專題01 三角形的初步認(rèn)識(shí)（知識(shí)串講+熱考題型+真題訓(xùn)練）（解析版）

專題01三角形的初步認(rèn)識(shí)【考點(diǎn)1】三角形．【考點(diǎn)2】三角形三邊關(guān)系．【考點(diǎn)3】三角形的穩(wěn)定性；線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短【考點(diǎn)4】三角形的角平分線、中線和高．【考點(diǎn)5】三角形內(nèi)角和定理．【考點(diǎn)6】三角形的外角性質(zhì)．【考點(diǎn)7】全等圖形．【考點(diǎn)8】全等三角形的性質(zhì)．【考點(diǎn)9】全等三角形的判定．【考點(diǎn)10】全等三角形的判定與性質(zhì)．【考點(diǎn)11】全等三角形的應(yīng)用．【考點(diǎn)12】角平分線的性質(zhì)．【考點(diǎn)13】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【考點(diǎn)14】線段垂直平分線的性質(zhì)．知識(shí)點(diǎn)1三角形的概念由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形；記作：△ABC，如圖：其中：線段AB，AC，CA是三角形的邊，A，B，C是三角形的頂點(diǎn)，∠A，∠B，∠C是相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角．知識(shí)點(diǎn)2三角形的分類：等腰三角形：在等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。知識(shí)點(diǎn)3三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊?！就卣梗喝呹P(guān)系的運(yùn)用】①判斷三條線段能否組成三角形；②當(dāng)已知三角形的兩邊長時(shí)，可求第三邊的取值范圍。知識(shí)點(diǎn)4三角形的穩(wěn)定性①三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性。三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形沒有穩(wěn)定性。②三角形的穩(wěn)定性有廣泛的運(yùn)用：橋梁、起重機(jī)、人字形屋頂、桌椅等知識(shí)點(diǎn)5三角形的重要線段知識(shí)點(diǎn)6三角形的內(nèi)角①三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180度。②證明方法：剪拼成平角、通過做平行線構(gòu)造平角、構(gòu)造兩平行線下的同旁內(nèi)角。測(cè)量法：剪角拼角法：知識(shí)點(diǎn)7直角三角形：①直角三角形的兩個(gè)角互余。直角三角形用符號(hào)“Rt△”表示，如Rt△ABC。②有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形知識(shí)點(diǎn)8三角形的外角①定義：三角形的一邊與另一條邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角②結(jié)論：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和；三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)角。知識(shí)點(diǎn)9命題、定理、證明知識(shí)點(diǎn)10：全等圖形全等形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。（一）全等形的形狀相同，大小相等，與圖形所在的位置無關(guān)。（二）兩個(gè)全等形的面積一定相等，但面積相等的兩個(gè)圖形不一定是全等形。（三）一個(gè)圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，形狀、大小都沒有改變，只是位置發(fā)生了變化，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。知識(shí)點(diǎn)11：全等多邊形（1）定義：能夠完全重合的兩個(gè)多邊形叫做全等多邊形.相互重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，相互重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，相互重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.（2）性質(zhì)：全等多邊形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.（3）判定：邊、角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)多邊形全等.知識(shí)點(diǎn)12：全等三角形（一）全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。（二）全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素1、概念：把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)：點(diǎn)A與點(diǎn)D，點(diǎn)B與點(diǎn)E，點(diǎn)C與點(diǎn)F。對(duì)應(yīng)邊：AB與DE，AC與DF，BC與EF。對(duì)應(yīng)角：∠A與∠D，∠B與∠E，∠C與∠F。2、對(duì)應(yīng)元素的確定方法（1）字母順序確定法∶根據(jù)書寫規(guī)范，按照對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角。（2）圖形位置確定法①公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊；②公共角一定是對(duì)應(yīng)角；③對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角;（3）圖形大小確定法∶兩個(gè)全等三角形的最大的邊（角）是對(duì)應(yīng)邊（角），最小的邊（角）是對(duì)應(yīng)邊（角）。（三）全等三角形的表示：全等用符號(hào)“≌”表示，讀作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，記作△ABC≌△DEF。記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。知識(shí)點(diǎn)13：全等三角形的性質(zhì)（一）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。（二）全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線分別相等，對(duì)應(yīng)角的平分線相等，面積相等，周長相等。∵△ABC≌△DEF∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）。∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）。知識(shí)點(diǎn)14：判定全等三角形1.邊邊邊（SSS）1、三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。2.（邊角邊SAS）（1）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')①以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C、D。②畫一條射線O'A'，以點(diǎn)O'為圓心，OC長為半徑畫弧，交O'A'于點(diǎn)C'。③以點(diǎn)C'為圓心，CD長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧相交于點(diǎn)D';④過點(diǎn)D'畫射線O'B'，則∠A'O'B'=∠AOB。（2）兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）。3.（角邊角ASA）兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）。4.（角角邊AAS）兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成"角角邊"或"AAS"）。5.（直角邊、斜邊HL）斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡寫成"斜邊、直角邊"或"HL"）。注意：用“HL”證明兩個(gè)直角三角形全等，書寫時(shí)兩個(gè)三角形符號(hào)前面要加上“Rt”。知識(shí)點(diǎn)15角的平分線的性質(zhì)（一）作已知角的平分線（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分線）1、以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N。2、分別以M,N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C3、畫射線OC，射線OC即為所求。（二）角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。幾何表示：∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E?！郟D=PE。知識(shí)點(diǎn)16角的平分線的判定角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。幾何表示：∵點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上。重要拓展：1、三角形的三條角平分線相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，且該點(diǎn)到三角形三邊的距離相等。反之，三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點(diǎn)是該三角形三條角平分線的交點(diǎn)。2、三角形的角平分線與三角形一邊交于一點(diǎn)，這條角平分線把三角形分成兩個(gè)小三角形，它們的面積比等于另外兩邊的長度的比?！逜D是∠BAC的角平分線；∴DF=DE；∵S△ADB=1∴S△ADBS△ADC知識(shí)點(diǎn)17：線段垂直平分線1.定義經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線。2.線段垂直平分線的作圖1.分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn)；2.作直線CD，CD為所求直線知識(shí)點(diǎn)18：線段垂直平分線性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.【考點(diǎn)1】三角形．1．（2022春?承德縣期末）如圖，一只手握住了一個(gè)三角形的一部分，則這個(gè)三角形是（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．以上都有可能【答案】D【分析】由三角形的內(nèi)角和是180度進(jìn)行推理．【解答】解：已知一內(nèi)角為36°的三角形，由于36°＜90°，所以該三角形的另一內(nèi)角可以為大于等于90°的角，也可以是小于90°的角，則該三角形既可以為鈍角三角形、直角三角形也可以為銳角三角形．故選：D．2．（2022秋?牡丹江期中）如圖所示的圖形中，三角形共有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)三角形的概念數(shù)出個(gè)數(shù)解答即可．【解答】解：三角形的個(gè)數(shù)有△BED，△AED，△ADC，△ABD，△ABC，故選：C．3．（2022?石家莊二模）下列圖形中，是直角三角形的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和直角三角形的判定解答即可．【解答】解：A、第三個(gè)角的度數(shù)是180°﹣60°﹣60°＝60°，是等邊三角形，不符合題意；B、第三個(gè)角的度數(shù)是180°﹣55.5°﹣34.5°＝90°，是直角三角形，符合題意；C、第三個(gè)角的度數(shù)是180°﹣30°﹣30°＝120°，是鈍角三角形，不符合題意；D、第三個(gè)角的度數(shù)是180°﹣40°﹣62.5°＝77.5°，不是直角三角形，不符合題意；故選：B．4．（2022秋?民權(quán)縣月考）關(guān)于三角形的分類，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則（）A．甲、乙兩種分法均正確 B．甲、乙兩種分法均錯(cuò)誤 C．甲的分法錯(cuò)誤，乙的分法正確 D．甲的分法正確，乙的分法錯(cuò)誤【答案】D【分析】給出知識(shí)樹，分析其中的錯(cuò)誤，這就要求平時(shí)學(xué)習(xí)扎實(shí)認(rèn)真，概念掌握的準(zhǔn)確．【解答】解：甲分法正確，乙正確的分類應(yīng)該為：，故選：D．【考點(diǎn)2】三角形三邊關(guān)系．5．（2023春?泗洪縣期中）用一根小木棒與兩根長分別為3cm，6cm的小木棒圍成一個(gè)三角形，則這根小木棒的長度可以為（）A．1cm B．3cm C．5cm D．9cm【答案】C【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；即可求第三根木條的取值范圍．【解答】解：設(shè)第三根木棒長為xcm，由三角形三邊關(guān)系定理得6﹣3＜x＜6+3，所以x的取值范圍是3＜x＜9，觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)D符合題意．故選：C．6．（2023春?南崗區(qū)校級(jí)期中）以下列各組線段為邊，能構(gòu)成三角形的是（）A．2，6，3 B．6，7，8 C．1，7，9 D．【答案】B【分析】利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：A、3+2＜6，不能組成三角形，不符合題意；B、6+7＞8，能組成三角形，符合題意；C、1+7＜9，不能組成三角形，不符合題意；D、+＝4，不能組成三角形，不符合題意．故選：B．7．（2023春?大竹縣校級(jí)期末）已知三條線段的長分別是3，8，a若它們能構(gòu)成三角形，則整數(shù)a的最大值是（）A．11 B．10 C．9 D．7【答案】B【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的取值范圍，進(jìn)而解答即可．【解答】解：∵三條線段的長分別是3，8，a，它們能構(gòu)成三角形，∴8﹣3＜a＜8+3，∴5＜a＜11，∴整數(shù)m的最大值是10．故選：B．8．（2023春?唐河縣期末）如圖，為估計(jì)池塘岸邊A、B兩點(diǎn)的距離，小明在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，測(cè)得OA＝10米，OB＝8米，A、B間的距離不可能是（）A．12米 B．10米 C．20米 D．8米【答案】C【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，第三邊的長一定大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和，求得相應(yīng)范圍，看哪個(gè)數(shù)值不在范圍即可．【解答】解：∵10﹣8＜AB＜10+8，∴2＜AB＜18，∴不可能是20米．故選：C．9．（2023春?威寧縣期末）已知a，b、c是△ABC的三條邊長，化簡|a﹣b﹣c|﹣|c﹣a+b|的結(jié)果為（）A．2a﹣2b﹣2c B．2a+2b C．﹣2c D．0【答案】D【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到a﹣b﹣c＜0，c﹣a+b＞0，再去絕對(duì)值，合并同類項(xiàng)即可求解．【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三條邊長，∴a﹣b﹣c＜0，c﹣a+b＞0，∴|a﹣b﹣c|﹣|c﹣a+b|＝﹣a+b+c﹣c+a﹣b＝0．故選：D．10．（2023春?秀英區(qū)校級(jí)月考）已知三角形的三邊長分別是3，8，x，若x的值為奇數(shù)，則x的值可以是（）A．5 B．7 C．11 D．13【答案】B【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和＞第三邊，任意兩邊之差＜第三邊”，求得x的取值范圍，再進(jìn)一步根據(jù)x是奇數(shù)求解．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得8﹣3＜x＜8+3，即5＜x＜11，又x是奇數(shù)，則x＝7或9．故選：B．【考點(diǎn)3】三角形的穩(wěn)定性；線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短12．（2022秋?新華區(qū)校級(jí)期末）下列圖形具有穩(wěn)定性的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答．【解答】解：三角形、四邊形、五邊形及六邊形中只有三角形具有穩(wěn)定性．故選：A【考點(diǎn)4】三角形的角平分線、中線和高．13．（2022秋?新豐縣期末）在△ABC中，畫出邊AC上的高，畫法正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)高的定義對(duì)各個(gè)圖形觀察后解答即可．【解答】解：根據(jù)三角形高線的定義，AC邊上的高是過點(diǎn)B向AC作垂線段垂足為E，縱觀各圖形，A、B、D選項(xiàng)都不符合高線的定義，C選項(xiàng)符合高線的定義．故選：C．14．（2023春?綏德縣期末）如圖，在△ABC中，BD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線，若AE＝3，則AC的長度為（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】D【分析】根據(jù)中線的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵BE是△ABD的中線，∴AD＝2AE＝6，∵BD是△ABC的中線，∴AC＝2AD＝12，故選：D．15．（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AD是△ABC的中線，AB＝5，AC＝4．若△ACD的周長為10，則△ABD的周長為（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】根據(jù)三角形的中線的概念得到BD＝DC，再根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵△ACD的周長為10，∴AC+AD+CD＝10，∵AC＝4，∴AD+CD＝6，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∵AB＝5，∴△ABD的周長＝AB+AD+CD＝11，故選：D．16．（2022春?大東區(qū)期末）在三角形中，一定能將其面積分成相等兩部分的是（）A．中線 B．高線 C．角平分線 D．某一邊的垂直平分線【答案】A【分析】根據(jù)三角形的中線的概念、三角形的面積公式解答即可．【解答】解：根據(jù)同底等高的兩個(gè)三角形面積相等可知，在三角形中，三角形的中線一定能將其面積分成相等兩部分，故選：A．17．（2022春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)．若△ABC的面積等于8，則△BDE的面積等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，△ABC的面積等于8，∴S△ABD＝S△ABC＝4，∵E是AB的中點(diǎn)，∴S△BDE＝S△ABD＝4＝2，故選：A．【考點(diǎn)5】三角形內(nèi)角和定理．18．（2023春?樂山期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝40°，CD是∠ACB的平分線，則∠ADC＝（）A．80° B．75° C．70° D．60°【答案】C【分析】由三角形的內(nèi)角和定理可得∠ACB＝60°，再由角平分線的定義可得∠ACD＝30°，再次利用三角形的內(nèi)角和即可求∠ADC的度數(shù)．【解答】解：∵∠BAC＝80°，∠B＝40°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝60°，∵CD是∠ACB的平分線，∴∠ACD＝∠ACB＝30°，∴∠ADC＝180°﹣∠ACD﹣∠BAC＝70°．故選：C．19．（2023春?朝陽區(qū)校級(jí)期中）如圖，CE是△ADC的邊AD上的高．若∠BAD＝40°，∠ECD＝25°，則∠B的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】B【分析】先根據(jù)CE是△ADC的邊AD上的高可知∠CED＝90°，再由∠ECD＝25°可得出∠CDE的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵CE是△ADC邊AD上的高，∠BAD＝40°，∴∠CED＝90°，∵∠ECD＝25°，∴∠EDC＝90°﹣25°＝65°，∴∠B＝∠EDC﹣∠BAD＝65°﹣40°＝25°．故選：B．20．（2023春?臨清市期末）如圖，已知EF∥GH，Rt△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B分別在直線GH，EF上，∠C＝90°，AC交EF于點(diǎn)D，若BD平分∠ABC，∠BAH＝32°．則∠BAC的度數(shù)為（）A．32° B．26° C．34° D．28°【答案】B【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DBA＝∠BAH＝32°，再利用角平分線的定義得到∠ABC＝64°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算∠BAC的度數(shù)．【解答】解：∵EF∥GH，∴∠DBA＝∠BAH＝32°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠DBA＝2×32°＝64°，∵∠C+∠ABC+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣90°﹣64°＝26°．故選：B．21．（2023春?偃師市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，將△BDC沿CD折疊，點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)B′處，若∠ADB′＝20°，則∠A的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．35° D．40°【答案】C【分析】利用翻折不變性，三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵△CDB′是由△CDB翻折得到，∴∠CB′D＝∠B，∵∠CB′D＝∠A+∠ADB′＝∠A+20°，∴∠A+∠A+20°＝90°，解得∠A＝35°．故選：C．22．（2023春?伊犁州期末）如圖，某位同學(xué)將一副三角板隨意擺放在桌上，則圖中∠1+∠2的度數(shù)是（）A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】C【分析】由題意可得∠A＝90°，利用對(duì)頂角相等得∠ABC＝∠1，∠ACB＝∠2，再利用三角形的內(nèi)角和即可求解．【解答】解：如圖，由題意得：∠A＝90°，∵∠ABC＝∠1，∠ACB＝∠2，∴∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB，在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝90°，即∠1+∠2＝90°．故選：C．23．（2023春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）已知，如圖，AB∥CD，將一副三角尺如圖擺放，讓一個(gè)頂點(diǎn)和一條邊分別放在AB和CD上，則∠AEF＝（）A．10° B．12° C．15° D．18°【答案】C【分析】過點(diǎn)F作FG∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CFG＝120°，進(jìn)而得出∠GFD＝30°，∠EFG＝15°，根據(jù)FG∥AG，即可求解．【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)F作FG∥AB，∵AB∥CD，∴FG∥AB∥CD，∵∠FCD＝60°，∴∠CFG＝180°﹣∠FCD＝120°，∵∠CFD＝90°，∴∠GFD＝∠CFG﹣∠DFC＝120°﹣90°＝30°，∵∠EFD＝45°，∴∠EFG＝∠EFD﹣∠GFD＝45°﹣30°＝15°，∵FG∥AB，∴∠AEF＝∠EFG＝15°．故選：C．24．（2023春?惠山區(qū)期中）如圖，△ABC中，D是AC上一點(diǎn)，過D作DE∥BC交AB于E點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，連接DF．若∠1＝∠AED．（1）求證：DF∥AB．（2）若∠1＝50°，DF平分∠CDE，求∠A的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析．（2）∠A＝50°．【分析】（1）因?yàn)镈E∥BC，可知∠B＝∠AED，再根據(jù)∠1＝∠AED，可知∠1＝∠B，進(jìn)而可證明DF∥AB．（2）由DE∥BC可知∠EDF＝∠1，再根據(jù)DF平分∠CDE可求∠EDC，再由三角形外角的性質(zhì)可求∠A．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴∠B＝∠AED，∵∠1＝∠AED，∴∠1＝∠B，∴DF∥AB．（2）∵DE∥BC，∴∠EDF＝∠1＝50°，∵DF平分∠CDE，∴∠EDC＝2∠EDF＝100°，∴∠A＝∠EDC﹣∠AED＝∠EDC﹣∠1＝100°﹣50°＝50°．25．（2022秋?海珠區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠C＝70°．（1）∠AOB的度數(shù)為125°；（2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度數(shù)．【答案】（1）125°；（2）∠DAE＝5°．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC），根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝110°，進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠DAC，∠BAC，根據(jù)AE是∠BAC的角平分線，得出∠CAE＝∠CAB＝25°，根據(jù)∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD，即可求解．【解答】（1）解：∵AE、BF是∠BAC、∠ABC的角平分線，∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC），在△ABC中，∠C＝70°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝110°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝125°．故答案為：125°；（2）解：∵在△ABC中，AD是高，∠C＝70°，∠ABC＝60°，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝50°∵AE是∠BAC的角平分線，∴∠CAE＝∠CAB＝25°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°，∴∠DAE＝5°．【考點(diǎn)6】三角形的外角性質(zhì)．26．（2023春?唐山期末）如圖，∠CBD是△ABC的一個(gè)外角，∠CBD＝80°，∠A＝35°，則∠C＝（）A．35° B．40° C．45° D．55°【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可知∠CBD＝∠A+∠C，據(jù)此可求得答案．【解答】解：∵∠CBD是△ABC的一個(gè)外角，∴∠CBD＝∠A+∠C．∴∠C＝∠CBD﹣∠A＝80°﹣35°＝45°．故選：C．27．（2022秋?新華區(qū)校級(jí)期末）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠A+∠P＝（）A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義以及一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可求出∠A的度數(shù)，根據(jù)補(bǔ)角的定義求出∠ACB的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出∠P的度數(shù)，即可求出結(jié)果．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，∴∠A+∠P＝90°，故選：C．28．（2023春?商水縣期末）將一副三角板按如圖的方式放置，則∠1的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】A【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝15°，∠1＝∠BAC＝15°，故選：A．29．（2023春?白銀區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠BAD，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，DE恰好是∠ADB的平分線，則∠B的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．30° D．75°【答案】C【分析】先得出∠CAD＝∠BAD，再根據(jù)等腰三角形的判定得出AD＝DB，推出∠B＝∠EAD，進(jìn)而得出∠CAD＝∠EAD＝∠B，根據(jù)∠CAD+∠EAD+∠B＝90°，即可得出答案．【解答】解：∵∠BAC＝2∠BAD，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠CAD＝∠BAD，∵DE是∠ADB的平分線，DE⊥AB，∴AD＝DB，∴∠B＝∠EAD，∴∠CAD＝∠EAD＝∠B，∵∠CAD+∠EAD+∠B＝90°，∴∠B＝30°，故選：C．【考點(diǎn)7】全等圖形．30．（2022春?濟(jì)南期中）下列各選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形屬于全等形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用全等圖形的概念可得答案．【解答】解：A、兩個(gè)圖形能夠完全重合，是全等圖形，符合題意；B、兩個(gè)圖形大小不同，不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；C、兩個(gè)圖形大小不同，不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；D、兩個(gè)圖形形狀不同，不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；故選：A．31．（2022秋?東營區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC≌△BAD，A和B，C和D分別是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，若AB＝6cm，AC＝4cm，BC＝5cm，則AD的長為（）A．4cm B．5cm C．6cm D．以上都不對(duì)【答案】B【分析】由△ABC≌△BAD，A和B，C和D分別是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，知AD和BC是對(duì)應(yīng)邊，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得．【解答】解：∵△ABC≌△BAD，A和B，C和D分別是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)∴AD＝BC＝5cm．故選：B．32．（2022秋?泗洪縣期中）全等圖形是指兩個(gè)圖形（）A．面積相等 B．形狀一樣 C．能完全重合 D．周長相同【答案】C【分析】利用全等圖形的定義可得答案．【解答】解：全等圖形是指兩個(gè)圖形能完全重合，故選：C．33．（2022秋?禹州市期中）如圖所示的圖案是由全等的圖形拼成的，其中AD＝0.8，BC＝1.6，則AF＝（）A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8【答案】B【分析】由圖形知，所示的圖案是由梯形ABCD和七個(gè)與它全等的梯形拼接而成，根據(jù)全等圖形的性質(zhì)有AF＝4AD+4BC＝4×0.8+4×1.6＝9.6．【解答】解：由題可知，圖中有8個(gè)全等的梯形，所以AF＝4AD+4BC＝4×0.8+4×1.6＝9.6，故選：B．34．（2023春?綠園區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD≌四邊形A'B'C'D'，則∠A的度數(shù)是95°．?【答案】95．【分析】利用相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，∴∠D＝∠D′＝130°，∴∠C′＝360°﹣130°﹣60°﹣75°＝95°∴∠α＝∠C′＝95°，故答案為：95．【考點(diǎn)8】全等三角形的性質(zhì)．35．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，△ABC≌△DEC，點(diǎn)E在AB上，AC與DE相交于點(diǎn)F，∠BCE＝40°．則∠AED的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】A【分析】由△ABC≌△DEC，得∠DEC＝∠B＝73°，BC＝EC，再求出∠CEB＝∠B，最后根據(jù)平角的性質(zhì)即可得答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴BC＝EC，∠CED＝∠B，∴∠CEB＝∠B，∵∠BCE＝40°，∴∠CEB＝∠B＝＝70°，∴∠AED＝180°﹣∠DEC﹣∠CEB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故選：A．36.（2022秋?長春期末）若△ABC≌△DEF，則根據(jù)圖中提供的信息，可得出x的值為（）A．30 B．27 C．35 D．40【答案】A【分析】直接利用全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝30，故選：A．37．（2023春?北林區(qū)期末）如圖，△AOB≌△DOC，△AOB的周長為10，且BC＝4，則△DBC的周長為（）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】C【分析】由全等三角形的性質(zhì)得出△DOC的周長為10，進(jìn)而得出△DBC的周長＝△DOC的周長+BC即可．【解答】解：∵△AOB≌△DOC，△AOB的周長為10，∴△DOC的周長為10，OB＝OC，∴△DBC的周長＝DO+OB+DC+BC＝DO+OC+DC+BC＝△DOC的周長+BC＝10+4＝14．故選：C．38．（2022秋?襄州區(qū)期末）如圖所示，兩個(gè)三角形全等，則∠α等于（）A．72° B．60° C．58° D．50°【答案】D【分析】根據(jù)圖形得出DE＝AB＝a，DF＝AC＝c，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠D＝∠A＝50°，即可得出選項(xiàng)．【解答】解：∵DE＝AB＝a，DF＝AC＝c，又∵△ABC和△DEF全等，∴∠D＝∠A＝50°，∴∠α＝50°，故選：D．39．（2023春?撫順期末）如圖，兩個(gè)全等的直角三角形重疊在一起，將其中的一個(gè)三角形沿著點(diǎn)B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝6，DO＝2，平移距離為4，則陰影部分面積為（）A．20 B．24 C．28 D．30【答案】A【分析】根據(jù)平移性質(zhì)得到陰影部分面積等于梯形ABEO的面積，然后利用梯形面積公式求解即可．【解答】解：由平移性質(zhì)得△ABC≌△DEF，BE＝4，DE＝AB＝6，AB∥DE，∴S△ABC＝S△DEF，OE＝DE﹣DO＝4，∠ABC＝∠DEF＝90°，∴S陰影面積＝S△DEF﹣S△OEC＝S△ABC﹣S△OEC＝S梯形ABEO＝＝20，故選：A．40．（2022秋?德城區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E在AC上，△ABC≌△DAE，BC＝3，DE＝7，則CE的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵△ABC≌△DAE，∴AE＝BC＝3，AC＝DE＝7，∴CE＝AC﹣AE＝7﹣3＝4，故選：C．【考點(diǎn)9】全等三角形的判定．41．（2023?涼山州）如圖，點(diǎn)E、點(diǎn)F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一個(gè)條件，不能證明△ABF≌△DCE的是（）A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE【答案】D【分析】根據(jù)BE＝CF求出BF＝CE，再根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行分析即可．【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∴當(dāng)∠A＝∠D時(shí)，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合題意；當(dāng)∠AFB＝∠DEC時(shí)，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合題意；當(dāng)AB＝DC時(shí)，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合題意；當(dāng)AF＝DE時(shí)，無法證明△ABF≌△DCE，故D符合題意；故選：D．42．（2023春?新晃縣期末）如圖，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，且PD＝PE，則△APD與△APE全等的直接理由是（）A．SSS B．AAS C．HL D．ASA【答案】C【分析】根據(jù)題中的條件可得△APD和△APE是直角三角形，再根據(jù)條件PD＝PE，AP＝AP，可根據(jù)HL定理判定△APD≌△APE．【解答】解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠AEP＝∠ADP＝90°，在Rt△APD和Rt△APE中，，∴Rt△APD≌Rt△APE（HL），故選：C．43．（2022秋?越秀區(qū)校級(jí)期末）如圖，小明書上的三角形被墨跡污染了一部分，他根據(jù)所學(xué)的知識(shí)很快就畫出了一個(gè)與書上完全一樣的三角形，那么小明畫圖的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】D【分析】根據(jù)圖象，三角形有兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以根據(jù)“角邊角”畫出即可．【解答】解：根據(jù)題意，三角形的兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以利用“角邊角”定理作出完全一樣的三角形．故選：D．44．（2023?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的示意圖，則說明∠CAD＝∠DAB的依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D【分析】利用三角形全等的判定證明．【解答】解：從角平分線的作法得出，△AFD與△AED的三邊全部相等，則△AFD≌△AED．故選：D．45．（2022秋?豐寧縣校級(jí)期末）工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角，具體做法如下：如圖，已知∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)M，N重合，則過角尺頂點(diǎn)C的射線OC便是∠AOB角平分線．在證明△MOC≌△NOC時(shí)運(yùn)用的判定定理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【分析】由作圖過程可得MO＝NO，NC＝MC，再加上公共邊CO＝CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．【解答】解：∵在△ONC和△OMC中，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故選：A．46．（2023春?甘州區(qū)校級(jí)期末）如圖，A，B，C，D在同一條直線上，EC＝BF，EC∥BF，在下列條件中，不能使△AEC與△DFB全等的是（）A．AE＝DF B．AB＝DC C．AE∥DF D．∠E＝∠F【答案】A【分析】由全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，即可判斷．【解答】解：由EC∥BF推出∠ACE＝∠DBF，A、EC＝BF，若AE＝DF，此時(shí)△AEC與△DFB滿足條件：兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等，不能判定△AEC與△DFB全等，故A符合題意；B、由AB＝DC，得到AC＝BD，又EC＝BF，由SAS判定△AEC與△DFB全等，故B不符合題意；C、由AE∥DF，得到∠A＝∠D，又EC＝BF，由AAS判定△ABC與△DFB全等，故C不符合題意；D、∠E＝∠F，又EC＝BF，由ASA判定△AEC與△DFB全等，故D不符合題意．故選：A．47．（2023春?朝陽區(qū)校級(jí)期末）如圖，∠A＝∠D＝90°，添加下列條件中的一個(gè)后，能判定△ABC與△DCB全等的有（）①∠ABC＝∠DCB；②∠ACB＝∠DBC；③AB＝DC；④AC＝DB．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)題意和圖形，可以得到∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，然后根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的條件，結(jié)合全等三角形的判定定理即可求解．【解答】解：①添加條件∠ABC＝∠DCB，又∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，由AAS能判定△ABC與△DCB全等，故①符合題意；②添加條件∠ACB＝∠DBC，又∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，由AAS能判定△ABC與△DCB全等，故②符合題意；③添加條件AB＝DC，又∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，由HL能判定△ABC與△DCB全等，故③符合題意；④添加條件AC＝DB，又∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，由HL能判定△ABC與△DCB全等，故④符合題意．故選：D．48．（2023?海淀區(qū)開學(xué)）如圖，已知OB＝OC，若以“SAS”為依據(jù)證明△AOB≌△DOC，還需要添加的條件是OA＝OD．【答案】OA＝OD．【分析】根據(jù)題意，對(duì)頂角∠AOB＝∠COD，若以“SAS”為依據(jù)證明△AOB≌△DOC，還需添加一個(gè)邊的信息且該邊與夾角相鄰，據(jù)此解題．【解答】解：添加條件OA＝OD．理由：在△AOB≌△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS）．故答案為：OA＝OD．49．（2023春?高新區(qū)校級(jí)期末）如圖，要測(cè)池塘兩端A，B的距離，小明先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A和B的點(diǎn)C，連接AC并延長到D，使CD＝CA；連接BC并延長到E，使CE＝CB，由△ABC和△DEC全等得到DE＝AB．那么判定其全等的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【考點(diǎn)10】全等三角形的判定與性質(zhì)．50．（2023春?達(dá)川區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，若∠1＝25°，∠2＝35°，則∠3的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．60° D．70°【答案】C【分析】先證明△BAD≌△CAE（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠1＝∠ABD，再根據(jù)外角的性質(zhì)，即可求出∠3．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠1＝∠ABD，∵∠1＝25°，∠2＝35°，∴∠3＝∠2+∠ABD＝60°，故選：C．51．（2023春?新?lián)釁^(qū)期中）如圖，直線l上有三個(gè)正方形A，B，C，若B，C的面積分別為12和5，則A的面積為（）A．7 B．8 C．13 D．17【答案】A【分析】先證明△PEF≌△FQG，得EF＝GQ，根據(jù)勾股定理得PE2+EF2＝PF2，則PE2+GQ2＝PF2，所以5+S正方形A＝12，即可求得S正方形A＝7，于是得到問題的答案．【解答】解：如圖，∵直線l上有三個(gè)正方形A，B，C，∴∠PED＝∠PFQ＝∠QGH＝90°，PF＝FQ，∴∠PEF＝∠FGQ＝90°，∴∠PFE＝∠FQG＝90°﹣∠QFG，在△PEF和△FQG中，，∴△PEF≌△FQG（AAS），∴EF＝GQ，∵PE2+EF2＝PF2，∴PE2+GQ2＝PF2，∵S正方形B＝PF2＝12，S正方形C＝PE2＝5，S正方形A＝GQ2，∴5+S正方形A＝12，∴S正方形A＝7，故選：A．52．（2023?西青區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A（3，0），B（0，﹣1），點(diǎn)C在第四象限，且AB＝BC，∠ABC＝90°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）?A．（﹣4，1） B．（1，﹣4） C．（﹣1，4） D．（4，﹣1）【答案】B【分析】過點(diǎn)C作CE⊥y軸于E，根據(jù)AAS證明△AOB與△BEC全等，進(jìn)而解答即可．【解答】解：過點(diǎn)C作CE⊥y軸于E，∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠CBE，在△AOB與△BEC中，，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴OB＝EC＝1，BE＝OA＝3，∴OE＝OB+BE＝1+3＝4，∴點(diǎn)C坐標(biāo)（1，﹣4），故選：B．53．（2023春?商河縣期末）如圖，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．連接CD，連接BE并延長交AC，AD于點(diǎn)F，G．若BE恰好平分∠ABC，則下列結(jié)論①∠ADC＝∠AEB；②CD∥AB；③DE＝GE；④CD＝BE中，正確的有（）個(gè)．?A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用AAS證明△DAC≌△EAB可得∠ADC＝∠AEB，CD＝BE，可判斷A，D選項(xiàng)正確；由全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)可求解∠ACB的度數(shù)，利用角平分線的定義求得∠ACD＝∠ABE＝36°，即可得∠ACD＝∠CAB，進(jìn)而可證明CD∥AB，即可判斷B選項(xiàng)正確，進(jìn)而可求解．【解答】解：①∵∠CAB＝∠DAE＝36°，∴∠CAB﹣∠CAE＝∠DAE﹣∠CAE，即∠DAC＝∠EAB，在△DAC和△EAB中，，∴△DAC≌△EAB（SAS），∴∠ADC＝∠AEB，故①選項(xiàng)符合題意；CD＝BE，故④選項(xiàng)符合題意；②∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠CAB＝∠DAE＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝36°，∴∠ACD＝∠ABE＝36，∵∠DCA＝∠CAB＝36°，∴CD∥AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），故②選項(xiàng)符合題意；根據(jù)已知條件無法證明DE＝GE，故③選項(xiàng)不符合題意．故選：C．54．（2023春?達(dá)川區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)AP，EF．有下列結(jié)論：①AE＝CF；②EF＝AP；③△EPF是等腰直角三角形；④S四邊形AEPF＝S△ABC，其中正確的結(jié)論是（）?A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠APC＝∠EPF＝90°，∠APF＝90°﹣∠APE＝∠BPE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PE＝PF，不能證明EF＝AP，故②錯(cuò)誤；推出△EPF為等腰直角三角形，故③正確；根據(jù)線段的弧長得到AE＝CF，故①正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到S四邊形AEPF＝S△FAP+S△APE＝S△EBP+S△APE＝S△APB＝S△ABC，故④正確．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CP＝BP，∴∠APC＝∠EPF＝90°，∠APF＝90°﹣∠APE＝∠BPE，又AP＝BP，∠FAP＝∠EBP＝45°，∴△FAP≌△EBP（ASA），∴PE＝PF，不能證明EF＝AP，故②錯(cuò)誤；∴△EPF為等腰直角三角形，故③正確；∵△FAP≌△EBP，∴AF＝BE，∵AC＝AB，∴AE＝CF，故①正確；∵△FAP≌△EBP，∴S四邊形AEPF＝S△FAP+S△APE＝S△EBP+S△APE＝S△APB＝S△ABC，故④正確；故選：C．55．（2022秋?辛集市期末）如圖，在△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，AB＞AC，∠DAB＝∠CAE＝50°連接BE，CD交于點(diǎn)F，連接AF．下列結(jié)論：①BE＝CD；②∠EFC＝50°；③AF平分∠DAE；④FA平分∠DFE．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】先由∠DAB＝∠CAE＝50°證明∠BAE＝∠DAC＝50°+∠BAC，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△BAE≌△DAC，得BE＝CD，可判斷①正確；設(shè)BE交AC于點(diǎn)G，因?yàn)椤螦EB＝∠ACD，所以∠EFC＝∠CGE﹣∠ACD＝∠CGE﹣∠ABE＝∠CAE＝50°，可判斷②正確；作AI⊥BE于點(diǎn)I，AJ⊥CD于點(diǎn)J，由S△BAE＝S△DAC得AI?BE＝AJ?CD，則AI＝AJ，即可證明FA平分∠DFE，可判斷④正確；假設(shè)∠DAF＝∠EAF，則∠DAF﹣∠DAB＝∠EAF﹣∠CAE，所以∠BAF＝∠CAF，由∠AFD＝∠AFE，∠BFD＝∠CFE，得∠AFB＝∠AFC，即可推導(dǎo)出△AFB≌△AFC，得AB＝AC，與已知條件相矛盾，可判斷③錯(cuò)誤，于是得到問題的答案．【解答】解：∵∠DAB＝∠CAE＝50°，∴∠BAE＝∠DAC＝50°+∠BAC，在△BAE和△DAC中，，∴△BAE≌△DAC（SAS），∴BE＝CD，∠AEB＝∠ACD，故①正確；設(shè)BE交AC于點(diǎn)G，∴∠EFC＝∠CGE﹣∠ACD＝∠CGE﹣∠ABE＝∠CAE＝50°，故②正確；作AI⊥BE于點(diǎn)I，AJ⊥CD于點(diǎn)J，∵S△BAE＝S△DAC，∴AI?BE＝AJ?CD，∴AI＝AJ，∴點(diǎn)A在∠DFE的平分線上，∴FA平分∠DFE，故④正確；假設(shè)∠DAF＝∠EAF，則∠DAF﹣∠DAB＝∠EAF﹣∠CAE，∴∠BAF＝∠CAF，∵∠AFD＝∠AFE，∠BFD＝∠CFE，∴∠AFD+∠BFD＝∠AFE+∠CFE，∴∠AFB＝∠AFC，在△AFB和△AFC中，，∴△AFB≌△AFC（ASA），∴AB＝AC，與已知條件相矛盾，∴∠DAF≠∠EAF，故③錯(cuò)誤，∴①②④這3個(gè)結(jié)論正確，故選：C．56．（2023春?江漢區(qū)月考）如圖，在△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，PR⊥AB，垂足為R，PS⊥AC，垂足為S，∠CAP＝∠APQ，PR＝PS，下面的結(jié)論：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正確的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A【分析】利用角平分線定理的逆定理可證AP平分∠BAC，通過等量代換得出∠BAP＝∠APQ，即可證明QP∥AR，推出②正確；利用AAS證明△RAP≌△SAP，可得AS＝AR，推出①正確；僅一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等不足以證明△BRP≌△CSP，推出③錯(cuò)誤．【解答】解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，∴AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP，∵∠CAP＝∠APQ，∴∠BAP＝∠APQ，∴QP∥AR，故②正確；在△RAP和△SAP中，，∴△RAP≌△SAP（AAS），∴AS＝AR，故①正確；∵△BRP和△CSP中，僅一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等，∴現(xiàn)有條件不能夠證明△BRP≌△CSP，故③錯(cuò)誤；綜上，正確的是①②．故選：A．57．（2022秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點(diǎn)E，且∠A＝∠D，AB＝DC．（1）求證：△ABE≌△DCE；（2）當(dāng)∠AEB＝50°，求∠EBC的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)AAS即可推出△ABE和△DCE全等；（2）根據(jù)三角形全等得出EB＝EC，推出∠EBC＝∠ECB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠AEB＝2∠EBC，代入求出即可．【解答】（1）證明：在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△DCE，∴BE＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°，∴∠EBC＝25°．58．（2023春?沈河區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)B在CD上，OB＝OD，AB＝CD，∠OBA＝∠D；（1）求證：△ABO≌△CDO；（2）當(dāng)AO∥CD，∠BOD＝30°，求∠A的度數(shù)．?【答案】（1）證明見解析；（2）30°．【分析】（1）根據(jù)SSS可證明△ABO≌△CDO；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，由平行線的性質(zhì)得出∠C＝∠AOC＝30°，則可得出答案．【解答】（1）證明：在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（SAS）；（2）解：∵△ABO≌△CDO，∴∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，∴∠AOB﹣∠COB＝∠COD﹣∠COB，∴∠AOC＝∠BOD＝30°，∵OA∥CD，∴∠C＝∠AOC＝30°，∴∠A＝30°．59．（2022秋?黔江區(qū)期末）如圖，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC與EF交于點(diǎn)O．（1）求證：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度數(shù)．【答案】（1）證明見解答；（2）78°．【分析】（1）根據(jù)HL證明兩個(gè)三角形全等；（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AE＝DB，∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，在Rt△ACB和Rt△DFE中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°，∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣51°＝39°，由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠ABC＝∠DEF．∴∠DEF＝39°，∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°．60．（2023?黃石模擬）如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD與CE交于點(diǎn)F，且AD＝CD．（1）求證：△ABD≌△CFD；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由ASA證明△ABD≌△COD即可；（2）理由全等三角形的性質(zhì)即可解決問題；【解答】（1）證明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，∴∠BAD＝∠FCD，在△ABD和CFD中，，∴△ABD≌△CFD（ASA），（2）解：∵△ABD≌△CFD，∴BD＝DF，∵BC＝7，AD＝DC＝5，∴BD＝BC﹣CD＝2，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．61．（2023?肥城市校級(jí)模擬）如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度數(shù)；（3）求證：CD＝2BF+DE．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)題意和題目中的條件可以找出△ABC≌△ADE的條件；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和等腰直角三角形的定義可以得到∠FAE的度數(shù)；（3）根據(jù)題意和三角形全等的知識(shí)，作出合適的輔助線即可證明結(jié)論成立．【解答】證明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延長BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．62．（2022秋?兩江新區(qū)期末）如圖，CD＝BE，∠C＝∠B，∠1＝∠2．（1）求證：△ABE≌△ACD．（2）若ME＝5，求DN的長度．【答案】（1）證明見解答；（2）DN＝5．【分析】（1）根據(jù)已知條件利用AAS證明△ABE≌△ACD；（2）先根據(jù)△ABE≌△ACD得出AB＝AC，∠E＝∠D，再利用ASA證明△ABM≌△ACD，然后得出AM＝AN，再證明△ADN≌△AEM，從而得出DN＝ME．【解答】（1）證明∵∠1＝∠2，∴∠BAE＝∠CAD，∵CD＝BE，∠C＝∠B，∴△ABE≌△ACD（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△ACD，∴AB＝AC，∠E＝∠D，∵∠C＝∠B，∠1＝∠2，∴△ABM≌△ACD（ASA），∴AM＝AN，∵∠DAN＝∠EAM，∠E＝∠D，∴△ADN≌△AEM（AAS），∴DN＝ME＝5．【考點(diǎn)11】全等三角形的應(yīng)用．63．（2023春?威寧縣期末）如圖，小明把一塊三角形的玻璃打碎成了四塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法（）A．選①去 B．選②去 C．選③去 D．選④去【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定，已知兩角和夾邊，就可以確定一個(gè)三角形．【解答】解：第①塊只保留了原三角形的一個(gè)角和部分邊，根據(jù)這塊不能配一塊與原來完全一樣的；第②、③只保留了原三角形的部分邊，根據(jù)這兩塊中的任一塊均不能配一塊與原來完全一樣的；第④塊不僅保留了原來三角形的兩個(gè)角還保留了一邊，則可以根據(jù)ASA來配一塊一樣的玻璃．最省事的方法是應(yīng)帶④去，故選：D．64．（2023春?建平縣期末）王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合．則兩堵木墻之間的距離DE是（）A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm【答案】C【分析】由題意易得∠ADC＝∠CEB＝90°，則有∠BCE＝∠DAC，進(jìn)而可證△ADC≌△CEB，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），故選：C．【考點(diǎn)12】角平分線的性質(zhì)．65．（2023?海淀區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，若CD＝3，AB＝8，則△ABD的面積是（）A．36 B．24 C．12 D．10【答案】C【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出DE，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD＝3，∴S△ABD＝AB?DE＝×8×3＝12．故選：C．66．（2022秋?青川縣期末）如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面積是30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，則DE的長（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DF，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：∵AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF＝30（cm2），即×13×DE+×7×DF＝30，解得DE＝DF＝3cm，故選：A．67．（2023春?高新區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知△ABC的周長是18，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝2，則△ABC的面積是（）A．6 B．9 C．18 D．36【答案】C【分析】由角平分線的性質(zhì)得到OM＝OD＝ON，由△ABC的面積＝△AOB的面積+△OBC的面積+△OAC的面積，得到△ABC的面積＝（AB+BC+AC）?OD，由△ABC的周長＝18，OD＝2，即可求出△ABC的面積＝×18×2＝18．【解答】解：過O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，∵OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，∴OM＝OD，ON＝OD，∵△ABC的面積＝△AOB的面積+△OBC的面積+△OAC的面積，∴△ABC的面積＝AB?OM+BC?OD+AC?ON＝（AB+BC+AC）?OD，∵△ABC的周長＝18，OD＝2，∴△ABC的面積＝×18×2＝18．故選：C．68．（2023春?大竹縣校級(jí)期末）有一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一座涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，則涼亭的位置應(yīng)選在（）A．△ABC三條角平分線的交點(diǎn) B．△ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn) C．△ABC三條中線的交點(diǎn) D．△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵三角形角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，∴亭的位置應(yīng)選在三角形三條角平分線的交點(diǎn)上．故選：A．69．（2022秋?大足區(qū)期末）如圖，△ABC的三邊AC、BC、AB的長分別是8、12、16，點(diǎn)O是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，則S△OAB：S△OBC：S△OAC的值為（）A．4：3：2 B．5：3：2 C．2：3：4 D．3：4：5【答案】A【分析】過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥BC于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可知OD＝OE＝OF．再由三角形的面積公式計(jì)算，作比即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥BC于點(diǎn)E，OF⊥AC于點(diǎn)F，∵點(diǎn)O是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，∴OD＝OE＝OF，∵，，，∴S△OAB：S△OBC：S△OAC＝8OD：6OE：4OF＝4：3：2．故選：A．70．（2023春?永壽縣期末）如圖，AD∥BC，∠ABC的平分線BP與∠BAD的平分線AP相交于點(diǎn)P，作PE⊥AB于點(diǎn)E，若PE＝4，則點(diǎn)P到AD與BC的距離之和為（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】過點(diǎn)P作PF⊥BC，垂足為F，延長FP交AD于點(diǎn)M，根據(jù)垂直定義可得∠BFP＝90°，從而利用平行線的性質(zhì)可得∠BFP＝∠DMP＝90°，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得PE＝PF＝PM＝4，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過點(diǎn)P作PF⊥BC，垂足為F，延長FP交AD于點(diǎn)M，∴∠BFP＝90°，∵AD∥BC，∴∠BFP＝∠DMP＝90°，∵BP平分∠ABC，PE⊥AB，PF⊥BC，∴PE＝PF＝4，∵AP平分∠BAD，PE⊥AB，PM⊥AD，∴PE＝PM＝4，∴MF＝PM+PF＝8，∴點(diǎn)P到AD與BC的距離之和為8，故選：C．71．（2022春?海陽市期末）如圖，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分線與∠CBA的角平分線相交于點(diǎn)P，且D，P，C在同一條直線上．（1）求∠PAD的度數(shù)；（2）求證：P是線段CD的中點(diǎn)．【答案】（1）30°；（2）見解答．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠C＝180°﹣∠D＝90°，∠DAB+∠ABC＝180°，再計(jì)算出∠PBC＝60°，則利用角平分線的定義得到∠ABC＝120°，所以∠DAB＝60°，然后利用角平分線的定義得到∠PAD的度數(shù)；（2）過P點(diǎn)作PE⊥AB于E點(diǎn)，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PE＝PD，PE＝PC，從而得到PD＝PC．【解答】（1）解：∵AD∥BC，∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°，∵∠CPB＝30°，∴∠PBC＝90°﹣∠B＝60°，∵PB平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠PBC＝120°，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°，∵AP平分∠DAB，∴∠PAD＝∠DAB＝30°；（2）證明：過P點(diǎn)作PE⊥AB于E點(diǎn)，如圖，∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，∴PE＝PD，∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，∴PE＝PC，∴PD＝PC，∴P是線段CD的中點(diǎn)．【考點(diǎn)13】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．72．（2021秋?漢濱區(qū)期末）如圖，D是∠EAF平分線上的一點(diǎn)，若∠ACD+∠ABD＝180°，請(qǐng)說明CD＝DB的理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】本題通過角平分線到角兩邊距離相等這一性質(zhì)，再通過三角形的全等證得．【解答】解：過點(diǎn)D分別作AE，AF的垂線，交AE于M，交AF于N則∠CMD＝∠BND＝90°，∵AD是∠EAF的平分線，∴DM＝DN，∵∠ACD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠MCD＝180°，∴∠MCD＝∠NBD，在△CDM和△BDN中，∠CMD＝∠BND＝90°，∠MCD＝∠NBD，DM＝DN，∴△CDM≌△BDN，∴CD＝DB．73．（2022秋?如皋市期中）如圖，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分線，將三角尺的直角頂點(diǎn)P在射線OM上滑動(dòng)，兩直角邊分別與OA，OB交于點(diǎn)C和D，證明：PC＝PD．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】過點(diǎn)P點(diǎn)作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根據(jù)垂直的定義得到∠PEC＝∠PFD＝90°，由OM是∠AOB的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PE＝PF，利用四邊形內(nèi)角和定理可得到∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，則∠PCE＝∠PDF，然后根據(jù)“AAS”可判斷△PCE≌△PDF，根據(jù)全等的性質(zhì)即可得到PC＝PD．【解答】證明：過點(diǎn)P點(diǎn)作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如圖，∴∠PEC＝∠PFD＝90°，∵OM是∠AOB的平分線，∴PE＝PF，∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF，在△PCE和△PDF中，∴△PCE≌△PDF（AAS），∴PC＝PD．【考點(diǎn)14】線段垂直平分線的性質(zhì)．74．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D，E，連接AE．若AD＝4，△ABC的周長為24，則△ACE的周長為（）A．12 B．16 C．18 D．20【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．【答案】B【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算即可．【解答】解：∵DE是線段AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∵AD＝4，∴AB＝2AD＝8，∵△ABC的周長＝AB+BC+AC＝24，∴BC+AC＝24﹣8＝16，∴△ACE的周長＝AC+CE+AE＝BE+CE+AC＝BC+AC＝16，故選：B．75．（2022秋?裕華區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F，連接AE，AF，若△AEF的周長為7，則BC的長是（）A．7 B．8 C．9 D．無法確定【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．【答案】A【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，F(xiàn)A＝FC，根據(jù)三角形的周長公式即可求出BC．【解答】解：∵AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，∴EA＝EB，∵AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F．∴FA＝FC，∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+AF＝△AEF的周長＝7．故選：A．76．（2023春?振興區(qū)校級(jí)期中）到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（）A．三條邊垂直平分線交點(diǎn) B．三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn) C．三條中線交點(diǎn) D．三條高交點(diǎn)【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．【答案】A【分析】根據(jù)線段垂直平分線的判定定理判斷即可．【解答】解：∵到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∴到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，故選：A．77．（2022秋?梁子湖區(qū)期末）如圖：DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，則△EBC的周長為（）厘米．A．16 B．18 C．26 D．28【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．【答案】B【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)得AE＝CE，再等量代換即可求得三角形的周長．【解答】解：∵DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，∴AE＝CE，∴△EBC的周長＝BC+BE+CE＝BC+BE+CE＝BC+AB＝10+8＝18（厘米），故選：B．78．（2023春?建平縣期末）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點(diǎn)O，這兩條垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E．（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度數(shù)；（2）已知△ADE的周長7cm，分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為15cm，求OA的長．【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì)．【答案】（1）40°；（2）4cm．【分析】（1）求出∠BAC＝110°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，EA＝EC，可求出答案；（2）連接OA，OB，OC，根據(jù)三角形的周長公式求出OB+OC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OB＝OC，計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣40°＝110°，∵DM是線段AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理，EA＝EC，∴∠EAC＝∠ACB＝40°，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝110°﹣30°﹣40°＝40°；（2）連接OA，OB，OC，∵△ADE的周長7cm∴AD+DE+EA＝7（cm），∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝7（cm）；∵△OBC的周長為15，∴OB+OC+BC＝15，∵BC＝7，∴OB+OC＝8，∵OM垂直平分AB，∴OA＝OB，同理，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC＝4（cm）．1．（2023春?東?？h月考）下列各圖中，正確畫出AC邊上的高的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形高的定義，過點(diǎn)B與AC邊垂直，且垂足在邊AC上，然后結(jié)合各選項(xiàng)圖形解答．【解答】解：根據(jù)三角形高線的定義，只有D選項(xiàng)中的BE是邊AC上的高．故選：D．2．（2022秋?和平區(qū)校級(jí)期末）如果一個(gè)三角形的兩邊長分別為2和5，則第三邊長可能是（）A．2 B．3 C．5 D．8【答案】C【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和＞第三邊，任意兩邊之差＜第三邊；可求第三邊長的范圍，再選出答案．【解答】解：設(shè)第三邊長為x，則由三角形三邊關(guān)系定理得5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7．故選：C．3．（2023春?光澤縣月考）如圖，直線AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，則∠E等于（）A．30° B．40° C．60° D．70°【答案】A【分析】先根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠1，再利用三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可求出∠E的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵AB∥CD，∠A＝70°，∴∠1＝∠A＝70°，∵∠1＝∠C+∠E，∠C＝40°，∴∠E＝∠1﹣∠C＝70°﹣40°＝30°．故選：A．4．（2022秋?海安市期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，將其折疊，使點(diǎn)A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB＝（）A．40° B．30° C．20° D．10°【答案】C【分析】在直角三角形ABC中，由∠ACB與∠A的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)，再由折疊的性質(zhì)得到∠CA′D＝∠A，而∠CA′D為三角形A′BD的外角，利用三角形的外角性質(zhì)即可求出∠A′DB的度數(shù)．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，∴∠B＝180°﹣90°﹣55°＝35°，由折疊可得：∠CA′D＝∠A＝55°，又∵∠CA′D為△A′BD的外角，∴∠CA′D＝∠B+∠A′DB，則∠A′DB＝55°﹣35°＝20°．故選：C．5．（2023春?儀征市月考）如圖，在折紙活動(dòng)中，小明制作了一張△ABC紙片，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，若∠A＝70°，則∠1+∠2＝（）A．110° B．140° C．220° D．70°【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ADE+∠AED，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，然后利用平角等于180°列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵∠A＝70°，∴∠ADE+∠AED＝180°﹣70°＝110°，∵△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，∴∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，∴∠1+∠2＝180°﹣（∠A′ED+∠AED）+180°﹣（∠A′DE+∠ADE）＝360°﹣2×110°＝140°．解法二：連接AA′．∵∠1＝∠EAA′+∠EA′A，∠2＝∠DAA′+∠DA′A，∴∠1+∠2＝∠BAC+∠EA′D′＝2∠CAB＝140°．故選：B．6．（2022秋?平泉市校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝2020，AC＝2018，AD為中線，則△ABD與△ACD的周長之差為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用中線定義可得DB＝DC，再表示兩個(gè)三角形周長，進(jìn)而可得答案．【解答】解：∵AD為中線，∴DB＝DC，∴△ABD與△ACD的周長之差為：