新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題5 培優(yōu)點(diǎn)16 非線性回歸問(wèn)題（含解析）

培優(yōu)點(diǎn)16非線性回歸問(wèn)題專題五

概率與統(tǒng)計(jì)通過(guò)變量間的相關(guān)關(guān)系對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析是數(shù)學(xué)的重要應(yīng)用.其中非線性回歸問(wèn)題具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義.例二手車經(jīng)銷商小王對(duì)其所經(jīng)營(yíng)的A型號(hào)二手汽車的使用年數(shù)x與銷售價(jià)格y(單位：萬(wàn)元/輛)進(jìn)行整理，得到如下數(shù)據(jù)：使用年數(shù)x234567售價(jià)y201286.44.43z＝lny3.002.482.081.861.481.10下面是z關(guān)于x的折線圖：(1)由折線圖可以看出，可以用線性回歸模型擬合z與x的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；∴z與x的相關(guān)系數(shù)大約為－0.99，說(shuō)明z與x的線性相關(guān)程度很高.又z＝lny，即預(yù)測(cè)當(dāng)某輛A型號(hào)二手車使用年數(shù)為9年時(shí)售價(jià)約為1.46萬(wàn)元.(3)基于成本的考慮，該型號(hào)二手車的售價(jià)不得低于7118元，請(qǐng)根據(jù)(2)求出的回歸方程預(yù)測(cè)在收購(gòu)該型號(hào)二手車時(shí)車輛的使用年數(shù)不得超過(guò)多少年.參考數(shù)據(jù)：即e－0.36x＋3.62≥0.7118＝eln0.7118≈e－0.34時(shí)，則有－0.36x＋3.62≥－0.34，解得x≤11，因此，預(yù)測(cè)在收購(gòu)該型號(hào)二手車時(shí)車輛的使用年數(shù)不得超過(guò)11年.能力提升非線性回歸方程的求法(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖.(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù).(3)作恰當(dāng)變換，將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，求線性回歸方程.(4)在(3)的基礎(chǔ)上通過(guò)相應(yīng)變換，即可得非線性回歸方程.跟蹤演練某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響，于是對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)的數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理，得到如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；解

由(2)知，當(dāng)x＝49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值為②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？解