現(xiàn)3點朝上的概率最大”．他的說法正確嗎？為什么？（3）小明投擲一枚骰子，計算投擲點數(shù)小于3的概率．【分析】（1）由共做了100次實驗，“4點朝上”的次數(shù)為16，即可求得“4點朝上”的頻率．（2）由一次實驗中的頻率不能等于概率，可得這位同學(xué)的說法不正確；（3）利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）“4點朝上”的頻率為16100（2）小明的說法錯誤；因為只有當(dāng)實驗的次數(shù)足夠大時，該事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在事件發(fā)生的概率附近；（3）P（點數(shù)小于3）=2【變式8-2】（2023秋?溧水區(qū)期末）某商場設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，并規(guī)定：顧客購物10元以上就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)的獎品．下表是活動進(jìn)行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：（1）計算并完成表格：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n10020050080010002000落在“鉛筆”的次數(shù)m671453575527041396落在“鉛筆”的頻率m0.6700.7250.7140.6900.704（2）請估計，當(dāng)n很大時，頻率將會接近0.7（精確到0.1）（3）假如你去轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，你獲得鉛筆的概率約是0.7，理由是：用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數(shù)的增多，值越來越精確．【分析】（1）根據(jù)頻率的算法，頻率=頻數(shù)（2）根據(jù)頻率的定義，可得當(dāng)n很大時，頻率將會接近其概率；（3）根據(jù)概率的求法計算即可．【解答】解：（1）填表如下：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n10020050080010002000落在“鉛筆”的次數(shù)m671453575527041396落在“鉛筆”的頻率m0.6700.7250.7140.6900.7040.698（2）當(dāng)n很大時，頻率將會接近（67+145+357+552+704+1396）÷（100+200+500+800+1000+2000）≈0.7，故答案為：0.7；（3）獲得鉛筆的概率約是0.7，理由是：用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數(shù)的增多，值越來越精確．【變式8-3】（2023春?淮安區(qū)期中）某班“紅領(lǐng)巾義賣”活動中設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤．規(guī)定：顧客購物20元以上就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)的獎品．下表是此次活動中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n1002003004005001000落在“書畫作品”區(qū)域的次數(shù)m60122180298a604落在“書畫作品”區(qū)域的頻率m0.60.610.6b0.590.604（1）完成上述表格：a＝295；b＝0.745；（2）請估計當(dāng)n很大時，頻率將會接近0.6，假如你去轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，你獲得“書畫作品”的概率約是0.6；（結(jié)果全部精確到0.1）（3）如果要使獲得“手工作品”的可能性大于獲得“書畫作品”的可能性，則表示“手工作品”區(qū)域的扇形的圓心角至少還要增加是多少度？【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以求得a和b的值；（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以估計頻率是多少以及轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，獲得“書畫作品”的概率；（3）根據(jù)扇形統(tǒng)計圖和表格中的數(shù)據(jù)可以估計表示“手工作品”區(qū)域的扇形的圓心角至少還要增加的度數(shù)．【解答】解：（1）由題意可得，a＝500×0.59＝295，b＝298÷400＝0.745，故答案為：295，0.745；（2）由表格中的數(shù)據(jù)可得，當(dāng)n很大時，頻率將會接近0.6，假如你去轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，你獲得“書畫作品”的概率約是0.6，故答案為：0.6，0.6；（3）由題意可得，要使獲得“手工作品”的可能性大于獲得“書畫作品”的可能性，則表示“手工作品”區(qū)域的扇形的圓心角至少還要增加：360°×0.5﹣360°×0.4＝36°，即要使獲得“手工作品”的可能性大于獲得“書畫作品”的可能性，則表示“手工作品”區(qū)域的扇形的圓心角至少還要增加36度．【題型9統(tǒng)計概率綜合】【例9】（2023?平邑縣一模）某校初三（1）班部分同學(xué)接受一次內(nèi)容為“最適合自己的考前減壓方式”的調(diào)查活動，收集整理數(shù)據(jù)后，老師將減壓方式分為五類，并繪制了圖1、圖2兩個不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中的信息解答下列問題．（1）初三（1）班接受調(diào)查的同學(xué)共有多少名；（2）補全條形統(tǒng)計圖，并計算扇形統(tǒng)計圖中的“體育活動C”所對應(yīng)的圓心角度數(shù)；（3）若喜歡“交流談心”的5名同學(xué)中有三名男生和兩名女生；老師想從5名同學(xué)中任選兩名同學(xué)進(jìn)行交流，直接寫出選取的兩名同學(xué)都是女生的概率．【分析】（1）利用“享受美食”的人數(shù)除以所占的百分比計算即可得解；（2）求出聽音樂的人數(shù)即可補全條形統(tǒng)計圖；由C的人數(shù)即可得到所對應(yīng)的圓心角度數(shù)；（3）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與選出兩名同學(xué)都是女生的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：解：（1）由題意可得總?cè)藬?shù)為10÷20%＝50名；（2）聽音樂的人數(shù)為50﹣10﹣15﹣5﹣8＝12名，“體育活動C”所對應(yīng)的圓心角度數(shù)＝360°×1550=補全統(tǒng)計圖得：（3）畫樹狀圖得：∵共有20種等可能的結(jié)果，選出都是女生的有2種情況，∴選取的兩名同學(xué)都是女生的概率=2【變式9-1】（2023?鳳山縣模擬）今年5月份，某校九年級學(xué)生參加了中考體育考試，為了了解該校九年級（1）班同學(xué)的中考體育情況，對全班學(xué)生的中考體育成績進(jìn)行了統(tǒng)計，并繪制以下不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖，根據(jù)圖表中的信息解答下列問題：分組分?jǐn)?shù)段（分）頻數(shù)A36≤x＜412B41≤x＜465C46≤x＜5115D51≤x＜56mE56≤x＜6110（1）求全班學(xué)生人數(shù)和m的值；（2）直接寫出該班學(xué)生的中考體育成績的中位數(shù)落在哪個分?jǐn)?shù)段；（3）該班中考體育成績滿分共有3人，其中男生1人，女生2人．現(xiàn)需從這3人中隨機選取2人到八年級進(jìn)行經(jīng)驗交流，請用“列表法”或“畫樹狀圖法”求出恰好選到一男一女的概率．【分析】（1）利用C分?jǐn)?shù)段所占比例以及其頻數(shù)求出總數(shù)即可，進(jìn)而得出m的值；（2）利用中位數(shù)的定義得出中位數(shù)的位置；（3）利用列表或畫樹狀圖列舉出所有的可能，再根據(jù)概率公式計算即可得解．【解答】解：（1）由題意可得：全班學(xué)生人數(shù)：15÷30%＝50（人）；m＝50﹣2﹣5﹣15﹣10＝18（人）；（2）∵全班學(xué)生人數(shù)：50人，∴第25和第26個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)，∴中位數(shù)落在51≤x＜56分?jǐn)?shù)段；（3）如圖所示：將女生分別標(biāo)記為A1，A2，男生標(biāo)記為B1A1A2B1A1（A1，A2）（A1，B1）A2（A2，A1）（A2，B1）B1（B1，A1）（B1，A2）P（一男一女）=4【變式9-2】（2023?永安市模擬）墊球是排球隊常規(guī)訓(xùn)練的重要項目之一．下列圖表中的數(shù)據(jù)是甲、乙、丙三人每人十次墊球測試的成績．測試規(guī)則為每次連續(xù)接球10個，每墊球到位1個記1分．運動員丙測試成績統(tǒng)計表測試序號12345678910成績（分）768b758a87（1）若運動員丙測試成績的平均數(shù)和眾數(shù)都是7，則成績表中的a＝7，b＝7；（2）若在他們?nèi)酥羞x擇一位墊球成績優(yōu)秀且較為穩(wěn)定的接球能手作為自由人，你認(rèn)為選誰更合適？請用你所學(xué)過的統(tǒng)計量加以分析說明（參考數(shù)據(jù)：三人成績的方差分別為S甲2＝0.81、S乙2＝0.4、S丙2＝0.8）（3）甲、乙、丙三人相互之間進(jìn)行墊球練習(xí)，每個人的球都等可能的傳給其他兩人，球最先從乙手中傳出，第二輪結(jié)束時