2022年高考數(shù)學(xué)（冬奧熱點）復(fù)習(xí) 冬奧10 隨機(jī)變量及其分布（學(xué)生版+解析版）

冬奧專題10隨機(jī)變量及其分布

一、單選題

1.（2021?湖南?雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）“冰墩墩”是2022年北京冬奧會吉祥物，在冬奧

特許商品中，已知一款“冰墩墩”盲盒外包裝上標(biāo)注隱藏款抽中的概率為,，出廠時每箱

0

裝有6個盲盒.小明買了一箱該款盲盒，他抽中當(dāng)$6,AWN）個隱藏款的概率最大,

則我的值為（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2021?江蘇?鎮(zhèn)江崇實女子中學(xué)高二期中）為準(zhǔn)備2022年北京一張家口冬奧會，某冰

上項目組織計劃招收一批9—14歲的青少年參加集訓(xùn)，以選拔運動員，共有10000名運

動員報名參加測試，其測試成績X（滿分100分）服從正態(tài)分布%（60面），成績?yōu)?0

分及以上者可以進(jìn)入集訓(xùn)隊，已知80分及以上的人數(shù)為228人，請你通過以上信息，

推斷進(jìn)入集訓(xùn)隊的人數(shù)為（）

附：P（〃-cr<X<〃+oj=0.6826,P（〃-2cr<X<〃+2b）=0.9544,

P（〃-3cr<X<〃+3b）=0.9974

A.13B.18C.26D.30

3.（2021?全國?高三專題練習(xí)（理））為準(zhǔn)備2022年北京-張家口冬奧會，某冰上項目組

織計劃招收一批9-14歲的青少年參加集訓(xùn)，以選拔運動員，共有20000名運動員報名

參加測試，其測試成績X（滿分100分）服從正態(tài)分布N（60,/）,成績?yōu)?0分及以上者

可以進(jìn)入集訓(xùn)隊.已知80分及以上的人數(shù)為456人，請你通過以上信息，推斷進(jìn)入集訓(xùn)隊

的人數(shù)為（）

附：尸（〃一b<X<〃+b）=0.6826,尸（〃一2b<X<〃+2b）=0.9544,

P（〃-3cr<X<〃+3。）=0.9974.

A.18B.22C.26D.30

二、多選題

4.（2022.全國.高二課時練習(xí)）為了增強(qiáng)學(xué)生的冬奧會知識，弘揚奧林匹克精神，北京

市多所中小學(xué)開展了冬奧會項目科普活動.為了了解學(xué)生對冰壺這個項目的了解情況，

在北京市中小學(xué)中隨機(jī)抽取了10所學(xué)校，10所學(xué)校中了解這個項目的人數(shù)如圖所示:

若從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行這個項目的科普活動，記X為被選中的學(xué)校

中了解冰壺的人數(shù)在30以上的學(xué)校個數(shù)，則()

A.X的取值范圍為{0,1,2,3}B.P(X=0)=g

3

C.P(X=1)$D.￡（X）=|

三、解答題

5.(福建省漳州市2022屆高三畢業(yè)班第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題)北京冬奧會某個

項目招募志愿者需進(jìn)行有關(guān)專業(yè)、禮儀及服務(wù)等方面知識的測試，測試合格者錄用為志

愿者.現(xiàn)有備選題10道，規(guī)定每次測試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試，至少答

對2道題者視為合格，已知每位參加筆試的人員測試能否合格是相互獨立的.若甲能答

對其中的6道題，乙能答對其中的8道題.求：

(1)甲、乙兩人至多一人測試合格的概率；

(2)甲答對的試題數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

6.(2021?遼寧?高二階段練習(xí))2022年北京冬奧會的志愿者中，來自甲、乙、丙三所高

校的人數(shù)分別為：甲高校學(xué)生志愿者7名，教職工志愿者2名；乙高校學(xué)生志愿者6名，

教職工志愿者3名；丙高校學(xué)生志愿者5名，教職工志愿者4名.

(1)從這三所高校的志愿者中各抽取一名，求這三名志愿者中既有學(xué)生又有教職工的概率;

(2)先從三所高校中任選一所，再從這所高校的志愿者中任取一名，求這名志愿者是教職

工志愿者的概率.

7.(2022?重慶市天星橋中學(xué)一模)第24屆冬奧會將于2022年2月4日至2月20日在

北京舉行，冬季兩項是冬奧會的正式項目之一，冬季兩項是把越野滑雪和射擊兩種特點

不同的競賽項目結(jié)合在一起進(jìn)行的運動，要求運動員既要有由動轉(zhuǎn)靜的能力，又要有由

靜轉(zhuǎn)動的能力20km男子個人賽是冬季兩項中最古老的奧運項目，分成5個階段：第1

圈滑行后臥射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后臥射，第4圈滑行后立射，第5圈滑

行直達(dá)終點.比賽時，運動員單個出發(fā)，隨身攜帶槍支和20發(fā)子彈，每輪射擊發(fā)射5

發(fā)子彈，每脫靶一次加罰1分鐘.成績的計算是越野滑雪的全程時間加被罰的時間，比

賽結(jié)束所耗總時間少者獲勝.已知甲、乙兩名參賽選手在射擊時每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概

率均為0.8.

（1）試求甲選手在一輪射擊中，被罰時間X的分布列及期望；

（2）若甲、乙兩名選手在滑道上滑行所耗時間相同，在前三輪射擊中甲選手比乙選手多罰

了3分鐘，試求在四輪射擊結(jié)束后，甲選手所罰總時間比乙選手所罰總時間少的概率（保

留小數(shù)點后4位）.

（參考數(shù)據(jù)：0.85=0.32768,0.84=0.4096.）

8.（2022?湖北?高三期末）由文化和旅游部會同國家體育總局共同編制的《滑雪旅游度

假地等級劃分》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）日前發(fā)布實施.《標(biāo)準(zhǔn)》的發(fā)布得到旅游業(yè)界的廣

泛關(guān)注，將有力推動我國冰雪旅游高質(zhì)量發(fā)展，助力北京2022年冬奧會舉辦.為推廣

滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.促銷期間滑雪場的收費標(biāo)準(zhǔn)是：

滑雪時間X小時X<11<x<22<x<3

收費標(biāo)準(zhǔn)免費80元/人120元/人

不足1小時的部分按1小時計算.有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙

不超過1小時離開的概率分別為:，,；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為J,

462

2

y,兩人滑雪時間都不會超過3小時.

（1）求甲、乙兩人所付的滑雪費用相同的概率；

（2）設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機(jī)變量X,求N的分布列和期望（結(jié)果用分?jǐn)?shù)

表示）.

9.（2022?山西懷仁?高三期末（理））2022年第24屆冬季奧林匹克運動會，簡稱“北京

張家口冬奧會”，將在2022年02月04日~2022年02月20日在北京市和張家口市聯(lián)合

舉行.這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京將承辦所有冰上項目，延慶和張家

口將承辦所有的雪上項目.下表是截取了2月5日和2月6日兩天的賽程表：

2022年北京冬奧會賽程表（第七版，發(fā)布自2020年11月）

2022北京賽區(qū)延慶賽區(qū)張家口賽區(qū)

年2自當(dāng)

開速短花高有鋼無跳北越單冬

月由日

閉冰冰度道樣山舵架舵臺歐野板季

式?jīng)Q

幕壺球滑速滑滑雪雪滑兩滑滑兩

滑賽

式冰滑冰雪橇車橇雪項雪雪項

雪數(shù)

5日**11*11*116

6日**1*1111117

說明：“*”代表當(dāng)日有不是決賽的比賽；數(shù)字代表當(dāng)日有相應(yīng)數(shù)量的決賽.

(1)(i)若在這兩天每天隨機(jī)觀看一個比賽項目，求恰好看到冰球和跳臺滑雪的概率；

(ii)若在這兩天每天隨機(jī)觀看一場決賽，求兩場決賽不在同一賽區(qū)的概率；

(2)若在2月6日(星期日)的所有決賽中觀看三場，記X為賽區(qū)的個數(shù)，求X的分布

列及期望E(X).

【解析】(1)⑴記“在這兩天每天隨機(jī)觀看一個項目，恰好看到冰球和跳臺滑雪”為事

件A.

由表可知，在這兩天每天隨機(jī)觀看一個項目，共有10x10=100種不同方法，

其中恰好看到冰球和跳臺滑雪，共有2種不同方法.

所以，恰好看到冰球和跳臺滑雪的概率P(A)=-^-=—.

(ii)記“在這兩天每天隨機(jī)觀看一場決賽，兩場決賽恰好在同一賽區(qū)”為事件8.

由表可知，在這兩天每天隨機(jī)觀看一場決賽共有6/7=42種不同方法，

其中兩場決賽恰好在北京賽區(qū)共有2種不同方法，在張家口賽區(qū)共有4x4=16.

匕「i、i2+163

所以P(B)=-^-=-.

所以兩場決賽不在同一賽區(qū)得概率為1-93=三4

77

(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3.

根據(jù)題意'Pg)唱《，

+=1+6+12+4=23

P(X=2)=

3535

C；.C；.C=8

P(X=3)=

~~C^一~35

隨機(jī)變量X的分布列是:

X123

4238

P

353535

423874

W?E(X)=lx-+2x-+3x-=-

10.(2021?廣東?廣州市真光中學(xué)高三階段練習(xí))為了增強(qiáng)學(xué)生的冬奧會知識，弘揚奧林

匹克精神，北京市多所中小學(xué)校開展了模擬冬奧會各項比賽的活動為了了解學(xué)生在越野

滑輪和早地冰壺兩項中的參與情況，在北京市中小學(xué)學(xué)校中隨機(jī)抽取了10所學(xué)校，10

所學(xué)校的參與人數(shù)如下：

一越野輪滑人數(shù)

6

550?一旱地冰壺人數(shù)

4545

436

3o

2o

1o1820is為

O

_>——I——!---------1——I——i——>■*■學(xué)校

DEFGHMN

(1)現(xiàn)從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行調(diào)查求選出的2所學(xué)校參與越野滑輪人數(shù)

都超過40人的概率；

(2)現(xiàn)有一名早地冰壺教練在這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行指導(dǎo)，記X為教練選

中參加旱地冰壺人數(shù)在30人以上的學(xué)校個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)某校聘請了一名越野滑輪教練，對高山滑降、轉(zhuǎn)彎、八字登坡滑行這3個動作進(jìn)行技術(shù)

指導(dǎo).規(guī)定：這3個動作中至少有2個動作達(dá)至「優(yōu)”，總考核記為“優(yōu)”在指導(dǎo)后，該校甲

同學(xué)3個動作中每個動作達(dá)到“優(yōu)”的概率為04求在指導(dǎo)后的考核中，甲同學(xué)總考核成

績?yōu)椤皟?yōu)”的概率.

11.(2021?廣東?高三階段練習(xí))北京冬季奧運會將于2022年2月4日至2022年2月

20日在中華人民共和國北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行.這是中國歷史上第一次舉辦

冬季奧運會，北京、張家口同為主辦城市，也是中國繼北京奧運會、南京青奧會之后第

三次舉辦奧運賽事.北京冬奧組委對報名參加北京冬奧會志愿者的人員開展冬奧會志愿

者的培訓(xùn)活動，并在培訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行了一次考核.為了解本次培訓(xùn)活動的效果，從中隨

機(jī)抽取80名志愿者的考核成績，根據(jù)這80名志愿者的考核成績得到的統(tǒng)計圖表如下所

示.

女志愿者考核成績頻率分布表

考核成績頻數(shù)頻率

[75,80)20.050

[80,85)130.325

[85,90)18m

[90,95)a0.100

[95,100]b0.075

男志愿者考核成績頻率分布直方圖

頻率

0.080

0.060

OO25

?

OOn5

O?O0

?Fh

O

707580859095100考校成緘/分

若參加這次考核的志愿者考核成績在［90,100］內(nèi)，則考核等級為優(yōu)秀.

(1)分別求出〃?，a,。的值，以及這次培訓(xùn)考核等級為優(yōu)秀的男志愿者人數(shù)；

(2)若從樣本中考核等級為優(yōu)秀的志愿者中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行學(xué)習(xí)心得分享，記抽到男志

愿者的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【解析】(1)由女志愿者考核成績的頻率分布表可知被抽取的女志愿者的人數(shù)為

2+0.05=40.因為().05()+0.325+“2+0.1(X)+0.075=1,所以機(jī)=0.45()

所以“=40x0.100=4,6=40x0.075=3

因為被抽取的志愿者人數(shù)是80,所以被抽取的男志愿者人數(shù)是80-40=40.

由男志愿者考核成績頻率分布直方圖可知男志愿者這次培訓(xùn)考核等級為優(yōu)秀的頻率為

(0.010+0.015)x5=0.125,

則這次培訓(xùn)考核等級為優(yōu)秀的男志愿者人數(shù)為40x0.125=5；

(2)由(1)知，考核評定為優(yōu)秀的女志愿者為7人，男志愿者為5人,

由題意可知X的可能取值為0,1,2,3.

p(v=3、=C；=〔°=1p(x=2)=CG=7()=7

(--220_22，(-卜.-220-22?

P(x=i)=室L型上，P(x=0)=4=—=-

'7/22044'7C：222044

X的分布列為

X0123

72171

P

44442222

7121c7cl21+28+65

故石(X)=Ox--nix---F2x--F3x—=---------=一

v744442222444

12.(2022?廣東?執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí))2021年5月120,2022北京冬奧會和冬殘奧

會吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展覽中心.為了慶祝吉祥物在上海的亮相，某商場舉

辦了一場贏取吉祥物掛件的“雙人對戰(zhàn)”游戲，游戲規(guī)則如下：參與對戰(zhàn)的雙方每次從裝

有3個白球和2個黑球(這5個球的大小、質(zhì)量均相同，僅顏色不同)的盒子中輪流不

放回地摸出1球，摸到最后1個黑球或能判斷出哪一方獲得最后1個黑球時游戲結(jié)束,

得到最后1個黑球的一方獲勝.設(shè)游戲結(jié)束時對戰(zhàn)雙方摸球的總次數(shù)為X.

(1)求隨機(jī)變量X的概率分布；

(2)求先摸球的一方獲勝的概率，并判斷這場游戲是否公平.

13.(2021.河南?輝縣市第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)(理))在第24屆冬奧會的志愿者選

拔工作中，某高校承辦了冬奧會志愿者選拔的面試工作，面試成績滿分100分，現(xiàn)隨機(jī)

抽取了80名候選者的面試成績分五組，第一組［45,55),第二組［55,65),第三組［65,75),

第四組［75,85),第五組［85,95),繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右

前三個組的頻率成等差數(shù)列，第一組和第五組的頻率相同.

(1)求。的值，并估計這80名候選者面試成績平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)

間的中點值作代表）和中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.1）；

（2）冰球項目的場地服務(wù)需要5名志愿者，有4名男生和3名女生通過該項志愿服務(wù)

的選拔，需要通過抽簽的方式?jīng)Q定最終的人選，現(xiàn)將5張寫有“中簽”和5張寫有“未中

簽”字樣的字條隨機(jī)分配給每一位候選人，記男生中簽的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)

學(xué)期望E（X）.

14.（2022?全國?高三專題練習(xí)）水立方、國家體育館、五棵松體育館、首都體育館、國

家速滑館是2022冬奧會的比賽場館.現(xiàn)有8名大學(xué)生報名參加冬奧會志愿者比賽場館

服務(wù)培訓(xùn)，其中1人在水立方培訓(xùn)，3人在國家體育館培訓(xùn)，4人在五棵松體育館培訓(xùn).

（1）若從中一次抽調(diào)2名大學(xué)生志愿者到國家速滑館培訓(xùn)，求所抽調(diào)的2人來自不同

場館的概率；

（2）若從中一次抽調(diào)3名大學(xué)生志愿者到首都體育館培訓(xùn)，要求這3人中來自水立方

的人數(shù)和來自國家體育館的人數(shù)都不超過來自五棵松體育館的人數(shù).設(shè)從五棵松抽出

的人數(shù)為3求隨機(jī)變量4的概率分布列及數(shù)學(xué)期望E?.

15.（2021?黑龍江?哈九中高三階段練習(xí)（理））冬奧會的全稱是冬季奧林匹克運動會,

是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運動會，每四年舉辦一屆.第24屆冬奧會將于2022年在

中國北京和張家口舉行，為了弘揚奧林匹克精神，增強(qiáng)學(xué)生的冬奧會知識，某市多所中

小學(xué)校開展了模擬冬奧會各項比賽的活動.為了了解學(xué)生在越野滑輪和旱地冰壺兩項中

的參與情況，在全市中小學(xué)學(xué)校中隨機(jī)抽取了10所學(xué)校，10所學(xué)校的參與人數(shù)如下:

(1)現(xiàn)從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行調(diào)查，求選出的2所學(xué)校參與旱地冰壺

人數(shù)在30人以下的概率.

(2)某校聘請了一名越野滑輪教練，對高山滑降、轉(zhuǎn)彎、八字登坡滑行這3個動作進(jìn)

行技術(shù)指導(dǎo).規(guī)定：這3個動作中至少有2個動作達(dá)到“優(yōu)”，總考核記為“優(yōu)在指導(dǎo)前，

該校甲同學(xué)3個動作中每個動作達(dá)到“優(yōu)”的概率為0.1.在指導(dǎo)后的考核中，甲同學(xué)總考

核成績?yōu)椤皟?yōu)”.能否認(rèn)為甲同學(xué)在指導(dǎo)后總考核達(dá)到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化?請說明理

由.

16.(2020?北京延慶?高二期中)為迎接2022年冬奧會，北京市組織中學(xué)生開展冰雪運

動的培訓(xùn)活動，并在培訓(xùn)結(jié)束后對學(xué)生進(jìn)行了考核.記X表示學(xué)生的考核成績，并規(guī)

定X260為考核合格.為了了解本次培訓(xùn)活動的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了

30名學(xué)生的考核成績,并作成如圖莖葉圖:

506

60358

;

776877

8I42

90r30

I)請根據(jù)圖中數(shù)據(jù),寫出該考核成績的中位數(shù)、眾數(shù)，若從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)

選取1人，估計這名學(xué)生考核為合格的概率；

(II)從圖中考核成績滿足Xe[60,69]的學(xué)生中任取3人，設(shè)y表示這3人中成績滿足

必-70區(qū)6的人數(shù)，求y的分布列和數(shù)學(xué)期望.

17.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））單板滑雪U型池比賽是冬奧會比賽中的一個項目，

進(jìn)入決賽階段的12名運動員按照預(yù)賽成績由低到高的出場順序輪流進(jìn)行三次滑行，裁

判員根據(jù)運動員的騰空高度、完成的動作難度和效果進(jìn)行評分，最終取單次最高分作為

比賽成績.現(xiàn)有運動員甲、乙二人在2021賽季單板滑雪U型池世界杯分站比賽成績?nèi)?/p>

下表：

運動員甲的三次滑行成績運動員乙的三次滑行成績

分站

第1次第2次第3次第1次第2次第3次

第1站80.2086.2084.0380.1188.400

第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60

第3站79.10087.5089.1075.3687.10

第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01

第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70

假設(shè)甲、乙二人每次比賽成績相互獨立.

（1）從上表5站中隨機(jī)選取1站，求在該站運動員甲的成績高于運動員乙的成績的概

率；

（2）從上表5站中任意選取2站，用X表示這2站中甲的成績高于乙的成績的站數(shù),

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）假如從甲、乙2人中推薦1人參加2022年北京冬奧會單板滑雪U型池比賽，根據(jù)

以上數(shù)據(jù)信息，你推薦誰參加，并說明理由.

（注：方差s'=:+（%2-，一+…,其中嚏為占，X,,X.的平均

數(shù)）

18.（202卜河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測）第24屆冬奧會將于2022年2月在中國北京市和張

家口市聯(lián)合舉行.某城市為傳播冬奧文化，舉行冬奧知識講解員選技大賽.選手需關(guān)注

活動平臺微信公眾號后，進(jìn)行在線答題，滿分為200分.經(jīng)統(tǒng)計，有40名選手在線答

題總分都在［150,200］內(nèi).將得分區(qū)間平均分成5組，得到了如圖所示的頻率分布折線

圖.

（1）請根據(jù)頻率分布折線圖，畫出頻率分布直方圖，并估計這40名選手的平均分；

（2）根據(jù)大賽要求，在線答題總分不低于190分的選手進(jìn)入線下集訓(xùn)，線下集訓(xùn)結(jié)束

后，進(jìn)行兩輪考核.第一輪為筆試，考試科目為外語和冰雪運動知識，每科的筆試成績

從高到低依次有A,B,C,。四個等級.兩科均不低于C,且至少有一科為A,才能

進(jìn)入第二輪面試，第二輪得到“通過”的選手將獲得“冬奧知識講解員”資格.已知總分高

于195分的選手在每科筆試中取得A,B,C,。的概率分別為J2,1占1，白1；總

361212

分不超過195分的選手在每科筆試中取得A,B,C,。的概率分別為?，；，,，!；

3464

若兩科筆試成績均為A,則無需參加“面試”，直接獲得“冬奧知識講解員”資格；若兩科

筆試成績只有一個A,則要參加面試，總分高于195分的選手面試“通過”的概率為：，

總分不超過195分的選手面試“通過”的概率為:.若參加線下集訓(xùn)的選手中有2人總分

高于195分，求恰有兩名選手獲得“冬奧知識講解員”資格的概率.

19.（2021?全國?高三專題練習(xí)）第24屆冬季奧林匹克運動會，將于2022年2月4日至

2022年2月20日在北京舉行實踐“綠色奧運、科技奧運、人文奧運”理念，舉辦一屆“有

特色、高水平”的奧運會，是中國和北京的莊嚴(yán)承諾，也是全世界的共同期待.為宣傳北

京冬奧會，激發(fā)人們參與冬奧會的熱情，某市開展了關(guān)于冬奧知識的有獎問答.從參與

的人中隨機(jī)抽取100人，得分情況如下：

（1）得分在80分以上稱為“優(yōu)秀成績”，從抽取的100人中任取2人，記“優(yōu)秀成績”的

人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)由直方圖可以認(rèn)為，問卷成績值y服從正態(tài)分布其中〃近似為樣本平

均數(shù)，〃近似為樣本方差.

①求產(chǎn)(77.2<y<89.4)；

②用所抽取100人樣本的成績?nèi)ス烙嫵鞘锌傮w，從城市總?cè)丝谥须S機(jī)抽出2000人,記Z

表示這2000人中分?jǐn)?shù)值位于區(qū)間(77.2,89.4)的人數(shù)，利用①的結(jié)果求E(Z).

參考數(shù)據(jù)：7150?12.2,V146?12.B尸(〃-丫<M+cr)=0.6826,

尸(〃一2cr<y<〃+2cr)=0.9544,尸(〃-3cr<丫<〃+3b)=0.9974.

20.(2021?湖北?漢川市實驗高級中學(xué)高二期中)為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪

運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時間不超過1小時免

費，超過1小時的部分每小時收費標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時的部分按1小時計算).有

甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為,，

，；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為!■；兩人滑雪時間都不會超過3

623

小時.

(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；

(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機(jī)變量X(單位：元)，求。的分布列與數(shù)

學(xué)期望E(X).

21.(2021?湖南?模擬)為迎接2022年冬奧會，某市組織中學(xué)生開展冰雪運動的培訓(xùn)活

動，并在培訓(xùn)結(jié)束后對學(xué)生進(jìn)行了考核.記X表示學(xué)生的考核成績，并規(guī)定X285為考

核優(yōu)秀.為了了解本次培訓(xùn)活動的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的考

核成績，并作成如圖所示的莖葉圖:

50116

60143358

723768717

8114529

902130

(1)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計這名學(xué)生考核為優(yōu)秀

的概率;

(2)從圖中考核成績滿足Xe[70,79]的學(xué)生中任取3人，設(shè)丫表示這3人中成績滿足

|X-85歸10的人數(shù)，求y的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)需時培訓(xùn)有效.請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù),

判斷此次冰雪培訓(xùn)活動是否有效，并說明理由.

【解析】（1）設(shè)該名學(xué)生考核成績優(yōu)秀為事件A.

由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以知道，30名同學(xué)中，有7名同學(xué)考核優(yōu)秀.

所以所求概率P（A）約為

（2）y的所有可能取值為0,1,2,3.

因為成績Xw[70,80]的學(xué)生共有8人，其中滿足|X-75|410的學(xué)生有5人.

所以p（y=o）=g=2，p（y=i）=辱=?.

p（y=2）=等嗡"=3）爺嘿

C8JOC8DO

隨機(jī)變量y的分布列為

Y0123

1153010

P

56565656

…、八1115c3°。1°15

E（y）=Ox---F1x--F2x---H3x—=—

565656568

X-85

（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，滿足41的成績有16個.

10

X-85

所以P<1

103015

所以可以認(rèn)為此次冰雪培訓(xùn)活動有效.

22.（2021?河南?高三階段練習(xí)）2018年2月22日，在韓國平昌冬奧會短道速滑男子500

米比賽中，中國選手武大靖以連續(xù)打破世界紀(jì)錄的優(yōu)異表現(xiàn)，為中國代表隊奪得了本屆

冬奧會的首枚金牌，也創(chuàng)造了中國男子冰上競速項目在冬奧會金牌零的突破.根據(jù)短道

速滑男子500米的比賽規(guī)則，運動員自出發(fā)點出發(fā)進(jìn)入滑行階段后，每滑行一圈都要依

次經(jīng)過4個直道與彎道的交接口&（%=1,2,3,4）.己知某男子速滑運動員順利通過每個

31

交接口的概率均為“摔倒的概率均為“假定運動員只有在摔倒或到達(dá)終點時才停止

滑行，現(xiàn)在用X表示該運動員滑行最后一圈時在這一圈內(nèi)已經(jīng)順利通過的交接口數(shù).

出發(fā)點

（1）求該運動員停止滑行時恰好已順利通過3個交接口的概率;

（2）求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

23.（2019?全國全國?高二專題練習(xí)（理））2018年2月25日，平昌冬奧會閉幕式上的“北

京8分鐘”驚艷了世界.某學(xué)校為了讓學(xué)生們更好地了解奧運，了解新時代祖國的科技發(fā)

展，在高二年級舉辦了一次知識問答比賽.比賽共設(shè)三關(guān)，第一、二關(guān)各有兩個問題，

兩個問題全答對，可進(jìn)入下一關(guān)；第三關(guān)有三個問題，只要答對其中兩個問題，則闖關(guān)

成功.每過一關(guān)可一次性獲得分別為1、2、3分的積分獎勵，高二（一）班對三關(guān)中每

個問題回答正確的概率依次為，且每個問題回答正確與否相互獨立.

（1）記A表示事件“高二（一）班未闖到第三關(guān)”，求P（A）的值；

（2）記X表示高二（一）班所獲得的積分總數(shù)，求X的分布列和期望.

冬奧專題10隨機(jī)變量及其分布

一、單選題

1.（2021?湖南?雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）“冰墩墩”是2022年北京冬奧會吉祥物，在冬奧

特許商品中，已知一款“冰墩墩”盲盒外包裝上標(biāo)注隱藏款抽中的概率為!，出廠時每箱

O

裝有6個盲盒.小明買了一箱該款盲盒，他抽中《0$七6,Z6N）個隱藏款的概率最大,

則氏的值為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】由題意可得小明抽中々個隱藏款的概率為C：其中

ck.56M，…fC1?56T>k-\.57M

0&kW6,kwN,要使得氣'最大，只需要C>5?最大，則0s-zcc'fY，

k工

即E7一”，，則工4A乂因為04&46,%eN,則％=1,故選：B.

5>[66

,6^1-ITT

2.（2021?江蘇?鎮(zhèn)江崇實女子中學(xué)高二期中）為準(zhǔn)備2022年北京一張家口冬奧會，某冰

上項目組織計劃招收一批9—14歲的青少年參加集訓(xùn)，以選拔運動員，共有10000名運

動員報名參加測試，其測試成績X（滿分100分）服從正態(tài)分布N（60,4）,成績?yōu)?0

分及以上者可以進(jìn)入集訓(xùn)隊，已知80分及以上的人數(shù)為228人，請你通過以上信息，

推斷進(jìn)入集訓(xùn)隊的人數(shù)為（）

附：P（//-cr<X<//+cr）=0.6826,P（〃-2b<X<〃+2cr）=0.9544,

「(〃一3cr<X<〃+3。)=0.9974

A.13B.18C.26D.30

【答案】A

【解析】正態(tài)分布X?N(60,〃)，可知〃=60

228

80分及以匕的人數(shù)為228人，則尸(X280)=訴高=0.0228,

10000

由正態(tài)分布曲線的對稱性可得：

尸(40<X<80)=l-2P(X>80)=0.9544=P(〃-2b<X<〃+2b),故cr=10,

1-09974

?,.尸(30<X<90)=0.9974,/.P(X>90)==0.0013

則90分及以上的人數(shù)為10（X）0x0.0013=13人.故選：A.

3.(2021?全國?高三專題練習(xí)(理))為準(zhǔn)備2022年北京-張家口冬奧會，某冰上項目組

織計劃招收一批9-14歲的青少年參加集訓(xùn)，以選拔運動員，共有20000名運動員報名

參加測試，其測試成績X(滿分100分)服從正態(tài)分布N(60,a2),成績?yōu)?0分及以上者

可以進(jìn)入集訓(xùn)隊.已知80分及以上的人數(shù)為456人，請你通過以上信息，推斷進(jìn)入集訓(xùn)隊

的人數(shù)為()

附：P(〃一b<X<〃+cr)=0.6826,P(/i-2c<X<//+2cr)=0.9544,

P(/j-3<T<X</J+3<T)=0.9974.

A.18B.22C.26D.30

【答案】c

【解析】正態(tài)分布X?N(60,(T2),80分及以上的人數(shù)為456人，則

456

P(X>80)=^^=0.0228,

20000

由正態(tài)分布曲線的對稱性可得：

尸(40<X<80)=l-2P(X>80)=0.9544=P(〃-2b<X<4+2b),

故b=10,,??尸(30vX<90)=0.9974,

則90分及以上的人數(shù)為20000x(,0.9974)=26人故選仁

二、多選題

4.(2022?全國?高二課時練習(xí))為了增強(qiáng)學(xué)生的冬奧會知識，弘揚奧林匹克精神，北京

市多所中小學(xué)開展了冬奧會項目科普活動.為了了解學(xué)生對冰壺這個項目的了解情況，

在北京市中小學(xué)中隨機(jī)抽取了10所學(xué)校，10所學(xué)校中了解這個項目的人數(shù)如圖所示:

60人政

50

1()

0?11,,,,,....________

ABCDEFGHMN學(xué)校

若從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行這個項目的科普活動，記X為被選中的學(xué)校

中了解冰壺的人數(shù)在30以上的學(xué)校個數(shù)，則()

A.X的取值范圍為{0」,2,3}B.P(X=0)=g

7

C.0”）吟D.E（X）=g

【答案】BC

【解析】X的取值范圍為{0,1,2},了解冰壺的人數(shù)在30以上.的學(xué)校有4所

P（X=0）=等4P（x=l）=詈=2，p（x=2）=鏟]，所以

joDL]0LJ'-IO

F（X）=0xl+lx—+2x—=-

v7315155

故選：BC.

三、解答題

5.(福建省漳州市2022屆高三畢業(yè)班第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題)北京冬奧會某個

項目招募志愿者需進(jìn)行有關(guān)專業(yè)、禮儀及服務(wù)等方面知識的測試，測試合格者錄用為志

愿者.現(xiàn)有備選題10道，規(guī)定每次測試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試，至少答

對2道題者視為合格，已知每位參加筆試的人員測試能否合格是相互獨立的.若甲能答

對其中的6道題，乙能答對其中的8道題.求:

(1)甲、乙兩人至多一人測試合格的概率;

(2)甲答對的試題數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

C1-C\+Cl60+202

【解析】(1)根據(jù)題意，甲測試合格的概率為

%1203

CC+C；_56+56_14

乙測試合格的概率為

12015

214

故甲、乙兩人都測試合格的概率為彳乂妾=言，

31545

OQ17

則甲、乙兩人至多一人測試合格的概率為＞77=”

4545

(2)由題可知,甲答對的試題數(shù)X可以取0』,2,3,

又「（x=°）=2=總=:3

，（）C*12010

P（X=2）=管KP（X=3）=_20_1

I—*?01NUN比一商一引

故X的分布列如下:

X0123

13j_J_

p

30io26

3110

則E(X)=lx—+2x-+3x-=-

V'10265

6.（2021.遼寧?高二階段練習(xí)）2022年北京冬奧會的志愿者中，來自甲、乙、丙三所高

校的人數(shù)分別為：甲高校學(xué)生志愿者7名，教職工志愿者2名；乙高校學(xué)生志愿者6名,

教職工志愿者3名；丙高校學(xué)生志愿者5名，教職工志愿者4名.

（1）從這三所高校的志愿者中各抽取一名，求這三名志愿者中既有學(xué)生又有教職工的概率;

（2）先從三所高校中任選一所，再從這所高校的志愿者中任取一名，求這名志愿者是教職

工志愿者的概率.

【解析】（1）設(shè)事件A為從三所高校的志愿者中各抽取一名，這三名志愿者全是學(xué)生,

76570

則P(A)=—x—x—=-----

'J999243

設(shè)事件3為從三所高校的志愿者中各抽取一名，這三名志愿者全是教職工，則

2348

P”-x—x—

999243

設(shè)事件C為從三所高校的志愿者中各抽取一名，這三名志愿者中既有學(xué)生又有教職工,

8二55

則尸(C)=l—P(A)—P(8)=l-〒

243-81

（2）設(shè)事件。為這名志愿者是教職工志愿者，事件用為選甲高校，事件當(dāng)為選乙高校,

事件4為選內(nèi)高校.

1234

P（E1）=P（E2）=P（E3）=-fP（D|E1）=-,P（D|E2）=-,P⑷居）=§.

所以這名志愿者是教職工志愿者的概率為：

1213141

P（D）=P（EI）P（DIE,）+P（E2）P（DIE2）+P（E3）.P（DIE3）=-X-+-X-+-X-=-

7.（2022?重慶市天星橋中學(xué)一模）第24屆冬奧會將于2022年2月4日至2月20日在

北京舉行，冬季兩項是冬奧會的正式項目之一，冬季兩項是把越野滑雪和射擊兩種特點

不同的競賽項目結(jié)合在一起進(jìn)行的運動，要求運動員既要有由動轉(zhuǎn)靜的能力，又要有由

靜轉(zhuǎn)動的能力.20km男子個人賽是冬季兩項中最古老的奧運項目，分成5個階段：第1

圈滑行后臥射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后臥射，第4圈滑行后立射，第5圈滑

行直達(dá)終點.比賽時，運動員單個出發(fā)，隨身攜帶槍支和20發(fā)子彈，每輪射擊發(fā)射5

發(fā)子彈，每脫靶一次加罰1分鐘.成績的計算是越野滑雪的全程時間加被罰的時間，比

賽結(jié)束所耗總時間少者獲勝.已知甲、乙兩名參賽選手在射擊時每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概

率均為0.8.

（1）試求甲選手在一輪射擊中，被罰時間X的分布列及期望；

（2）若甲、乙兩名選手在滑道上滑行所耗時間相同，在前三輪射擊中甲選手比乙選手多罰

了3分鐘，試求在四輪射擊結(jié)束后，甲選手所罰總時間比乙選手所罰總時間少的概率（保

留小數(shù)點后4位）.

（參考數(shù)據(jù)：0.85=0.32768,0.84=0.4096.）

【解析】（1）因為一輪射擊中，共發(fā)射5發(fā)子彈，脫靶一次罰時1分鐘，

所以一輪射擊中，被罰時間X的值可能為0,1,2,3,4,5.

p（X=0）=0.85=0.32768,=l）=C；0.2x0.84=0.4096,

P（X=2）=C；（0.2）2x0.83=0.2048,P（X=3）=C；（OZ?xOU=0.0512,

p（X=4）=C；（0.2）4x0.8=0.0064,P（X=5）=C；（0.2）5=0.00032,

所以X的分布列為

X012345

P0.327680.40960.20480.05120.00640.00032

依題意，被罰時間X滿足二項分布，所以=5x02=1；

（2）依題意，甲選手所罰總時間比乙選手所罰總時間少，在第四輪射擊中，共有兩種可能，

第一種情況，甲5發(fā)子彈都擊中，乙擊中0發(fā)或1發(fā)；第二種情況，甲擊中4發(fā)子彈,

乙擊中0發(fā)，所以甲選手所罰總時間比乙選手所罰總時間少的概率為

P=0.85X（0.25+C；0.24x0.8）+Ci（）.2x0.84X0.25=0.0023.

8.（2022?湖北?高三期末）由文化和旅游部會同國家體育總局共同編制的《滑雪旅游度

假地等級劃分》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）日前發(fā)布實施.《標(biāo)準(zhǔn)》的發(fā)布得到旅游業(yè)界的廣

泛關(guān)注，將有力推動我國冰雪旅游高質(zhì)量發(fā)展，助力北京2022年冬奧會舉辦.為推廣

滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.促銷期間滑雪場的收費標(biāo)準(zhǔn)是：

滑雪時間X小時x<\l<x<22<x<3

收費標(biāo)準(zhǔn)免費80元/人120元/人

不足1小時的部分按1小時計算.有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙

不超過1小時離開的概率分別為:，1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為

兩人滑雪時間都不會超過3小時.

（1）求甲、乙兩人所付的滑雪費用相同的概率；

（2）設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機(jī)變量X,求N的分布列和期望（結(jié)果用分?jǐn)?shù)

表示）.

【解析】（1）兩人所付費用相同，相同的費用可能為0、80、120元，

兩人都付0元的概率為q=（x\=（；

121

兩人都付80元的概率為^=-x-=-；

兩人都付120元的概率為鳥一:-'|）=：.

I427\o5J24

則兩人所付費用相同的概率為尸=/?+4+6q+；+=q；

（2）設(shè)甲、乙所付費用之和為X,X可能取值為0、80、120、160、200,240

則尸(X=0)=2$P(X=80)f%|1

P(X=120)=W!XL-!-,P(X=160)=LX2=1

464612233

P(X=200)=-x-+lx---,P(X=240)--x-=—

264344624

所以，隨機(jī)變量X的分布列為:

X080120160200240

1J_11

P

244123424

￡(X)=0x—+80x1+120x—+160x1+200x1+240x—=—it.

2441234243

9.(2022?山西懷仁?高三期末(理))2022年第24屆冬季奧林匹克運動會，簡稱“北京

張家口冬奧會”，將在2022年02月04日?2022年02月20日在北京市和張家口市聯(lián)合

舉行.這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京將承辦所有冰上項目，延慶和張家

□將承辦所有的雪上項目.下表是截取了2月5日和2月6日兩天的賽程表：

2022年北京冬奧會賽程表（第七版，發(fā)布