考點01 探索勾股定理及逆定理（解析版）

考點01探索勾股定理及逆定理知識框架基礎(chǔ)知識點：1.1認(rèn)識勾股定理1)為什么叫勾股定理？勾股定理是“人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一。是初等幾何中的一個基本定理。那么大家知道多少勾股定理的別稱呢?我可以告訴大家，有畢達(dá)哥拉斯定理、商高定理、百牛定理、驢橋定理和埃及三角形等。這個定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國(希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等)對此定理都有所研究。eq\o\ac(○,1)勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。但畢達(dá)哥拉斯對勾股定理的證明方法已經(jīng)失傳。eq\o\ac(○,2)中國古代對這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多。中國最早的一部數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》（公元前1000年左右的西周時期）就有關(guān)于勾股定理的記載，比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一一個應(yīng)用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為“勾股定理”是非常恰當(dāng)?shù)摹?）勾股定理:如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2注：a.僅在直角三角形中存在勾股定理；b.由于直角三角形的斜邊最長，故運用勾股定理時，一定要抓住直角三角形最長邊（斜邊）的平方等于兩短邊（兩直角邊）的平方和，避免出現(xiàn)這樣的錯誤1．（2021·山西石樓中學(xué)八年級月考）在中，，，的對應(yīng)邊分別是，，，若，則下列等式中成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理解題．【詳解】解：如圖，由勾股定理得，，故選：C．【點睛】本題考查勾股定理，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．2．（2021·成都市八年級期末）如圖，正方形ABCD的邊長為1，其面積標(biāo)記為S1，以AB為斜邊向外作等腰直角三角形，再以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，…，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S7的值為（）A．? B．? C．? D．?【答案】A【分析】根據(jù)題意求出面積標(biāo)記為S2的等腰直角三角形的直角邊長，得到S2，同理求出S3，根據(jù)規(guī)律解答．【詳解】解：∵正方形ABCD的邊長為1，∴面積標(biāo)記為S2的等腰直角三角形的直角邊長的平方為，則，面積標(biāo)記為S3的等腰直角三角形的直角邊長的平方為，則，…..則S7的值為：，故選：A．【點睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等．能通過計算找出一般性規(guī)律是解題關(guān)鍵．3．（2021·江蘇八年級期末）如圖，等腰中，，，于，且．則__________．【答案】【分析】在Rt△BCD中，由勾股定理求出CD，再設(shè)AD=x，則AB=AC=AD+CD=6+x，最后在Rt△ABD中由勾股定理求出x即可求解．【詳解】解：在Rt△BCD中，由勾股定理可知，設(shè)AD=x，則AB=AC=AD+CD=x+6，在Rt△ABD中，由勾股定理可知AB2=AD2+BD2，代入數(shù)據(jù)：(x+6)2=x2+82，解得x=，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理解直角三角形，本題的關(guān)鍵是設(shè)AD=x，進(jìn)而將AB用x的代數(shù)式表示，在Rt△ABD中使用勾股定理求出x求解．4．（2021·云南八年級期末）如圖，學(xué)校有一塊長方形草坪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在草坪內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了________步路（假設(shè)步為米），卻踩傷了花草．【答案】【分析】少走的距離是AC+BC-AB，在直角△ABC中根據(jù)勾股定理求得AB的長即可．【詳解】解：如圖，∵在中，，∴，即則少走的距離為：，∵步為米，∴少走了步．故答案為：．【點睛】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．（2021·云南昭通市·八年級期中）在中，若，，則（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分為直角邊和斜邊兩種情形討論，根據(jù)勾股定理作答即可．【詳解】①當(dāng)為直角邊時，，②當(dāng)為斜邊時，，或．故選C．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，分類討論是解題的關(guān)鍵．6．（2021·廣東廣州市第二中學(xué)八年級期中）已知直角三角形的面積為6cm2，兩直角邊的和為7cm，則它的斜邊長為（）cm．A．5 B．6 C． D．【答案】A【分析】設(shè)兩直角邊為x和y，則，，然后利用完全平方公式，得到，即可得到答案．【詳解】解：設(shè)兩直角邊為x和y，則，．∴xy=12，∴（x+y）2=49，∴x2+y2+2xy=49．∴x2+y2=49-2xy=25．∴斜邊長=（cm）；故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理，完全平方公式的知識，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)直角邊表示出另一條直角邊的長并熟悉直角三角形的面積計算方法．7．（2021·成都市棕北中學(xué)八年級月考）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，梯子頂端到地面的距離為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離為1.5米．（1）梯子的長是多少？（2）求小巷的寬．【答案】（1）2.5米；（2）2.7米【分析】（1）先利用勾股定理求出梯子AB的長度，

（2）由（1）知梯子AB的長度，利用勾股定理求出BD的長，即可得到答案.【詳解】（1）在中，∵，米，米，∴．∴（米）．答：梯子的長是2.5米（2）在中，∵，米，，∴，∴．∵，∴米．∴米．答：小巷的寬度為2.7米．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握利用勾股定理求有關(guān)線段的長度的方法．1.2勾股定理的驗證據(jù)不完全統(tǒng)計，勾股定理的證明方法已經(jīng)多達(dá)400多種了。由于篇幅有限，我們就重點介紹最具代表性的“勾股圓方圖”的證法。在《九章算術(shù)》一書中(約在公元50至100年間)，勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。中國古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進(jìn)行證明的，是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”（后人也把它稱為“趙爽弦圖”），用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明(下圖)。（證明過程見例1）趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨特風(fēng)格樹立了一個典范。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且有發(fā)展,只是具體圖形的分合移補略有不同而已。1．（2021·山西中考真題）在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)學(xué)會了運用以下圖形，驗證著名的勾股定理：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．實際上它也可用于驗證數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）A．統(tǒng)計思想 B．分類思想 C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 D．函數(shù)思想【答案】C【分析】根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，據(jù)此回答即可．【詳解】解：根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，如勾股定理的推導(dǎo)是根據(jù)圖形面積轉(zhuǎn)換得以證明的，由圖形到數(shù)學(xué)規(guī)律的轉(zhuǎn)化體現(xiàn)的數(shù)學(xué)的思想為：數(shù)形結(jié)合思想，故選：C．【點睛】本題是對數(shù)學(xué)思想的考查，理解各種數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)特點是解決本題的關(guān)鍵．2．（2020·河南平輿初二期中）如圖(1)是用硬紙板做成的兩個全等的直角三角形,兩直角邊的長分別為和斜邊長為圖(2)是以為直角邊的等腰直角三角形.請你開動腦筋,將它們拼成一個直角梯形.(1)在圖(3)處畫出拼成的這個圖形的示意圖；(2)利用(1)畫出的圖形證明勾股定理.【答案】(1)見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)此題要由圖中給出的三個三角形組成一個梯形，而且上底和下底分別為a，b，高為a+b；(2)利用梯形的面積和三角形的面積公式列出等式即可求出勾股定理.【解析】(1)如圖所示；(2)由圖我們根據(jù)梯形的面積公式可知，梯形的面積=(a+b)(a+b)，從圖中我們還發(fā)現(xiàn)梯形的面積=三個三角形的面積，即ab+ab+c2，所以(a+b)(a+b)=ab+ab+c2，∴a2+b2=c2.【點睛】本題考查了勾股定理的證明，解題的鍵是找等量關(guān)系，由等量關(guān)系求證勾股定理．3．（2020·河南伊川初二期末）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖擺放時，可以用“面積法”來證明．將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2+b2=c2．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)即可得證．【解析】如圖，過點D作，交BC延長線于點F，連接BD，則，由全等三角形的性質(zhì)得：，，，，即，整理得：．【點睛】本題考查了勾股定理的證明，掌握“面積法”是解題關(guān)鍵．4．（2021·河北八年級期末）勾股定理是畢達(dá)哥拉斯定理的中國稱謂，它揭示了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，中國是發(fā)現(xiàn)、研究和運用勾股定理最古老的國家之一，我國古稱直角三角形的直角邊為“勾”或“股”，斜邊為“弦”，因而將這條定理稱為勾股定理．請你從以下圖形中，任意選擇一個來證明這個定理．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)面積相等列式即可證明．【詳解】方法一：由（1）圖可知：，又∵，∴，∴，方法二：由（2）圖可知：，又∵，∴，方法三：由（3）圖可知：，又∵，∴，∴．【點睛】本題考查了勾股定理的證明，解題關(guān)鍵是根據(jù)面積相等，用不同的方法表示面積．5．（2020·江蘇南京初二期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．將Rt△ABC繞點O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°，構(gòu)成的圖形如圖所示．該圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國最早對勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)設(shè)計的主要依據(jù)．（1）請利用這個圖形證明勾股定理；（2）請利用這個圖形說明a2＋b2≥2ab，并說明等號成立的條件；（3）請根據(jù)（2）的結(jié)論解決下面的問題：長為x，寬為y的長方形，其周長為8，求當(dāng)x，y取何值時，該長方形的面積最大？最大面積是多少？【答案】（1）詳見解析；（2）當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立；（3）當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)=2時，長方形的面積最大，最大面積是4．【分析】（1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達(dá)式．（2）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)證明即可．

（3）利用（2）中的結(jié)論求得當(dāng)x，y取何值時，該矩形面積最大以及其最大面積．【解析】解：（1）因為邊長為c的正方形面積為c2，它也可以看成是由4個直角三角形與1個邊長為（a–b）的小正方形組成的，它的面積為4×ab＋(a–b)2＝a2＋b2，所以c2＝a2＋b2．（2）∵(a–b)2≥0，∴a2＋b2–2ab≥0，∴a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．（3）依題意得2(x＋y)＝8，∴x＋y＝4，長方形的面積為xy，由（2）的結(jié)論知2xy≤x2＋y2＝(x＋y)2–2xy，∴4xy≤(x＋y)2，∴xy≤4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)=2時，長方形的面積最大，最大面積是4．【點睛】本題考查了四邊形綜合題．需要學(xué)生掌握勾股定理的證明和以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握三角形和正方形面積計算公式是解決問題的關(guān)鍵．6．（2021·行唐縣實驗中學(xué)八年級月考）勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一．中國古代最早對勾股定理進(jìn)行證明的是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽，趙爽創(chuàng)制了如圖1所示的“勾股圓方圖”，在該圖中，以弦為邊長所得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的小正方形組成的，其中，．（1）請利用面積相等證明勾股定理；（2）在圖1中，若大正方形的面積是13，，求小正方形的面積；（3）圖2是由“勾股圓方圖”變化得到的，正方形由八個全等的直角三角形和正方形拼接而成，記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，，．若，求邊的長度．【答案】（1）證明見解析；（2）1；（3）4【分析】（1）根據(jù)大正方形的面積=4個全等直角三角形的面積+小正方形的面積證明可得結(jié)論；（2）由勾股定理可得AF的長，從而可得小正方形的邊長，進(jìn)一步可求出小正方形的面積；（3）分別求出正方形，正方形，正方形的邊長，求出其面積，代入，進(jìn)一步整理可得解．【詳解】解：（1）∵∴，∴小正方形的邊長=又大正方形的邊長為∴正方形的面積為，4個全等直角三角形的面積和為，正方形的面積為，由“大正方形的面積=4個全等直角三角形的面積+小正方形的面積”得;∴經(jīng)過整理可得（2）∵大正方形的面積是13，∴∵，且∴∴(負(fù)值舍去)∴∴小正方形的面積為1；（3）∵正方形由八個全等的直角三角形和正方形拼接而成，∴，，∴正方形的邊長為，∴正方形的面積為．而正方形的邊長為，正方形的邊長為，∴正方形的面積為，正方形的面積為，∴，整理得，，∴（負(fù)值舍去）【點睛】此題考查的是勾股定理的證明和應(yīng)用，能夠準(zhǔn)確識圖是解答本題的關(guān)鍵．知識點1.3勾股定理的逆定理1）勾股定理的逆定理：如果三角形三邊長分別為a，b，c，滿足a2+b2=c2，則這個三角形是以c為斜邊的直角三角形。2）勾股定理逆定理的證明：如圖，AB=c，AC=b，CB=a，當(dāng)a2+b2=c2，證明：△ABC是直角三角形。過點A作AD垂直于CB交CB于點D，設(shè)CD=x。根據(jù)勾股定理b2－x2=c2－（a±x）2將a2+b2=c2代入得±2ax=0∴x=0∴點D與點C重合∴AC⊥CB∴△ABC為直角三角形注：勾股定理的逆定理主要用于證明三角形是直角三角形1．（2021·福建福州市·八年級期中）△ABC三邊分別為a、b、c，下列能說明△ABC是直角三角形的是（）A．b2＝a2﹣c2 B．a(chǎn)∶b∶c＝1∶2∶2C．2∠C＝∠A＋∠B D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理逆定理及三角形內(nèi)角和可進(jìn)行排除選項．【詳解】解：A、由可根據(jù)勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形，故符合題意；B、由a∶b∶c＝1∶2∶2可得，則△ABC是等腰三角形，故不符合題意；C、由2∠C＝∠A＋∠B結(jié)合三角形內(nèi)角和可得∠C=60°，但不能判定△ABC是直角三角形，故不符合題意；D、由∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5結(jié)合三角形內(nèi)角和可得，所以△ABC不是直角三角形；故選A．【點睛】本題主要考查勾股定理逆定理及三角形內(nèi)角和，熟練掌握勾股定理逆定理及三角形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．2．（2021·綏德縣德群中學(xué)八年級期末）某中學(xué)、兩棟教學(xué)樓之間有一塊如圖所示的四邊形空地，學(xué)校為了綠化環(huán)境，計劃在空地上種植花草，經(jīng)測量，米，米，米，米．（1）求出四邊形空地的面積；（2）若每種植1平方米的花草需要投入120元，求學(xué)校共需投入多少元．【答案】（1）四邊形空地的面積為234平方米；（2）學(xué)校共需投入28080元．【分析】（1）利用勾股定理求出AC，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠ADC=90°，再利用即可得出答案；（2）利用120乘以四邊形的面積即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）連接．在中，∵，，，∴（米）．在中，∵，，，∴．∴是直角三角形，且．∴平方米．∴四邊形空地的面積為234平方米．（2）（元）．答：學(xué)校共需投入28080元．【點睛】本題考查勾股定理以及勾股定理逆定理的應(yīng)用，四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．3．（2020·成都市初二期中聯(lián)考）某航空公司經(jīng)營中有A、B、C、D這四個城市之間的客運業(yè)務(wù)．它的部分機(jī)票價格如下：A﹣B為2000元；A﹣C為1600元；A﹣D為2500元；B﹣C為1200元；C﹣D為900元．現(xiàn)在已知這家公司所規(guī)定的機(jī)票價格與往返城市間的直線距離成正比，則B﹣D的機(jī)票價格（）A．1400元 B．1500元 C．1600元 D．1700元【答案】B【分析】這家公司所規(guī)定的機(jī)票價格與往返城市間的直線距離成正比，不妨把兩地價格看為是兩點間的距離，則由AC2+BC2=AB2可以知道∠ACB是直角．又AD=AC+CD，故A，C，D在一條直線上，利用勾股定理即可解出BD的長，即是B﹣D的機(jī)票價格．【解析】把兩地價格看為是兩點間的距離，則AB＝2000，AC＝1600，AD＝2500，BC＝1200，CD＝900．∵16002+12002=20002，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB是直角，∵2500＝1600+900，即AD=AC+CD，∴A，C，D在一條直線上，∴∠BCD是直角，∴BD=＝＝1500，即B﹣D的機(jī)票價格為1500元.故選B.【點睛】本題考查了兩點間的距離、勾股定理及其逆定理.利用勾股定理的逆定理判斷出∠ACB為直角是解題的關(guān)鍵.4．（2020·河南內(nèi)鄉(xiāng)初二期末）如圖（1）是超市的兒童玩具購物車，圖（2）為其側(cè)面簡化示意圖，測得支架AC=24cm，CB=18cm，兩輪中心的距離AB=30cm，求點C到AB的距離.（結(jié)果保留整數(shù)）【答案】點C到AB的距離約為14cm.【分析】通過勾股定理的逆定理來判斷三角形ABC的形狀，從而再利用三角形ABC的面積反求點C到AB的距離即可.【解析】解：過點C作CE⊥AB于點E,則CE的長即點C到AB的距離.在△ABC中，∵，，，∴，，∴，∴△ABC為直角三角形，即∠ACB=90°∵，∴，即，∴CE=14.4≈14.答：點C到AB的距離約為14cm.【點睛】本題的解題關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理，能通過三角形面積反求對應(yīng)的邊長.5．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校八年級期中）如圖，每個小正方形的邊長都是1．A、B、C、D均在網(wǎng)格的格點上．（1）∠BCD是直角嗎？請證明你的判斷．（2）直接寫出四邊形ABCD的面積（3）找到格點E，并畫出四邊形ABED（一個即可），使得其面積與四邊形ABCD面積相等．【答案】（1）不是直角，證明見解析；（2）14；（3）見解析【分析】（1）利用勾股定理，判斷即可．（2）利用分割法求解即可．（3）取格點E，連接BE，DE即可．【詳解】解：（1）∠BCD不是直角．理由：∵BC2＝52+22＝29，CD2＝5，BD2＝42+42＝32，∴BC2+CD2≠BD2，∴∠BCD不是直角．（2）S四邊形ABCD＝5×5﹣×2×5﹣×1×5﹣×1×2﹣×1×3﹣1＝14．（3）如圖，四邊形ABED即為所求作．【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，勾股定理以及逆定理，四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．6．（2021·南寧市第八中學(xué)八年級月考）如圖，在一條東西走向的河流一側(cè)有一工廠C，河邊原有兩個取水點A和B，且AB＝AC．工業(yè)園區(qū)規(guī)劃改造后，原道路AC不再使用，現(xiàn)決定在河邊新建一個取水點P，并新修一條路CP，測得CB＝6千米，CP＝4.8千米，PB＝3.6千米．（1）CP是否為從工廠C到河邊的最近路？請通過計算加以說明；（2）求原來的路線AC的長．【答案】（1）是，計算見解析，（2）5千米【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷CP是否垂直AB即可；（2）根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：（1）是，理由是：在△CPB中，∵CP2+BP2＝(4.8)2+(3.6)2＝36，BC2＝36，∴CP2+BP2＝BC2，∴CP⊥AB，所以CP是從工廠C到河邊的最近路；（2）設(shè)AC＝x千米，在Rt△ACP中，由已知得AC＝x，AP＝x﹣3.6，CP＝4.8，由勾股定理得：AC2＝AP2+CP2∴x2＝(x﹣3.6)2+(4.8)2，解得x＝5，答：原來的路線AC的長為5千米．【點睛】此題考查勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練運用勾股定理的逆定理和定理進(jìn)行進(jìn)行解答．7．（2021·湖南八年級期末）定義：如圖，點、把線段分割成、、，若以、、為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點、是線段的勾股分割點．（1）已知、把線段分割成、、，若，，，則點、是線段的勾股分割點嗎？請說明理由．（2）已知點、是線段的勾股分割點，且為直角邊，若，，求的長．【答案】（1）是，理由見解析；（2）或【分析】（1）根據(jù)勾股定理逆定理即可判斷．（2）設(shè)BN＝x，則MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，分兩種情形①當(dāng)MN為斜邊時，依題意MN2＝AM2+NB2；②當(dāng)BN為斜邊時，依題意BN2＝AM2+MN2；分別列出方程即可解決問題．【詳解】解：（1）是．理由：，，，、、為邊的三角形是一個直角三角形．故點、是線段的勾股分割點．（2）設(shè)，則，①當(dāng)為最大線段時，依題意，即，解得；②當(dāng)為最大線段時，依題意．即，解得綜上所述的長為或．【點睛】本題考查了勾股定理逆定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，分類討論，熟練運用勾股定理逆定理列出方程．知識點1.4勾股數(shù)與勾股定理的應(yīng)用1）勾股數(shù)：能構(gòu)成直角三角形三條邊的三個正整數(shù)2）常見的勾股數(shù)有：=1\*GB3①3，4，5；=2\*GB3②5，12，13；注：這兩組勾股數(shù)的倍數(shù)也是勾股數(shù)，如：4,6,8等。在考察勾股數(shù)時，若出現(xiàn)不熟悉數(shù)組，可利用勾股定理逆定理判斷，即：a21．（2021·湖北八年級期末）下列四組數(shù)據(jù)中，不是勾股數(shù)的是（）A．5，12，13 B．4，7，9 C．6，8，10 D．9，40，41【答案】B【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【詳解】A、52+122＝132，能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，是勾股數(shù)，不符合題意；B、42+72≠92，不能構(gòu)成直角三角形，不是勾股數(shù)，符合題意；C、62+82＝102，能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，是勾股數(shù)，不符合題意；D、92+402＝412，能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，是勾股數(shù)，不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了勾股數(shù)的定義，勾股定理，理解勾股數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2020·海林市朝鮮族中學(xué)初二期末）觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，請你寫出具有以上規(guī)律的第⑥組勾股數(shù)：__________．【答案】13，84，85【分析】先根據(jù)給出的數(shù)據(jù)找出規(guī)律，再根據(jù)勾股定理求解即可．【解析】由題意得，每組第一個數(shù)是奇數(shù)，且逐步遞增2，第二、第三個數(shù)相差為一故第⑥組的第一個數(shù)是13；設(shè)第二個數(shù)為x，第三個數(shù)為x+1；根據(jù)勾股定理得解得，則第⑥組勾股數(shù)：13，84，85。故答案為：13，84，85．【點睛】本題考查了勾股數(shù)的規(guī)律題，掌握這些勾股數(shù)的規(guī)律、勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2020·浙江柯橋初二期末）《九章算術(shù)》提供了許多整勾股數(shù)，如，，，等等，并把一組勾股數(shù)中最大的數(shù)稱為“弦數(shù)”.后人在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究，得到如下規(guī)律：若是大于1的奇數(shù)，把它平方后拆成相鄰的兩個整數(shù)，那么與這兩個整數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)；若是大于2的偶數(shù)，把它除以2后再平方，然后把這個平方數(shù)分別減1，加l得到兩個整數(shù)，那么與這兩個整數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù).由上述方法得到的勾股數(shù)稱為“由生成的勾股數(shù)”.若“由9生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)“記為，“由20生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)“記為，則__________．【答案】142【分析】根據(jù)題述“由生成的勾股數(shù)”的計算方式，分別求得A和B求和即可．【解析】解：∵92=81，81=40+41∴“由9生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)“記為41，即A=41，∵，∴“由20生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)“記為101，即B=101，∴．故答案為：142．【點睛】本題考查勾股數(shù)問題．能理解題中的計算方式，并能依此計算是解決此題的關(guān)鍵．需注意在計算“由生成的勾股數(shù)”時，m分奇偶計算方式不同．4．（2021·安陽市第十中學(xué)八年級期中）如圖，一個梯子長為5米，頂端靠在墻上，這時梯子下端與墻角間的距離為3米，梯子滑動后停在的位置上，測得的長為1米，則梯子頂端下落了__________米．【答案】1【分析】在中用勾股定理可得AC，梯子AB=DE長，在中用勾股定理可得CE的長，即可計算AE．【詳解】解：中，中，，梯子AB=DE長，，；故答案為：1．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用；解決本題關(guān)鍵在于能找出其中的不變量，在不同的直角三角形中應(yīng)用勾股定理．5．（2021·山東八年級期末）如圖，筆直的公路上A、B兩點相距22km，C、D為公交公司兩停車場，CA⊥AB于點A，DB⊥AB于點B，已知CA=6km，DB=16km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個加油站M，使得C、D公交公司兩停車場到加油站M的距離CM=DM，則加油站M應(yīng)建在離B點多遠(yuǎn)處？【答案】6km【分析】根據(jù)CM=DM，CA⊥AB于點A，DB⊥AB于點B，可得∠A=∠B=90°，由勾股定理得AC2+AM2=BM2+BD2，設(shè)BM=xkm，AM=(22-x)km，可得方程，解之即可．【詳解】解：∵使得C、D公交公司兩停車場到加油站M的距離相等，∴CM=DM，∵CA⊥AB于點A，DB⊥AB于點B，∴∠A=∠B=90°，∴AC2+AM2=CM2，BM2+BD2=MD2，∴AC2+AM2=BM2+BD2，設(shè)BM=xkm，AM=(22-x)km，CA=6km，DB=16km，∴，解得，加油站M應(yīng)建在離B點6km遠(yuǎn)．【點睛】本題考查勾股定理應(yīng)用，拓展一元一次方程，掌握勾股定理使用條件，一元一次方程的解法是解題關(guān)鍵．6．（2021·陜西八年級期末）如圖，長方體的棱AB長為4，棱BC長為3，棱BF長為2，P為HG的中點，一只螞蟻從點A出發(fā)，沿長方體的表面爬行到點處吃食物，那么它爬行的最短路程是___________．【答案】5【分析】利用平面展開圖有3種情況，畫出圖形利用勾股定理求出MN的長即可．【詳解】解：分三種情況：如圖1，,如圖2，，∴AP=5，如圖3，，，它爬行的最短路程為5，故答案為：5．,【點睛】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題和勾股定理的應(yīng)用，利用展開圖有3種情況分析得出是解題關(guān)鍵．7．（2020·河南南陽22中八年級月考）如圖所示，有一根高為的木柱，它的底面周長為，在準(zhǔn)備元旦聯(lián)歡晚會時，為了營造喜慶的氣氛，老師要求小明將一根彩帶從底柱向柱頂均勻地纏繞7圈，一直纏到起點的正上方為止，小明需要準(zhǔn)備的這根彩帶的長至少為（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】將圓柱沿母線剪開并展開，則這根彩帶的長應(yīng)為7個圓柱側(cè)面展開圖并排后的長方形的對角線，利用勾股定理求值即可．【詳解】解：將圓柱沿母線剪開并展開，則這根彩帶的長最少應(yīng)為7個圓柱側(cè)面展開圖并排后的長方形的對角線，如圖所示，AC即為所求，其中AB=40×7=280cm，BC=2.1m=210cm根據(jù)勾股定理可得AC==350cm故選B．【點睛】此題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理和兩點之間線段最短是解題關(guān)鍵．8．（2021·河南八年級期末）如圖，桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋）高6厘米，底面周長16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的A處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相對方向有一小蟲P，小蟲離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲爬到蜜糖處的最短距離是（）A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米【答案】B【分析】把圓柱沿著點A所在母線展開，把圓柱上最短距離轉(zhuǎn)化為將軍飲馬河型最短問題求解即可.【詳解】把圓柱沿著點A所在母線展開，如圖所示，作點A的對稱點B，連接PB，則PB為所求，根據(jù)題意，得PC=8，BC=6，根據(jù)勾股定理，得PB=10，故選B.【點睛】本題考查了圓柱上的最短問題，利用圓柱展開，把問題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬河問題，靈活使用勾股定理是解題的關(guān)鍵.重難點題型題型1.勾股定理中的面積問題再探究解題技巧:解決此類問題要熟練運用勾股定理，結(jié)合正方形、三角形、半圓的面積公式即可解決問題.1．（2021·云南九年級一模）如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”：經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個正方形，圖（2）在圖（1）的基礎(chǔ)上增加了4個正方形，圖（3）在圖（2）的基礎(chǔ)上增加了8個正方形，……，照此規(guī)律“生長”下去，圖（6）應(yīng)在圖（5）的基礎(chǔ)上增加的正方形的個數(shù)是（）A．12 B．32 C．64 D．128【答案】C【分析】通過觀察已知圖形可以發(fā)現(xiàn)：圖（2）比圖（1）多出4個正方形，圖（3）比圖（2）多出8個正方形，圖（4）比圖（3）多出16個正方形，……，以此類推可得圖形的變換規(guī)律．【詳解】解：由題可得，圖（2）比圖（1）多出4個正方形，圖（3）比圖（2）多出8個正方形，；圖（4）比圖（3）多出16個正方形，；圖（5）比圖（4）多出32個正方形，；照此規(guī)律，圖（n）比圖（n-1）多出正方形的個數(shù)為：故圖（6）比圖（5）多出正方形的個數(shù)為：；故答案為：C．【點睛】此題考查了圖形的變化類問題，主要考核學(xué)生的觀察能力和空間想象能力．首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來解決這類問題．2．（2021.都江堰起航教育專題）如圖，已知圖中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若其中每個直角三角形的最長邊與最短邊的長度之比均為，正方形，，，的面積分別為，，，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)正方形B的邊長為b，正方形D的邊長為a，分別用含b和含a的式子表示出最大正方形的邊長、正方形D左側(cè)的正方形的邊長及最大正方形下方直角三角形的最長邊；再分別表示出S1，S2，S4；然后在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得出b2與a2的數(shù)量關(guān)系；最后觀察并計算可得出答案．【詳解】解：設(shè)正方形B的邊長為b，正方形D的邊長為a，∵其中每個直角三角形的最長邊與最短邊的長度之比均為k，∴最大正方形的邊長為kb，正方形D左側(cè)的正方形的邊長為ka，∴最大正方形下方直角三角形的最長邊為k2a，∴S1=（kb）2-b2=（k2-1）b2，S2=b2，S4=a2，在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得：（ka）2+（kb）2=（k2a）2，∴a2+b2=k2a2，∴b2=（k2-1）a2，∴S1=（k2-1）2a2，∴S1?S4=（k2-1）2a2?a2=[（k2-1）a2]2=S22，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理在直角三角形和正方形中的運用，數(shù)形結(jié)合并正確找到相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2021·北京海淀教師進(jìn)修學(xué)校附屬實驗學(xué)校初二期中）如圖所示，直角三邊形三邊上的半圓面積從小到大依次記為、、，則、、的關(guān)系是（）A．+= B． C． D．【答案】A分析：設(shè)直角三角形各邊長為2a、2b、2c，如圖所示：【解析】∵三角形是直角三角形，∴（2a）2+（2b）2=（2c）2，化簡得：a2+b2=c2，S1=πa2，S2=πb2，S3=πc2；S1+S2=π（a2+b2）=πc2=S3．故選A．考點：勾股定理．4．（2021·湖北鄂州市·八年級期末）如圖，在中，在同一平面內(nèi)，分別以、、為邊向形外作等邊、等邊、等邊，若，且，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出等邊三角形ABE和BCF的面積，根據(jù)求出AC的長，再根據(jù)勾股定理逆定理判斷△是直角三角形，再根據(jù)面積公式求結(jié)論即可．【詳解】解：如圖1，在等邊三角形中，當(dāng)邊長為2a時，高為，用此結(jié)論可得：∵為等邊三角形，∴高為∴∵為等邊三角形，∴高為∴∴即：解得：在△中，∴△是直角三角形，∴故選：C．【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，三角形面積公式等知識，AC=5是解答此題的關(guān)鍵．5．（2020·浙江省初三學(xué)業(yè)考試）勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載．如圖，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖的方式放置在最大正方形內(nèi)．若圖中陰影部分的面積為，且，則的長為（）圖1圖2A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)AC＝a，AB＝b，BC＝c根據(jù)勾股定理得到c2＝a2＋b2，根據(jù)正方形的面積公式、長方形的面積公式計算即可求解．【解析】如圖2：設(shè)AC＝a，AB＝b，BC＝c，則a＋b＝8，c2＝a2＋b2，HG＝c?b，DG＝c?a，則陰影部分的面積S＝HG?DG＝（c?b）（c?a）＝2，∵（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝64，∴ab＝32?，∴S＝c2?c（a＋b）＋ab＝c2?8c＋32?＝2，解得c1＝6，c2＝10（舍去）．故選：B．【點睛】本題考查勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2．6．（2021.廣東省八年級期中）如圖，直線上有三個正方形、、，若正方形、的邊長分別為5和7，則正方形的面積為（）A．36 B．49 C．74 D．81【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠EFG=∠EGH=∠HMG=90°，EG=GH，求出∠FEG=∠HGM，證△EFG≌△GMH，推出FG=MH，GM=EF，求出EF2=25，HM2=49，求出B的面積為EG=EF2+FG2=EF2+HM2，代入求出即可．【詳解】解：根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠EFG=∠EGH=∠HMG=90°，EG=GH，∵∠FEG+∠EGF=90°，∠EGF+∠HGM=90°，∴∠FEG=∠HGM，在△EFG和△GMH中，，∴△EFG≌△GMH（AAS），∴FG=MH，GM=EF，∵A，C的邊長分別為5和7，∴EF2=52，HM2=72，∴B的面積為EG=EF2+FG2=EF2+HM2=25+49=74，故選：C．【點睛】本題考查了正方形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出FG=MH，題目比較典型，難度適中．題型2.趙爽弦圖求值解題技巧:解決此類問題要熟練運用勾股定理及完全平方公式，結(jié)合趙爽弦圖利用面積之間的關(guān)系即可解決問題.1．（2020·渦陽縣王元中學(xué)初二月考）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】觀察圖形可知，小正方形的面積=大正方形的面積-4個直角三角形的面積，利用已知=21，大正方形的面積為13，可以得以直角三角形的面積，進(jìn)而求出答案?！窘馕觥坑捎诖笳叫蔚倪呴L的平方為，又大正方形的面積為13，即，而小正方形的面積表達(dá)式為，而小正方形的面積表達(dá)式為故本題正確答案為C．【點睛】本題主要考查直角三角形，用到勾股定理的證明，正確計算是解題的關(guān)鍵．2．（2020·河北省初二期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．大正方形的面積為49，小正方形的面積為4，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．給出四個結(jié)論：①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④【答案】A【分析】觀察圖形可知，大正方形的邊長為直角三角形的斜邊長，根據(jù)勾股定理即可得到大正方形的邊長，從而得到①正確，根據(jù)題意得4個直角三角形的面積=4××ab=大正方形的面積-小正方形的面積，從而得到③正確，根據(jù)①③可得②正確，④錯誤.【解析】解：∵直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，∴斜邊的平方=a2+b2，由圖知，大正方形的邊長為直角三角形的斜邊長，∴大正方形的面積=斜邊的平方=a2+b2，即a2+b2=49，故①正確；根據(jù)題意得4個直角三角形的面積=4××ab=2ab，4個直角三角形的面積=S大正方形-S小正方形=49-4=45，即2ab=45，故③正確；由①③可得a2+b2+2ab=49+45=94，即(a+b)2=94，∴a+b≠9，故④錯誤，由①③可得a2+b2-2ab=49-45=4，即(a-b)2=4，∵a-b>0，∴a-b=2，故②正確．故選A．【點睛】本題考查了勾股定理的運用，完全平方公式的運用等知識．熟練運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2021·北京八年級期末）用4張全等的直角三角形紙片拼接成如圖所示的圖案，得到兩個大小不同的正方形．若正方形ABCD的面積為10，AH＝3，則正方形EFGH的面積為____．【答案】4【分析】根據(jù)正方形的面積，可得AD2=10，再根據(jù)勾股定理求出DH的值，從而得四個直角三角形的面積之和，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵正方形ABCD的面積為10，AH＝3，∴AD2=10，∴在中，DH=，∴，∵四個直角三角形全等，∴正方形EFGH的面積=10-=4，故答案是：4．【點睛】本題主要考查勾股定理和勾股弦圖，掌握勾股定理，是解題的關(guān)鍵．4．（2021·湖北八年級期末）由四個全等的直角三角形拼成如圖所示的“趙爽弦圖”，若直角三角形斜邊長為2，最短的之邊長為1，則圖中陰影部分的面積為（）A．1 B．3 C．4﹣2 D．4＋2【答案】C【分析】設(shè)直角三角形的斜邊為c，短直角邊為a，另一邊為b，由勾股定理可得，小正方形面積：．【詳解】解：設(shè)直角三角形的斜邊為c，短直角邊為a，另一邊為b，∵c=2，a=1∴由勾股定理可得，∴小正方形面積：∴陰影部分面積為：故選C．【點睛】本題考查了勾股定理，解題關(guān)鍵是利用三角形和正方形邊長的關(guān)系進(jìn)行組合圖形．5．（2021·浙江九年級）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3．若，則S2的值是（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【分析】根據(jù)圖形的特征得出線段之間的關(guān)系，進(jìn)而利用勾股定理求出各邊之間的關(guān)系，從而得出答案．【詳解】∵圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，∴S1＝（CG+DG）2＝CG2+DG2+2CG?DG＝GF2+2CG?DG，S2＝GF2，S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG?NF，∵S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG?DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG?NF＝3GF2，∴S2的值是：7．故選：C．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知得出S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG?DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG?NF＝3GF2是解決問題的關(guān)鍵．6．（2021.成都市八年級期中）如圖，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．連結(jié)，交于點P，若正方形的面積為48，．則的值是__________．【答案】16【分析】先證明△AEP≌△CGM（ASA），則S△AEP=S△CGM，所以兩三角形面積的差是中間正方形面積的一半，設(shè)AE=x，BE=8-x，根據(jù)勾股定理得：AE2+BE2=AB2，x2+（8-x）2=48，則2x2-16x=-16，整體代入可得結(jié)論．【詳解】解：∵正方形ABCD的面積為48，∴AB2=48，設(shè)AE=x，∵AE+BE=8，∴BE=8-x，Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，∴x2+（8-x）2=48，∴2x2-16x=-16，∵AH⊥BE，BE⊥CF，∴AH∥CF，∴∠EAP=∠GCM，∵“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個大正方形ABCD，∴△AEB≌△CGD，∴AE=CG，∴△AEP≌△CGM（ASA），∴S△AEP=S△CGM，EP=MG，∴S△CFP-S△AEP=S△CFP-S△CGM=S梯形FPMG=（MG+PF）?FG=EF?FG=S正方形EHGF，∵S矩形EHGF=S正方形ABCD-4S△AEB=48-4×x（8?x）=2x2-16x+48=-16+48=32，則S△CFP-S△AEP的值是16；故答案為：16．【點睛】本題考查了“趙爽弦圖”，多邊形的面積，勾股定理等知識點，首先要求學(xué)生正確理解題意，然后會利用勾股定理和三角形全等的性質(zhì)解題．題型3.勾股定理中的最短路線問題解題技巧:解決此類問題需先將立體圖形進(jìn)行展開，在平面上利用兩點之間線段最短作圖，利用勾股定理即可求解.1．（2021·江蘇八年級月考）將一根的筷子，置于底面直徑為，高的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長度，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】觀察圖形，找出圖中的直角三角形，利用勾股定理解答即可．【詳解】首先根據(jù)圓柱的高，知筷子在杯內(nèi)的最小長度是8cm，則在杯外的最大長度是24-8=16cm；再根據(jù)勾股定理求得筷子在杯內(nèi)的最大長度是AC===17，則在杯外的最小長度是24-17=7cm，所以h的取值范圍是7cm≤h≤16cm，故選D．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，注意此題要求的是筷子露在杯外的取值范圍．主要是根據(jù)勾股定理求出筷子在杯內(nèi)的最大長度．2．（2021·山西八年級期末）如圖所示，是長方形地面，長，寬，中間整有一堵磚墻高，一只螞蟻從A點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走（）

A．20 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】將題中圖案展開后，連接AC，利用勾股定理可得AC長，將中間的墻展開在平面上，則原矩形長度增加寬度不變，求出新矩形的對角線長即為所求．【詳解】解：展開如圖得新矩形，連接AC，則其長度至少增加2MN，寬度不變，由此可得：，根據(jù)勾股定理有：故選D．

【點睛】本題考查平面展開圖形最短路線問題以及勾股定理得應(yīng)用；解題關(guān)鍵在于根據(jù)題意畫出正確的平面展開圖．3．（2020·重慶初二月考）圓柱形杯子的高為18cm，底面周長為24cm，已知螞蟻在外壁A處（距杯子上沿2cm）發(fā)現(xiàn)一滴蜂蜜在杯子內(nèi)（距杯子下沿4cm），則螞蟻從A處爬到B處的最短距離為（）A． B．28 C．20 D．【答案】C分析：將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求.【解析】如圖所示，將杯子側(cè)面展開,作A關(guān)于EF的對稱點A′，連接A′B,則A′B即為最短距離，A′B=(cm)故選C.點睛：本題考查了勾股定理、最短路徑等知識.將圓柱側(cè)面展開，化曲面為平面并作出A關(guān)于EF的對稱點A′是解題的關(guān)鍵.4．（2021·江蘇八年級期中）如圖，矩形ABCD中，，，E，F(xiàn)，Q分別是AD和BC、DC的中點，P是EF上的點，則的最小值為________．【答案】5【分析】取的中點為，連接交于點，則的最小值轉(zhuǎn)為兩點之間的距離最短，利用勾股定理求解．【詳解】解：取的中點為，連接交于點，再連接，此時PD+PQ有最小值，如下圖：由圖可知，，，在中，，，由兩點之間的距離最短即，的最小值為5，故答案是：5．【點睛】本題考查了動點問題，涉及到勾股定理的使用，解題的關(guān)鍵是把轉(zhuǎn)換為兩點之間的距離最短來求解，運用轉(zhuǎn)換的思想．6．（2020·浙江金華初三月考）如圖，圓柱底面半徑為cm，高為18cm，點A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A、B在同一母線上，用一根棉線從A點順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點，則這根棉線的長度最短為（）A．24cm B．30cm C．2cm D．4cm【答案】B【分析】要求圓柱體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開，然后利用兩點之間線段最短解答．【解析】解：圓柱體的展開圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B的運動最短路線是：AC→CD→DB；即在圓柱體的展開圖長方形中，將長方形平均分成3個小長方形，A沿著3個長方形的對角線運動到B的路線最短；∵圓柱底面半徑為cm，∴長方形的寬即是圓柱體的底面周長：2π×＝8cm；又∵圓柱高為18cm，∴小長方形的一條邊長是6cm；根據(jù)勾股定理求得AC＝CD＝DB＝10cm；∴AC+CD+DB＝30cm；故選：B．【點睛】本題主要考查了圓柱的計算、平面展開??路徑最短問題．圓柱的側(cè)面展開圖是一個長方形，此長方形的寬等于圓柱底面周長，長方形的長等于圓柱的高．本題就是把圓柱的側(cè)面展開成長方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．題型4.勾股定理中線段平方關(guān)系的證明解題技巧：涉及線段的平方證明題，多是用勾股定理作為工具來證明的。常用作三角形的高、平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等方法。1．（2021·四川八年級期中）在中，，，為上一點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，過作交于，連接．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析;（3）．【分析】（1）根據(jù)等腰三形的腰相等、旋轉(zhuǎn)前后線段相等、同角的余角相等，利用SAS即可證明全等；（2）連接EF，通過已證的全等三角形對應(yīng)邊相等和垂直平分線的性質(zhì)定理，可證AD＝BE和DF＝EF，把要證明的線段轉(zhuǎn)化到中，利用勾股定理即可證明；（3）利用勾股定理在中求得DE，根據(jù)三角形外角定理可證，在中根據(jù)直角三角形角所對邊等于斜邊一半和勾股定理，設(shè)分別用x表示BF、EF和DF，最后在利用勾股定理列式求解即可．【詳解】（1）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，可得是等腰直角三角形，，，，在和中，，，．（2）如圖，連接，，是等腰直角三角形，是的垂直平分線，，又，，，，中，，．（3），是等腰直角三角形，，，，，，設(shè)，則，，在中，，解得，．【點睛】本題主要考查全等三角形判斷和性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識點。在證明題中，若出現(xiàn)和線段平方有關(guān)的等式問題，我們首選的方法就是把證明中出現(xiàn)的線段轉(zhuǎn)移到一個三角形中，通過證明此三角形為直角三角形，進(jìn)而利用證明最終的結(jié)果．注意：不要認(rèn)為有一個角等于，那么它所對的邊就一定等于另一條邊的一半，前提是在直角三角形中．2．（2021·成都教科院附屬龍泉學(xué)校八年級期中）如圖1，在中，，，為邊上一動點，且不與點點重合，連接并延長，在延長線上取一點，使，連接．（1）若，則°，°．（2）若，小明說一定是45°，你認(rèn)為正確嗎？請說明理由．（3）如圖2，過點作于點，的延長線與的延長線交于點，求證：．圖1【答案】（1）50；65；（2）正確，證明見解析；（3）證明見解析【分析】（1）利用互余的性質(zhì)求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角和等腰三角形的性質(zhì)即可求解；（2）即可求解；（3）連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，再利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）∵，，∴，又∵，，∴，∴，∴，∵，∴，即，．（2）

，故小明說一定正確．（3）連接，∵，，∴垂直平分，∴，，由（2）可知：，即，∵，∴，∴，∴，∴，∴為直角三角形，∴，∵，，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題是三角形綜合題，考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線是本題的關(guān)鍵．3．（2021·安徽八年級期末）如圖所示，ABC和ADE是全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，BC與AD、AE分別交于點P、G，AP⊥AD，CP⊥BC，垂足分別為點A，C，AP，CP交于點P．（1）證明：ACP≌ABF；（2）BF，F(xiàn)G，GC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．【答案】（1）證明過程見解析；（2）BF2+CG2＝FG2，理由見解析【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，AP⊥AD，可以得到∠BAC＝∠PAD＝90°，所以∠BAF＝∠PAC，再由CP⊥BC，∠ACB＝45°，可以證得∠ABF＝∠ACP＝45°，即可以證明△ACP≌△ABF；（2）由（1）可得，△ACP≌△ABF，所以BF＝CP，AF＝AP，利用CP⊥BC，∠DAE＝45°，可以證得∠FAG＝∠PAG＝45°，先證△FAG≌△PAG，得到FG＝PG，在直角△PGC中，利用勾股定理得到三邊的等式關(guān)系，等量代換，即可得到結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝90°，AB＝AC，∠B＝∠ACB＝45°，∵AP⊥AD，∴∠PAD＝∠BAC＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠PAD﹣∠DAC，∴∠BAF＝∠CAP，∵PC⊥BC，∴∠PCB＝90°，∵∠ACP＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝∠ACP，在△ABF與△ACP中，，∴△ABF≌△ACP（ASA）；解：（2）BF2+CG2＝FG2，理由如下：如圖1，連接PG，由（1）可得，△ABF≌△ACP，∴BF＝CP，AF＝AP，∵△ADE是等腰直角三角形，∠PAD＝90°，∴∠FAG＝∠PAG＝45°，在△AFG與△APG中，，∴△AFG≌△APG（SAS），∴FG＝PG，在Rt△PGC中，PG2＝CG2+CP2，∴BF2+CG2＝FG2．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用已知條件，找到證明全等的條件，是解決本題的關(guān)鍵，例如第（1）問中的∠BAF＝∠PAC，∠ABF＝∠ACP的推導(dǎo)，同時，要注意第（1）問的結(jié)論給第（2）問提供了條件，例如由（1）的結(jié)論可以得到BF＝CP．4．（2021·廣東九年級期末）如圖1，在中，，，是邊上的兩點，且滿足．以點為旋轉(zhuǎn)中心，將按逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△（點與點重合，點到點處）連接．（1）求證：；（2）如圖2，若AB⊥BC，其他條件不變．求證：DE2＝AD2＋EC2.【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）先根據(jù)可知，再由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，故可得出，由全等三角形的性質(zhì)即可得出，故可得出結(jié)論；（2）把逆時針旋轉(zhuǎn)，由于是等腰直角三角形，故可知圖形旋轉(zhuǎn)后點與點重合，，所以，由（1）證，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：，，由旋轉(zhuǎn)而成，，，，在與中，，，；（2）證明：如圖所示：把逆時針旋轉(zhuǎn)，連接，，，，圖形旋轉(zhuǎn)后點與點重合，與重合，，，，在中，，，，同（1）可得，．【點睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)及勾股定理、三角形全等，解題的關(guān)鍵是熟知旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．5．（2020·浙江八年級期中）如圖1，和都是等腰直角三角形，的頂點A在的斜邊上．（1）證明；（2）猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖2，若，點F是的中點，求的長．【答案】（1）見解析；（2），證明見解析；（3）【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理和平角的性質(zhì)可求解；（2）由“”可證，可得，，由勾股定理可求解；（3）由勾股定理可求的長，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，可求的長，由勾股定理可求的長．【詳解】解：（1）證明：和都是等腰直角三角形，，，，，，∴∠ECA=∠DCB，，，；（2），理由如下：連接，在和中，，，，，是直角三角形，，；（3）如圖2，過點作于，，，，，，，點是的中點，，都是等腰直角三角形，，，，，．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線是本題的關(guān)鍵．題型5.勾股定理的應(yīng)用（方程思想）解題技巧：在直角三角形中，“知二可推一”，若圖形中有較多邊的長度不知道，可以利用方程思想，設(shè)某些邊為未知數(shù)，再利用勾股定理列寫等式方程，將求解邊長轉(zhuǎn)化為解方程。=1\*GB3①若兩直角三角形有公共邊，可利用公共邊列寫勾股定理的等式方程。具體如下：△ABD與△ACD都是直角三角形，且有公共邊AD，則：AB=2\*GB3②若無公共邊或公共邊難以利用時，可以設(shè)2個未知數(shù)，根據(jù)兩個直角三角形，列寫2個等式方程，然后求解不等式組。1．（2021·江蘇.八年級期中）《九章算術(shù)》中記載：今有戶不知高、廣，竿不知長、短．橫之不出四尺，從之不出二尺，斜之適出．問戶高、廣、斜各幾何？譯文是：今有門，不知其高、寬，有竿，不知其長、短．橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬、對角線長分別是多少?若設(shè)門對角線長為x尺，則可列方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題中所給的條件可知，竿斜放就恰好等于門的對角線長，可與門的寬和高構(gòu)成直角三角形，運用勾股定理可求出門高、寬、對角線長．【詳解】解：根據(jù)勾股定理可得：x2=（x-4）2+（x-2）2，故選：A．【點睛】本題考查勾股定理的運用，正確運用勾股定理，將數(shù)學(xué)思想運用到實際問題中是解答本題的關(guān)鍵，難度一般．2．（2021·蘇州市南環(huán)實驗中學(xué)校九年級二模）如圖所示，等腰三角形ABC的底邊為8cm，腰長為5cm，一動點P（與B、C不重合）在底邊上從B向C以1cm/s的速度移動，當(dāng)P運動____________秒時，△ACP是直角三角形【答案】1.75或4【分析】先利用等腰三角形“三線合一”求出BD、CD以及BC邊上的高AD，再分別討論∠PAC和∠APC為直角的情況，利用勾股定理分別求出兩種情況下PB的長，即可求出所需時間．【詳解】解：如圖，作AD⊥BC，∵AB=AC=5cm，BC=8cm，∴BD=CD=4cm，

當(dāng)點P運動到與點D重合時，是直角三角形，此時BP=4，∴運動時間為4÷1=4（秒）；當(dāng)∠PAC=90°時，設(shè)PD=x∴，又∵，∴，∴，∴BP=4－2.25=1.75，所以運動時間為1.75÷1=1.75（秒）；綜上可得：當(dāng)P運動4秒或1.75秒時，是直角三角形；故答案為：1.75或4．【點睛】本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等內(nèi)容，要求學(xué)生能通過做輔助線構(gòu)造直角三角形，列出關(guān)系式，求出對應(yīng)線段的長，本題蘊含了分類討論的思想方法．3．（2021·安徽八年級期中）《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾．”(注：1步＝5尺)譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺(水平距離)時，秋千的踏板就和人一樣高，這個人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，問繩索有多長．”【答案】尺【分析】設(shè)秋千的繩索長為x尺，根據(jù)題意可得AB=（x-4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2，解之即可．【詳解】解：設(shè)秋千的繩索長為x尺，根據(jù)題意可列方程為：x2=102+（x-4）2，解得：x=，∴秋千的繩索長為尺．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出AB、AC的長，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．4．（2021·河南八年級期末）如圖，數(shù)學(xué)興趣小組要測量學(xué)校旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段（如圖1），同學(xué)們首先測量了多出的這段繩子長度為1米，再將繩子拉直（如圖2），測出繩子末端C到旗桿底部B的距離為5米，則旗杅的高度為（）米．A．5 B．12 C．13 D．17【答案】B【分析】因為旗桿、繩子、地面正好構(gòu)成直角三角形，設(shè)旗桿的高度為x米，則繩子的長度為（x+1）米，根據(jù)勾股定理即可求得旗桿的高度．【詳解】解：設(shè)旗桿的高度AB為x米，則繩子AC的長度為（x+1）米，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗桿的高度為12米．故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，理解題意設(shè)未知數(shù)列方程是解題的關(guān)鍵．5．（2021·江西八年級期中）如圖，在中，，，，的垂直平分線分別交、于點，．（1）求的長度；（2）求的長．【答案】（1）15；（2）【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）設(shè)，則AE=12-x，根據(jù)勾股定理列方程，即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）在中，∵，，，∴．（2）∵垂直平分，∴，設(shè)，則，在中，∵，∴，解得．∴．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2021·安徽八年級期末）如圖，在△ABC中．D是AB邊的中點，DE⊥AB于點D，交AC于點E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）試說明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的長．【答案】（1）見解析；（2）2.8．【分析】（1）連接BE，依據(jù)DE垂直平分AB，即可得到AE＝BE，再根據(jù)AE2﹣CE2＝BC2，可得BE2﹣CE2＝BC2，進(jìn)而得到△BCE是直角三角形；（2）依據(jù)勾股定理可得BE的長為10，再根據(jù)勾股定理即可得到方程，解方程即可得出CE的長．【詳解】解：（1）如圖所示，連接BE，∵D是AB邊的中點，DE⊥AB于點D，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，又∵AE2﹣CE2＝BC2，∴BE2﹣CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°；（2）Rt△BDE中，∴AE＝10，設(shè)CE＝x，則AC＝10+x，而AB＝2BD＝16，Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝Rt△BCE中，BC2＝EB2﹣EC2＝∴解得x＝2.8，∴CE＝2.8．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理和勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.題型6.三角形和矩形中的翻折、旋轉(zhuǎn)問題解題技巧：勾股定理在有關(guān)圖形折疊計算的問題中的共同方法是：在圖形中找到一個直角三角形，然后設(shè)圖形中某一未知數(shù)為x，將此三角形中的三邊長用具體數(shù)或含x的代數(shù)式表示，再利用勾股定理列出方程，從而得出要求的線段的長度。1．（2021·江蘇九年級專題練習(xí)）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使D點與BC邊的中點D′重合．若BC=8，CD=6，則CF的長為_________________．【答案】【分析】設(shè)，在中利用勾股定理求出x即可解決問題．【詳解】解：∵是的中點，，，∴，由折疊的性質(zhì)知：，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得：，即：，解得，∴．故答案為：【點睛】本題考查翻折變換、勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用翻折不變性解決問題，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，利用方程的去思考問題，屬于中考?？碱}型．2．（2021·四川成都市·八年級期末）如圖，在長方形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝3，點P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點C落在點E處，PE，DE分別交AB于點G，F(xiàn)，若GE＝GB，則CP的長為____．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、GE=GB可得出△GEF≌△GBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出GF=GP、EF=BP，設(shè)BF=EP=CP=x，則AF=4-x，BP=3-x=EF，DF=DE-EF=4-（3-x）=x+1，在Rt△ADF中，依據(jù)AF2+AD2=DF2，可得到x的值．【詳解】解：根據(jù)折疊可知：△DCP≌△DEP，∴DC=DE=4，CP=EP．在△GEF和△GBP中，，∴△OEF≌△OBP（ASA），∴EF=BP，GF=GP，∴BF=EP=CP，設(shè)BF=EP=CP=x，則AF=4-x，BP=3-x=EF，DF=DE-EF=4-（3-x）=x+1，∵∠A=90°，∴Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2，∴（4-x）2+32=（1+x）2，∴x=，∴CP=，故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，設(shè)要求的線段長為x，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程是解決問題的關(guān)鍵．3．（2021·成都西川中學(xué)八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點E是AB邊上一點．將△CEB沿直線CE折疊到△CEF，使點B與點F重合．當(dāng)CF⊥AB時，線段EB的長為_____．【答案】2【分析】設(shè)CF與AB交于點H，利用勾股定理求出AB，利用面積法求出CH，求出HF和BH，設(shè)BE=EF=x，在△EHF中利用勾股定理列出方程，解之即可．【詳解】解：設(shè)CF與AB交于點H，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∴S△ABC=，即，∴CH=，由折疊可知：CF=CB=4，∴HF=CF-CH=，在△BCH中，BH=，設(shè)BE=EF=x，則EH=-x，在△EHF中，，∴，解得：x=2，∴EB=2，故答案為：2．【點睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用折疊的性質(zhì)得到相等線段，利用勾股定理列出方程．4．（2021·貴州九年級）如圖，矩形中，，，將矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形，邊與交于點，延長交于點，若，則的長為______．【答案】【分析】連接，過點作，設(shè)，分別解得的長，繼而證明，由全等三角形的性質(zhì)得到，由此解得，最后在中，利用勾股定理解得的值，據(jù)此解題．【詳解】如圖，連接，過點作，設(shè)，則矩形中在與中，在中，，故答案為：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．5．（2021·四川八年級期末）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝9.折疊△ACB，使點A與BC的中點D重合，折痕交AB于E，交AC于點F，則CF＝___．【答案】4【分析】由題可知CD=3，由折疊的性質(zhì)可知AF=FD，設(shè),則，在Rt中利用勾股定理列方程，即可求得答案．【詳解】∵D為BC中點，BC=6,∴,由折疊可知AF=DF，設(shè)，∵AC=9,∴，又∵∴在Rt中，,即：解得：，則CF=故填：4．【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱的性質(zhì)和勾股定理．6．（2021·沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)八年級月考）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使D點與BC邊的中點D′重合．若BC=8，CD=6，則CF的長為_________________．【答案】【分析】設(shè)，在中利用勾股定理求出x即可解決問題．【詳解】解：∵是的中點，，，∴，由折疊的性質(zhì)知：，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得：，即：，解得，∴．故答案為：【點睛】本題考查翻折變換、勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用翻折不變性解決問題，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，利用方程的去思考問題，屬于中考?？碱}型．題型7.勾股數(shù)有關(guān)問題解題技巧：常見勾股數(shù)有：（3,4,5）；（6,8,10）；（5,12,13）；勾股數(shù)組規(guī)律：（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）21．（2021·湖北）世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)組公式為a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m，n（m＞n）是互質(zhì)的奇數(shù)，則a，b，c為勾股數(shù)．我們令n＝1，得到下列順序排列的等式：①32＋42＝52，②52＋122＝132，③72＋242＝252，④92＋402＝412，…根據(jù)規(guī)律寫出第⑥個等式為______________．【答案】132＋842＝852【分析】通過觀察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在觀察各底數(shù)的特點，找到規(guī)律即可得出第⑥個等式．【詳解】解：∵3＝2×1＋1，5＝2×2＋1，7＝2×3＋1，9＝2×4＋1，∴第一個數(shù)的底數(shù)是2n＋1，指數(shù)是2，∵4＝2×12＋2×1，12＝2×22＋2×2，24＝2×32＋2×3，40＝2×42＋2×4，∴第二個數(shù)的底數(shù)是2n2＋2n，指數(shù)是2，∵第三個數(shù)的底數(shù)比第二個數(shù)的底數(shù)大1，指數(shù)是2，∴第n個等式為（2n＋1）2＋（2n2＋2n）2＝（2n2＋2n＋1）2，∴第⑥個等式為132＋842＝852，故答案為：132＋842＝852.【點睛】本題主要考查了整式的數(shù)字規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到每一組數(shù)據(jù)的規(guī)律.2．（2021·南寧市第八中學(xué)八年級月考）可以構(gòu)成直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)a，b，c，稱為勾股數(shù)世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)公式為其中m＞n＞0，m、n是互質(zhì)的奇數(shù)，當(dāng)n＝1時，則有一邊長為13的直角三角形的另外兩條邊長為___．【答案】5,12或84,85．【分析】利用分類思想，整數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】當(dāng)n=1時，得，當(dāng)a=13時，得=13，即，解得m=，∵m是正整數(shù)，∴m=舍去；當(dāng)b=13時，即m=13，得a==84，c==85；當(dāng)c=13時，得=13，即，解得m=，∵m是正整數(shù)，∴m=-5舍去，∴m=5,∴a==12，∴b=5,故答案為：5,12或84,85．【點睛】本題考查了勾股數(shù)，熟練運用分類思想，整數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·安徽八年級期中）在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識時，愛動腦的小明設(shè)計了如下表格：n23456....a4581012.....b38152435.....c510172637......請回答下列問題：（1）當(dāng)n＝7時，a＝，b＝，c＝；（2）請你分別觀察a，b，c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n（n＞1）的代數(shù)式表示：a＝，b＝，c＝；（3）猜想：以a，b，c為邊長的三角形是否為直角三角形？并對你的猜想加以證明．【答案】（1）14，48，50；（2）；（3）是，證明見解析【分析】（1）觀察表格，即可得出n=7時a、b、c的值；（2）利用圖表可以發(fā)現(xiàn)a，b，c與n的關(guān)系，a與c正好是n2加、減1，即可得出答案；（3）計算出a2+b2的