2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（學(xué)生版）：第四單元函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)的圖象與函數(shù)的應(yīng)用______________

----------------BS、

§4.1函數(shù)的圖象

(對(duì)應(yīng)答案分冊(cè)第5頁(yè))

.......................圜基礎(chǔ)知識(shí)…＞夯實(shí)基礎(chǔ)鞏固提升

?＜知識(shí)清單一

1.描點(diǎn)法作圖

方法步驟：

(1)確定函數(shù)的定義域；

(2)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；

(3)討論函數(shù)的性質(zhì)，即奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值(甚至變化趨勢(shì))；

(4)描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖象.

2.圖象變換

(1)平移變換_____________

1月'(4)+’的圖象1

上以好0)個(gè)

移單位長(zhǎng)度

y=f(x+h')6^J1左移)右移-A)的

圖象](九＞0)個(gè)|施象|帥＞0)4；圖象

單位長(zhǎng)度單位長(zhǎng)用

下乂左＞0)個(gè)

移1一位長(zhǎng)度

\y=f(x)-k的圖象|

(2)對(duì)稱變換

2將y=/(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱得到y(tǒng)=的圖象.

②將/=/("的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱得到y(tǒng)=的圖象.

翱y=/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得到片的圖象.

@將y=d且aWl)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱得到7->的圖象.

(3)伸縮變換

①已知尸/⑴的圖象，當(dāng)a?時(shí),橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的右縱坐標(biāo)不變(當(dāng)0心<1時(shí)，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)

為原來(lái)的:倍，縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)二的圖象.

②已知尸?x)的圖象，當(dāng)a>\時(shí),縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的a倍，橫坐標(biāo)不變(當(dāng)OQ<1時(shí),縱坐標(biāo)

縮短為原來(lái)的a,橫坐標(biāo)不變)彳導(dǎo)到y(tǒng)二的圖象.

(4)翻折變換

①保留x軸上方y(tǒng)=?x)的圖象，將x軸下方片叭力的圖象翻折上去患到y(tǒng)二的圖象.

②保留y軸右邊戶力>)的圖象，并作其關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象彳導(dǎo)到y(tǒng)二的圖象.

特別提醒

1.記住幾個(gè)重要結(jié)論

⑴函數(shù)產(chǎn)彳6與y=/(2a-x)的圖象關(guān)于直線

x=a對(duì)稱.

⑵函數(shù)y=/(x)與y夕6-42a-x)的圖象

關(guān)于點(diǎn)(a,6)中心對(duì)稱.

⑶若函數(shù)y=/(x)定義域內(nèi)的任意自變量x

滿足/(a+x)=/(a-x),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)

于直線/a對(duì)稱.

2.圖象的左右平移僅僅是相對(duì)于x而言的，

如果x的系數(shù)不是L常需把系數(shù)先提出來(lái)，

再進(jìn)行變換.

<<<夯實(shí)基礎(chǔ)一

【概念辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確.(對(duì)的打“V”，錯(cuò)的打“X”)

⑴當(dāng)xC(0,+8)時(shí)，函數(shù)y=〃(x)/與y=?/x/)的圖象相同.()

(2)函數(shù)y=a/(x)與y=?ax)(aX)且arl)的圖象相同.()

(3)函數(shù)y=/(x)與y=-/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.()

(4)若函數(shù)y=/(x)滿足則函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=\對(duì)稱.)

【對(duì)接教材】

已知函數(shù)?x)Yx-a)(x-6)(a%)的大致圖象如圖所示，則函數(shù)武x)=a'動(dòng)的大致圖象是(

如圖，函數(shù)/(x)的圖象為折線477,則不等式鼠x*l)的解集是.

【易錯(cuò)自糾】

設(shè)/(才)=加(〉-1)/,若1心＜77且/(a)=/(6),則a6的取值范圍是

考點(diǎn)考向■精研考向錘煉技能

母點(diǎn)并作函數(shù)的圖象【典例遷移】

初n分別作出下列函數(shù)的圖象：

(l)y=/lgx/；⑵y=2""；⑶尸V-2/x/T.

Mk函數(shù)圖象的畫法

一；當(dāng)函數(shù)表達(dá)式(或變形后的表達(dá)式)是熟;

一直悉的基本初等函數(shù)時(shí),就可以根據(jù)這些函:

:數(shù)的特征直接作出函數(shù)圖象

接

_溝?手百看施對(duì)值秸號(hào)而麗莪，可以麻彈冤

法

:對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來(lái)畫圖象

變第言嗷唐一象有百集不至不而挈函藪而函,；

二換象經(jīng)過平移、翻折、對(duì)稱得到，則可利用:

m:圖象變換作出函數(shù)圖象，但要注意變換的:

順序：

【追蹤訓(xùn)練1】作出下列函數(shù)的圖象:

⑴尸G)⑶；(2)y=iog2Mi/;⑶y差.

,皂函數(shù)圖象的識(shí)別

?【題組過關(guān)】

函數(shù)y聾的圖象大致為（）?

(20函數(shù)

點(diǎn)然函數(shù)圖象的識(shí)別主要從以下兩個(gè)方面入手

1.抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：

⑴從函數(shù)的定義域判斷圖象的左右位置;從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置;

⑵從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；

⑶從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)規(guī)律；

(4)從函數(shù)的奇偶性判斷圖象的對(duì)稱性.

2.抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算：

從函數(shù)的特征點(diǎn)出發(fā)，利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算分析解決問題.

造點(diǎn)⑥函數(shù)圖象的應(yīng)用【考向變換】

考向1研究函數(shù)的性質(zhì)

硼?已知函數(shù)/(x)=x/x/-2%則下列結(jié)論正確的是().

A.4犬)是偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+8)

B./U)是偶函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是(-81)

C./(才是奇函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,1)

D.*才是奇函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是(-/0)

對(duì)于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù),其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、

最值(值域)、零點(diǎn))常借助于圖象研究，但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

【追蹤訓(xùn)練2】已知?力4。1,虱規(guī)定:當(dāng)/時(shí),當(dāng)

時(shí)，氣x)=-gx),貝IJh(心().

A.有最小值T,最大值1

B.有最大值1,無(wú)最小值

C.有最小值T,無(wú)最大值

D.有最大值T,無(wú)最小值

考向2解不等式

函數(shù)/(x)是定義在［Y,4］上的偶函數(shù)，其在［0,4］上的圖象如圖所示，那么不等式的解集

為________

由函數(shù)圖象得出在y軸右側(cè)滿足不等式的x的取值范圍,再利用函數(shù)的奇偶性彳導(dǎo)出y

軸左側(cè)滿足不等式的x的取值范圍.

【追蹤訓(xùn)練3】函數(shù)是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)xG［0,2］

時(shí)則不等式xf(x)X)在(-1,3)上的解集為().

A.(l,3)B.(-l,l)

C.(-1,0)U(1,3)D.(-1,0)U(0,1)

考向3求參數(shù)的取值范圍

已知函數(shù)Z(x)N-/x/,若關(guān)于x的不等式/(力2X2一才一切的解集中有

且僅有1個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)0的取值范圍為().

A.[-3,T)B.(-3,-1)

C.[-2,-l)D.(-2,-l)

3,一(1)注意函數(shù)圖象的特征與性質(zhì)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

⑵方程、不等式的求解可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)和上下位置關(guān)系問題.

【追蹤訓(xùn)練4]已知函數(shù)4x)=/x-2/+1,g[x}=kx.若方程/5)=式.)

有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

......................￡3方法技巧……＞方法探究分類突破

CS法突破◎根據(jù)函數(shù)圖象特征，確定函數(shù)解析式

直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題的重要手段,在數(shù)學(xué)研究的探索中，通過直觀手

段的運(yùn)用以及借助直觀展開想象，從而發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的例子比比皆是，并貫穿于數(shù)學(xué)研究

過程的始終,而數(shù)形結(jié)合思想是典型的直觀想象范例.

OO已知函數(shù)Wx)=x*/x)Fin%則如圖所示的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式

可能是().

A.y=/(x)+雙

C.y=f{x}g{x}

Dy血

yfW

固方法總結(jié)

函數(shù)解析式與函數(shù)圖象是函數(shù)的兩種

重要表示法,圖象形象直觀，解析式易于研究

函數(shù)隨，可根據(jù)需要相互轉(zhuǎn)化.

【突破訓(xùn)練】⑴如圖，已知函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)(Y)

的解析式可能是().

A./(x)天ln/x/

B.*x)=xlnx

C.?x)個(gè)

M

D.G)?

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖象的一部分如圖?所示，則圖②中的圖象所對(duì)應(yīng)

的函數(shù)解析式可以是().

A.y=/(2x-|)

B.y=42xT)

C.y=/(jx-0

D?X碓"I)

請(qǐng)完成謠后作業(yè)

鏈接《精練案》分冊(cè)P17

§4.2函數(shù)與方程

(對(duì)應(yīng)答案分冊(cè)第5頁(yè))

因基礎(chǔ)知識(shí)＞夯實(shí)基礎(chǔ)鞏固提升

一知識(shí)清單.

1.函數(shù)的零點(diǎn)

(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念

函數(shù)片4力的圖象與x軸的交點(diǎn)的稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).

(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

方程?x)4)有實(shí)數(shù)根。函數(shù)y=*x)的圖象與有交點(diǎn)=函數(shù)y=/(x)有.

(3)零點(diǎn)存在性定理

若函數(shù)y=/(x)在閉區(qū)間［a,句上的圖象是連續(xù)曲線,并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反，即

/(a)?則在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y=?x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)方程在區(qū)間(a,偽內(nèi)至少

有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

2.二次函數(shù)片力械坦ak)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系

4=8-Aac4X)J=0A<0

二次函數(shù)不者,

y=a￡+bx+c**\JV；\l/

(a?)的圖象V0片基

/v

與分軸的交點(diǎn)無(wú)交點(diǎn)

零點(diǎn)個(gè)數(shù)210

3拓展知識(shí),

1.若圖象是連續(xù)不斷的曲線的函數(shù)

Wx)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則/U)至多有

一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)“點(diǎn)”，而

是方程/(X)力的實(shí)根.

2.由函數(shù)尸中)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)

間［a,句上有零點(diǎn)不一定能推出

?a)?/(6)W0,如圖所示，所以4a)?46)W0

是片子但在閉區(qū)間［a,6］上有零點(diǎn)的充分不

必要條件.

3.若周期函數(shù)有零點(diǎn)，則必有無(wú)窮多個(gè)零

點(diǎn).

夯實(shí)基礎(chǔ)

【概念辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確.(對(duì)的打“，錯(cuò)的打“X”)

⑴函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn).()

(2)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,8)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)廁/(a)?f(b)<0.()

⑶二次函數(shù)尸af+6x+"a#0)在lf-Aac<Q時(shí)沒有零點(diǎn).()

⑷若外外=/虱x)2,/Kx)=log洌則當(dāng)xC(4,*8)時(shí)，恒有餌力(?x)金分()

【對(duì)接教材】

已知函數(shù)/(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對(duì)應(yīng)值表：

*12345

f{x}Y-2,14.7

在下列區(qū)間中，函數(shù)/(x)必有零點(diǎn)的區(qū)間為().

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

函數(shù)/(x)m"+3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是().

A.OB.1C.2D.3

【易錯(cuò)自糾】

方程ln(x+l)qR(xX)的根所在的大致區(qū)間是().

A.(O,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(3,4)

若二次函數(shù)?x)=V-2x%在區(qū)間(0,4)上存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

......................E3考點(diǎn)考前........>精研考向錘煉技能

丁點(diǎn)◎函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間【題組過關(guān)】

函數(shù)*x)3'+2x的零點(diǎn)所處的區(qū)間是().

A.[-2,-l]B.[-1,0]

c.[0,l]D.[l,2]

設(shè)函數(shù)4x)[xTnx,則函數(shù)y=?x)().

A.在區(qū)間&l),(l,e)內(nèi)均有零點(diǎn)

B.在區(qū)間1),(1,e)內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)

C.在區(qū)間&,1)內(nèi)有零點(diǎn),在區(qū)間(l,e)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)

D.在區(qū)間&,1)內(nèi)無(wú)零點(diǎn),在區(qū)間(l,e)內(nèi)有零點(diǎn)

函數(shù)?x)=log：；x+x-2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為().

A.(0,l)B.(l,2)C.(2,3)D.(3,4)

上確定函數(shù)/(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法

⑴利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理:首先看函數(shù)產(chǎn)在區(qū)間[a,句上的圖象是否連續(xù)，再看是否

有/(a)T3)<0.若有,則函數(shù)y=*x)在區(qū)間(a/)內(nèi)必有零點(diǎn).需要注意的是，函數(shù)的零點(diǎn)存在性定

理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在變號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)不滿足條件時(shí),一定要綜合函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分

析判斷.

⑵數(shù)形結(jié)合法:通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷.

⑶直接解方程:當(dāng)對(duì)應(yīng)方程/(x)R易解時(shí)，可先解對(duì)應(yīng)方程，然后看所求的根是否落在給定區(qū)

間上，

■電?函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定【典例遷移】

Ofl(l)問北訴設(shè)必已知函數(shù)*x)=log2(-/x/+8)的定義域是即?],值域是

[0,3],當(dāng)加取最小值時(shí)，函數(shù)夙X)之''加+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為().

A.0B.1C.2D.3

(2)已知函數(shù)/(x)=g)xPOSx,則/(x)在[0,2n止的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

為.

占函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法

⑴直接求零點(diǎn)，令刈有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；

(2)利用零點(diǎn)存在性定理，要求函數(shù)在區(qū)間[a,8]上是連續(xù)不斷的曲線，且/(a)?/(幼<0,再結(jié)合

函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

⑶作出兩函數(shù)圖象，觀察其交點(diǎn)個(gè)數(shù)即得零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【追蹤訓(xùn)練1](1)設(shè)函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xA)

時(shí),/(同三'"-3,則4x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為().

A.1B.2C.3D.4

(2),天工函數(shù)?x)=/x-2/-lnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為().

A.0B.1C.2D.3

盲點(diǎn)?函數(shù)零點(diǎn)的綜合應(yīng)用【考向變換】

考向1根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)

O0已知函數(shù)/⑴弋：3；；2產(chǎn)"°)'有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是.

口一已知函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)，主要方法有：(1)直接求方程的根，構(gòu)建方程(不等式)求參數(shù);⑵

數(shù)形結(jié)合;(3)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.

71、|刈

【追蹤訓(xùn)練2】已知??[(力(XW1)'若關(guān)于x的方程a=*x)恰有

(-X2+4x-2(x>1),

兩個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是().

A.(-~|)U[1,2)B.(O,|)U[1,2)

C.(1,2)D.[1,2)

考向2根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)

倒?函數(shù)4心切一量的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)廁實(shí)數(shù)a的取值范

圍是.

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)常用的方法有:數(shù)形結(jié)合法(將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖

象在指定范圍與x軸相交的交點(diǎn)的橫坐標(biāo))、由零點(diǎn)存在性定理求解不等式法.

【追蹤訓(xùn)練3】⑴二明模擬)已知函數(shù)?x)=a'+x-6的零點(diǎn)的6(〃,"1)(〃62),其

中常數(shù)a/滿足2y,3"之，則n=________.

⑵設(shè)回,函數(shù)鋼媵染著：整：5(xna若他在區(qū)間(。，-內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則

a的取值范圍是().

A?(蜀建用

B?2)嗚為

，(蜀仲)

D件)伸)

國(guó)方法技巧>方法探究分類突破

(方醫(yī)突破o解嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題

對(duì)于嵌套函數(shù)的零點(diǎn)，通常先“換元解套”，將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)，再借助

函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解.

角度一:嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷

已知瞥則函數(shù)曰傘)『-3+)+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

(2w,x<0,

。方法總結(jié)

嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷問題求解的

主要步驟如下：(1)換元解套,轉(zhuǎn)化為t=g(x)與

尸/⑺的零點(diǎn)⑵依次解方程，令4￡)=0,求

t代入[=式6求出X的值或判斷圖象交點(diǎn)個(gè)

數(shù).

求解時(shí)注意抓住兩點(diǎn)：(1)轉(zhuǎn)化換元;(2)充分

利用函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【突破訓(xùn)練1]已知函數(shù)則函數(shù)y="/a))的所有

零點(diǎn)之和為

角度二:求嵌套函數(shù)零點(diǎn)中的參數(shù)

即回函數(shù)ZU),?(二若函數(shù)期x)=W/(x))-a有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取

十j.fXNJLf

值范圍是.

0方法總結(jié)

1.求解本題要抓住分段函數(shù)的圖象性

質(zhì)，由y=a與y=/(t)的圖象，確定th七的取值

范圍,進(jìn)而由片/U)的圖象確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

2.含參數(shù)的嵌套函數(shù)方程，還應(yīng)注意讓參數(shù)

的取值“動(dòng)起來(lái)”抓臨界位置，動(dòng)靜結(jié)合.

【突破訓(xùn)練2］已知函數(shù)依用哼（［叱丁2n若關(guān)于％的函數(shù)片［心）曰*力1有8個(gè)不

IX-OX"T"V,X******U,

同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)/）的取值范圍為（）.

A.（2,8）B.喝

C.（2,y］D.（2,8］

--------請(qǐng)完成課后作亞--------，

鏈接《精練案》分冊(cè)P18

微專題3函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用

(對(duì)應(yīng)答案分冊(cè)第6頁(yè))

函數(shù)思想是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)思想解題，就

是根據(jù)所給問題中的變量的內(nèi)在聯(lián)系,或者數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相關(guān)的函數(shù)，通過函數(shù)的性質(zhì)、

圖象等知識(shí)使問題得到解決.用函數(shù)思想解題?？梢赃_(dá)到化難為易，避繁就簡(jiǎn)的目的.

一、不等式恒成立問題

Ofl已知函數(shù)/(x)=V+0xT,若對(duì)于任意都有/“)<0成立，則

實(shí)數(shù)應(yīng)的取值范圍是.

由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路:一是分離參數(shù);二是不分離參數(shù).兩種思路都

是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值或值域.

【微點(diǎn)練1］若不等式x'-log/e對(duì)任意xG(0,3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

二、構(gòu)造函數(shù)解決方程根的問題

EK（1睢Gx+：），X口（OR，

倒?已知函數(shù)傘）滿足4戶1）=?『1）對(duì)任意X6R都成立，且八4”

卜各口（1,2],

若方程在區(qū)間上有6個(gè)根,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）.

A-[°-1B.[It)

22,

C.I).

5,3.&I1

方程/W=0有實(shí)數(shù)解=函數(shù)尸/（X）的圖象與X軸有交點(diǎn)=函數(shù)尸/㈤有零點(diǎn).要靈

活應(yīng)用這三者之間的轉(zhuǎn)化.

【微點(diǎn)練2】已知函數(shù)/5）和"V，夙x）jN+l'X4°'若方程虱/（⑼-肝0有四個(gè)不同的根,

l（%-l）lnx,x>0,

則實(shí)數(shù)/〃的取值范圍為（）.

A.（0號(hào)）氏（*1）

C.僵｝D.（0.1）

微專題4用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決函數(shù)零點(diǎn)問題

（對(duì)應(yīng)答案分冊(cè)第6頁(yè)）

轉(zhuǎn)化與化歸思想是解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法,所謂的化歸思想方法，就是在研

究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得以解決的一種方法.一般總是將

難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題.在高中數(shù)學(xué)中,轉(zhuǎn)化與化歸最為常見的體現(xiàn)形式是

數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化,函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化等.

一、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍

曲（I已知函數(shù)0若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖

象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，通過準(zhǔn)確畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)的取值范圍.

【微點(diǎn)練1］已知函數(shù)/U）m'-ax2（xWR）有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是（）.

A-你+8）B,（|,+8）

C.停，+8）D.停收）

二、確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

螂國(guó)定義在R上的函數(shù).片/（廣2）的圖象關(guān)于直線*=-2對(duì)稱,且函數(shù)是偶函數(shù).若當(dāng)

x6［0,l］時(shí)，4x）=sin號(hào)則函數(shù)4x）=/（x）飛’在區(qū)間［-2020,2020］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）.

A.2021B.2020

C.4042D.4040

，工匕本題把函數(shù)夙x）=/⑸飛,在區(qū)間卜2020,2020］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)尸/（力與函

數(shù)片e、在區(qū)間［-2020,2020］上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)直觀求解.

【微點(diǎn)練2】已知/(x)的定義域?yàn)椋?,+叼,且滿足

/5)』眇-1刈[0，1)，

Z^n2/(%-l),x0[l,+=o),若式x)=/(x)-n，貝IJ虱x)在［0,10］內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

A.8B.9C.10D.11

應(yīng)用建模1函數(shù)模型及其應(yīng)用

（對(duì)應(yīng)答案分冊(cè)第5萬(wàn)頁(yè)）

......................圜基礎(chǔ)知識(shí)>夯實(shí)基礎(chǔ)鞏固提升

?<知識(shí)清單?>

L幾類函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型/*）電￥班（a力為常數(shù),aW0）

k

反比例函數(shù)模型乜左8為常數(shù)且

二次函數(shù)模型f{M=a"+bx+c（ahc為常數(shù)/WO）

指數(shù)函數(shù)模型為常數(shù),6W0,aX）且aWl）

對(duì)數(shù)函數(shù)模型4力=6108“廣。（&/?,。為常數(shù),/梃0毋》且aWl）

（續(xù)表）

函數(shù)模型函數(shù)解析式

幕函數(shù)模型+b(a,b,n為常數(shù),aWO,〃WO)

“對(duì)勾”函數(shù)模型*力文:(GO)

3拓展知識(shí)

對(duì)勾函數(shù)/（x）=x?（aX）在（-8,、向和

［內(nèi),3）上單調(diào)遞增，在［3,0）和（0,加上單

調(diào)遞減.

當(dāng)牙與時(shí),Wx）在產(chǎn)歷時(shí)取最小值，最小

值為2?；當(dāng)x<0時(shí),/（x）在尸壇時(shí)取最大

值，最大值為-2Va.

2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)y=dJ/=logj

性質(zhì)⑺1)⑺1)(〃刈

在（0產(chǎn)8）上

單調(diào)遞單調(diào)遞單調(diào)遞

的增減性

增長(zhǎng)速度越來(lái)越越來(lái)越相對(duì)平穩(wěn)

隨X的增隨X的增

大,逐漸表大,逐漸表

圖象的變化隨〃值變化而各有不同

現(xiàn)為與J，現(xiàn)為與X

軸平行軸平行

值的比較存在一個(gè)陽(yáng)當(dāng)xMo時(shí)，有l(wèi)og?x<y<a

□特別提醒

⑴當(dāng)描述增長(zhǎng)速度變化很快時(shí),選用指

數(shù)函數(shù)模型.

（2）當(dāng)要求不斷增長(zhǎng)，但又不會(huì)增長(zhǎng)過快，也不

會(huì)增長(zhǎng)到很大時(shí),選用對(duì)數(shù)函數(shù)模型.

⑶幕函數(shù)模型，=式〃和）可以描述增長(zhǎng)幅度

不同的變化，當(dāng)〃值較小SW1）時(shí)，增長(zhǎng)較慢；

當(dāng)〃值較大（〃月）時(shí)，增長(zhǎng)較快.

?<夯實(shí)基礎(chǔ)>?

【概念辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確.（對(duì)的打“J”，錯(cuò)的打“X”）

⑴某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加10%出售，后因庫(kù)存積壓降價(jià)，若按九折出售，則每件還

能獲利.（）

（2）函數(shù)y=2,的函數(shù)值比y與的函數(shù)值大.（）

（3）不存在無(wú)，使謨。GJ<log.Ao.（）

⑷“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)片型a#0,"0,好1）增長(zhǎng)速度越來(lái)越快的形象比喻.（）

【對(duì)接教材】

在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得變量和變量y的幾組數(shù)據(jù)如下表：

x0.500.992.013.98

y-0.990.010.982.00

則對(duì)最適合的擬合函數(shù)是（）.

A.y=2xB.y=Z-l

C.y=2x-2D.y-log2Jf

【易錯(cuò)自糾】

某商品價(jià)格前兩年每年遞增20%,后兩年每年遞減20%,則四年后的價(jià)格與原來(lái)價(jià)格比較,變化的

情況是（）.

A.減少7.84%

B.增加7.84%

C減少9.5%

D.不增不減

某公司為了發(fā)展業(yè)務(wù)制定了一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案，當(dāng)銷售額

x為8萬(wàn)元時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)1萬(wàn)元.當(dāng)銷售額犬為64萬(wàn)元時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)4萬(wàn)元.若公司擬定的獎(jiǎng)勵(lì)模型為

y=alogj地某業(yè)務(wù)員要得到8萬(wàn)元獎(jiǎng)勵(lì)，則他的銷售額應(yīng)為萬(wàn)元.

因考點(diǎn)考向，精研考向錘煉技能

各點(diǎn)一?用函數(shù)圖象刻畫變化過程【題組過關(guān)】

在用計(jì)算機(jī)處理灰度圖象（俗稱的黑白照片）時(shí)，將灰度分為256個(gè)等級(jí),

最暗的黑色用0表示,最亮的白色用255表示,中間的灰度根據(jù)其明暗漸變程度用。至255之間

對(duì)應(yīng)的數(shù)表示，這樣可以給圖象上的每個(gè)像素賦予一個(gè)“灰度值”.在處理有些較黑的圖象時(shí)，為

了增強(qiáng)較黑部分的對(duì)比度，可對(duì)圖象上每個(gè)像素的灰度值進(jìn)行轉(zhuǎn)換，擴(kuò)展低灰度級(jí)，壓縮高灰度級(jí),

實(shí)現(xiàn)如圖所示的效果，則下列可以實(shí)現(xiàn)該功能的一種函數(shù)圖象是（）.

處理前處理后

f新灰度值［新灰度值

255卜--=^>255卜......

:原灰度值|一原灰度值

0^2550^255

汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程.下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車

在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是（）.

A.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米

B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中,甲車消耗汽油量最多

C.甲車以80千米凡寸的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油

D.某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/8寸，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油

判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法

⑴構(gòu)建函數(shù)模型法:先建立函數(shù)模型,再結(jié)合模型選圖象.

⑵驗(yàn)證法根據(jù)實(shí)際問題中變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì),驗(yàn)證是否吻合，從中

排除不符合實(shí)際情況的答案.

售點(diǎn)渺已知函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用問題【典例遷移】

某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品,

成本增加10萬(wàn)元.又知總收入《是產(chǎn)品單位數(shù)0的函數(shù)，照。乂00號(hào)0則總利潤(rùn)1（0的最大值是

萬(wàn)元.

且已知函數(shù)模型，解決實(shí)際問題的要點(diǎn)

⑴認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

⑵根據(jù)已知條件，利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn).

【追蹤訓(xùn)練1】⑴某工廠產(chǎn)生的廢氣需經(jīng)過過濾后排放，排放時(shí)污染物的

含量不超過1%.已知在過濾過程中,廢氣中的污染物數(shù)量/（單位:毫克否）與過濾時(shí)間￡（單位:小

時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為PZe，*,耳均為整的常數(shù)）.如果在前5小時(shí)的過濾過程中污染物被過濾

掉了90%,那么排放前至少還需要過濾（）小時(shí).

A*B.|C.|D,5

（2）所謂聲強(qiáng)，是指聲音在傳播途徑上每1平方米面積上的聲能流密度，用/

表示人類能聽到的聲強(qiáng)范圍，其中能聽見的1000Hz聲音的聲強(qiáng)（約10‘2w/m。）為標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)，記作

兒聲強(qiáng)/與標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)4之比的常用對(duì)數(shù)稱作聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)，記作即Z-lg，聲強(qiáng)級(jí)/的單位名

稱為貝（爾），符號(hào)為B,取貝（爾）的十分之一作為響度的常用單位，稱為分貝（爾），簡(jiǎn)稱分貝（dB）.《三

國(guó)演義》中有張飛喝斷當(dāng)陽(yáng)橋的故事，假設(shè)張飛大喝一聲的響度為140dB,一個(gè)士兵大喝一聲的

響度為90dB,如果一群士兵同時(shí)大喝一聲相當(dāng)于張飛大喝一聲的響度，那么這群士兵的人數(shù)為

（）.

A.1萬(wàn)B.2萬(wàn)

C.5萬(wàn)D.10萬(wàn)

CKO構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題【典例遷移】

題型1構(gòu)建二次函數(shù)模型

初回某村利用當(dāng)?shù)貎?yōu)勢(shì)引進(jìn)經(jīng)濟(jì)效益好、養(yǎng)殖密度高的“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù).研究表

明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時(shí)，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長(zhǎng)速度《單位:千克/年）是養(yǎng)殖

密度M單位:尾拉方米）的連續(xù)函數(shù).當(dāng)x不超過4尾蒞方米時(shí),丫的值為2千克/年;當(dāng)4a<20

時(shí),i-是X的一次函數(shù);當(dāng)x達(dá)到20尾拉方米時(shí)，因缺氧等原因,r的值為0千克/年.

（1）當(dāng)0GW20時(shí),求函數(shù)/關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時(shí),魚的年生長(zhǎng)量（單位:千克/女方米）可以達(dá)到最大？并求出最大值.

題型2構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型

O0牛頓冷卻定律描述一個(gè)事物在常溫（。）環(huán)境下的溫度變化:如果

￡

物體的初始溫度為幾那么經(jīng)過一定時(shí)間t后的溫度7滿足7-北《習(xí)行?（8-兀）,其中北是環(huán)境溫

度,/?稱為半衰期.現(xiàn)有一杯80℃的熱水用來(lái)泡茶，研究表明，此茶的最佳飲用口感會(huì)出現(xiàn)在

55℃.經(jīng)測(cè)量，室溫為25°C,茶水降至75℃大約用時(shí)1分鐘,那么為了獲得最佳飲用口感，從泡

茶開始大約需要等待（）.（參考數(shù)據(jù):1g3^0.4771,1g5^0.6990,1g11^1.0414）

A.4分鐘B.5分鐘

C.6分鐘D.7分鐘

題型3構(gòu)建函數(shù)y-ax*

螂良!（1）某汽車運(yùn)輸公司購(gòu)買了一批豪華大客車投入營(yíng)運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利

潤(rùn)