四川省成都市重點學校2023-2024學年高三上學期第三次模擬考試數(shù)學（文科）試題（含答案）

成都重點中學2023-2024學年第一學期高三第三次模擬考試數(shù)學（文科）時間：120分鐘總分：150分一、單項選擇題．本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．1.已知集合A=x∈Z∣x2A.1 B.2 C.3 D.42.已知z=2+i,則z(A.2 B.?2 C.2i D.?2i3.若雙曲線C:xA.y=±74x B.C.y=±43x D.4.設x,y滿足約束條件x+2y?5≥0x?2y+3≥0,x?5≤0則A.4 B.5 C.8 D.95.已知α是第一象限角,滿足cosπ4+αA.725 B.?24C.2425 D.?76.已知m是直線,α,β是兩個相互垂直的平面，則“m//α”是“m⊥β”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 7.已知某人收集一個樣本容量為50的一組數(shù)據(jù),并求得其平均數(shù)為70,方差為75,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時,其中得兩個數(shù)據(jù)記錄有誤,一個錯將80記錄為60,另一個錯將70記錄為90,在對錯誤得數(shù)據(jù)進行更正后,重新求得樣本的平均數(shù)為X,方差為s2A.X<70,S2>75 C.X>70,s2<75 8.甲、乙兩人約定晚6點到晚7點之間在某處見面,并約定甲若早到應等乙半小時,而乙還有其他安排,若他早到則不需等待,則甲、乙兩人能見面的概率（）A.34 B.38 C.359.已知三棱錐P?ABC的四個頂點均在同一個球面上,底面△ABC滿足BA=BC=6,∠ABC=A.4π B.8π C.323π D.16π10.噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱,定義聲壓級Lp=20×lgpp0,其中常數(shù)p0pA.p1<3p3 C.p3=1000p0 11.將函數(shù)f(x)=cosx+2π3圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?ω(ω>0),縱坐標不變,所得圖象在區(qū)間0,A.94,3 B.9C.114,4 D.1112.函數(shù)f(x)=axex和g(x)=lnxax有相同的最大值b,直線y=m與兩曲線y=f(x)①a=1;②b=1e;③x1A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2的圖象在(1,f(1))14已知向量a=(2,?1),a?15已知F是拋物線C:y2=8x的焦點,點P(?2,2),過點F的直線l與C交于A,B兩點,M是線段AB的中點.若|AB|=2|PM|,則直線l的斜率16△ABC的外心為O,三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,AO?BC=1三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（本題滿分12分）已知an是遞增的等差數(shù)列,a(1)求數(shù)列an(2)若bn=an+2a18.（本題滿分12分）某地區(qū)對某次考試成績進行分析,隨機抽取100名學生的A,B兩門學科成績作為樣本.將他們的A學科成績整理得到如下頻率分布直方圖,且規(guī)定成績達到70分為良好.已知他們中B學科良好的有50人,兩門學科均良好的有40人.(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表,判斷是否有95%的把握認為這次考試學生的A學科良好與B學科良好有關;(2)為了進一步分析學生成績,從A學科不夠良好的學生中采用分層抽樣的方法抽出6人,最后從這6人中隨機選出2人進行訪談,求其中恰有1人為B學科良好的概率.附:K2=n19.（本題滿分12分）如圖,長方體ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD(1)求證:BE⊥平面EB1(2)求點A到平面CEB120.（本題滿分12分）已知橢圓C:x2a(1)求橢圓C的方程;(2)經過橢圓右焦點F且斜率為k(k≠0)的動直線l與橢圓交于A、B兩點,試問x軸上是否存在異于點F的定點T,使|AF|?|BT|=|BF|?|AT|恒成立?若存在,求出T點坐標,若不存在,說明理由.21.（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+acosx.(1)曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=x+2,求實數(shù)a的值.(2)在(1)的條件下,若g(x)=f(x)?11+x,試探究g(x)在22.（本題滿分10分）在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=2acosθ(a>0),過點P(?2,?4)的直線l的參數(shù)方程為x=?2+22ty=?4+22(1)寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程;(2)若|PA|?|PB|=|AB|2,求參考答案及解析1.【答案】C【解析】∵A=∴A∩B={?1,0,1}，即集合A∩B的元素個數(shù)為3.故選:C.2.【答案】A【解析】因為z=2?i,則z(3.【答案】D【解析】由題意可知9+m=822令x故選:D4.【答案】A【解析】由題得不等式組對應的可行域為如圖所示的△ABC，由題得y=?2x+z，當直線經過點A時，直線的縱截距最小，z最小.聯(lián)立x+2y?5=0x?2y+3=0得A(1，2)所以z=2x+y的最小值是2×1+2=4.故選:A.5.【答案】A【解析】因為α是第一象限，則π4且cosπ所以sin由題意可得：cos2α=cos故選：B.6.【答案】D【解析】若α⊥β，m//α，則m//β或m?β或m與β相交，故推不出m⊥β，若α⊥β，m⊥β，則m//α或者m?α，故推不出m//α，所以當α⊥β時，“m//α“是”m⊥β”的既不充分也不必要條件，故選:D7.【答案】D【解析】略8.【答案】B【解析】略9.【答案】C【解析】∵BA=BC=6，∠ABC=π∴AC為△ABC所在截面圓的直徑，取AC的中點D，則D為△ABC外接圓圓心，設三棱錐P?ABC外接球的球心為O，則OD⊥平面ABC，∵底面ABC的面積為定值，∴當P，O，D共線且P，O位于截面同一側時，棱錐的最大高度為PD，棱錐的體積最大，則三棱錐P?ABC的體積V=13×設外接球的半徑為R，則OD=3?R，OC=R，在△ABC中，AC=BA在△ODC中，CD=1由勾股定理得:(3?R)2+3=R∴外接球的體積V=4π故選:C.10.【答案】D【解析】由題意得,60≤20lgp1p50≤20lgp2p20lgp則有3p3因為3p3可得p1>3p因為1052p所以p2p1所以p2故選:D.11.【答案】C【解析】依題意可得y=cosωx+因為0≤x≤23π因為y=cosωx+2π3在0,所以5π2≤2ω令2k2π≤ωx+2π令k2=0，得y=cosωx+所以?π所以?2π3ω≤?π12綜上所述，114≤ω≤4，故ω的取值范圍是故選:C.12.【答案】B【解析】f'當a>0時,當x∈(?∞,1)時,f'(x)>0,f(x)在當x∈(1,+∞)時,f'(x)<0,在當x∈(0,e)時,g'當x∈(e,+∞)時,g'∵f(x)與g(x)有相同的最大值,∴f(1)=g(e即ae=1當a<0時,當x>1時,f'(x)>0,f(x)單調遞增,當x<1時,所以當x=1時,函數(shù)f(x)有最小值,沒有最大值,不符合題意,當a<0時,當x>e時,g'(x)>0,g(x)單調遞增,當0<x<所以當x=e時,函數(shù)g(x)所以①②正確.兩個函數(shù)圖象如下圖所示：由數(shù)形結合思想可知:當直線y=m經過點M時,此時直線y=m與兩曲線y=f(x)和y=g(x)恰好有三個交點,不妨設0<x且x1由x1ex又當x<1時,f(x)單調遞增,所以x1又x2ex又當x>1時,f(x)單調遞減,所以x2x3x2x1=x如果x1+x3=與0<x1<1<x2故選：B13【答案】?1.【解析】(1)(1,f(1))代入7x?y?4=0得f(1)=3,f'(x)=3ax2+2bx,即a+b=3,k=f'(1)=7,即14【答案】7【解析】已知向量a=(2,?1),則|a|=22+(?1)2=5,又15【答案】2【解析】由題意F(2,0),k≠0,設直線l:x=my+2,其中m=1k,聯(lián)立x=my+2,y2=8x,消去x得y2?8my?16=0,Δ>0,設Ax1,y1,Bx2,y2,則y1+16【答案】12【解析】取BC邊的中點M,連接OM、AM,∵O為△ABC的外心,∴OM⊥BC,即MO?BC=0,∵M為BC邊的中點,∴AM為BC邊的中線,AM=12(AB+AC),∴AO?BC=(AM+MO)?BC=AM?BC+MO?BC=AM?BC=17【解析】(1)解:設等差數(shù)列的公差為d,d>0(2+d)2代入:an=(2)b=(2+4+6+…+2n)+=18【解析】(1)解:由直方圖可得A學科良好的人數(shù)為100×(0.040+0.025+0.005)×10=70(人),可得K2所以有95%把握認為A學科良好與B學科良好有關.(2)解:由題意知,A學科不夠良好的學生中,B學科良好和不夠良好的學生比為1:2所抽B學科良好人數(shù)為2人,B學科不夠良好人數(shù)為4人,記“其中恰有1人為B學科良好”為事件M,設B學科良好為D1,D則所有結果為:D1事件M包含的基本事件D1由古典概型的概率公式,可得概率為P(M)=819【解析】(1)由已知可得B1C1⊥平面ABB1A1在△B1BE中,B1B=4,BE=B又因為B1C1∩B1E=B(2)方法一:取CB1的中點F,BC的中點P,連接EF,AP,PF,PB可得AE//PF,且AE=PF,則四邊形APFE為平行四邊形,可得AP//EF,又因為AP平面CEB1,EF?平面CEB1,所以AP//所以點A到平面CEB1的距離等于點P到平面CEB易知VP?CEB1=VE?PCBCB1=42+設點P到平面CEB1的距離為dP,所以即13×1所以點A到平面CEB1的距離為6方法二：等體積法設點P到平面CEB1的距離為?,因為B所以三角形CEB1是直角三角形,S而VA?CEB1=VC?AEB所以點A到平面CEB1的距離為620【解析】(1)解:由橢圓C的焦距為2,故c=1,則b2又由橢圓C經過點P1,32,代入C得1所以橢圓C的方程為x2(2)解:根據(jù)題意,直線l的斜率顯然不為零,令1k由橢圓右焦點F(1,0),故可設直線l的方程為x=my+1,聯(lián)立方程組x=my+1x24則Δ=36m設Ax1,設存在點T,設T點坐標為(t,0),由|AF||BT|=|BF||AT|,可得|AF||BF|又因為|AF||BF|所以sin∠ATF=sin∠BTF,所以∠ATF=∠BTF,所以直線TA和TB關于x軸對稱,其傾斜角互補,即有kAT則kAT+k所以y1my2即2m×?93m2解得t=4,符合題意,即存在點T(4,0)滿足題意.21【解析】(1)解:由f(x)=ln(1+x)+acosx,得f'(x)=所以切線方程為y=x+a.又因為曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=x+2,所以a=2.(2)由(1)知g(x)=ln(1+x)+2cosx?1則.令?(x)=g'(x)當x∈(?1,0]時,g'(x)=1所以g'(x)≥g'(0)=2>0當x→?1時,g(x)→?∞;當x=0時,g(0)