2024屆湖南省長沙二十一中高一上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆湖南省長沙二十一中高一上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．已知兩個正實數(shù)，滿足，則的最小值是（）A. B.C.8 D.32．已知函數(shù)，若，則x的值是（）A.3 B.9C.或1 D.或33．半徑為的半圓卷成一個圓錐，則它的體積為（）A. B.C. D.4．某幾何體的三視圖如圖所示,它的體積為()A.72π B.48πC.30π D.24π5．北京2022年冬奧會新增了女子單人雪車、短道速滑混合團(tuán)體接力、跳臺滑雪混合團(tuán)體、男子自由式滑雪大跳臺、女子自由式滑雪大跳臺、自由式滑雪空中技巧混合團(tuán)體和單板滑雪障礙追逐混合團(tuán)體等7個比賽小項，現(xiàn)有甲、乙兩名志愿者分別從7個比賽小項中各任選一項參加志愿服務(wù)工作，且甲、乙兩人的選擇互不影響，那么甲、乙兩名志愿者選擇同一個比賽小項進(jìn)行志愿服務(wù)工作的概率是（）A.249 B.C.17 D.6．設(shè)，則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．圓x2+y2+2x﹣4y+1＝0的半徑為（）A.1 B.C.2 D.48．在平行四邊形中，與相交于點(diǎn),是線段中點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn),若，則等于（）A. B.C. D.9．若圓上有且只有兩個點(diǎn)到直線的距離等于1，則半徑r的取值范圍是A.(4,6) B.[4,6]C.(4,5) D.(4,5]10．在下列各區(qū)間上，函數(shù)是單調(diào)遞增的是A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．設(shè)，，則______12．設(shè)、、為的三個內(nèi)角，則下列關(guān)系式中恒成立的是__________（填寫序號）①；②；③13．已知樣本9，10，11，，的平均數(shù)是10，標(biāo)準(zhǔn)差是，則______，______.14．若在內(nèi)無零點(diǎn)，則的取值范圍為___________.15．在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，且中點(diǎn)為，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則__________三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．已知，求，的值.17．如圖，在四邊形中，，，，為等邊三角形，是的中點(diǎn).設(shè)，.（1）用，表示，，（2）求與夾角的余弦值.18．畫出函數(shù)f(x)=|log3x|的圖像，并求出其值域、單調(diào)區(qū)間以及在區(qū)間上的最大值.19．已知實數(shù)，且滿足不等式.（1）解不等式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，求實數(shù)的值.20．已知函數(shù)fx（1）求fx定義域；（2）判斷函數(shù)fx（3）若fx≤log2mx+5對于21．若函數(shù)是奇函數(shù)()，且，.(1)求實數(shù),,的值；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、A【解析】根據(jù)題中條件，得到，展開后根據(jù)基本不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】因為正實數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選：【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.2、A【解析】分段解方程即可.【詳解】當(dāng)時，，解得（舍去）；當(dāng)時，，解得或（舍去）.故選：A3、A【解析】根據(jù)題意可得圓錐母線長為，底面圓的半徑為，求出圓錐高即可求出體積.【詳解】半徑為半圓卷成一個圓錐，可得圓錐母線長為，底面圓周長為，所以底面圓的半徑為，圓錐的高為,所以圓錐的體積為.故選：A.4、C【解析】由題意，結(jié)合圖象可得該幾何體是圓錐和半球體的組合體，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)即可計算出組合體的體積選出正確選項.由圖知，該幾何體是圓錐和半球體的組合體，球的半徑是3，圓錐底面圓的半徑是3，圓錐母線長為5，由圓錐的幾何特征可求得圓錐的高為4，則它的體積.考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積5、C【解析】根據(jù)古典概型概率的計算公式直接計算.【詳解】由題意可知甲、乙兩名志愿者分別從7個比賽小項中各任選一項參加志愿服務(wù)工作共有7×7=49種情況，其中甲、乙兩名志愿者選擇同一個比賽小項進(jìn)行志愿服務(wù)工作共7種，所以甲、乙兩名志愿者選擇同一個比賽小項進(jìn)行志愿服務(wù)工作的概率是749故選：C.6、D【解析】若，則，故不充分；若，則，而，故不必要，故選D.考點(diǎn)：本小題主要考查不等式的性質(zhì)，熟練不等式的性質(zhì)是解答好本類題目的關(guān)鍵.7、C【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可得圓的半徑.【詳解】由圓x2+y2+2x﹣4y+1＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程有：，所以圓的半徑為2.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，并由此得出圓的半徑大小，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】化簡可得，再由及選項可得答案【詳解】解：由題意得，，；、、三點(diǎn)共線，，結(jié)合選項可知，；故選：9、A【解析】由圓，可得圓心的坐標(biāo)為圓心到直線的距離為：由得所以的取值范圍是故答案選點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解“圓上有且只有兩個點(diǎn)到直線的距離等于1”，將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合題意計算求得結(jié)果10、C【解析】根據(jù)選項的自變量范圍判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】當(dāng)時，，由正弦函數(shù)單調(diào)性知，函數(shù)單增區(qū)間應(yīng)滿足，即，觀察選項可知，是函數(shù)的單增區(qū)間，其余均不是，故選：C二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、【解析】由，根據(jù)兩角差的正切公式可解得【詳解】，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角差的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)知識的考查12、②、③【解析】因為是的內(nèi)角，故，，從而，，，故選②、③.點(diǎn)睛：三角形中各角的三角函數(shù)關(guān)系，應(yīng)注意利用這個結(jié)論.13、①.20②.96【解析】先由平均數(shù)的公式列出x+y=20，然后根據(jù)方差的公式列方程，求出x和y的值即可求出xy的值.【詳解】根據(jù)平均數(shù)及方差公式，可得:化簡得：，，或則，故答案為：20；96【點(diǎn)睛】本題主要考查了平均數(shù)和方等概念，以及解方程組，屬于容易題.14、【解析】求出函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)在內(nèi)無零點(diǎn)，列出滿足條件的不等式，從而求的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)在內(nèi)無零點(diǎn)，所以，所以；由，得，所以或，由，得；由，得；由，得，因為函數(shù)在內(nèi)無零點(diǎn)，所以或或，又因為，所以取值范圍為.故答案為：.15、【解析】，故三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、見解析【解析】分角為第三和第四象限角兩種情況討論，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得解.【詳解】因為，，所以是第三或第四象限角.由得.如果是第三象限角，那么，于是，從而；如果是第四象限角，那么，.綜上所述，當(dāng)是第三象限角時，，；當(dāng)是第四象限角時，，.【點(diǎn)睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.17、（1），；（2）.【解析】（1）利用向量的線性運(yùn)算即平面向量基本定理確定，與，的關(guān)系；（2）解法一：利用向量數(shù)量積運(yùn)算公式求得向量夾角余弦值；解法二：建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示確定向量夾角余弦值.【詳解】解法一：（1）由圖可知.因為E是CD的中點(diǎn)，所以.（2）因為，為等邊三角形，所以，，所以，所以，.設(shè)與的夾角為，則，所以在與夾角的余弦值為.解法二：（1）同解法一.（2）以A為原點(diǎn)，AD所在直線為x軸，過A且與AD垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，.因為E是CD的中點(diǎn)，所以，所以，，所以，.設(shè)與的夾角為，則，所以與夾角的余弦值為.【點(diǎn)睛】求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用18、圖象見解析，值域為[0，+∞)，單調(diào)遞增區(qū)間[1，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，1)，最大值為2.【解析】由于f(x)=|log3x|=所以在[1，+∞)上f(x)圖像與y=log3x的圖像相同，在(0，1)上的圖像與y=log3x的圖像關(guān)于x軸對稱，由此可畫出函數(shù)的圖像，再結(jié)合函數(shù)的圖像可求出函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間，及最值【詳解】因為f(x)=|log3x|=所以在[1，+∞)上f(x)的圖像與y=log3x的圖像相同，在(0，1)上的圖像與y=log3x的圖像關(guān)于x軸對稱，據(jù)此可畫出其圖像，如圖所示.由圖像可知，函數(shù)f(x)的值域為[0，+∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是[1，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，1).當(dāng)x∈時，f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞減的，在(1，6]上是單調(diào)遞增的.又f=2，f(6)=log36<2，故f(x)在區(qū)間上的最大值為2.【點(diǎn)睛】此題考查含絕對值對數(shù)型函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題19、（1）（2）【解析】分析：（1）由題意結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的定義域可得不等式的解集為.（2），令，結(jié)合反比例函數(shù)性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.詳解：（1）由題意得:，∴，∴，解得.（2），令，當(dāng)時，，，所以，所以.∵，∴的對數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)遞減，∴，∴.點(diǎn)睛：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，換元法及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.20、（1）x（2）函數(shù)fx（3）-2【解析】（1）解不等式4-x（2）根據(jù)奇偶性的定義直接判斷即可；（3）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為4-x2≤mx+5且mx+5>0【小問1詳解】解：由題知4-x2>0所以函數(shù)fx=【小問2詳解】解：函數(shù)為偶函數(shù)，證明如下：由（1）知函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以f-x所以函數(shù)為偶函數(shù).【小問3詳解】解：因為fx≤log即log24-x所以4-x2≤mx+5且mx+5>0所以m≥-1x-x且m>由于-1x-x=-y=-5x在x∈0,2所以m≥-2且m≥-52，即所以實數(shù)m的取值范圍是-2,+∞，最小值21、(1),,；(2