高三數(shù)學一輪復習曲線與方程文大綱人教版

1.了解解析幾何的基本思想．2．了解坐標法.

【考綱下載】第4講曲線與方程1．曲線的方程和方程的曲線一般地，在平面直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)

＝0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：①曲線上的

均是這個方程的解；②以這個方程的解為

均是曲線上的點．那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線(圖形)． 提示：看一個方程是否是曲線的方程，曲線是否是方程的曲線，應嚴格 對照概念中的兩個條件，缺一不可．點的坐標坐標的點2．求曲線方程的一般步驟：

(1)建立適當?shù)?/p>

，設(shè)M(x，y)為曲線上的任意一點；

(2)寫出適合條件p的點M的集合P＝{M|p(M)}；

(3)用

表示條件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；

(4)化方程f(x，y)＝0為最簡形式；

(5)證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點． 提示：求曲線方程與求軌跡是有區(qū)別的，若是求軌跡則不僅要求出方程，而且還需說明所求軌跡是什么樣的圖形，即圖形的形狀、位置、大小都需說明清楚．坐標系坐標3．曲線的交點兩條曲線有交點的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實數(shù)解，可見求曲線的交點問題，就是求方程組的實數(shù)解．即如果曲線C1，C2的方程分別是f1(x，y)＝0，f2(x，y)＝0，則C1，C2有交點?有解．1．已知點A(3，－4)、B(－2，2)、C(2,2)、D(5sinθ，5cosθ)，其中在曲線x2＋y2＝25上的點有(

)

A．1個B．2個C．3個D．4個 解析：把點分別代入方程x2＋y2＝25驗證，只有A、D符合． 答案：B2．下面各組方程中，表示同一曲線的一組方程是(

)A．y＝與x＝y(tǒng)2B．y＝x與＝1C．|y|＝|x|與x2－y2＝0D．y＝lgx2與y＝2lgx

解析：每組方程都可以化為相同的表達式，但是只有C中的x，y的取值范圍完全一致，所以選C.

答案：C3．方程x2＋xy＝x表示的曲線是(

)

A．一個點 B．一條直線

C．兩條直線 D．一個點和一條直線 解析：∵x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－1＝0.

答案：C4．動點P到兩坐標軸的距離之和等于2，則點P的軌跡所圍成的圖形面積是________．解析：設(shè)P(x，y)，則|x|＋|y|＝2.它的圖形是一個以2為邊長的正方形，故S＝(2)2＝8.

答案：8

(1)直接法就是根據(jù)題中的等量關(guān)系建立等式，將其坐標化，整理得所求軌跡方程．(2)在求出軌跡方程之后，要注意檢查軌跡的“純粹性”和“完備性”，確保軌跡上的點“不多不少”．【例1】過點P(2,4)作兩條互相垂直的直線l1、l2，若l1交x軸于A點，l2交y軸于

B點，求線段AB的中點M的軌跡方程．

思維點撥：如圖所示，設(shè)M(x，y)，利用建立等式求解．

解：設(shè)點M的坐標為(x，y)．∵M為線段AB的中點，∴A的坐標為(2x,0)，B的坐標為(0,2y)．∵l1⊥l2，且l1、l2過點P(2,4)，∴PA⊥PB，∴kPA·kPB=-1,而kPA=，kPB=(x≠1)．∴整理得x+2y-5=0(x≠1)．∵當x=1時，A、B的坐標分別為(2,0)、(0,4)，∴線段AB的中點坐標是(1,2)，它滿足方程x+2y-5=0.綜上所述，點M的軌跡方程是x+2y-5=0.變式1：已知兩點M（－2,0）、N（2,0），點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足

求動點P(x，y)的軌跡方程．解：由題意，

兩邊平方，化簡得y2＝－8x.

所以動點P的軌跡方程是y2＝－8x.如果動點P(x，y)依賴于另一動點Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲線上，則可先列出關(guān)于x，y，x1，y1的方程組，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲線方程即得所求．【例2】如圖所示，已知P(4,0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程．思維點撥：連結(jié)QP交AB于R，則R是矩形APBQ

的中心．因而可選R的坐標為中間變量，先求R的軌跡方程，再將Q的坐標代入R的軌跡方程中即可．解：設(shè)AB

的中點為R，坐標為(x1，y1)，Q點坐標為(x，y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|，又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理有Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－．又|AR|=|PR|=，所以有即因為R為PQ的中點，所以代入方程得整理得x2+y2=56.這就是Q點的軌跡方程．變式2：已知△ABC的頂點B(－3,0)、C(1,0)，頂點A在拋物線y＝x2上運動，

求△ABC的重心G的軌跡方程．解：設(shè)G(x，y)，A(x0，y0)，由重心公式，得

∴

又A(x0，y0)在拋物線y＝x2上，∴y0＝x.③

將①，②代入③，得3y＝(3x＋2)2(y≠0)，

即y＝3x2＋4x＋(y≠0)，這就是所求的軌跡方程.若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義，如圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可以直接根據(jù)定義求出動點的軌跡方程．【例3】如圖所示，已知圓C：（x+1）2＋y2=8,定點A（1,0），M為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足，點N的軌跡為曲線E，求曲線E的方程．解：∴NP為AM的垂直平分線，∴|NA|＝|NM|.又|CN|＋|NM|＝2，∴|CN|＋|NA|＝2>2.∴動點N的軌跡以點C(－1,0)，A(1,0)為焦點的橢圓，且長軸長為2a＝2，焦距為2c＝2.∴a＝，c＝1.∴曲線E的方程為＋y2＝1.變式3：在△ABC中，A為動點，B、C為定點，

，且滿

足條件sinC－sinB＝sinA，則動點A的軌跡方程是(

)A.B.C.的左支

D.的右支解析：sinC－sinB＝sinA，由正弦定理得到：|AB|－|AC|＝|BC|＝a(定值)．所以A點的軌跡是以B，C為焦點的雙曲線右支，其中實半軸長為，焦距為|BC|＝a.∴虛半軸長為，由雙曲線標準方程得(y≠0)的右支．答案：D【方法規(guī)律】

1．求曲線方程時有已知曲線類型與未知曲線類型，一般當已知曲線類型時一般用待定系數(shù)法求方程；當未知曲線類型時常用求軌跡方程的方法求曲線方程．2．求曲線軌跡方程時，常常要設(shè)曲線上任意一點的坐標為(x，y)，然后求x與y的關(guān)系．3．在求軌跡方程五種類型中，單從思維角度應該分為兩個方面：一是用定義法，

(從已知曲線類型、或從距離關(guān)系中)能判斷到曲線類型時，再用待定系數(shù)法求曲線方程；二是，當未知曲線類型時用其它四種方法求曲線方程．

4．仔細區(qū)分五種求軌跡方法，合理確定要選擇的求軌跡方法，哪些類型、哪些已知條件適合哪一種方法，要融匯貫通，不可亂用方法！

已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為________________．解析：如圖所示，設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因為|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即