一元二次方程的應(yīng)用九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講義2

第06課一元二次方程的應(yīng)用〔平均變化率、握手、面積問題〕目標(biāo)目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.通過分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程模型并解決實(shí)際問題，總結(jié)運(yùn)用方程解決實(shí)際問題的一般步驟；2.通過列方程解應(yīng)用題，進(jìn)一步提高邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.通過分析實(shí)際問題，建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，從而解決實(shí)際問題。知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟知識(shí)精講1.利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.2.解決應(yīng)用題的一般步驟：審(審題目，分清量、未知量、等量關(guān)系等)；設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；驗(yàn)〔檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義〕答(寫出答案，切忌答非所問).要點(diǎn)詮釋：列方程解實(shí)際問題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問題中的等量關(guān)系；三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.知識(shí)點(diǎn)02一元二次方程應(yīng)用題的主要類型1.數(shù)字問題(1)任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個(gè)多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項(xiàng)式的形式表示了一個(gè)多位數(shù).如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，那么這個(gè)三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.(2)幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差1.如：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，那么另兩個(gè)數(shù)分別為x-1，x+1.幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個(gè)偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，那么另兩個(gè)數(shù)分別為x-2，x+2.2.常見模型問題常見的類型應(yīng)用公式進(jìn)行解答，就會(huì)解題就會(huì)方便很多，下表就是常見根本公式：(1)增長率問題：a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.“共〞或“累計(jì)問題〞第一個(gè)月：第二個(gè)月：第三個(gè)月：b為三個(gè)量的總數(shù)〔累計(jì)〕；(2)降低率問題：a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.(3)傳染問題a為傳染源的數(shù)量，x為一個(gè)病人傳染x個(gè)健康人，b是兩輪傳染之后一共挈帶病毒的人數(shù)。第三輪傳染人數(shù)：指數(shù)n就是傳染的“輪數(shù)〞；(4)握手問題x為總?cè)藬?shù)，b為一共握手的總次數(shù)。常見場(chǎng)景為：握手，簽合同，打比賽〔單循環(huán)〕；(5)送禮問題x為總?cè)藬?shù)，b為一共送禮的次數(shù)。常見場(chǎng)景：送禮，送賀卡，打比賽〔雙循環(huán)〕等；(6)枝干問題x為一個(gè)樹枝新長出枝干的數(shù)量，b為枝干總數(shù)；常見場(chǎng)景：長枝干，打，轉(zhuǎn)微信等；〔1〕平均增長率：設(shè)原價(jià)為a，連續(xù)增長兩次，價(jià)格變?yōu)閎，每次增長的百分率為x，那么：增長第一次價(jià)格為：；增長第二次在上一次價(jià)格的根底上再乘〔1+x〕，即最終價(jià)格，得出等量關(guān)系；〔如果增長三次，就將指數(shù)2變換為3即可〕“累計(jì)問題〞：設(shè)第一個(gè)月為a，連續(xù)增長兩個(gè)月，累計(jì)總數(shù)為b，設(shè)平均增長率為x，那么：第一個(gè)月為a，第二個(gè)月為，第三個(gè)月為，所以三個(gè)月累計(jì)〔2〕平均降低率：設(shè)原價(jià)為a，連續(xù)降價(jià)兩次，價(jià)格變?yōu)閎，每次降價(jià)的百分率為x，那么：增長第一次價(jià)格為：；增長第二次在上一次價(jià)格的根底上再乘，即最終價(jià)格，得出等量關(guān)系；〔3〕傳染問題：設(shè)開始挈帶病毒的人數(shù)為a，一個(gè)病人一輪傳染x個(gè)病人，兩輪傳染之后一共有b個(gè)人挈帶病毒，那么：傳染輪數(shù)挈帶病毒人數(shù)傳染人數(shù)第一輪第二輪兩輪結(jié)束后一共挈帶病毒數(shù)〔4〕握手問題：這個(gè)問題和求多邊形對(duì)角線的個(gè)數(shù)類似，以6個(gè)人舉例：首先A站起來，和其余5個(gè)人一次握手，共握手5次；然后B站起來，和其余5個(gè)人一次握手，共握手5次；以此類推，每個(gè)人都站起來和其余人握手，一共握手：次，但是握手完成后發(fā)現(xiàn)，任意兩人之間握手2次，重復(fù)了一次，因此需要乘以去重復(fù)；也就是一共握手次。由此推廣。當(dāng)人數(shù)為x時(shí)，一共握手次；送禮問題，與之有相似的推導(dǎo)過程：因?yàn)榧姿徒o乙禮物和乙送給甲禮物，含義不同，故不需要去重復(fù)，因此送禮問題的公式為：=總次數(shù)；3.形積問題此類問題屬于幾何圖形的應(yīng)用問題，解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)那么圖形分割或組合成規(guī)那么圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.?面積類問題內(nèi)挖類型外擴(kuò)類型開路類型〔a開口數(shù)量·x〕〔b開口數(shù)量·x〕=陰影面積開門問題開幾個(gè)門就是籬笆總長加上門的寬度×個(gè)數(shù)，得到新的籬笆總長要點(diǎn)詮釋：列一元二次方程解應(yīng)用題是把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題〔列方程〕，然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問題的解決.這是在解決實(shí)際問題時(shí)常用到的數(shù)學(xué)思想—方程思想.能力拓展能力拓展考法01數(shù)字問題【典例1】兩個(gè)數(shù)的和等于12，積等于32，求這兩個(gè)數(shù)是多少．【解析】設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x，那么另一個(gè)數(shù)可表示為(12-x)，依題意得x(12-x)＝32，整理得x2-12x+32＝0解得x1＝4，x2＝8，當(dāng)x＝4時(shí)12-x＝8；當(dāng)x＝8時(shí)12-x＝4．所以這兩個(gè)數(shù)是4和8．【點(diǎn)睛】數(shù)的和、差、倍、分等關(guān)系，如果設(shè)一個(gè)數(shù)為x，那么另一個(gè)數(shù)便可以用x表示出來，然后根據(jù)題目條件建立方程求解．【即學(xué)即練1】有一個(gè)兩位數(shù)等于其數(shù)字之積的3倍，其十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字少2，求這個(gè)兩位數(shù).【答案】設(shè)個(gè)位數(shù)字為，那么十位數(shù)字為.由題意，得：整理，得：解方程，得：∴經(jīng)檢驗(yàn)，不合題意,舍去〔注意根的實(shí)際意義的檢驗(yàn)〕∴當(dāng)時(shí),=2∴答：這個(gè)兩位數(shù)為24.考法02平均變化率問題【典例2】隨著國家“惠民政策〞的陸續(xù)出臺(tái)，為了切實(shí)讓老百姓得到實(shí)惠，國家衛(wèi)計(jì)委通過嚴(yán)打藥品銷售環(huán)節(jié)中的不正當(dāng)行為，某種藥品原價(jià)200元/瓶，經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后，現(xiàn)在僅賣98元/瓶，現(xiàn)假定兩次降價(jià)的百分率相同，求該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率．【分析】設(shè)該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率是x，那么兩個(gè)次降價(jià)以后的價(jià)格是200〔1﹣x〕2，據(jù)此列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率是x，由題意得：200〔1﹣x〕2=98解得：x1=1.7〔不合題意舍去〕，x2=0.3=30%．答：該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率是30%．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出適宜的等量關(guān)系，列出方程，再求解．判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．【即學(xué)即練2】某產(chǎn)品原來每件是600元，由于連續(xù)兩次降價(jià)，現(xiàn)價(jià)為384元，如果兩次降價(jià)的百分?jǐn)?shù)相同，求平均每次降價(jià)率.【答案】設(shè)平均每次降價(jià)率為，那么第一次降價(jià)為，降價(jià)后價(jià)格為：，第二次降價(jià)為：，降價(jià)后價(jià)格為：.根據(jù)題意列方程，得：∴，不合題意，舍去〔注意根的實(shí)際意義的檢驗(yàn)〕∴答：平均每次下降率為.考法03形積問題【典例3】如圖，有長為48米的籬笆，一面利用墻〔墻的最大可用長度25米〕，圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃ABCD．〔1〕當(dāng)AB的長是多少米時(shí)，圍成長方形花圃ABCD的面積為180?〔2〕能圍成總面積為240的長方形花圃嗎?說明理由.【答案】〔1〕10米；〔2〕不能圍成總面積為的長方形花圃，見解析.【分析】〔1〕設(shè)出AB的長是x米，那么BC的長為〔48-3x〕米，由長方形的面積計(jì)算公式列方程解答即可；

〔2〕利用〔1〕的方法列出方程，利用判別式進(jìn)行解答．【詳解】解：〔1〕設(shè)AB的長是x米，那么BC的長為〔48-3x〕米，根據(jù)題意列方程得，

x〔48-3x〕=180，

解得x1=6，x2=10，

當(dāng)x=6時(shí)，48-3x=30＞25，不符合題意，舍去；

當(dāng)x=10時(shí)，48-3x=18＜25，符合題意；

答：當(dāng)AB的長是10米時(shí)，圍成長方形花圃ABCD的面積為180m2．

〔2〕不能，理由如下：

同〔1〕可得x〔48-3x〕=240，

整理得x2-16x+80=0，

△=〔-16〕2-4×80=-64＜0，

所以此方程無解，

即不能圍成總面積為240m2的長方形花圃．【點(diǎn)睛】此題主要考查運(yùn)用長方形面積計(jì)算方法列一元二次方程解決實(shí)際問題與根的判別式的應(yīng)用．【即學(xué)即練3】如圖，要利用一面墻(墻長為25米)建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個(gè)大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長AB，BC各為多少米？【答案】羊圈的邊長AB，BC分別是20米、20米.【詳解】試題分析：設(shè)AB的長度為x米，那么BC的長度為〔100﹣4x〕米；然后根據(jù)矩形的面積公式列出方程．試題解析：設(shè)AB的長度為x米，那么BC的長度為〔100﹣4x〕米．根據(jù)題意得〔100﹣4x〕x=400，解得x1=20，x2=5．那么100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用．【即學(xué)即練4】如圖，用長為22米的籬笆，一面利用墻〔墻的最大可用長度為14米〕，圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時(shí)，在BC上用其他材料做了寬為1米的兩扇小門．〔1〕設(shè)花圃的一邊AB長為x米，請(qǐng)你用含x的代數(shù)式表示另一邊AD的長為米；〔2〕假設(shè)此時(shí)花圃的面積剛好為45m2，求此時(shí)花圃的長與寬．【答案】〔1〕24﹣3x；〔2〕花圃的長為9米，寬為5米．【解析】〔1〕用繩子的總長減去三個(gè)AB的長，然后加上兩個(gè)門的長即可表示出AD的長；〔2〕由在BC上用其他材料造了寬為1米的兩個(gè)小門，故長邊為22﹣3x+2，令面積為45，解得x．解：〔1〕設(shè)寬AB為x，那么長AD=BC=22﹣3x+2=〔24﹣3x〕米；〔2〕由題意可得：〔22﹣3x+2〕x=45，解得：x1=3；x2=5，∴當(dāng)AB=3時(shí)，BC=15＞14，不符合題意舍去，當(dāng)AB=5時(shí)，BC=9，滿足題意．答：花圃的長為9米，寬為5米．【即學(xué)即練5】改善小區(qū)環(huán)境，爭(zhēng)創(chuàng)文明家園．如下圖，某社區(qū)決定在一塊長〔〕16，寬〔〕9的矩形場(chǎng)地上修建三條同樣寬的小路，其中兩條與平行，另一條與平行，其余局部種草．要使草坪局部的總面積為112，那么小路的寬應(yīng)為多少？【答案】小路的寬應(yīng)為1．【解析】【分析】設(shè)小路的寬應(yīng)為x米，那么草坪的總長度和總寬度應(yīng)該為〔16-2x〕，〔9-x〕；那么根據(jù)題意得出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)小路的寬應(yīng)為x米，根據(jù)題意得：，解得：，．∵，∴不符合題意，舍去，∴．答：小路的寬應(yīng)為1米．【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的應(yīng)用，弄清“草坪的總長度和總寬度〞是解決此題的關(guān)鍵．考法04動(dòng)點(diǎn)問題【典例4】如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以lcm/s的速度移動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s速度移動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，連接PQ．〔1〕經(jīng)過多長時(shí)間后，△PBQ的面積等于4cm2？〔2〕△PBQ的面積能否等于7cm2？試說明理由．【答案】〔1〕1秒后，△PBQ的面積等于4cm2；〔1〕△PBQ的面積不能等于7cm2．【解析】試題分析：〔1〕點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，表示出BQ和BP的長度，利用三角形的面積公式可列方程求解．

〔2〕參照〔1〕的解法列出方程，根據(jù)根的判別式來判斷該方程的根的情況．試題解析：(1)設(shè)x秒后，?PBQ的面積等于4cm2，此時(shí)，AQ=xcm,QB=〔5-x〕cm.BP=2xcm,由QB·BP=4得(5-x)·2x=4，整理，得x2-5x+4=0，解得x1=l，x2=4(不合題意，舍去)所以1秒后，△PBQ的面積等于4cm2.(2)根據(jù)題意，得〔5-x〕·2x=7,整理，得x2-5x+7=0,因?yàn)閎2-4ac=25-28<0，所以此方程無解，即△PBQ的面積不能等于7cm2.【即學(xué)即練6】如圖，在中，，，，現(xiàn)有兩點(diǎn)、的分別從點(diǎn)和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿邊，BC向終點(diǎn)C移動(dòng)．點(diǎn)，的速度分別為，，且當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)，設(shè)，兩點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間為．問是否存在這樣的，使得四邊形的面積等于？假設(shè)存在，請(qǐng)求出此時(shí)的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】假設(shè)不成立，四邊形面積的面積不能等于，理由見解析【分析】根據(jù)題意，列出BQ、PB的表達(dá)式，再列出方程，判斷根的情況.【詳解】解：∵，，，∴．∴，；假設(shè)存在的值，使得四邊形的面積等于，那么，整理得：，∵，∴假設(shè)不成立，四邊形面積的面積不能等于．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握方程根的判別方法、理解方程的意義是此題的解題關(guān)鍵.分層提分分層提分題組A根底過關(guān)練1．一個(gè)兩位數(shù)比它的十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積大，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大．那么這個(gè)兩位數(shù)是〔〕A．64 B．75 C．53或75 D．64或75【答案】D【解析】【分析】令個(gè)位上的數(shù)字為x，然后用x表示出十位上的數(shù)字，再根據(jù)題意列出方程求解出x的具體數(shù)值，最后寫出這個(gè)兩位數(shù).【詳解】令個(gè)位上的數(shù)字為x，那么依據(jù)題意可知十位上的數(shù)字為(x+2)，該兩位數(shù)可表示為：10(x+2)+x依據(jù)題意列出方程：10(x+2)+x=x(x+2)+40整理得到：x2-9x+20=0(x-4)(x-5)=0解得：x1=4，x2=5那么該兩位數(shù)為64或75,應(yīng)選擇D.【點(diǎn)睛】此題三個(gè)關(guān)鍵，第一是要會(huì)用字母表示出這個(gè)兩位數(shù)，第二是要能夠根據(jù)題意列出方程，第三是要能夠合理選擇方法解方程.2．某種植基地2021年蔬菜產(chǎn)量為80噸，預(yù)計(jì)2021年蔬菜產(chǎn)量到達(dá)100噸，求蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率，設(shè)蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為x，那么可列方程為〔〕A．80〔1+x〕2=100 B．100〔1﹣x〕2=80 C．80〔1+2x〕=100 D．80〔1+x2〕=100【答案】A【分析】利用增長后的量=增長前的量×〔1+增長率〕，設(shè)平均每次增長的百分率為x，根據(jù)“從80噸增加到100噸〞，即可得出方程．【詳解】由題意知，蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為x，根據(jù)2021年蔬菜產(chǎn)量為80噸，那么2021年蔬菜產(chǎn)量為80〔1+x〕噸，2021年蔬菜產(chǎn)量為80〔1+x〕〔1+x〕噸，預(yù)計(jì)2021年蔬菜產(chǎn)量到達(dá)100噸，即：80〔1+x〕2=100，應(yīng)選A．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用〔增長率問題〕．解題的關(guān)鍵在于理清題目的含義，找到2021年和2021年的產(chǎn)量的代數(shù)式，根據(jù)條件找準(zhǔn)等量關(guān)系式，列出方程．3．國家實(shí)施〞精準(zhǔn)扶貧“政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路．某地區(qū)2021年底有貧困人口9萬人，通過社會(huì)各界的努力，2021年底貧困人口減少至1萬人．設(shè)2021年底至2021年底該地區(qū)貧困人口的年平均下降率為，根據(jù)題意列方程得〔〕A． B． C． D．【答案】B【分析】等量關(guān)系為：2021年貧困人口年貧困人口，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)這兩年全省貧困人口的年平均下降率為，根據(jù)題意得：，應(yīng)選B．【點(diǎn)睛】此題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，得到2年內(nèi)變化情況的等量關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．4．某校九年級(jí)〔1〕班在舉行元旦聯(lián)歡會(huì)時(shí)，班長覺得快要畢業(yè)了，決定臨時(shí)增加一個(gè)節(jié)目：班里面任意兩名同學(xué)都要握手一次．小張同學(xué)統(tǒng)計(jì)了一下，全班同學(xué)共握手了465次．你知道九年級(jí)〔1〕班有多少名同學(xué)嗎？設(shè)九年級(jí)〔1〕班有x名同學(xué)，根據(jù)題意列出的方程是〔〕A．=465 B．=465 C．x〔x﹣1〕=465 D．x〔x+1〕=465【答案】A【分析】因?yàn)槊课煌瑢W(xué)都要與除自己之外的〔x﹣1〕名同學(xué)握手一次，所以共握手x〔x﹣1〕次，由于每次握手都是兩人，應(yīng)該算一次，所以共握手x〔x﹣1〕÷2次，解此方程即可.【詳解】解：設(shè)九年級(jí)〔1〕班有x名同學(xué)，根據(jù)題意列出的方程是=465，應(yīng)選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用，明白兩人握手應(yīng)該只算一次并據(jù)此列出方程是解題的關(guān)鍵.5．肆虐的冠狀病毒肺炎具有人傳人性，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：1人感染病毒后如果不隔離，那么經(jīng)過兩輪傳染將會(huì)有225人感染，假設(shè)設(shè)1人平均感染x人，依題意可列方程〔〕A．1+x＝225 B．1+x2＝225C．〔1+x〕2＝225 D．1+〔1+x2〕＝225【答案】C【分析】此題可設(shè)1人平均感染人，那么第一輪共感染人，第二輪共感染人，根據(jù)題意列方程即可．【詳解】解：設(shè)1人平均感染人，依題意可列方程：．應(yīng)選：．【點(diǎn)睛】此題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程的解，找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解決問題的關(guān)鍵．判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．6．某校“研學(xué)〞活動(dòng)小組在一次野外實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長出假設(shè)干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是，那么這種植物每個(gè)支干長出的小分支個(gè)數(shù)是〔〕A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)這種植物每個(gè)支干長出x個(gè)小分支，根據(jù)主干、支干和小分支的總數(shù)是43，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論【詳解】設(shè)這種植物每個(gè)支干長出個(gè)小分支，依題意，得：，解得：〔舍去〕，．應(yīng)選C．【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于列出方程7．如圖，在長為100米，寬為80米的矩形場(chǎng)地上修建兩條寬度相等且互相垂直的道路，剩余局部進(jìn)行綠化，要使綠化面積為7644米2，那么道路的寬應(yīng)為多少米？設(shè)道路的寬為x米，那么可列方程為〔〕A．100×80﹣100x﹣80x=7644B．〔100﹣x〕〔80﹣x〕+x2=7644C．〔100﹣x〕〔80﹣x〕=7644D．100x+80x=356【答案】C【解析】試題分析：設(shè)道路的寬應(yīng)為x米，由題意有〔100-x〕〔80-x〕=7644，應(yīng)選C．考點(diǎn)：由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．8．如圖，某小區(qū)有一塊長為30m，寬為24m的矩形空地，方案在其中修建兩塊相同的矩形綠地，兩塊綠地的面積之和為480m2，兩塊綠地之間及周邊有寬度相等的人形通道，設(shè)人行道的寬度為xm，根據(jù)題意，下面所列方程正確的選項(xiàng)是〔〕A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意和圖形可以得到相應(yīng)的方程，從而可以解答此題.【詳解】由題意可得，，應(yīng)選：.【點(diǎn)睛】此題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解答此題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程.題組B能力提升練1．某鋼鐵廠一月份生產(chǎn)鋼鐵560噸，從二月份起，由于改良操作技術(shù)，使得第一季度共生產(chǎn)鋼鐵1850噸，問二、三月份平均每月的增長率是多少？假設(shè)設(shè)二、三月份平均每月的增長率為x，那么可得方程〔〕A． B．C． D．【答案】D【詳解】第一個(gè)月是560，第二個(gè)月是560〔1+x〕，第三月是560〔1+x〕2，所以第一季度總計(jì)560+560〔1+x〕+560〔1+x〕2=1850，選D.2．今年“國慶節(jié)〞和“中秋節(jié)〞雙節(jié)期間，某微信群規(guī)定，群內(nèi)的每個(gè)人都要發(fā)一個(gè)紅包，并保證群內(nèi)其他人都能搶到且自己不能搶自己發(fā)的紅包，假設(shè)此次搶紅包活動(dòng)，群內(nèi)所有人共收到90個(gè)紅包，那么該群一共有()A．9人 B．10人 C．11人 D．12人【答案】B【詳解】試題解析：設(shè)這個(gè)QQ群共有x人，

依題意有x〔x-1〕=90，

解得：x=-9〔舍去〕或x=10，

∴這個(gè)QQ群共有10人．應(yīng)選B.3．如圖，是一個(gè)長為30m，寬為20m的矩形花園，現(xiàn)要在花園中修建等寬的小道，剩余的地方種植花草．如下圖，要使種植花草的面積為532m2，那么小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為米．【答案】1．【解析】試題分析：設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為x米，依題意得〔30-2x〕〔20-x〕=532，整理，得x2-35x+34=0．解得，x1=1，x2=34．∵34＞30〔不合題意，舍去〕，∴x=1．答：小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為1米．考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用．4．如圖，某農(nóng)家擬用已有的長為8m的墻或墻的一局部為一邊，其它三邊用籬笆圍成一個(gè)面積為12m2的矩形園子．設(shè)園子中平行于墻面的籬笆長為ym〔其中y≥4〕，另兩邊的籬笆長分別為xm．〔1〕求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求x的取值范圍．〔2〕假設(shè)僅用現(xiàn)有的11m長的籬笆，且恰好用完，請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)圍制方案．【答案】〔1〕y＝；1.5≤x≤3；〔2〕長為8mm．【分析】〔1〕由矩形的面積公式可得出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合4≤y≤8可求出x的取值范圍；〔2〕由籬笆的長可得出y＝〔11﹣2x〕m，利用矩形的面積公式結(jié)合矩形園子的面積，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【詳解】〔1〕∵矩形的面積為12m2，∴y＝．∵4≤y≤8，∴1.5≤x≤3．〔2〕∵籬笆長11m，∴y＝〔11﹣2x〕m．依題意，得：xy＝12，即x〔11﹣2x〕＝12，解得：x1＝1.5，x2＝4〔舍去〕，∴y＝11﹣2x＝8．答：矩形園子的長為8mm．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：〔1〕利用矩形的面積公式，找出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；〔2〕找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．5．如圖，要建一個(gè)面積為150平方米的長方形倉庫，倉庫的一邊靠墻，這堵墻的長為18米，在與墻平行的一邊，要開一扇3米寬的門，圍建倉庫的現(xiàn)有木板材料可使新建板墻的總長為32米，那么這個(gè)倉庫與墻垂直的一邊應(yīng)長多少米？【答案】10米【分析】設(shè)垂直于墻的一邊長為米，結(jié)合題意可得到平行于墻的一邊長為米，再通過面積150平方米列出等式，從而計(jì)算得到答案．【詳解】設(shè)垂直于墻的一邊長為米，那么平行于墻的一邊長為米，由題意得∴∴，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，〔不符合題意，舍去〕∴這個(gè)倉庫與墻垂直的一邊應(yīng)長10米．【點(diǎn)睛】此題考察了二元一次方程的知識(shí)；求解的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程并運(yùn)用到實(shí)際問題的求解過程中，即可得到答案．6．如下圖,在△ABC中,∠B=90°,AB,BC邊足夠長,點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BA邊向點(diǎn)A以1厘米/秒的速度移動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2厘米/秒的速度移動(dòng),幾秒后,△BPQ的面積為36平方厘米?【答案】6秒【分析】設(shè)x秒鐘后，△PBQ的面積等于36cm2，根據(jù)直角三角形的面積公式和路程=速度×?xí)r間進(jìn)行求解即可．【詳解】解:設(shè)x秒后,△BPQ的面積是36平方厘米,根據(jù)題意得PB=x厘米,QB=2x厘米,因此x×2x=36,所以x2=36,解得x=6(x=-6舍去),所以6秒后,△BPQ的面積是36平方厘米.【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語“△PBQ的面積等于36cm2〞，找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．7．“埃博拉〞病毒是一種能引起人類和靈長類動(dòng)物產(chǎn)生“出血熱〞的烈性傳染病毒，傳染性極強(qiáng)，一日本游客在非洲旅游時(shí)不慎感染了“埃博拉〞病毒，經(jīng)過兩輪傳染后，共有121人受到感染，〔1〕問每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？〔2〕如果得不到控制，按如此的傳播速度，經(jīng)過三輪后將有多少人受到感染？【答案】(1)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人;(2)過三輪后將有1331人受到感染．【分析】〔1〕設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有121人受到感染，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；〔2〕將x=10代入〔x+1〕3中即可求出結(jié)論．【詳解】〔1〕設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，根據(jù)題意得：〔x+1〕2=121解得：x1=10，x2=﹣12〔不合題意，應(yīng)舍去〕．答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人．〔2〕當(dāng)x=10時(shí)，〔x+1〕3=〔10+1〕3=1331．答：經(jīng)過三輪后將有1331人受到感染．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練1．一塊長為，寬為的矩形荒地，地方政府準(zhǔn)備在此建一個(gè)綜合性休閑廣場(chǎng)，其中陰影局部為通道，通道的寬度均相等，中間的三個(gè)矩形〔其中三個(gè)矩形的一邊長均為〕區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地．〔1〕設(shè)通道的寬度為，那么______________________；〔用含的代數(shù)式表示〕；〔2〕假設(shè)塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地總的占地面積為，請(qǐng)問通道的寬度為多少？【答案】〔1〕，〔2〕2米.【分析】〔1〕根據(jù)通道寬度為米，表示出即可；〔2〕根據(jù)矩形面積減去通道面積為塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地面積，列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．【詳解】解：〔1〕設(shè)通道的寬度為米，那么；故答案為.〔2〕根據(jù)題意得，，解得，〔不合題意，舍去〕．答：中間通道的寬度為2米．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，弄清題意，正確表示各局部面積是解此題的關(guān)鍵．2．〔2021內(nèi)蒙古包頭市〕一幅長20cm、寬12cm的圖案，如圖，其中有一橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3：2．設(shè)豎彩條的寬度為xcm，圖案中三條彩條所占面積為ycm2．〔1〕求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕假設(shè)圖案中三條彩條所占面積是圖案面積的，求橫、豎彩條的寬度．【答案】〔1〕；〔2〕橫彩條的寬度為3cm，豎彩條的寬度為2cm．【分析】〔1〕由橫、豎彩條的寬度比為3：2知橫彩條的寬度為xcm，根據(jù)“三條彩條面積=橫彩條面積+2條豎彩條面積﹣橫豎彩條重疊矩形的面積〞，列出函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)即可；〔2〕根據(jù)“三條彩條所占面積是圖案面積的〞，可列出關(guān)于x的一元二次方程，整理后求解即可．【詳解】〔1〕根據(jù)題意可知，橫彩條的寬度為xcm，∴y=20×x+2×12?x﹣2×x?x=﹣3x2+54x，即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣3x2+54x；〔2〕根據(jù)題意，得：﹣3x2+54x=×20×12，整理，得：x2﹣18x+32=0，解得：x1=2，x2=16〔舍〕，∴x=3，答：橫彩條的寬度為3cm，豎彩條的寬度為2cm．考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式；一元二次方程的應(yīng)用．3．如圖，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)，沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)即停止．在相同時(shí)間內(nèi)，假設(shè)BQ＝xcm(x≠0)，那么AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm，(1)當(dāng)x為何值時(shí)，點(diǎn)P，N重合；(2)當(dāng)x為何值是，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，P，N重合;(2)當(dāng)x＝2或x＝4時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.【解析】試題分析：〔1〕當(dāng)P、N重合時(shí)有：AP+DN=20,解方程可得.(2)MQ=PN,時(shí)PQMN是平行四邊形,其中不確定P，N的位置關(guān)系，所以需要分類討論.試題解析：(1)當(dāng)P、N重合時(shí)有：AP+DN=AD=20,即：x2+2x-20=0，解得：〔舍去〕,所以當(dāng)時(shí)，P，N重合.(2)因?yàn)楫?dāng)N點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，x=2，此時(shí)M點(diǎn)和Q點(diǎn)還未相遇，所以點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)．當(dāng)P點(diǎn)在N點(diǎn)的左邊時(shí)有方程：20-2x-=20-x-3x,x2-2x=0解得：x=2或x=0(舍去).當(dāng)P點(diǎn)在N點(diǎn)的右邊時(shí)有方程：2x+x2-20=20-x-3x,x2+6x-40=0,解得：x=4或x=-10(舍去).∴當(dāng)x＝2或x＝4時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.4．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒〔0＜t≤15〕．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF.〔1〕當(dāng)t為何值時(shí)，DF=DA？〔2〕當(dāng)t為何值時(shí)，△ADE為直角三角形？請(qǐng)說明理由．〔3〕是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)F在線段AC的中垂線上，假設(shè)存在，請(qǐng)求出t值，假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.〔4〕請(qǐng)用含有t式子表示△DEF的面積，并判斷是否存在某一時(shí)刻t，使△DEF的面積是△ABC面積的，假設(shè)存在，請(qǐng)求出t值，假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】〔1〕10；〔2〕t=或12，理由見解析；〔3〕t=10，理由見解析；〔4〕【解析】【分析】(1)