2023年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義進(jìn)階方案-03 大題專(zhuān)攻（二）（立體幾何中的綜合問(wèn)題）（解析版）

專(zhuān)題03大題專(zhuān)攻（二）（立體幾何中的綜合問(wèn)題）

目錄

題型一：翻折問(wèn)題

題型二：探索性問(wèn)題

題型三：最值與范圍問(wèn)題

應(yīng)用體驗(yàn)精選好題做一當(dāng)十

題型一：翻折問(wèn)題

1.（2021?重慶八中高三月考）如圖甲，在梯形A8CD中，AD//BC,過(guò)點(diǎn)6作破且

AE=ED=2BC=2BE,將梯形沿BE折疊得到圖乙.折疊后ZA￡D=60。，點(diǎn)廠是AE的中點(diǎn).

（1）求證：BF〃平面ACD；

（2）求平面ME與平面所成的銳二面角的余弦值.

乙

（1）證明見(jiàn)解析

⑵昱

7

（1）

證明：取庾的中點(diǎn)G連接月；、CG,因?yàn)辄c(diǎn)尸是AE的中點(diǎn)，所以FG〃ED,FG=!ED,

2

又A,IBC,過(guò)點(diǎn)6作3EJ_4）且他=￡￡>=28C=28E,所以BC〃ED,BC=^ED,,

所以FG〃BC,FG=BC,所以四邊形BCGE是平行四邊形，所以B/7/CG,又（Z面AC￡>,CGu面ACD,

所以〃面ACO.

解：取加的中點(diǎn)。連接8、A0,因?yàn)?E_LE23E_LAE,Er>nAE=E,所以BE1面AED,

又COHEB,所以COL而AEZ），

又N4ED=60。，AE=ED,所以是正三角形，AO1ED,

所以以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，a'所在的直線為x軸，以麗，）的方向分別為必z軸的正方向，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

設(shè)8c=1,則8（1,-1,0）,C（1,O,O）,￡）（0,1,0）,A（0,0,石），E（0,-1,0）,從而而=（1,0,一⑹，而=（0,1,一碼,

A￡=（0,-l,-V3）,AB=（1,-1,->/3）.

設(shè)平面｛切的法向量為3=（%，x，Z|）,

則『差"一，=（）,令得心便，⑸）

n-AD=y—=0,

設(shè)平面/協(xié)的法向量為，”=（》2，%*2），

m-AE=y+>/3z=0,,

22得送=（0,-6,1）.

則《_——r-2Z?=1

m-AB=x2-y2-y/3z2=0,

設(shè)平面ABE與平面ACD所成的銳二面角為。,

R1二崎步率所以平面樹(shù)與平面A。。所成的銳二面角的余弦值為今

2.（2021?廣東順德?高三月考）某商品的包裝紙如圖1,其中菱形A8CO的邊長(zhǎng)為3,且N4BC=60。，

AE=AF=6,BE=DF=2^3,將包裝紙各三角形沿菱形的邊進(jìn)行翻折后，點(diǎn)￡,F，M，N匯聚為

一點(diǎn)P，恰好形成如圖2的四棱錐形的包裹.

（1）證明以，底面A3CD；

（2）設(shè)點(diǎn)T為BC上的點(diǎn)，且二面角3-姑-7的正弦值為魯，試求PC與平面B4T所成角的正弦值.

E

P

【答案】

(1)證明見(jiàn)解析

⑵亞

14

(1)

由菱形A3C。的邊長(zhǎng)為3,AE=AF=y/3,BE=DF=2拒

可得：BE2=AB2+AE2.即有

同理￡＞尸2=4￡)2+4尸2,即有

在翻折的過(guò)程中，垂直關(guān)系保持不變可得：PA±AB,PAYAD,ABi^AD=A.

可得抬，底面ABC。

(2)

解法一：如圖，以點(diǎn)1為原點(diǎn)，為A"軸，過(guò)點(diǎn)力作"的垂線為y軸，小為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

由第(1)問(wèn)可得R4_L底面ABC",可得：PALAB,PA1.AT.

則N847為：面角的平面角，由題意可得：sinZBAT=^-

14

考慮△BAT,ZAB7'=60°,可得sin/AT8=sin(/A8T+60o)=e"L

ABBT

利用正弦定理

sinNA78sinNBAT

可得：BT=1,可得點(diǎn)T的坐標(biāo)為-,y,0.

I4/

點(diǎn)尸(0,0,6),A((),0,0),dl￥，o

m-AP=0Gz=o

設(shè)面P4T的法向量為Z=(x,y,z)，則有，一，即：

inAT=05x+My=0

—>

令x=3,則有蔡=(3,-56。卜PC[I，"

—>—>

T—>m-PC3A/7

則有：，

cos(mPC[=—>

PC-m

則/個(gè)與面為7所成角的正弦值為我.

14

解法二：由第(1)問(wèn)可知Q4_L底面A3CD,4C=3,

所以R4J_AB,PA±AT,PC=2y/3.

則NB4T為二面角B-Rl-T的平面角，由題意可得：sinZBAT=—

14

考慮△BAT,ZABT=6O°,可得sinNATB=sin(NABT+60。)=

ABBT

利用正弦定理

sinZATB~sinZBAT

可得：BT=1,即點(diǎn)T為用上靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)

所以在中，由余弦定理可得：AT=4AB?+BT。-2AB-BTcosZABT=B

設(shè)過(guò)點(diǎn)C作平面力7.的垂線，垂足為0,連接偌，

所以NCPQ為民與面以7所成角

考慮三棱錐尸—ACT,由于匕,er=LSAAB.尸A=Lx'x2x±且x百=3,

13ZA/ICi322，2

xx

^C-PAT=§/A7P，CQ=—-幣X6'CQ,

因?yàn)槊?yc-pAr，所以CQ=—

所以sinNCPQ=^=迫

PC14

所以與面為7所成角的正弦值為邁

14

解法三：由PA_L面A8CD,可得：PAYAB,PAYAT.

故N3AT為：面角B—PA—A的平面角，山題意可得：sinZBAT=-

14

因?yàn)閆BAT為銳角，所以85/區(qū)47=上立

14

故sinZCAT=sin(60。—NC4T)=--

過(guò)點(diǎn)C作8垂直于“于Q，連接CQ、AC

則CQ=AC.sinZCAT=

7

VPAA.AC,：.PC=25/3

：PA_L面A8CO,PA，CQ

又因?yàn)锳T_LCQ,ATr>PA=A,故CQL面為7

故NCPQ為PC與面處7■所成的角，???sinZCPQ=迎

即先片面印7所成角的正弦值為地

14

題型二：探索性問(wèn)題

1.(2021?河南?高三月考(理))如圖，多面體ABC￡＞石尸中，四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形，AC=2上,

AADE為等腰直角三角形，ZA￡D=90°.平面ADE_L平面ABC。，且EF||AB,EF=\.

(1)證明：4。，平面3。9；

(2)若G為棱3/上的一點(diǎn)，使直線AG與平面8CE所成角的正弦值為囪，求AG的長(zhǎng).

7

【詳解】

(1)證明：取4〃的中點(diǎn)〃，

因?yàn)闉榈妊苯侨切危琙AED=90°,所以E”_LA￡>,

因?yàn)槠矫?更，平面ABCD,且平面AOEn平面ABCD=AD,

所以E〃_L平面A3CD,

設(shè)AC,BD的交點(diǎn)、為0,連接"011,

則OH//AB,且0H=LA8=1,

2

因?yàn)镋F///W,EF=\,所以EF//HO且EF=HO,

所以四邊形EFOH為平行四邊形.

故FOHEH&FO=EH,

所以尸0,平面A8C￡>,又ACu平面488,從而FOJ.AC,

在菱形中，^ACrBD,

因?yàn)镋OcB￡>=O,所以ACJ?平面8DE：

(2)以。為原點(diǎn)，以如，0C,6F分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

有A(0,-6,0),8(1,0,0),C(0,百,0),尸(0,0,1).

設(shè)G(a,0,c),BG=2BF(O<Z<1),BG=(a-l,0,c),BF=(-1,0,1),

得a=l—2,c=/l,即G(1—4(U),

從而=百,/l),BC=(-1,73,0).

設(shè)平面3CF的一個(gè)法向量為M=(x,y,z),

,fi-BF-Of-x+z=0

味屈m得L+島=o,取?可，物，

?.,_r/H|ii-AG|121_,

由已知可得一=!-=--,z得;I2-2=O,

\n\\AG\7

所以4=0或2=1,所以AG=|而1=2.

2.（2021?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知四棱錐S-AB8的底面為直角梯形，且滿足AB〃CD,

BC±AB,AB=9,BC=CD=SD=6,SB=n,平面58,平面SBC.M為線段SC的中點(diǎn)，N為線段上的動(dòng)

點(diǎn).

（1）求證：平面SC￡）_L平面A8CD；

（2）設(shè)AN=4NB（，>0）,當(dāng)二面角C—DW—N的大小為60時(shí)，求2的值.

7

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【詳解】

證明：（1）?.?$￡>=8..?me為等腰三角形.

又為SC的中點(diǎn)，.?.￡>M_LSC.

又,/平面SCD1.平面SBC,平面SCD0平面SBC=SC且DMu平面SCD,

由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知，OM_L平面S3C.

又「BCu平面S8C,由直線與平面垂宜的性質(zhì)可知DW-LBC

又；3(7_18,。加八￡＞。=。,￡＞知＜=平面5。。，C￡?u平面SCZX

???8Cu平面SC￡＞

又?.?BCu平面A3C￡),

/.平面SCD±平面ABCD

(2)(方法一)由(1)可知，用71_平面5￡9，,5。_15。.

2222

在./SCB中,sc=y/sB-BC=712-6=71()8=6＞/3.

在A5DC中，由余弦定理可知，cosZSDC=SD+DC~SC=—+62-(66)2_1

2SDDC2x6x62

NSDCe(0°,l80°NSDC=120.

過(guò)點(diǎn)N作NGJ_C￡＞于點(diǎn)G,G為垂足，則NG//BC,

BCJ?平面SCD一?.NGJ_平面SCD,

?■?DWu平面SC。，:.DMING.

過(guò)點(diǎn)G作GKJ.ZW于點(diǎn)K,K為垂足，連接NK.

?.-DM1GK,DM_LNG,NGcGK=G,

.?.DW_L平面NGK.

又NKu平面NGK,DM1NK,

.?.NGKV即為二面角C-OW-N的平面角

在Rt^NGK中NNKG=60°,...tan60=—=GK=-^==

GKGKJ3

八Rt.DKG,NKDG=60°,sin60=-=友DG=窄=4

在&DGDG逝

T

??.GC=CD-DG=6-4=2,:.NB=GC=2,AN=AB-NB=9-2=1

.??石冽上

NB2

（方法:）山（1）可知，BCL平血SDC,

;.8C_LSC.在RfASCB中，SC=^SB--BC2=V122-62=7108=6>/3

在A5DC中，由余弦定理可知

SD2+DC2-SC262+62-(6>/3)2_1

cosNSDC=

2SDDC2x6x6一5

NSDCe（0°,l80）,NSDC=120°

過(guò)S點(diǎn)作線段CO的延長(zhǎng)線的垂線，垂足為。,

/SDC=120NSDO=60°,:.OD=-SD=3,:.OC^9,

2

二四邊形A3co為矩形.

由平面SCOJ■平面A8CD可知，5。_1平面48。￡)

\nt-DN=6x+(a-3)y=0

設(shè)平面DMN的法向%=(x,y,z),由<______33.

Iny-DM=—y+—^―z=0

令Z=G，得y=-3,x=%^

a—3q

/.%=亍‘一3.

又?.?平面CDM的法向量后=(1,0,0)

7

即AV=7,.?.N8=AB—AV=9—7=2

,AN7

A,=------

NB2

題型三：最值與范圍問(wèn)題

1.(2021?浙江?模擬預(yù)測(cè))在四棱錐尸中，BC/MD,C￡>_LAL>,二面角P-AO-B的大小為行，

且PA=PO=夜，AD=2DC=2BC=2.

(1)求證：PB1.AD；

(2)設(shè)￡是直線PC上一點(diǎn)，求AE與平面Q43所成角正弦的最大值.

【答案】

(1)證明見(jiàn)解析

(2)亞

155

(1)

取AO中點(diǎn)。，則尸。_LAD,3O_LAO,

PO,BOU平面POB,POC]BOO,

平面POB,P3u平面POB,

???AD.LPB；

以。為原點(diǎn)，。氏0。為工，J，釉，建立空間直角坐標(biāo)系,

由(1)知，ZPOB與,則

A(O,-1,O),B(1,O,O),C(1,1,O),

T&PE=APC-則荏=(空+

22

設(shè)平面R4B的法向量G=(x,y,z),則一5yl~z-U

x+y=0

故取7=(1,—1,6)

1211,25/310

sin〃—----7===^^=^^=~--------S---------------------------------

設(shè)AE與平面PA8所成角。，則一155

石山』+2闖4_；+以-

故AE與平面B48所成角正弦的最大值些￡,

2.(2021?河南駐馬店?高三月考(理))如圖所示的幾何體，其底面ABC。是直角梯形，ZADC=90°,

AD//BC,AD=CD=1,BC=2,SAJ■底面A3CZ).

(1)若SA=1,求直線A8與平面SBC的夾角口：

(2)若SA=a,求平面SAB與平面S￡>C所成二面角的余弦值與。的關(guān)系，并求出余弦值的取值范圍.

S

【答案】(2)平面皿與平面S8所成二面角的平面角的余弦值為—‘余弦值的范圍是

【詳解】

(1)在直角梯形A3CO中，作AH//ZJC交肉于〃，因NADC=90。，則AH_L/W>，又S41.底面A5C。，以

A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因此，A(0,0,0),0(0,1,0),S(0,0,1),C(l,l,0),

uuu_UUU1

則A5=(l,-l,0),SC=(l,l,-l),3c=(0,2,0),

-、n-SC=0fx+y—z=0_

設(shè)平面SBC的法向量為〃=(x,y,z),則｛,即＜*,令人=1得〃=(1,0,1),

[/?-BC=0[2y=0

于是得如。=辰I$*_4_氏”*|?=|麗AB-f卜i反1正=于I

所以2=2;

6

=C/w,zJ、,則E長(zhǎng)%..A血S=0,即nraz,=0

(2)S(0,0,a),旃=(0,0M),設(shè)平面S4B的法向量為行“產(chǎn)?！?

得元=(1,1,0),

/即■x=03令

DS=(0,-1,a),DC=(1,0,0),設(shè)平面SDC的法向量為石2=(%,%，z?)，■2

Z2=1得九2=(O,6t,l),

n\-n2

卜[卜2]V2-V?2+l12a2+2，

因此，平面.與平面處所成二面角的平面角的余弦值為小

a

閃^/2a72+/2，

(向

所以平面?IB與平面SDC所成二面角的平面角的余弦值為,其范圍是0,事.

42a2+2

應(yīng)用體驗(yàn)精選好題做一當(dāng)十

1.(2021?湖南?臨澧縣第一中學(xué)高三月考)如圖1,在矩形ABC。中，AB=4，AD=2，E是CD的

中點(diǎn)，將△AQE沿AE折起，得到如圖2所示的四棱錐R-A6CE,其中平面"AE，平面ABCE.

(1)設(shè)尸為CA的中點(diǎn)，試在上找一點(diǎn)M，使得〃平面"AE；

(2)求直線8。與平面CQE所成角的正弦值.

【答案】(1)和(2)—.

43

【詳解】

(1)取。6的中點(diǎn)N,連AN、NF,則NE=；EC,NEI/EC

VEC=^AB=2,當(dāng)4佐;AB=1時(shí)，AM=^EC,AM//EC

則=且NFHAM,則4幽V是平行四邊形，AN//MF.

又MF0平面DJU,ANu平面D\AE,則物■〃平面1\AE.

（2）分別取花、AB.6c的中點(diǎn)。、G、K,連瞅、OM、OK、EG,

'：AD\=E4=2,：.O仄工AE,又平面〃心1_平面仍龍且交于羔

如_L平面ABCE.易知以〃AB,OM//EG//BC,又ABLBC,：.OMV0K,

故如圖建系0-xyz.

設(shè)平面辦少的法向量3=（x,y,z）,

???￡C〃y軸，AEC=（0,2,0）,

??OD、=-AE=-722+22=V2,

22

???〃為（0,0,正），又￡為（-1,1,0）,則屏=（1,一1,正）,

[EC'n=2y=0[y=0_

由〈____r-=><{廠，取Z=l,則[=（-行，0,1）

DxEn=x-y+j2z=0[x=-yJ2z

又8為（1,3,0）,貝ij甌=（-1,-3,正）,

記直線能與平面勿〃所成角的大小為*,

_甌臼_2應(yīng)—夜

則sine

"叫日「"26=7

2.(2021?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))如圖1,在直角梯形A8CZ)中，AD//BC,AD=ABf，^BAD=90,

NBC￡>=451E為對(duì)角線3。的中點(diǎn).現(xiàn)將AABD沿80折起到AP8D的位置，使平面網(wǎng)3。L平面8CZ),如

圖2.

(1)求證：直線PEL平面BCD；

(2)求異面直線B方和PC所成角的余弦值.

P

D

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)亞；

6

【詳解】

(1)因?yàn)槠矫鍼BOJ.平面BC。，且平面PBOPI平面3c0=30,

又由圖1可知出=P。且E為80中點(diǎn)，所以

又PEu平面尸8￡>,所以PE_L平面BCD；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，以EB方向?yàn)榱溯S，以垂直3。方向?yàn)?'軸，以EP方向?yàn)閦軸，如下圖所示:

由圖1可知為等腰直角三角形，所以NADB=N￡)3C=NOCB=45,

所以ADBC為等腰直角三角形，

因?yàn)?0=48=0，所以PD=PB=近,所以￡)2=￡>C=，

所以B(l,0,0),￡>(-1,0,0),P(0,0,l),C(-l,2,0),

所以訪=(-2,0,0),北=(-1,2,-1)，

所以cos<gb,pb>|=乎*一=-^邛,

\BD\\PC\2766

所以異面直線即，PC所成角的余弦值為無(wú)

6

3.(2021?黑龍江?佳木斯一中高三月考(理))如圖①，在直角梯形ABC。中，AD\\BC,乙BAD=g

AB=3C=2,AD=4,E是AT>的中點(diǎn)，。是AC與5E的交點(diǎn).將AASE沿BE折起到的位置,

如圖②.

(1)證明：81_平面4。(^；

(2)若平面平面BCDE,求二面角8-AC-。的余弦值.

【詳解】

7T

(1)在圖①中，因?yàn)锳fi=8C=l,AD=2,E是的中點(diǎn)，ZBAD=~,

故四邊形MCE為正方形

所以8ELAC

即在圖②中，BE1OA,,BE1OC,又OAcOC=O,

所以8E1平面40C.

又BC//DE,BC=DE,所以四邊形BCDE是平行四邊形，

所以CD//BE,所以CDL平面4QC.

(2)由已知，平面ABEL平面BCDE,又由(1)知，BELOA，BELOC,

所以NA。。為：湎角A-BE-C的平面角，

TT

所以NA℃=：.

如圖，以。為原點(diǎn)，分別以os,oc,。4所在直線為％軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

A(0,0,0),B(72,0,0),C(0,0),5-2a,叵,0)

設(shè)平面A.BC的一個(gè)法向量為1=(x,y,z),A.B=(啦,0,-夜)，而=(0,血,-血)

4?A月=&x-&z=0

令z=l/.x=l,y=l

勺?AC=y[ly-\[2z=0

故平面ABC的一個(gè)法向量為）=（U,l）,

設(shè)平面A。。的?個(gè)法向量為々=a，x，z34。=（-26"-夜卜AC=（。，6-3）

n2-\D=-2y/2xl+-應(yīng)4=0

令Z]=1，司=0,兇=1

4?AC=5/2y,-6z1=0

平面ACO的一個(gè)法向量為胃=（0,u）.

不妨設(shè)二面角B-A.C-D的平面角為o

從而|cos?|=|cos如沙=|向前|=耳殳=坐，山圖得：面角為鈍角

故二面角8-A。-。的余弦值為-巫.

3

4.（2021?北京八中高三月考）如圖，在三棱錐尸-ABO中，平面PAD，平面ASD,且AP=PZ）=3D=2,

AB=20,PA±PD.

（I）求證：APLBDx

（II）求二面角的余弦值；

2

（HI）在線段尸。上是否存在點(diǎn)E,使得直線AE與平面所成角的正弦值等于：，若存在，求線段PE的

長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）也；（IH）勺匣，理山見(jiàn)解析

217

【詳解】

（I）因?yàn)锳P=P￡>=2,PA±PD,所以AL>=Vi4P=2&，

又BO=2,A8=2石，所以AB2=AD2+BO2,所以8DLAE）,

又因?yàn)槠矫嫔螸D_L平面ABD,所以BD_L平面PAD,

所以APJLBZ）.

（H）以。為原點(diǎn)，DA,OB為x，V軸，過(guò)。且垂直于平面4陽(yáng)的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系：

則￡>（0,0,0）,4（2夜,0,0）,5（0,2,0）,P（?0,揚(yáng),

衣=（-也0,衣，麗=（-2衣2,0）,

設(shè)平面PAB的法向量為n=（x,y,z）,

n-AP=-\[2x+\[2z=0_廣

則〈_廠,取X=l,得Z=l,產(chǎn)上，則萬(wàn)=

n-AB=-2y/2x+2y=0

因?yàn)?。，平面PAO,所以取平面PAD的一個(gè)法向量為DB=（0,2,0）,

er.-YiD斤」DB2>/2>/2

所以rcos<n,DB>=------=-=,---------——=——，

\n\-\DB\71+2+1x22

因?yàn)槎娼菫殇J二面角,

所以二面角-。的余弦值為正.

2

（IH）假設(shè)存在符合題意的點(diǎn)E，設(shè)PE=t,則而=；而=（一等r,o,-等。，

所以荏=衣+而=（-夜,0,夜）+（-也￡,0,-也￡）=（-&-立/,0,四-立0,

2222

山（II）知，平面B43的法向量為無(wú)=（1,0,1）,

所以直線AE與平面Q48所成角的正弦值等于

\n-AE\=________?；22?

問(wèn)“醺?屈罰小而爭(zhēng)）2+0+5冬產(chǎn)

2x74+7254+產(chǎn)'

由已知可得產(chǎn)，=]，解得/=公后.

2V4+7517

所以PE=&叵.

17

所以在線段PD上存在點(diǎn)E,使得直線AE與平面皿所成角的正弦值等于：，此時(shí)PE=公晝.

517

5.（2021帙西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三月考（理））如圖AO//BC,且49=28C,47〃EG,且49=EG,

CDHFG,且CQ=2FG,AD±CD,DC_L平面ABC。，AD=CD=DG=2.

(1)求二面角E-BC-F的余弦值；

TT

(2)若點(diǎn)尸在線段。G上，且直線板與平面APGE所成的角為求線段OP的長(zhǎng).

4

【答案】⑴支吧：(2)口.

10

【詳解】

解：因?yàn)椤J?平面ABCD,D4u平面ABCD,AD,OCu平面ABCD,

所以￡>G，ZM,OG，￡)C,又

故可以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4,應(yīng)的方向分別為％y，z軸正方向，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系.

由4?！˙C且AO=2BC,AO//EG且A￡>=EG,8//FG且CO=2尸G,

AO=CD=2X7=2可知，各點(diǎn)坐標(biāo)為E（2,0,2）,3（l,2,0）,C（0,2,0）,F（0,l,2）,

（1）易知函=（2,-2,2）,屈=（l,O,O）,#=（O,T,2）

,

設(shè)平面EBC的法向量為=(x1,>pz1),則由“?CE=O,勺?CB=O可得

一:I：'=°，故平面EBC的一個(gè)法向量為)=(0,1,1).

,

設(shè)平面FBC的法向量為%=(x2,>2,z2)?則由%-CF=0,,CBuO可得

|x=j，故平面尸BC的一個(gè)法向量為N=(021)

/-,-A7?i,71)33A/10

因?yàn)閏os(4,%)=向同=7元后=一彳廠且顯然二面角E—BC—/為銳角.

故:面角E-3C-尸的余弦值為之叵；

10

(2)因?yàn)辄c(diǎn)尸在線段。GE故可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,0,P),其中0<。<2

于是麗=(—1,—2,p),

易知平面ADGE的個(gè)法向量為3=(0,1,0)

TT

因?yàn)橹本€研與平面4DGE所成的角為:，

4

.712V2

所以sm：=/,=/

4^/1+4+/?2xI2

解得P=6

所以線段OP的長(zhǎng)為6.

6.(2021?天津二中高三月考)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為直角梯形，AD//BC,ADLDC,

PA=PD=PB=25BC=DC=^AD=2,E為AD的中點(diǎn).

(I)求證：PEL平面他8；

(II)求二面角A-PB-C的正弦值；

(III)記8C的中點(diǎn)為M,若N在線段PE上，且直線MN與平面248所成的角的正弦值為直，求線段EN

18

的長(zhǎng).

13

A

【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）y2;（III）1或（19

（I）連接BE,則BC=gAO=DE,因?yàn)樗运倪呅蜝CDE為平行四邊形：所以BE=CD=2,

因?yàn)镻A=4力=2石,A￡>=4,且E為A￡>的中點(diǎn)，所以PE_LA￡）,所以PE=dPD?-DE，=也0-4=4，所以

PE2+BE2=PB2>即PE_L3E,又因?yàn)锳Z）nBE=E,所以PEL平面A3CZ）：

（II）以E為原點(diǎn)，E4為x軸，EB為y軸，EP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

A(2,0,0),fi(0,2,0),C(-2,2,0),P(0,0,4),

所以通=（—2,2,0）,麗=（O,2,T）,肥=（—2,0,0）,

設(shè)平面PAB的法向量為a=（X]，x，zJ,則〈歷而_0,即苗_4z-0，取'"=（221），設(shè)平面PBC的法

向量為〃=（孫必,2,）,則｛一,即L.取”=（0,2,1）,

v

?n-PB=0[2y2-4z2=0、,

/---\mn2x0+2x2+lxl5朝

J圻以cos'/.I.?=7/22+22+12—x>I/o2+22=4-12=—3亞-j=——3

閨4

所以:面角A-P3-C的正弦值為,1

（III）設(shè)硒=《rw（O,4））,則N（0,0,t）,而M（—1,2,0）,所以麗=（T,2,f）,山（H）知平面R45的法向

量為五=（2,2,1）,設(shè)直線與平面Z4B所成的角為。，則

-lx2+2x2+(-r)xl

sin。=旦

+22+(-t)2xV22+22+l218

化簡(jiǎn)得5*-24/+19=0,解得：，=1或/=會(huì)，故線段硒的長(zhǎng)度為1或

7.（2021誼寧模擬預(yù)測(cè)）已知在四棱錐P-ABCD中，P4J_平面A8CD,四邊形ABCO為矩形，PA=AB=2,

AD=3貶,E為棱BC上一點(diǎn)，且BE=2EC.

（1）求證：平面PAE_L平面P0E；

(2)在線段AB上是否存在點(diǎn)尸，使得直線尸尸與平面尸E￡>所成的角為30。？若存在，求出矢的值；若不

存在，說(shuō)明理由.

【詳解】

解：(1)證明：在矩形A8C￡>中，AE=243,DE=而,AD=3貶,

???AE2+DE2=AD2,即AE工DE,

,：PAJL平面ABCD,u平面ABCD，

：.PA±DE,

又AEnPA=A,4￡\24<3平面24￡，

/.OE_L平面/^￡，

*.<￡>Eu平面P￡>E,

Z.平面PAE±平面PDE.

(2)以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則40,0,0),尸(0,0,2),5(2,0,0),0(0,372.0),E(2,2&,0),

設(shè)第=26，4e[0,l],則尸(2尢0,0),

二辦=(22,0,-2)，6E=Q「0,O)，PE=(2,2A/2,-2)

n-DE=02x-\[ly-0

設(shè)平面產(chǎn)田的法向量為；=(x,y,z)，貝上即《

n-PE=02x+2y/2y-2z=0

令x=l,貝l]y=V5,z=3,〃=(l,a,3)，

,宜線PE與平面PED所成的角為30°,

—>—>

sin30'=PJ'n,即:=’1一6尸,化簡(jiǎn)得分+3義一3=0，

2

pp.n2V42+4X2V3

解得兀=-3土際,

2

???法［()』，:.A=~3+^,

.A尸兒萬(wàn)~+3

~2-

8.（2021?天津和平?高三月考）如圖，已知平面8CEL平面A8C,直線DA_L平面ABC,且ZM=AB=AC.

（1）求證：D4〃平面EBC；

jr

(2)若N8AC=耳，OE_L平面BCE

（i）求二面角A-M-E的余弦值;

（ii）在直線CE（除C、E兩點(diǎn)外）上是否存在一點(diǎn)M,使得直線A"與平面8OE所成角的余弦值為苧,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；⑵⑴-半；（“）存在，牛

【詳解】

(1)證明：過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)出，

因?yàn)槠矫鍮CEL平血ABC,又平面BCE0平面ABC=BC,EHu平面BCE,

所以￡77J_平面ABC,

又因?yàn)镈4J_平面A3C,所以AO//E”,

因?yàn)椤闣u平面BCE,平面BCE,所以。A//平面EBC；

jr

(2)(i)因?yàn)?。￡_1_平面比：。，所以NDEB=NDEC=w，

由四二人(:可知加二7%;,DE=DE,A￡)￡B^A￡)EC,則BE=CE,

所以點(diǎn)//是BC的中點(diǎn)，連接AH,則A”，8C,

所以AH,平面E8C,則DE//A”，AHYEH,所以四邊形ZM/7E是矩形.

以“為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以“3、HA,HE所在直線為x、V、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)Z)A=2a,則E(0,0,2a)、A(0,島,0)、8(。,0,0)、0(0,島,2a).

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，”=(%,，y,zj,

又入a=3-瓜,0),無(wú)方=(0,0,2°).

,\m-AB=QZ11[ax.-\/3ay.=0,r,__r

由《一得＜?,取乂=1,得m=(6,1,0).

ffi-AD=02azi=0

設(shè)平面BOE的一個(gè)法向量為分=(々,%*2)，

因?yàn)锽/5=(-a,J5a,2a),BE=(-a,0,2a).

n-BD=0ax2—y/3ay2—2az2=0

由，，得取z2=l,得元=(2,0,1)；

n-BE=0ax2-2az2=0

設(shè)二面角A-8D-E的平面角為。,則ICOS01=1COS(加5)I=j匕"

由題知二面角A—BQ—E是鈍角，則二面角A—BO—E的余弦值為-空.

5

（＞設(shè)晉W。，石）

AM=CM-CA=ACE—CA=(A—1,—V3,2Z)

設(shè)直線AM與平面3C￡所成角為a

則sina=cos<AM,n>=

14

2=0(舍)或4=YY

g”CM14

所以布=T7

9.（2021?江蘇?蘇州中學(xué)高三月考）如圖，在四棱錐P—43co中，PAinABCD,PA=AB=BC=2,

AD=CD,ZABC=120°.

（1）求證：平面PAC_L平面P8￡）；

（2）若點(diǎn)M為總的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段PC上一動(dòng)點(diǎn)，求直線MN與平面PAC所成角的正弦值的取值范圍.

⑵瞪，率.

【答案】（I）證明見(jiàn)解析;

【詳解】

（1）設(shè)AC的中點(diǎn)為0,因?yàn)锳3=BC,所以30LAC,

因?yàn)?）=a＞,所以“＞，AC,所以8,0,。三點(diǎn)共線，所以8Z5JLAC,

因?yàn)镻4J?平面ABC。，BOu平面ABC。，所以8D_LE4,

因?yàn)镻ADAC=A,且PA,ACu平面PAC,所以8。，平面PAC,

因?yàn)锽Ou平面尸BC,所以平面尸AC_L平面汽BD.

（2）以O(shè)C,。。所在的直線分別為x軸、y軸，過(guò)點(diǎn)。點(diǎn)作平行于?的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則C(石,(),()),尸(-6,0,2),8((),-1,0),

因?yàn)镸為/>8的中點(diǎn)，所以M（-電,-L1）,

22

由點(diǎn)"為線段PC上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)西=2所（04幾41）,

則函=（百一20,0,22）,所以N（J5-20,0,22）

所以麗=（邁-26/1」,22-1），

22

由（1）知B￡>,平面P4C,所以平面R4C的一個(gè)法向量為5=（0,1,0）,

設(shè)直線MN與平面PAC所成的角3,

則sin0=卜os（麗,n）|=口=v==：.-=‘

171J_?

'|w|xl2\MN\

又山|麗『=（.一2G團(tuán)2+；+（22-[）2=]6產(chǎn)-22f+8

因?yàn)閛w/twi,當(dāng)義=||七時(shí)，研2取得最小值，最小值為高

當(dāng)2=0時(shí)，|麗『取得最大值，最大值為8,

所以|就『e/,8],可得《〈sin”竽，

即直線MN與平面PAC所成角的正弦值的取值范圍

10.（2021?廣東?清遠(yuǎn)市博愛(ài)學(xué)校高三月考）如圖，AB是圓。的直徑，點(diǎn)C是圓。上異于4，B的點(diǎn),

直線PCJ?平面ABC,E，尸分別是R4,PC的中點(diǎn).

（1）記平面BE尸與平面ABC的交線為/,試判斷直線/與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明;

（2）設(shè)PC=2AB,求二面角E-/-C大小的取值范圍.

【答案】（1）〃/平面PAC,證明見(jiàn)解析；（2）ML

【詳解】

解：（1）〃/平面PAC.

證明如下：EF//AC,ACu平面ABC,平面A8C,

Z.E/7/平面A3C.

又￡Fu平面BEF,平面B