第2章-邏輯代數(shù)基礎教材課件

第2章 邏輯代數(shù)基礎退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院概述邏輯代數(shù)中的常用運算基本邏輯運算復合邏輯運算邏輯代數(shù)中的基本定律和常用公式邏輯函數(shù)及其表示方法邏輯函數(shù)的公式化簡法邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法2.1

概述退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院邏輯代數(shù)又稱布爾代數(shù)。它是分析和設計現(xiàn)代數(shù)字邏輯電路不可缺少的數(shù)學工具。邏輯代數(shù)有一系列的定律、定理和規(guī)則，用于對數(shù)學表達式進行處理，以完成對邏輯電路的化簡、變換、分析和設計。邏輯關系指的是事件產(chǎn)生的條件和結(jié)果之間的因果關系。在數(shù)字電路中往往是將事情的條件作為輸入信號，而結(jié)果用輸出信號表示。條件和結(jié)果的兩種對立狀態(tài)分別用邏輯“1”和“0”表示。2.2

邏輯代數(shù)中的常用運算退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院2.2.1

基本邏輯運算邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，一般用大寫英文字母A，B，C，…來表示。邏輯變量只有兩種取值，常用0和1來表示。這里的0和1不表示數(shù)量，也沒有大小的意義，而只代表兩種對立的狀態(tài)。邏輯代數(shù)的基本運算有與(AND)、或(OR)、非(NOT)三種電路狀態(tài)表開關S1開關S2燈斷斷滅斷合合合斷合滅滅亮S1S2燈電源退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院１．與運算只有當決定某一事件的條件全部具備時，這一事件才會發(fā)生。這種因果關系稱為與邏輯關系。與邏輯舉例邏輯真值表ABL000010100111與邏輯舉例狀態(tài)表開關S1開關S2燈斷斷滅斷合合合斷合滅滅亮邏輯表達式與邏輯：

L

=

A

·Ｂ=

AB與邏輯符號ABL&ABL１．與運算退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院電路狀態(tài)表開關S1開關S2燈斷斷滅斷合合合斷合亮亮亮２、或運算S1燈電源S2只要在決定某一事件的各種條件中，有一個或幾個條件具備時，這一事件就會發(fā)生。這種因果關系稱為或邏輯關系?；蜻壿嬇e例退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院邏輯真值表ABL000011101111或邏輯舉例狀態(tài)表開關S1開關S2燈斷斷滅斷合合合斷合滅滅亮或邏輯符號A

BLBL≥1A

或邏輯：

L

=A+Ｂ退出邏輯表達式淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院２、或運算AL斷開閉合亮滅3.

非運算事件發(fā)生的條件具備時，事件不會發(fā)生；事件發(fā)生的條件不具備時，事件發(fā)生。這種因果關系稱為非邏輯關系。非邏輯舉例狀態(tài)表退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院非邏輯真值表AL0110非邏輯符號非邏輯舉例狀態(tài)表A燈斷開閉合亮滅A1LAL3.

非運算L=A邏輯表達式退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院2.2.2

復合邏輯運算ABL001011101110ABLAB&L與非邏輯符號與非邏輯表達式L=

A·B1

與非運算兩輸入變量與非邏輯真值表退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院2

或非運算兩輸入變量或非邏輯真值表ABL001010100110≥1ABABLL或非邏輯符號或非邏輯表達式L=

A+B退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院3

與或非運算與或非邏輯真值表ＡＢＣＤＬ００００１０００１１００１０１００１１００１００１０１０１１０１１０１０１１１０１０００１１００１１１０１０１１０１１０１１０００１１０１０１１１００１１１１０與或非邏輯表達式退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院4

異或邏輯若兩個輸入變量的值相異，輸出為1，否則為0。異或邏輯真值表ABL000011101110BAL=1ABL異或邏輯符號退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院異或邏輯表達式L=

A

⊕

B5

同或運算ABL001010100111=ABLABL若兩個輸入變量的值相同，輸出為1，否則為0。同或邏輯真值表

同或邏輯邏輯符號同或邏輯表達式L=AB+=A

B退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院2.3

邏輯代數(shù)中的基本定律和常用公式2.3.1

邏輯代數(shù)中的基本定律0、1律：A+

0

=A A

+

1=

1

A

·

1=A A

·

0=

0互補律：A+A=

1

A·A=

0交換律：A+B=B

+

A A·B=B·A結(jié)合律：A

+

B

+C

=(A+

B)

+

C A·B·C=

(A·B)·C分配律：A(

B+C)=AB+AC A

+BC=

(A+B)(A+C)退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院重疊律：A+A=AA

·A=A反演律：AB

=A+BA+B=A·

B吸收律其它常用恒等式AB＋AC＋BC＝AB

+

ACAB＋AC＋BCD＝AB

+

AC退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院例 證明，列出等式、右邊的函數(shù)值的真值表ABABA+BA+B00110+0=110·0

=

1101100+1=000·1

=

1110011+0=001·0

=

1111001+1=001·1

=

00退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院例 證明證：退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院2.3.2

邏輯代數(shù)中的常用公式12345退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院2.3.3

邏輯代數(shù)中的三個基本規(guī)則退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院1、代入規(guī)則

：

在包含變量A邏輯等式中，如果用另一個函數(shù)式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。這一規(guī)則稱為代入規(guī)則。例：B

(A+C)=BA+BC，用A+D代替A，得B

[(A

+D)+C

]=

B(A

+D)

+

BC

=

BA

+

BD

+

BC代入規(guī)則可以擴展所有基本公式或定律的應用范圍例:邏輯函數(shù)退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院的對偶式為2.

對偶規(guī)則：對于任何邏輯函數(shù)式，若將其中的與（?）換成或（+），或（+）換成與（?）；并將1換成0，0換成1；那么，所得的新的函數(shù)式就是L的對偶式，記作當某個邏輯恒等式成立時，則該恒等式兩側(cè)的對偶式也相等。這就是對偶規(guī)則。利用對偶規(guī)則，可從已知公式中得到更多的運算公式，例如，吸收律對于任意一個邏輯表達式L，若將其中所有的與（?）換成或（+），或（+）換成與（?）；原變量換為反變量，反變量換為原變量；將1換成0，0換成1；則得到的結(jié)果就是原3.

反演規(guī)則：解：按照反演規(guī)則，得函數(shù)的反函數(shù)。例 試求的非函數(shù)退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院運用反演規(guī)則兩個原則：退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院仍需遵守“先括號內(nèi)運算、然后與運算、最后或運算”的運算優(yōu)先次序不屬于單個變量上的非號應保留不變2.4

邏輯函數(shù)及其表示方法退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院2.4.1

邏輯函數(shù)的建立一般地說，若輸入邏輯變量A、B、C…的取值確定以后，輸出邏輯變量L的值也唯一地確定了，就稱L是A、B、C…的邏輯函數(shù)，寫作：L=f（A，B，C…）邏輯函數(shù)的特點：邏輯變量和邏輯函數(shù)只能取兩個值0和1。函數(shù)和變量之間的關系是由“與”、“或”、“非

”三種基本運算決定的。2.4.2

邏輯函數(shù)的表示方法退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院1.

真值表邏輯真值表是將輸入邏輯變量的各種可能的取值和相應的函數(shù)值排列在一起而組成的表格。各變量的取值組合一般應該按照二進制數(shù)遞增的次序排列兩輸入變量與非邏輯真值表ABL0010111011102、邏輯表達式ABL001010100111退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院邏輯表達式是用與、或、非等運算組合起來，表示邏輯函數(shù)與邏輯變量之間關系的邏輯代數(shù)式。例：已知某邏輯函數(shù)的真值表，試寫出對應的邏輯函數(shù)表達式。邏輯真值表由真值表轉(zhuǎn)換成邏輯表達式：在真值表中依次找出函數(shù)值等于1的變量組合，變量值為1的寫成原變量，變量值為0的寫成反變量，把組合中各個變量相乘。這樣，對應于函數(shù)值為1的每一個變量組合就可以寫成一個乘積項。然后，把所有的乘積項相加，就得到相應的函數(shù)表達式(與或表達式)

。由邏輯表達式轉(zhuǎn)換成真值表：畫出真值表的表格，將變量及變量的所有取值組合按照二進制遞增的次序列入表格左邊，然后按照表達式，依次對變量的各種取值組合進行運算，求出相應的函數(shù)值，填入表格右邊對應的位置，即得真值表

。退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院3.

邏輯圖用與、或、非等邏輯符號表示邏輯函數(shù)中各變量之間的邏輯關系所得到的圖形稱為邏輯圖。將邏輯函數(shù)式中所有的與、或、非運算符號用相應的邏輯符號代替，并按照邏輯運算的先后次序?qū)⑦@些邏輯符號連接起來，就得到圖電路所對應的邏輯圖例：已知某邏輯函數(shù)表達式為 ，試畫出其邏輯圖退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院4.波形圖退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院如果將邏輯函數(shù)輸入變量每一種可能出現(xiàn)的取值與對應的輸出值按時間順序依次排列起來，就得到了表示該邏輯函數(shù)的波形圖。ABCL000000100100011110001010110111112.4.3

邏輯函數(shù)的兩種標準形式、、A(B+C)等則不是最小項。、

、

、退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院、、

、

、1.最小項和最大項1）最小項在ｎ個變量的邏輯函數(shù)中，若ｍ為包含ｎ個因子的乘積項，而且這ｎ個變量均以原變量或反變量的形式在ｍ中僅出現(xiàn)一次，則稱ｍ為該組變量的最小項。例如，A、B、C三個邏輯變量的最小項有（23＝）8個，即最小項的編號三個變量的所有最小項的真值表m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7最小項的表示：通常用mi表示最小項，m

表示最小項,下標i為最小項號。0001000000000101000000010001000000110001000010000001000101000001001100000001011100000001退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院最小項的性質(zhì)退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院①在輸人變量的任何取值下必有一個最小項，且僅有一個最小項的值為1。②全體最小項之和為1。③任意兩個最小項的乘積為0。④具有相鄰性的兩個最小項之和可以合并成一項并消去一對因子。2）最大項退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院在n個變量邏輯函數(shù)中，若M為ｎ個變量之和，而且這ｎ個變量均以原變量或反變量的形式在M中只出現(xiàn)一次，則稱M為該組變量的最大項。對于n個變量，有2n個最大項最大項的編號退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院最大項的性質(zhì)①

在輸入變量的任何取值下必有一個最大項，而且只有一個最大項為0。② 全體最大項之積為0。③ 任意兩個最大項之和為1。④

只有一個變量不同的兩個最大項的乘積等于各相同變量之和。最小項和最大項的關系例如，退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院2.邏輯函數(shù)的最小項之和形式為“與或”邏輯表達式；在“與或”式中的每個乘積項都是最小項。例1

將 化成最小項表達式退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院3.邏輯函數(shù)的最大項之積形式為“或與”邏輯表達式；在“或與”式中的每個或項都是最大項。例2

將 化成最大項之積形式退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院2.5

邏輯函數(shù)的公式化簡法2.5.1

邏輯函數(shù)的最簡表達式在若干個邏輯關系相同的與-或表達式中，將其中包含的與項數(shù)

最少，且每個與項中變量數(shù)最少的表達式稱為最簡與-或表達式。“與-或” 表達式“與非-與非”表達式

“或-與”表達式“或非－或非” 表達式“與-或-非”表達式退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院最簡與或式的標準：與項最少，即表達式中“+”號最少每個與項中的變量數(shù)最少，即表達式中“·”號最少與項最少，可以使電路實現(xiàn)時所需的邏輯門的個數(shù)最少；每個與項中的變量數(shù)最少，可以使電路實現(xiàn)時所需邏輯門的

扇入系數(shù)即輸入端個數(shù)最少。這樣就可以保證電路最簡。退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院2.5.2

邏輯函數(shù)的公式法化簡運用邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式進行化簡的方法。并項法:吸收法：A

+AB=A消去法：A+AB=A+B退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院配項法：例2.5.1

化簡邏輯函數(shù)退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院例2.5.2

化簡邏輯函數(shù)（利用）退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院)例2.5.5已知邏輯函數(shù)表達式為，要求：（1）最簡的與-或邏輯函數(shù)表達式，并畫出相應的邏輯圖；（2）僅用與非門畫出最簡表達式的邏輯圖。解：退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院例2.5.6

試對邏輯函數(shù)表達式進行變換，僅用或非門畫出該表達式的邏輯圖。解：退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院2.6

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院2.6.1

卡諾圖的構(gòu)成在邏輯函數(shù)的真值表中，輸入變量的每一種組合都和一個最小項對應，這種真值表稱為最小項真值表。將邏輯函數(shù)真值表中的最小項排列成矩陣，并且矩陣的橫向和縱向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列（即相鄰的數(shù)碼只有一位碼不同），這樣構(gòu)成的圖形稱為卡諾圖。AB0

1010100

01

11

10m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m1000

01

11

1000011110CDAB三變量卡諾圖四變量卡諾圖兩變量卡諾圖m0

m1m2m3ACCBCAm0m1m3m2m4m5m7m6ADBB退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院2.6.2

邏輯函數(shù)的卡諾圖表示退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院當邏輯函數(shù)為最小項表達式時，在卡諾圖中找出和表達式中最小項對應的小方格填上1，其余的小方格填上0（有時也可用空格表示），就可以得到相應的卡諾圖。任何邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖中為1的方格所對應的最小項之和。1、利用真值表填卡諾圖例2.6.1

某邏輯函數(shù)的真值表如表2.6.1所示，給出該邏輯函數(shù)的卡諾圖退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院2、根據(jù)邏輯表達式填卡諾圖例2.6.2用卡諾圖表示邏輯函數(shù)退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院例2.6.3

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院2.6.3

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法1、卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的原理退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院2、卡諾圖合并最小項的原則用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)，就是在卡諾圖中找相鄰的最小項，即畫圈。常見的2個4個8個最小項相鄰合并的畫圈方法如圖所示退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院畫包圍圈時應遵循的原則：退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院圈要盡可能大，這樣消去的變量就多。但是每個圈內(nèi)只能含有相鄰項2n個（n=0,1,2,3……）。要特別注意對邊相鄰性和四角相鄰性。圈的個數(shù)盡量少，這樣化簡后的邏輯函數(shù)的與項就少?？ㄖZ圖中所有取值為1的方格均要被圈過，即不能漏下取值為1的最小項取值為1的方格可以被重復圈在不同的包圍圈中，但在新畫的包圍圈中至少要含有1個末被圈過的1的方格，否則該包圍圈是多余的。3、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟退出淮陰師范學院物理與電子電氣工程學院將邏輯函數(shù)寫成最小項表達式按最小項表達式填卡諾圖，凡式中包含了的最小項，其對應方格填1，其余方格填0。合并最小項，即將相鄰的1方格圈成一組(包圍圈)，每一組含2n個方格，對應每個包圍圈寫成一個新的乘積項。本書中包圍圈用虛線框表示。將所有包圍圈對應的乘積項相加。例2.6.5

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)：L（A,B,C,D）=∑m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）解：(1) 由表達式畫出卡諾圖如圖

(a)所示。(2) 畫包圍圈合并最小項，如圖