第十三章 軸對稱 重難點檢測卷（解析版）

第十三章軸對稱重難點檢測卷注意事項：本試卷滿分120分，考試時間120分鐘，試題共26題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．（2023春·廣東梅州·七年級校考期末）以下是“有機(jī)食品”、“安全飲品”、“循環(huán)再生”、“綠色食品”的四個標(biāo)志，其中是軸對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念逐項分析判斷即可，軸對稱圖形的概念：平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．【詳解】解：選項A、B、C均不能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合，所以不是軸對稱圖形；選項D能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以是軸對稱圖形；故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（2023春·廣東深圳·八年級?？计谀┤鐖D，三座商場分別坐落在A、B、C所在位置，現(xiàn)要規(guī)劃一個地鐵站，使得該地鐵站到三座商場的距離相等，該地鐵站應(yīng)建在（

）

A．三角形三條中線的交點 B．三角形三條高所在直線的交點C．三角形三個內(nèi)角的角平分線的交點 D．三角形三條邊的垂直平分線的交點【答案】D【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：依題意，使得該地鐵站到三座商場的距離相等，該地鐵站應(yīng)建在三角形三條邊的垂直平分線的交點,故選：D．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·河北張家口·八年級統(tǒng)考期中）等腰中，，，則的度數(shù)為（

）A．60° B．70° C．80° D．140°【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵，，∴．故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊對等角是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·河北邯鄲·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，D點在上，將D點分別以為對稱軸，畫出對稱點E、F，并連接，根據(jù)圖中標(biāo)示的角度，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖所示，連接，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，然后根據(jù)角的和差求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接，由題意可得，，則故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，點E在邊上，的中垂線交于點D，若，，則等于（）A．4 B．6 C．8 D．【答案】C【分析】先根據(jù)得，又因為得，然后證明，從而知道，即可知道的值．【詳解】解：∵，∴，∵，，，∴，∵的中垂線交于點D，∴，在與中，，∴，∴，，∵，∴，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查的是等邊對等角以及全等三角形的判定等知識內(nèi)容，正確掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）有一些含有特殊數(shù)學(xué)規(guī)律的車牌號碼，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，這些牌照中的五個數(shù)字都是關(guān)于中間的一個數(shù)字“對稱”的，給人以對稱的美的感受，我們不妨把這樣的牌照叫做“數(shù)字對稱”牌照．如果讓你負(fù)責(zé)制作只以8或9開頭且有五個數(shù)字的“數(shù)字對稱”牌照，那么最多可制作（）A．200個 B．400個 C．1000個 D．2000個【答案】A【分析】根據(jù)有5個數(shù)字的“數(shù)字對稱”牌照，第一個數(shù)與第五個數(shù)相同，第二個數(shù)與第四個數(shù)相同分析，分以8開頭和以9開頭兩類，只考慮第二個數(shù)和第三個數(shù)，即可求解；【詳解】解：根據(jù)題意，若以8開頭，則第五個也是8，只需考慮中間3位，又因為第二位和第四位是相等的，只需考慮第二位和第三位，共有種情況．同樣地，以9開頭只需考慮中間3位，又因為第二位和第四位是相等的，只需考慮第二位和第三位，共有種情況，所以最多可制作200個．故選：A．【點睛】本題主要考查生活中的軸對稱現(xiàn)象，掌握軸對稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵．7．（2023秋·廣西桂林·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，點、是的邊上的兩點，線段的垂直平分線交于，的垂直平分線恰好經(jīng)過點，連接、，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理計算判斷即可．【詳解】∵線段的垂直平分線交于，的垂直平分線恰好經(jīng)過點，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選D．【點睛】本題考查了線段的垂直平分線，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握線段的垂直平分線，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·山東淄博·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，，，若動點以的速度從點出發(fā)，沿著的方向運(yùn)動，設(shè)點的運(yùn)動時間為秒（），連接，當(dāng)是直角三角形時，的值為（

）

A．2 B．2或7 C．2或5 D．2或5或7【答案】D【分析】由條件可求得，再求出點從點運(yùn)動到點所需的時間為6秒，然后根據(jù)和兩種情況，根據(jù)當(dāng)為直角三角形時，只有或，利用含角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：在中，，，，，∴，∵點以的速度從點出發(fā)，沿著的方向運(yùn)動，點從點運(yùn)動到點所需的時間為秒，則分以下兩種情況：①當(dāng)時，，，當(dāng)時，∵，∴，∴，即，解得，符合題設(shè)；當(dāng)時，∵，∴，∴，即，解得，符合題設(shè)；②當(dāng)時，，當(dāng)時，∵，∴，∴，即，解得，不符合題設(shè)，舍去；當(dāng)時，∵，∴，∴，即，解得，符合題設(shè)；綜上，的值為2或5或7，故選：D．【點睛】本題主要考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，正確分情況討論是解題關(guān)鍵．9．（2023秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）在中，，，點在邊上，．按下列步驟作圖：（1）以為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L度為半徑畫弧，交于，，分別以點，為圓心，以大于長為半徑畫弧，相交于點；（2）作直線交于；（3）連接．下列說法：①是等邊三角形；②是等腰三角形；③是等腰三角形；④．其中正確的個數(shù)是（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】先求得的度數(shù)，結(jié)合，即可判斷說法①是否正確；根據(jù)即可求得的度數(shù)，即可判斷說法②是否正確；先求得，根據(jù)即可求得的度數(shù)，即可判斷說法③是否正確；根據(jù)①②的證明過程即可判斷說法④是否正確．【詳解】①∵，，∴．又，∴是等邊三角形．故說法①正確．②∵是等邊三角形，∴．∴．∴．∴是等腰三角形．故說法②正確．③∵是等腰三角形，∴．∵是等邊三角形，∴．又，∴．∴．∴是等腰三角形．故說法③正確．④∵是等邊三角形，∴．∵是等腰三角形，∴．∴．故說法④正確．所以，說法正確的是①②③④．故選：A．【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、直線的垂線的性質(zhì)，牢記等腰三角形的判定定理及性質(zhì)、等邊三角形的判定定理及性質(zhì)、直線的垂線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·浙江溫州·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，，其中，，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長至，使得，連接，過點作于點，延長使得，連接，證明，即可求解．【詳解】解：如圖，延長至，使得，連接，過點作于點，延長使得，連接，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，設(shè)∴,∴；∵，，∴，，∴，∴∵∴是等腰直角三角形，∴設(shè)，∴，∴∵∴又在與中，∴∴設(shè)，則∵,∴解得：即，故選：C．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．二、填空題（8小題，每小題3分，共24分）11．（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）等腰三角形的一角為，則其頂角的大小是．【答案】或【分析】等腰三角形的一個內(nèi)角是，則該角可能是底角，也可能是頂角，注意討論即可．【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)?shù)慕鞘堑捉菚r，，則頂角度數(shù)為；當(dāng)?shù)慕鞘琼斀菚r，則頂角為；故答案為：或．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．12．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，以點A為圓心，長為半徑作弧，交直線于點D，連接，則的度數(shù)是．【答案】/30度【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，證得是等邊三角形，得即可求出的度數(shù)．【詳解】解：在中，，∴，由作圖可知，∴是等邊三角形，∴，∴．故答案為：．【點睛】此題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·浙江臺州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將長方形紙片沿折疊得到圖，點，的對應(yīng)點分別為點，，折疊后與相交于點．若，則．

【答案】/度【分析】根據(jù)長方形的一組對邊平行，可求得，，再根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)，可求得與的數(shù)量關(guān)系．【詳解】如圖所示，點，的對應(yīng)點分別為點，．

∵，∴．∵，∴．∴．根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可知，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和圖形折疊的性質(zhì)，牢記平行線的性質(zhì)（兩直線平行，內(nèi)錯角相等、同位角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)）和圖形折疊的性質(zhì)（對應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·湖南衡陽·八年級?？计谀┤鐖D，在中，分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點M和點N，作直線交于點D，連接．若，，則的周長為．

【答案】23【分析】根據(jù)作圖過程可得是線段的垂直平分線，得，進(jìn)而可得的周長．【詳解】解：根據(jù)作圖過程可知：是線段的垂直平分線，∴，∴的周長為：．故答案為：23．【點睛】本題考查了作圖—基本作圖及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在銳角中，，，，點P是邊上的一動點，點P關(guān)于直線，的對稱點分別是M，N，連接，則的最小值為．

【答案】/【分析】連接，，，，，利用軸對稱的性質(zhì)可推出是等邊三角形，進(jìn)而得到，當(dāng)時，即可求出的最小值．【詳解】解：如圖，連接，，，，，

∵點P關(guān)于直線，的對稱點分別是M，N，∴AB垂直平分，垂直平分，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，當(dāng)時，最小，此時最小，∵，∴，∴，∴的最小值是，故答案為：．【點睛】本題考查了求線段最小值的問題，關(guān)鍵是應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)得出．16．（2023春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，的角平分線與的垂直平分線交于點O，連接．若，則．

【答案】72【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，由角平分線的定義可得，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求得的度數(shù)，進(jìn)而可求解．【詳解】解：∵垂直平分，∴，∴，∵平分，∴，∵，即：，∴，∵，，∴，∴．故答案為：72．【點睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，利用三角形的內(nèi)角和定理求解的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．17．（2023春·安徽宿州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，和的平分線分別交于點G，F(xiàn)．若，，則的值為．

【答案】6【分析】由角平分線與平行線易得，從而得到，同理可得，再根據(jù)即可得答案．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，∴，故答案為：6．【點睛】本題考角平分線與平行線，掌握角平分線加平行線，可得等腰三角形這一幾何模型是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知中，，，，點?分別在線段?上，將沿直線折疊，使點A的對應(yīng)點恰好落在線段上，當(dāng)為直角三角形時，線段的長為．【答案】4或．【分析】由為直角三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：①；②．分別依據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到折痕的長．【詳解】解：分兩種情況：如圖，當(dāng)時，是直角三角形，在中，，，，，，由折疊可得，，，，，，如圖，當(dāng)時，是直角三角形，由題可得，，，，，，，設(shè)，則，，又，，解得：，，故答案為：4或．【點睛】本題考查了翻折變換-折疊問題，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．三、解答題（8小題，共66分）19．（2023春·湖南婁底·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知三角形和直線，且三角形的頂點在網(wǎng)格格點上．

(1)畫出三角形向上平移5小格后的三角形；(2)畫出三角形關(guān)于直線成軸對稱的三角形．【答案】(1)為所求作的三角形(2)為所求作的三角形【分析】（1）分別將、、向上平移個單位后的對應(yīng)點、、，依次連接，即可求解；（2）分別找出、、關(guān)于直線對稱點、、，依次連接，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，

為所求作的三角形．（2）解：如圖，

為所求作的三角形．【點睛】本題考查了圖形的平移與對稱作圖，掌握作法是解題的關(guān)鍵．20．（2023·廣東梅州·?？家荒＃┤鐖D，已知在中，，．

(1)用尺規(guī)作邊的垂直平分線；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若邊的垂直平分線交于D、交于E；連接，求的周長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用基本作圖作的垂直平分線即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，然后利用等線段代換得到的周長；【詳解】（1）如圖，即為所求；（2）∵是邊的垂直平分線，∴，∵，，∴的周長．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，作圖-基本作圖，熟練掌握5種基本作圖是解決此類問題的關(guān)鍵．21．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，，，．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）首先證明，由“角邊角”證明即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，由“等邊對等角”即可獲得答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，在與中，，∴；（2）證明：由（1）得：，∴，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角的性質(zhì)等知識，正確證明是解題關(guān)鍵．22．（2023春·湖南衡陽·八年級校考期末）如圖，在四邊形中，M，N分別是，的中點，且，．

(1)求證：；(2)連接，若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，N是的中點，，即中，邊長的中線和高重合，由三線合一逆定理可知平分，即；同理可證，結(jié)合圖形進(jìn)行角的和差計算即可證明（1）的結(jié)論；（2）連接，不難得到，由可得的度數(shù)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，至此本題不難解答．【詳解】（1）證明：連接，

∵在中，N是的中點，，∴是等腰三角形，∴平分，即．同理可證，∴．（2）解：連接．

∵，∴．M，N分別是，的中點，且，、是等腰三角形，∴，∴．∵，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．23．（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們翻折正方形進(jìn)行探究活動，同學(xué)們經(jīng)過動手操作探究，發(fā)展了空間觀念，并積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗．

(1)如圖1，是正方形的邊上一點，將沿對折，點落在點的位置．然后折疊，使與重合，顯然點、、在一條直線上．則①圖中的全等三角形有______，②______，線段、、的數(shù)量關(guān)系是______．(2)如圖2，是正方形的邊延長線上一點，將沿對折，點落在點的位置．然后折疊，使與重合，（1）中②的結(jié)論是否仍然成立？若成立．說明理由．若不成立，新的結(jié)論是什么，說明理由．【答案】(1)①，

②

(2)仍然成立，不成立，新的結(jié)論是，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)折疊前后的兩個圖形全等，可求得①的答案；根據(jù)，，，可求得的度數(shù)；根據(jù)，，即可求得線段、、的數(shù)量關(guān)系．（2）按照（1）中求的度數(shù)和線段、、的數(shù)量關(guān)系的方法求解即可．【詳解】（1）根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可知，．∴，．∴．∵，∴．根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可知，．∴．故答案為：①，

②

（2）Ⅰ.仍然成立．理由如下：根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可知∴，∴，．∴．∵,∴．Ⅱ.不成立，新的結(jié)論是．理由如下：根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可知，．∴．【點睛】本題主要考查圖形的折疊，牢記圖形折疊的性質(zhì)（折疊前后的兩個圖形全等，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．24．（2023秋·云南昆明·八年級統(tǒng)考期末）流經(jīng)官渡古鎮(zhèn)的寶象河兩岸風(fēng)光旖旎，是附近居民散步休閑的好去處，為了測量寶象河平行兩岸的寬度，兩個數(shù)學(xué)研究小組設(shè)計了不同的方案，如下表：課題測量河流寬度工具測量角度的儀器，標(biāo)桿，皮尺等小組第一小組第二小組測量方案觀測者在河南岸找到一點B，正好位于對岸樹A的正南方向；從B點出發(fā)，沿著南偏西的方向走到點C，此時恰好測得觀測者在河南岸找到一點B，正好位于對岸樹A的正南方向；從B點向東走到O點，在O點插上一面標(biāo)桿，繼續(xù)向東走相同的路程，到達(dá)C點后，一直向南走到點D，使得樹、標(biāo)桿、人在同一直線上．測量示意圖

(1)第一小組測得米，則河寬AB為____米；(2)第二小組認(rèn)為只要測得就能得到河寬．你認(rèn)為第二小組的方案可行嗎？如果可行，請給出證明：如果不可行，請說明理由；(3)除上述方法外，請你運(yùn)用所學(xué)知識再設(shè)計種方案對河寬進(jìn)行測量．

【答案】(1)8(2)可行，證明見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得：，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得，從而利用等角對等邊可得米，即可解答．（2）根據(jù)題意可得：，，，從而可得，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得，即可解答；（3）觀察者從B點向東走到C點，此時恰好測得，利用等腰三角形的判定和性質(zhì)即可測量．【詳解】（1）解：由題意得：∴，∵，∴，∴，∴米，∴河寬為8米；（2）我認(rèn)為第二小組的方案可行，證明：由題意得：，，，∴，∴，∴只要測得就能得到河寬；（3）如圖，觀察者從B點向東走到C點，此時恰好測得∠ACB=45°；

由題意得：，，∴，∴，即要知道河寬，只需要知道線段的長度．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（2023春·福建寧德·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，，點E是線段上的一個動點，的垂直平分線交于點M，交于點O，交于點N．

(1)當(dāng)，時，求的度數(shù)；(2)當(dāng)平分時，試說明；(3)探究：在點E的運(yùn)動過程中，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由：【答案】