2022高考數(shù)學(xué)真題分類匯編10 立體幾何答案

2022高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

十、立體幾何

一、單選題

1.（2022?全國(guó)甲（文、理）T4）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正

方形的邊長(zhǎng)為1，則該多面體的體積為（）

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.

【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖，

2+4

則該直四棱柱的體積V=——x2x2=12.

2

故選：B.

2.（2022?全國(guó)甲（文）T9）在長(zhǎng)方體ABC。-ABCQ中，已知耳。與平面ABC。和平面

所成的角均為30°,則（）

A.AB=2ADB.AB與平面所成的角為30。

C.AC=CB,D.與。與平面B4GC所成的角為

45°

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)線面角的定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出.

【詳解】如圖所示：

不妨設(shè)==c,依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面ABC。所

cb

成角為NBQB,BQ與平面所成角為所以sin30即

￡）（UD}D

222

b=c,B,D=2c=y]a+b+c>解得。=缶.

對(duì)于A,AB=a,AD=b,AB=及AD，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,過(guò)8作8ELA4于￡,易知SE1平面ABC。，所以A3與平面AB?。所成

角為/BAE,因?yàn)閠anN84E=￡=RZ，所以NBAEK30，B錯(cuò)誤；

a2

122

對(duì)于C，AC=[a+護(hù)=6c，CB}=y/h+c=>/2c?ACwCg,c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,耳。與平面33CC所成角為NOS。，sinADB.C=^-=—=—,而

BXD2c2

0<ZDB,C<90,所以.D正確.

故選：D.

3.（2022.全國(guó)甲（文）T10）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2兀,

側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為%和%.若*2,貝聯(lián)=（）

3乙V乙

A.y/5B.2V2c.VioD.旦m

4

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為（，乙圓錐底面圓半徑為與，根據(jù)圓錐的側(cè)面積

公式可得4=2弓，再結(jié)合圓心角之和可將？為分別用/表示，再利用勾股定理分別求出兩

圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.

【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為4,乙圓錐底面圓半徑為2，

則聯(lián)=%=五=2,

S乙兀rjr2

所以4=2弓，

=2萬(wàn),

則寧=1,

21

所以4'

所以甲圓錐的高4=

乙圓錐的高4=j/2一1/2=半/,

1萬(wàn)6%—Z2X-/

所以A3''_93=Vlo.

；和2%-l2x^l

393

故選：C.

4.（2022?全國(guó)甲（理）T7）在長(zhǎng)方體中，己知耳。與平面ABCD和平

面AA43所成的角均為30°,則（）

A.AB=2ADB.AB與平面A4G。所成的角為30。

C.AC=CB,D.與。與平面BBCC所成的角為

45°

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)線面角的定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出.

【詳解】如圖所示：

不妨設(shè)A8=a,AO=4AA=c,依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面4BC。所

cb

成角為NBQB,耳。與平面所成角為/。與4，所以sin30即

01/7￡）jU

b=c,BQ=2c=\Ja2+b24-c2，解得a—y/2c.

對(duì)于A,AB=a,AD=b,AB=\P!AD，A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,過(guò)8作于七，易知BE_L平面ABC。，所以A5與平面AqG。所成

5

角為/BAE，因?yàn)閠an/B4E=￡=J，所以ZBAEN30，B錯(cuò)誤;

a2

22922

對(duì)于C,AC=yja+b=y/3cCB}=y/b+c=>/2c?ACwCB］，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,g。與平面88CC所成角為NDgC,sinZZ)B,C=—=—=而

BQ2c2

0<ZDB,C<90,所以NOBC=45.D正確.

故選：D.

5.(2022.全國(guó)甲(理)T8)沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了

計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，AB是以。為圓心，OA為半徑的圓弧，C是的AB中

點(diǎn)，。在上，CDLAB.“會(huì)圓術(shù)”給出AB的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：

5=+—.當(dāng)OA=2,ZAOB=60。時(shí)，s=()

11-3611-4百9-36

222

9-46

2

【答案】B

【解析】

【分析】連接。C，分別求出A3,0C,CD,再根據(jù)題中公式即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接OC,

因?yàn)?。是A3的中點(diǎn)，

所以O(shè)C_LAB，

又CDLAB,所以三點(diǎn)共線,

即QD=O4=QB=2,

又ZAQB=60°,

所以AB=Q4=Q8=2,

則OC=G，故CD=2-也,

_J2一可J1百

所『四穿2-V3

一/十一

22

故選：B.

6.（2022.全國(guó)甲（理）T9）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2兀，

側(cè)面積分別為際和S乙，體積分別為%和V乙.若言'=2,則*（）

3乙吃

A.石B.272C.V10D.

4

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為（，乙圓錐底面圓半徑為弓，根據(jù)圓錐的側(cè)面積

公式可得弓=2與，再結(jié)合圓心角之和可將片,4分別用/表示，再利用勾股定理分別求出兩

圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.

【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為彳，乙圓錐底面圓半徑為2，

所以4=2G，

又網(wǎng)^=2萬(wàn)

則華?=1,

21

所以4~~^r2=]/，

所以甲圓錐的高九=

乙圓錐的高色=

v產(chǎn)％

所以A?93=M.

乙）兀6kl)x迫

93

故選：C.

7.（2022?全國(guó)乙（文）T9）在正方體ABC。-4百GR中，E,1r分別為AB,BC的中點(diǎn)，

則（）

A.平面4EFJ_平面BDD}B.平面4EP，平面48。

C.平面g瓦'//平面MACD,平面4EE//平面4G。

【答案】A

【解析】

【分析】證明EEJ_平面8。。，即可判斷A；如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)A5=2,分別求出平面4E/，A.BD,4G。的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即

可判斷BCD.

【詳解】解：在正方體AB。-AGG2中,

AC，8。且DR±平面ABCD,

又EFu平面ABCD,所以￡尸，。4，

因?yàn)镋,F分別為AB,的中點(diǎn)，

所以E尸AC,所以EFLBD，

又BDDD、=D,

所以律_L平面6。。，

又EFu平面

所以平面B]EF±平面BDD],故A正確；

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，

則片（2,2,2）,E（2,1,0）,尸（1,2,0）,5（2,2,0）,4（2,0,2）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,

G(0,2,2),

則￡/=(-1,1,0),￡旦=(0,1,2),。8=(2,2,0),。4=(2,0,2),

M=(O,O,2),AC=(-2,2,O)，4C,=(-2,2,0),

設(shè)平面4E尸的法向量為加=(x，x，zj,

m-EF=-玉+x=0

則有《,可取加=（2,2,—1）,

m-EBX=y+24=0

同理可得平面AR。的法向量為勺=，

平面4AC的法向量為%=。,1,0）,

平面4G。的法向量為々=（1,1,—1）,

則"z?4=2—2+1=1工0,

所以平面耳E/與平面AB。不垂直，故B錯(cuò)誤;

Ill

因?yàn)榧优c％不平行，

所以平面用EE與平面AAC不平行，故C錯(cuò)誤;

因?yàn)榧优c％不平行，

所以平面用EE與平面ACQ不平行，故D錯(cuò)誤,

8.（2022.全國(guó)乙（文）T12）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為。，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均

在球。的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A.-B.|C.—D.也

3232

【答案】C

【解析】

【分析】先證明當(dāng)四棱錐頂點(diǎn)O到底面488所在小圓距離一定時(shí)，底面A38面積最

大值為2/，進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而

得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)其高的值.

【詳解】設(shè)該四棱錐底面為四邊形4BC。，四邊形ABC。所在小圓半徑為r,

設(shè)四邊形ABC。對(duì)角線夾角為a,

111,

2

則SASC。AC-BD-s\na<--AC-BD<--2r-2r^2r

（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）

即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)。到底面ABC。所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCO面積最大值為2/

又產(chǎn)+/=1

則%…g.2尸/?=4戶F（J=第

JJJy\JJ乙/

當(dāng)且僅當(dāng)/=2〃2即〃=日時(shí)等號(hào)成立，

故選：c

9.（2022?全國(guó)乙（理）T7）在正方體45co-AqCQ中，E,F分別為AB,8C的中點(diǎn)，

則（）

A.平面4EF_L平面BDD}B.平面4E平面A8。

c.平面4所//平面4ACD.平面用石///平面AG。

【答案】A

【解析】

【分析】證明防J_平面8。2,即可判斷A；如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=2,分別求出平面4EE,ABD,4G。的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即

可判斷BCD.

【詳解】解：在正方體4BCD-A百G。中，

AC1BD且J?平面ABCD,

又Efu平面ABCO,所以Eb_L。。，

因?yàn)椤?產(chǎn)分別為的中點(diǎn)，

所以E尸AC,所以EF上BD，

又BDRDDLD,

所以MJ■平面8。。，

又EFu平面B]EF,

所以平面與EF-L平面8。。，故A正確;

如圖，以點(diǎn)O原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A3=2,

則4（2,2,2）,E（2』,0）,E（l,2,0）,8（2,2,0），4（2,0,2）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,

C,(O,2,2),

則￡F=(-1,1,0),ER=(0,1,2),DB=(2,2,0),=(2,0,2),

A4,=(0,0,2),AC=(-2,2,0)，AC,=(-2,2,0),

設(shè)平面gEF的法向量為m=（%,x,Z］）,

m-EF=-x4-y=0

則有}]可取加=（2,2,-1）,

m-EB}=y}+2z]=0

同理可得平面48。的法向量為勺

平面471。的法向量為4=（1』,0）,

平面ACQ的法向量為%=（1,1,—1）,

則加=2—2+1=1^0.

所以平面與EF與平面48。不垂直，故B錯(cuò)誤;

LU

因?yàn)橛门c〃2不平行，

所以平面8田產(chǎn)與平面AAC不平行，故C錯(cuò)誤;

因?yàn)闄C(jī)與〃3不平行，

所以平面4與平面不平行，故D錯(cuò)誤,

故選：A.

10.（2022?全國(guó)乙（理）T9）已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均

在球。的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

1D.

A.-B??史

32

【答案】C

【解析】

【分析】先證明當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)。到底面ABC。所在小圓距離一定時(shí)，底面ABC。面積最

大值為2r2,進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而

得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)其高的值.

【詳解】設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABC。，四邊形4BCD所在小圓半徑為r,

設(shè)四邊形A8CO對(duì)角線夾角為a,

則S.CD=-ACBDsina<-ACBD<--2r-2r=2r2

222

（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）

即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)?，底面ABCD面積最大值為2,

又產(chǎn)+配=1

則%-橫。=:4k亦＜《卜+丁"

J。。U\J

當(dāng)且僅當(dāng)r2=2h2即h1時(shí)等號(hào)成立，

故選：C

11.(2022.新高考I卷T4)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分

水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為14().0km2；水位為海

拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2,將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱

臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為(、/7,2.65)()

A.1.0xl09m3B.1.2xlO9m3C.1.4xlO9m3D.

1.6xl09m3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意只要求出樓臺(tái)的高，即可利用棱臺(tái)的體積公式求出.

【詳解】依題意可知棱臺(tái)的高為MN=157.5-148.5=9(m),所以增加的水量即為棱臺(tái)的

體積V.

棱臺(tái)上底面積S=140.0km2=140xl06m2，下底面積Sf=180.0km2=180xl06m2，

AV=i/?(S+S,+VsS7)=1x9x(140xl06+180xl06+7140xl80xl012)

=3x(320+60V7)xl06?(96+18x2.65)xl07=1.437xl09?1.4xl09(m3).

12.(2022?新高考I卷T8)已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球

的體積為36%,且3V/K3G，則該正四棱錐體積的取值范圍是()

A.18月27812764

B.D.

444

[18,27]

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)正四棱錐的高為人,由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系,

由此確定正四棱錐體積的取值范圍.

【詳解】V球的體積為36乃，所以球的半徑R=3,

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a,高為h,

則尸=2/+*,32=2a2+（3-h）2,

所以6/Z=/2，2a2=l2—h2

11.2I4I2廣、

所以正四棱錐的體積V=-S/?=-x4a2x/?=-x(/2--)x—=-Z4-—

3333669136J

所以V'

當(dāng)時(shí)，Vz>0,當(dāng)2c<"3白時(shí)，V'<0,

l64

所以當(dāng)/=2遍時(shí)，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為E,

27Q1

又/=3時(shí)，V=—,/=36時(shí)，丫=一，

44

27

所以正四棱錐的體積V的最小值為

4

一2764

所以該正四棱錐體積的取值范圍是，

43

故選：C.

13.（2022?新高考I卷T9）已知正方體48<70-486。，貝1」（）

A.直線BG與所成的角為90。B.直線BC與C4所成的角為90。

C.直線8a與平面88Q。所成的角為45°D.直線BG與平面4BC。所成的角為

45°

【答案】ABD

【解析】

【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】如圖，連接B。、BC,,因?yàn)镈A//BC，所以直線Bq與旦C所成的角即為直線

8C與D4t所成的角，

因?yàn)樗倪呅蜝B℃為正方形，則3（，BC、,故直線8cl與DA所成的角為90°，A正確；

連接AC,因?yàn)锳4j_平面BB￡C,BC]U平面BBCC,則±BC,,

因?yàn)镸C^BG，A旦BC=Bi,所以BG_L平面A5C,

又ACU平面A&C,所以BG^CA，故B正確；

連接4G，設(shè)AGiBR=O,連接B。，

因?yàn)?用_L平面AB￡A,CQU平面A4GA，則G。1B1B,

因?yàn)镃QJ_4〃，BQQBIB=BI，所以GO_L平面B8QD,

所以/。產(chǎn)。為直線BG與平面8片。。所成的角，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則GO=",BC\=O,sin/C/O=「W=〈，

所以，直線8a與平面BBQ。所成的角為30,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)槠矫鍭BC。，所以NCfC為直線8G與平面ABC。所成的角，易得

ZqBC=45,故D正確.

故選：ABD

14.（2022?新高考H卷T7）正三棱臺(tái)高為1,上下底邊長(zhǎng)分別為36和46，所有頂點(diǎn)在同

一球面上，則球的表面積是（）

A.100兀B.12871C.14471D.19271

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面半徑弓,2，再根據(jù)球心距，圓面半

徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑不與，所以2q=把1,2a=業(yè)叵一，即

'sin60-sin60

（=3,空=4,設(shè)球心到上下底面的距離分別為4，4，球的半徑為R，所以&=k-9,

d,7K-16，故同一4=1或4+"2=1,即JH?-9-JR2-16=1或

7/?2-9+V/?2-16=l-解得心=25符合題意，所以球的表面積為S=4成2=ioo兀.

故選：A.

15.（2022?新高考n卷T11）如圖，四邊形AB8為正方形，E￡）_L平面ABC。，

FB〃ED,AB=ED=2FB,記三棱錐E—AC。，F(xiàn)-ABC,尸―ACE的體積分別為

乂,匕,匕,則（）

B

A.V3=2V2B.匕=2匕

C.匕=匕+匕D.2匕=3K

【答案】CD

【解析】

【分析】直接由體積公式計(jì)算乂,％,連接8。交AC于點(diǎn)連接EM,FM,由

匕=VA-EFM+V-EFM計(jì)算出匕，依次判斷選項(xiàng)即可.

設(shè)AB=ED=2FB=2a,因?yàn)椤?，平面A3CD,FBED,貝ij

2

V：=-EDSArn=--2a---（2a}=>，

1332''3

23

V2=^FBSABC=1-a~（2?）=|tz,連接BO交AC于點(diǎn)M，連接易

得3ZUAC,

又EZ），平面ABC。，ACu平面ABC。，則EOLAC，又EDBD=D,ED,BDu

平面BOE/L則AC_L平面戶，

又BM=DM=、BD=6a,過(guò)F作EGLDE于G,易得四邊形8DGE為矩形，貝U

2

FG=BD-2\pia,EG—a，

則EM=J（2ay+（伍『=屈氏FM==6a，

Eb=J/+（2億『=3a>

1QB

EM2+FM2=EF2'則四，根，sEFM=^EM-FM='a°，AC=26a，

則匕=匕-EFM+L-EFM=§ACS.自人"=2/,則2%=3v],匕=3%,匕=乂+%，故

A、B錯(cuò)誤；C、D正確.

故選：CD.

16.（2022?北京卷T9）已知正三棱錐P-ABC的六條棱長(zhǎng)均為6,S是二筋。及其內(nèi)部的

點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合T={°CS|PQ45},則T表示的區(qū)域的面積為（）

3兀

A.—B.乃C.21D.37r

4

【答案】B

【解析】

【分析】求出以P為球心，5為半徑的球與底面ABC的截面圓的半徑后可求區(qū)域的面積.

設(shè)頂點(diǎn)尸在底面上的投影為。，連接B。，則。為三角形A8C的中心,

且BO=2x6x走=26，故P0=J36-12=2跖

32

因?yàn)镻Q=5,故OQ=1,

故S的軌跡為以0為圓心，1為半徑的圓，

2X@X36

而三角形A8C內(nèi)切圓的圓心為。，半徑為?彳*生丁

3x6-->

故S的軌跡圓在三角形ABC內(nèi)部，故其面積為7

故選：B

17.（2022?浙江卷T8）如圖，已知正三棱柱=A4，E,尸分別是棱

BC，AG上的點(diǎn).記E尸與A4所成的角為a,所與平面ABC所成的角為￡,二面角

廠一BC-A的平面角為/,則（）

A.a<(3<yB.p<a<yC./3<y<aD.

a<y<P

【答案】A

【解析】

【分析】先用幾何法表示出a，B，y,再根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系即可比較大小.

【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)尸作于P,過(guò)P作尸于M,連接PE,

則a-NEFP，B-Z.FEP,y=FMP,

PEPE八rpARFPFP

tana---=----<1tanB=---=---->1,tany=---->----=tan/3,

FPABPEPEPMPE

所以aW/Ky,

故選：A.

三、解答題

1.（2022?全國(guó)甲（文）T19）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包

裝盒如圖所示:底面ABCD是邊長(zhǎng)為8（單位：cm）的正方形，-E4B,￡EBC,_GCr>,_Hr>A

均為正三角形，且它們所在的平面都與平面A8QD垂直.

（1）證明：跖//平面ABC。；

（2）求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

⑵雪技

3

【解析】

【分析】（1）分別取的中點(diǎn)M,N,連接MN,由平面知識(shí)可知

EM工AB,FN上BC,EM=FN,依題從而可證J_平面ABCD,FN_L平面ABCD,

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知//MV,即可知四邊形EMNE為平行四邊形，于是

EF//MN,最后根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；

（2）再分別取AZ）,OC中點(diǎn)K,L,由（1）知，該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體KMNL-EFGH

的體積加上四棱錐B-MNEE體積的4倍，即可解出.

【小問(wèn)1詳解】

如圖所示

分別取AB,3C的中點(diǎn)M,N,連接MN,因?yàn)橐缓筱@,.FBC為全等的正三角形，所以

EMLAB,FN上BC,EM=FN,又平面E4B_L平面ABCD,平面E48c平面

ABCD=AB,u平面EAB，所以，平面ABCD，同理可得FNL平面ABCD,

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知EM//MV,而EM=FN,所以四邊形EMNE為平行四邊

形，所以EF//MN,又EF?平面ABCD,MNu平面A88,所以￡尸//平面ABCD.

【小問(wèn)2詳解】

如圖所示:

分別取A0,DC中點(diǎn)K,L,由（1）知，EF//MN且EF=MN,同理有，

HE//KM,HE=KM,HG//KL,HG=KL,GF//LN,GF=LN,由平面知識(shí)可知，

BD±MN,MN1MK,KM=MN=NL=LK,所以該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體

KMNL-EFGH的體積加上四棱錐8-MNEE體積的4倍.

因?yàn)镸N=NL=LK=KM=46，EM=8sin60=46,點(diǎn)B到平面MNEE的距離

即為點(diǎn)B到直線MN的距離d,d=2正，所以該幾何體的體積

V=（4V2）2X473+4X1X4A/2X4V3X2V2=128^+^^=^V3.

2.（2022?全國(guó)甲（理）T18）在四棱錐P-ABC。中，PDJ_底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6.

（2）求PO與平面as所成的角的正弦值.

【答案】（i）證明見(jiàn)解析：

⑵—.

5

【解析】

【分析】（1）作。E_LA8于E，CFLAB于尸，利用勾股定理證明AZ>_L80,根據(jù)線

面垂直性質(zhì)可得?。，加，從而可得3￡>_L平面PAO,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得

證；

（2）以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.

【小問(wèn)1詳解】

證明：在四邊形A8CD中，作。于E，C「_LAB于F，

因?yàn)镃O//A5,AT>=CO=CB=1,AB=2,

所以四邊形ABC。為等腰梯形，

所以AEUBRML,

2

巧_

故DE=H，BD=yjDE2+BE2=73-

所以=Ag2,

所以A￡>_L8。，

因?yàn)镻D_L平面ABCD,80u平面ABCD,

所以PDJ.BD，

又PDcAD=D，

所以平面/%O，

又因B4u平面尸A￡),

所以BDLQ4；

【小問(wèn)2詳解】

解：如圖，以點(diǎn)。原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

BD=6，

則A（l,0,0）,B（0,V3,0）,P（0,0,V3）,

則4尸=（-1,0,6）,8/>=（0,—6,6）,0尸=（0,0,6b

設(shè)平面的法向量〃=(x,y,z),

AP=-x+>/3z=0z、

則有{廣L，可取〃=gjl,

n,BP=73yZ3z=0'

n-DPV5

貝Ijcos（/1,DP}=

同叫一5’

所以PO與平面PAB所成角的正弦值為—

5

3.（2022.全國(guó)乙（文）TI8）如圖，四面體ABCD中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,

E為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面BE。，平面AC。；

(2)設(shè)AB=BO=2,NACB=60°,點(diǎn)尸在8。上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求三棱錐

產(chǎn)一A3C的體積.

【答案】(1)證明詳見(jiàn)解析

⑵旦

4

【解析】

【分析】(1)通過(guò)證明AC_L平面8匹來(lái)證得平面BED，平面ACO.

(2)首先判斷出三角形ARC的面積最小時(shí)F點(diǎn)的位置，然后求得F到平面ABC的距離，

從而求得三棱錐F-ABC的體積.

【小問(wèn)1詳解】

由于AT>=C￡>,E是AC的中點(diǎn)，所以AC_L￡)E.

AD^CD

由于180=3。，所以△ADBMZSCDB,

NADB=NCDB

所以AB=CB,故AC，8￡),

由于。EcBD=。，DE,BD\平面BED，

所以ACJ_平面班Z＞，

由于ACu平面AC。，所以平面血＞，平面ACO.

【小問(wèn)2詳解】

依題意43=30=50=2,NACB=60。，三角形ABC是等邊三角形,

所以AC=2,AE=CE=1,BE=6，

由于AO=CO,AO_LC。，所以三角形ACO是等腰直角三角形，所以DE=

DE2+BE2=BD2)所以DE工BE，

由于4CcBE=E,AC,6Eu平面ABC,所以3E_L平面ABC.

由于△AZ＞3MZ\CD3,所以NFBA=NFBC,

BF=BF

由于，NFBA=NFBC,所以_FBA=_FBC，

AB=CB

所以4E=C尸，所以EE_LAC,

由于S.”c=g.AC-ER，所以當(dāng)EE最短時(shí)，三角形A產(chǎn)C的面積最小值.

過(guò)E作EFLBD,垂足為F,

在中，-BEDE=-BDEF,解得七產(chǎn)=旦,

22

3

所以。尸,BF=2—DF=3

2

所以竺

BD4

BF_3

過(guò)F作垂足為H,則尸所以EHL平面A8C,且——

DEBD~4

3

所以FH=—,

4

所以叭此=;小./"=?;小也4=學(xué)

4.（2022?全國(guó)乙（理）T18）如圖，四面體ABCD中，AD±CD,AD^CD,ZADB=ZBDC,

E為AC的中點(diǎn).

（1）證明：平面BE。，平面ACO；

（2）設(shè)A8=8O=2,NAC8=60°,點(diǎn)尸在3。上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求CF與

平面43。所成的角的正弦值.

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析

（2）。廠與平面液所成的角的正弦值為生5

7

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明△ABD四△CBD,得到4B=CB，結(jié)合等腰三角形三線

合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；

（2）根據(jù)勾股定理逆用得到3E_LDE，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法

則進(jìn)行計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)锳D=CD,E為AC的中點(diǎn)，所以ACLQE；

在△ABO和二CBD中，因?yàn)锳。=CD,NADB=NCDB,DB=DB,

所以△A3。也△CBZ),所以AB=C3,又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AC_LBE；

又因?yàn)镈E,BEu平面BED，DECBE=E，所以AC,平面BED，

因?yàn)锳Cu平面ACD,所以平面BED,平面AC￡).

【小問(wèn)2詳解】

連接EE，由(1)知，AC,平面BED，因?yàn)镋Fu平面BED，

所以ACJ_EE,所以50代=(4?！?"

當(dāng)即_LBD時(shí)，EF最小，即產(chǎn)C的面積最小.

因?yàn)樗訡B=A5=2,

又因?yàn)镹ACB=60。，所以「ABC是等邊三角形，

因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AE=EC=1,BE=5

因?yàn)?)J_CZ),所以。E=，AC=1,

2

在，DEB中,DE1+BE2=BD2-所以BE上DE.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz,

則A(l,0,()),8((),后,0),。(0,0,1),所以AO=(—1,0,1),48=卜1,6,(0,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

n-AD=-x+z=0

則〈取y=G，則〃=（3,6,3）,

n-AB=-x+6y=0

(n八(n八

又因?yàn)閏(—1,0,0),F。，芋I，所以餅=

\r)\r)

nCF_64G

所以cos("，b

HICF|后xg7

設(shè)CF與平面所成的角的正弦值為6*0<^<|

所以sin6=|cos(〃,CF^|=，

所以CF與平面A3。所成的角的正弦值為迪.

5.(2022?新高考I卷T19)如圖，直三棱柱ABC—AAG的體積為%A/C的面積為2式.

(1)求A到平面ABC的距離；

(2)設(shè)。為4。的中點(diǎn)，AAi=AB,平面ABC_L平面AB^A,求二面角A—BO—C

的正弦值.

【答案】(1)72

⑵也

2

【解析】

【分析】(1)由等體積法運(yùn)算即可得解；

(2)由面面垂直的性質(zhì)及判定可得平面ABgA,,建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間

向量法即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

在直三棱柱ABC—44G中，設(shè)點(diǎn)A到平面ABC的距離為h,

I2J2114

=

則匕ABC=—S.BC-h----------h-V,ABC=—SABC'ABCARC~~,

解得〃=夜，

所以點(diǎn)A到平面48C的距離為及；

【小問(wèn)2詳解】

取48的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)锳A=AB,所以AELAf,

又平面ABC,平面，平面A8C'平面43g4=48,

且AEu平面ABga，所以AE,平面ABC,

在直三棱柱ABC—%gG中，BBJ平面ABC,

由6Cu平面48C,比七平面人尤可得招,必，BB}±BC,

又AE,BB?平面ABBtA,且相交，所以5C,平面ABB}At,

所以8C,B4,8B1兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

由（1）得AE=&，所以期=AB=2,A、B=2立,所以3C=2,

則A（0,2,0）,A（0,2,2）,3（0,0,0）,C（2,0,0）,所以4。的中點(diǎn)0（1,1,1）,

則8。=（1』,1）,K4=（0,2,0）,BC=（2,0,0）,

.、m-BD=x+y+z=0

設(shè)平面的一個(gè)法向量m=（x,y,z）,則〈',

[m-BA=2y=0

可取利=（1,0,-1）,

.、\m-BD=a+b-^-c=0

設(shè)平面BDC的一個(gè)法向量〃=（。也c），則＜,

[m-BC=2a=0

可取!?=（（）,

則cos佃〃上麗=萬(wàn)訪=5，

所以二面角A—80—C的正弦值為J1一（；）=孝.

6.（2022?新高考II卷T20）如圖，P0是三棱錐P—ABC的高，PA=PB,ABLAC,

E是PB的中點(diǎn).

￡

(1)求證：0￡//平面PAC；

(2)若NABO=NCBO=30°,P0=3,PA=5,求二面角C—4E-3的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

13

【解析】

【分析】(1)連接B。并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)O,連接。4、PO,根據(jù)三角形全等得到OA=OB,

再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到49=。0,即可得到。為BO的中點(diǎn)從而得到0E〃尸。，即

可得證；

(2)過(guò)點(diǎn)A作Az〃OP,如圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，

再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得：

小問(wèn)1詳解】

證明：連接3。并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)。，連接。4、PD，

因?yàn)镻O是三棱錐P—ABC的高，所以PO_L平面ABC，AO,BOu平面A8C,

所以POLA。、POLBO,

又PA=PB，所以4M△尸QB,即。4=0B,所以NQ4B=NOB4,

又AB_LAC,即N&4C=90°,所以N<MB+N(Mr)=90°,NOBA+N0ZM=90°,

所以

所以AO=OO,即AO=￡)O=QB,所以。為3。的中點(diǎn)，又E為尸3的中點(diǎn)，所以

OE//PD,

又OEZ平面PAC,PDu平面P4C，

所以O(shè)E〃平面P4c

E【小問(wèn)2詳解】

解：過(guò)點(diǎn)A作Az〃OP,如圖建立平面直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镻0=3,AP=5,所以。AnJa—PO」=4,

又NO胡=NOBC=30°,所以B￡）=2CM=8,則A￡>=4,AB=4也,

所以AC=12,所以O(shè)（2G,2,0）,B（4G,0,0）,尸（26,2,3）,C（0,12,0）,所以

則A￡=36,1,；,A8=（48,0,0）,AC=（0,12,0）,

3

n-AE=3Gx+y+—z=0

設(shè)平面AE5法向量為〃=(x,y,z),則＜2,令z=2,則

n-AB—45/3x=0

y=-3,x=0,所以〃=（0,-3,2）；

-.、m?AE=3+b+—c=0廠

設(shè)平面AEC的法向量為m=(〃,仇c)，則彳2，令Q=JL則

m-AC=12/?=0

c=-6,b=0,所以W=(G,0,-6)；

/\n-m—124A/3

所以c°s(〃,〃尸麗=而再

設(shè)二面角C-AE-B為e,由圖可知二面角C—AE—3為鈍二面角，

所以cos6=—迪，所以sin〃=Jl—cos?e=U

1313

故二面角。一AE—3的正弦值為1；

13

7.（2022?北京卷T17）如圖，在三棱柱AB?！?與G中，側(cè)面8℃田為正方形，平面

8CG4_L